齊鐵清

摘要：數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)離不開(kāi)學(xué)生的動(dòng)手操作，離不開(kāi)問(wèn)題的解決。數(shù)學(xué)教材中的拓展題是很好的教學(xué)資源，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考，大膽嘗試，通過(guò)擺一擺、畫一畫、切一切、拼一拼的方法，互相交流、共同探討，在活動(dòng)中學(xué)習(xí)，在操作中感受。

關(guān)鍵詞：操作活動(dòng)；空間觀念；深度學(xué)習(xí)

空間觀念是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一?？臻g觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）在學(xué)段目標(biāo)和課程內(nèi)容中對(duì)學(xué)生空間觀念的要求是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程：從形成初步的空間觀念、形成空間觀念、培養(yǎng)空間觀念、發(fā)展空間觀念、增強(qiáng)空間觀念到提升空間觀念。很多教師結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容來(lái)理解這些要求一般比較容易，但對(duì)于這些要求如何轉(zhuǎn)化成學(xué)生的觀念卻方法不多。本文結(jié)合北師大版數(shù)學(xué)教材中三道拓展題的解決過(guò)程來(lái)闡述如何在操作中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

一、有思維的操作：從用尺畫角到用角度量

角的度量是北師大版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)“線與角”這一單元中的一部分內(nèi)容。教材在“旋轉(zhuǎn)與角”“角的度量”的教學(xué)內(nèi)容后安排了一道“用一副三角尺畫不同度數(shù)角”的拓展題。通過(guò)對(duì)這道題的處理，可以看出教師對(duì)培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的理解、認(rèn)識(shí)、落實(shí)程度。

（一）原題：用一副三角尺畫不同度數(shù)的角

這是教材中的一道拓展題，原題是：“利用一副三角尺，你能畫出哪些不同度數(shù)的角？”教材中給了提示：“我畫了一個(gè)105°的角”“我畫了一個(gè)15°的角”，并配了插圖。

在實(shí)際教學(xué)中，教師一般情況下會(huì)根據(jù)這些提示，引導(dǎo)學(xué)生在三角尺原有的30°、45°、60°、90°的基礎(chǔ)上，通過(guò)相加和相減的辦法可以再畫出75°、105°、120°、135°、150°、180°的角。

在這樣的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生的思維基本上是停留在“利用原有的6個(gè)角通過(guò)加減的方式來(lái)畫出新的角”這一階段。

（二）原解：一共能畫出11種不同度數(shù)的角

在北京師范大學(xué)出版社《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書》（以下稱為“教參”）中有對(duì)此題的說(shuō)明：“本題是拓展題，不要求全體學(xué)生掌握。鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，先獨(dú)立地?cái)[一擺、畫一畫，再交流方法。答案：180°、150°、135°、120°、105°、90°、75°、60°、45°、30°、15°?！?/p>

教參中先是說(shuō)明了此題的性質(zhì)，然后提示了處理方式，最后給出了答案。從給出的答案中可以看出，是按照從大到小的規(guī)律排列的。

這樣的答案并沒(méi)有引起一些教師的注意，基本上是“以此為準(zhǔn)”。如一位教師在引導(dǎo)學(xué)生歸納方法時(shí)對(duì)畫出的角按照從小到大的順序進(jìn)行排序后發(fā)現(xiàn)，這些角度是有規(guī)律的，從15°開(kāi)始，依次增加15°，一直到180°，但是中間缺少了165°。學(xué)生就此提出了疑問(wèn)，并用一副三角尺畫出了165°的角α（見(jiàn)圖1），這個(gè)問(wèn)題才引起大家的關(guān)注。

（三）原理：用工具畫角是對(duì)角的重新量化

對(duì)于用一副三角尺能否畫出165°角的討論已經(jīng)結(jié)束，但問(wèn)題似乎并沒(méi)有那么簡(jiǎn)單，其中有幾個(gè)問(wèn)題應(yīng)該引起教師的關(guān)注。

第一個(gè)問(wèn)題是：為什么一道題的答案有問(wèn)題，在教參中存在這么長(zhǎng)時(shí)間（現(xiàn)行版本是2014年版）卻沒(méi)被發(fā)現(xiàn)？第二個(gè)問(wèn)題是：是什么原因?qū)е铝恕安煌昝馈钡拇鸢福康谌齻€(gè)問(wèn)題是：學(xué)生畫出的這個(gè)165°角，其他學(xué)生是否認(rèn)同？

第一個(gè)問(wèn)題，主要原因?yàn)檫@是一道“拓展題”“不要求全體學(xué)生掌握”，那也就意味著不作考試要求。所以，一般情況下不對(duì)全體學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)一要求，即使是做出來(lái)的學(xué)生也不要求把所有的答案都寫全。這樣，也就沒(méi)有人特別關(guān)注所有的答案了。

