孫明燦, 師晶

(閩南理工學(xué)院 信息管理學(xué)院,福建 石獅 362700)

0 引言

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中,Bezier曲線曲面由于具有圖像直觀、易于理解和計(jì)算高效等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于動(dòng)畫制作、電子信息、生物技術(shù)及工業(yè)制造等領(lǐng)域中[1].但Bezier曲線曲面在曲面造型中也存在一些不足,如圖形會(huì)隨著控制頂點(diǎn)的改變而發(fā)生變化,且它還無法精確表示一些二次曲線曲面的形狀.為解決Bezier曲線曲面在曲面造型中存在的這些問題,一些學(xué)者對其性質(zhì)進(jìn)行了研究,并取得了一些良好成果.例如:文獻(xiàn)[2]的作者提出了一種能夠保持參數(shù)連續(xù)性的多曲面變形技術(shù),該變形技術(shù)不僅誤差可控,而且還可使邊界處的節(jié)點(diǎn)矢量在不必相同的條件下即可實(shí)現(xiàn)曲面的光滑拼接.文獻(xiàn)[3]的作者給出了一種利用曲面邊界線構(gòu)建拼接曲面的方法,該方法不僅可用函數(shù)精確地表示三次規(guī)則曲面和自由曲面,而且還具有獨(dú)立的跨界導(dǎo)矢和約束條件.文獻(xiàn)[4]的作者在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上,利用Coons曲面的設(shè)計(jì)原理構(gòu)造了一個(gè)可滿足C1連續(xù)的CNSBS曲面,研究表明該曲面不僅具有獨(dú)立的跨界導(dǎo)矢和約束條件,而且還具有B樣條曲面的性質(zhì).文獻(xiàn)[5]的作者基于最小二乘法和參數(shù)優(yōu)化方法提出了一種樣條曲面光滑拼接的方法,該方法不僅可有效避免曲面錯(cuò)位,而且還可最小化控制頂點(diǎn)的數(shù)量.文獻(xiàn)[6]的作者討論了一類廣義Bezier曲線離散造型的細(xì)分算法,該算法構(gòu)造的廣義Bezier曲線具有直觀性、可調(diào)性,因此可推廣到相應(yīng)的張量積曲面造型中.文獻(xiàn)[7]的作者討論了一種基于幾何約束的代數(shù)曲線,研究表明該曲線不僅保留了樣條曲線的幾何性質(zhì),而且具有良好的逼近性和局部形狀可調(diào)性.文獻(xiàn)[8]的作者給出了一類四次三角Bezier曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,研究顯示該曲線不須改變控制多邊形即可生成非對稱的圖形.基于上述研究,本文定義了一種帶形狀參數(shù)的雙三次Bezier三角曲面,并給出了該曲面基函數(shù)和曲面的性質(zhì)以及曲面間G1光滑拼接的定理及拼接算法.實(shí)例計(jì)算表明,本文算法不