第二個(gè)問(wèn)題，之所以沒(méi)有給出165°的答案，主要是“成人化”“代數(shù)化”思維的結(jié)果。“利用一副三角尺你能畫出哪些不同度數(shù)的角”一般理解為用一副三角尺中的兩個(gè)不一樣的三角尺已有的6個(gè)角相互拼擺來(lái)得到新的角。有些版本的教材在要求中也確實(shí)是說(shuō)“能拼成哪些不同度數(shù)的角”。這樣，沒(méi)有165°的答案也就可以理解了。

第三個(gè)問(wèn)題，有的學(xué)生并不認(rèn)為這個(gè)165°的角是合理的，因?yàn)樗皇抢萌浅咴械慕钱嫵鰜?lái)的。其實(shí)，這并不重要，重要的是這些角是學(xué)生“畫”出來(lái)的還是“算”出來(lái)的。要是直接“算”，那是“算”不出165°的角的。

教師到此應(yīng)該想到是一個(gè)問(wèn)題：165°這個(gè)概念是怎么建立起來(lái)的？如果是拼角，那就需要有兩個(gè)已經(jīng)知道度數(shù)的角的和或差正好是165°才行。但如果是畫角，那就需要看已經(jīng)知道度數(shù)的最小的角是多少度，只要知道了這個(gè)度數(shù)，以它為單位，就可以畫出它的倍數(shù)的所有的角了。而這正是度量的本質(zhì)意義。

一副三角尺6個(gè)角的度數(shù)差最小是15°，那么就可以利用它來(lái)畫出所有的15°的倍數(shù)的角，當(dāng)然也包括165°。實(shí)際上，新課標(biāo)中對(duì)學(xué)生“會(huì)用量角器或三角板畫角”是有明確要求的，要求“會(huì)用三角板畫30°、 45°、 60°、 90°的角”。這是因?yàn)槿前迳嫌羞@些度數(shù)的角，如果學(xué)生能通過(guò)兩個(gè)角的度數(shù)差來(lái)找到15°的角，那么畫15°的角就很容易了。

有了這個(gè)基礎(chǔ)，學(xué)生以15°為一個(gè)單位，就可以畫出任意一個(gè)15°的倍數(shù)的角了。這樣，得出來(lái)的是具有普遍意義的最基本的規(guī)律，它可以拓展，可以延伸。在學(xué)生學(xué)習(xí)角的時(shí)候就可以更好地理解角的形狀、大小、位置關(guān)系了。

二、有意義的剪拼：從代數(shù)計(jì)算到幾何直觀

長(zhǎng)方形的面積是北師大版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)上冊(cè)“面積”這一單元中的一部分內(nèi)容。教材在這部分內(nèi)容后面安排了一道“用一個(gè)大長(zhǎng)方形能剪成幾個(gè)小正方形”的拓展題。從這道題的解題過(guò)程中，可以看出學(xué)生對(duì)圖形形狀、大小、位置關(guān)系的理解程度。

（一）原題：一張紙能剪出多少個(gè)小正方形

這道拓展題的原題是：“王老師為小朋友準(zhǔn)備了一張長(zhǎng)32厘米、寬15厘米的長(zhǎng)方形彩紙，最多可以剪成邊長(zhǎng)是2厘米的正方形彩紙多少?gòu)?？?/p>

這原本是一道沒(méi)有多大難度的題，但解答這道題的思路卻反映了學(xué)生對(duì)面積概念的理解程度。有的學(xué)生可能會(huì)把這題理解為“大長(zhǎng)方形中包含幾個(gè)小正方形”，從而用大長(zhǎng)方形的面積除以小正方形的面積得到包含的個(gè)數(shù)。32×15=480（平方厘米），2×2=4（平方厘米），480÷4=120（張）。這是典型的“用代數(shù)思維解決幾何問(wèn)題”，不叫“數(shù)形結(jié)合”。

在這種情況下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手做一做，在做中體會(huì)大長(zhǎng)方形和小正方形之間的關(guān)系。通過(guò)操作，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的紙并不是正好用完，進(jìn)而明白為什么不能剪成120張。

（二）原解：學(xué)生體會(huì)畫圖解決問(wèn)題的方法

教參對(duì)此題的解釋是“本題是拓展題，不作考試要求。練習(xí)時(shí)，可以先讓學(xué)生畫圖，從圖中可以直觀地看出長(zhǎng)的一條邊能畫16個(gè)，寬的一條邊能畫7個(gè)。體會(huì)畫圖解決問(wèn)題的方法。答案：長(zhǎng)邊可以剪32÷2=16（份），寬邊可以剪15÷2=7（份）……1（厘米），一共可以剪16×7=112（張）。”

對(duì)于這道拓展題來(lái)說(shuō)，并不只是畫圖那么簡(jiǎn)單。關(guān)鍵是學(xué)生能否讀懂原題，能否把原題還原成現(xiàn)實(shí)情境。教師應(yīng)讓學(xué)生真正動(dòng)手進(jìn)行操作，在操作中理解什么叫“用大的長(zhǎng)方形剪成小的正方形”。

在操作中學(xué)生就會(huì)理解，題中要求最多可能剪成多少?gòu)垼蔷蛻?yīng)該盡量用小的圖形去密鋪大的圖形。這就會(huì)出現(xiàn)教參中提示的“長(zhǎng)的一條邊能畫16個(gè)，寬的一條邊能畫7個(gè)”的情形。這個(gè)過(guò)程應(yīng)該是先有操作再有算式，算式只不過(guò)是對(duì)操作過(guò)程的記錄。如果沒(méi)有對(duì)這些圖形關(guān)系的認(rèn)識(shí)，而只用算式來(lái)解釋是沒(méi)有意義的。

（三）原理：理解單位面積會(huì)更有實(shí)用價(jià)值

為理解這道題的用意，換一組數(shù)據(jù)也許效果會(huì)更好：“一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬5厘米的長(zhǎng)方形，最多可以剪成長(zhǎng)3厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形多少個(gè)？”

這道題無(wú)論是用算式計(jì)算還是畫圖操作，答案都是5（個(gè)）。但思考過(guò)程卻完全不一樣，用算式解決問(wèn)題只能說(shuō)明面積是30平方厘米的大長(zhǎng)方形里面包含5個(gè)面積是6平方厘米的小長(zhǎng)方形，不一定能形成裁剪方法的圖形。而當(dāng)學(xué)生自己能剪出5個(gè)小長(zhǎng)方形時(shí)，他們對(duì)面積就有了一種新的認(rèn)知：如果以長(zhǎng)3厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形的面積為一個(gè)“單位面積”（6平方厘米），那么長(zhǎng)6厘米、寬5厘米的長(zhǎng)方形中就有5個(gè)這樣的“單位面積”（30平方厘米）（見(jiàn)圖2）。

“單位面積”已經(jīng)超出了學(xué)生對(duì)“面積單位”的固化理解。當(dāng)學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣于用“一個(gè)面積單位”去度量面積的時(shí)候，就很難把“多個(gè)面積單位”當(dāng)成“一個(gè)單位面積”去進(jìn)行度量，更難理解用一個(gè)“不規(guī)則的單位面積”去進(jìn)行度量。只有突破這種認(rèn)知上的限制，學(xué)生才能真正理解面積的意義。

學(xué)生進(jìn)而就會(huì)理解，有時(shí)一個(gè)大的圖形雖然不能正好剪出幾個(gè)完整的小圖形，但是它們之間依然存在這種關(guān)系。如教材中的拓展題：“一張大的彩紙，最多可以剪成112張小彩紙?！钡珜?shí)際上如果以這張小的彩紙的面積為一個(gè)“單位面積”，那么大的彩紙的面積就有120個(gè)這樣的單位。這種理解就不是就題解題，而是讓學(xué)生在操作的過(guò)程中明白平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系。

三、有深度的轉(zhuǎn)化：從體積單位到單位體積

學(xué)生對(duì)體積單位概念的建立往往不如長(zhǎng)度和面積單位的建立那么“實(shí)在”，其原因主要是學(xué)生沒(méi)有建立起“單位體積”的概念。從北師大版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)一道拓展題的解題過(guò)程就可以看出學(xué)生對(duì)“單位體積”的理解程度。

（一）原題：用底面積乘以高計(jì)算柱體的體積

教材“圓柱與圓錐”這一單元中，在“圓柱的體積”后面有一道拓展題：“長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積都可以用V=Sh計(jì)算。想一想， 下圖右面兩個(gè)圖形的體積也可以用V=Sh計(jì)算嗎？說(shuō)一說(shuō)你的想法。”（見(jiàn)下頁(yè)圖3）

這樣的拓展題，在教師看來(lái)并沒(méi)有什么難度，也不會(huì)引起學(xué)生的關(guān)注。一般來(lái)說(shuō)，解答時(shí)不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，都會(huì)回答“可以”。至于“說(shuō)一說(shuō)想法”，因?yàn)橹皇恰罢f(shuō)一說(shuō)”，所以無(wú)非是“底面積乘以高可以求出長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的體積，右面兩個(gè)圖形的底面也可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，從而把它們轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體”之類的推理，教師在教學(xué)中不會(huì)太“較真”，也沒(méi)有學(xué)生去操作，所以一般看不出什么問(wèn)題。

（二）原解：利用轉(zhuǎn)化的思想推出計(jì)算方法

教參中的解釋基本意思是這樣的：“本題為拓展練習(xí)，不要求全體學(xué)生掌握。主要引導(dǎo)學(xué)生思考、體會(huì)直柱體的體積都可以用V=Sh計(jì)算的理由。練習(xí)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己的思考方法，如可以用切、拼的方法，利用轉(zhuǎn)化的思想，將圖3中右面的兩個(gè)圖形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，從而推出兩個(gè)立體圖形的計(jì)算方法?！?/p>

這個(gè)解釋本身沒(méi)有問(wèn)題，但關(guān)鍵是學(xué)生是否真的能“思考”、是否真的能“體會(huì)”、是否真的知道“直柱體的體積都可以用V=Sh計(jì)算”的理由。更重要的是，學(xué)生能否由此真的能得出“直柱體的體積都可以用V=Sh計(jì)算”的結(jié)論。

（三）原理：理解體積就是度量單位的累加

新課標(biāo)非常重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的操作，特別是在圖形與幾何教學(xué)中的測(cè)量與度量。在“教學(xué)提示”中提示教師“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)立體圖形的測(cè)量，從度量的角度認(rèn)識(shí)立體圖形的特征；理解長(zhǎng)度、面積、體積都是相應(yīng)度量單位的累加”。

學(xué)習(xí)體積的計(jì)算時(shí)，教材通過(guò)猜想驗(yàn)證的方式引導(dǎo)學(xué)生得出長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式。讓學(xué)生用一些棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體擺出3個(gè)不同的長(zhǎng)方體，通過(guò)觀察各自體積與長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系得出長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式。包括底面積乘高的公式也是通過(guò)“底面積=長(zhǎng)×寬”得出的。在這樣的過(guò)程中，學(xué)生并沒(méi)有“基于體積單位理解圖形體積”，更沒(méi)有“理解體積是體積單位的累加”，所以沒(méi)有很好地建立起“長(zhǎng)方體體積”的概念。

如果在這個(gè)過(guò)程中，教師重視學(xué)生操作的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到用棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體擺長(zhǎng)方體，擺一排的數(shù)量和長(zhǎng)方體的長(zhǎng)一樣，也就是長(zhǎng)是幾就擺幾個(gè)；擺一層的數(shù)量和長(zhǎng)方體的長(zhǎng)×寬（也就是底面積）一樣，也就是寬是幾就擺幾排；擺完整個(gè)長(zhǎng)方體的數(shù)量和長(zhǎng)方體的長(zhǎng)×寬×高一樣，也就是高是幾就擺幾層。從而得出，長(zhǎng)方體的體積就是擺的總個(gè)數(shù)，而這個(gè)總個(gè)數(shù)，不用一個(gè)一個(gè)地去數(shù)了，可以用長(zhǎng)×寬×高這個(gè)簡(jiǎn)便方法計(jì)算出來(lái)。也就是一共用了幾個(gè)小正方體，得到的長(zhǎng)方體的體積就是幾個(gè)這樣的體積單位。這就是“基于體積單位理解圖形體積”“理解體積是體積單位的累加”。

有了這些基礎(chǔ)，學(xué)生再理解從長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體的體積公式向其他形體進(jìn)行拓展時(shí)，就會(huì)知道無(wú)論底面是什么形狀，所說(shuō)的“底面積”就是一層的“單位數(shù)量”，再乘高就是總的單位數(shù)量，就是體積。這就很容易拓展得出“所有直柱體的體積都可以用V=Sh計(jì)算”的結(jié)論。這時(shí)，學(xué)生對(duì)直柱體體積的理解就不只是記住了體積計(jì)算公式那么簡(jiǎn)單，還建立起了直柱體體積的概念。

以上這三道拓展題的相通之處在于對(duì)“度量單位”的理解，應(yīng)該通過(guò)這樣的拓展題，讓學(xué)生在理解1°角、1平方厘米、1立方厘米的基礎(chǔ)上明白“以15°為一個(gè)單位可以畫出15°的倍數(shù)的角”“以4平方厘米為一個(gè)單位可以度量出一個(gè)圖形有多少個(gè)這樣的單位”“1立方厘米體積的形狀不僅限于棱長(zhǎng)是1厘米的正方體，用不規(guī)則形狀的體積單位也可以去度量體積”。這樣的拓展題就不只是題的拓展，而是思維的拓展、理念的拓展。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉堅(jiān)，孔企平，張丹.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（2014年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）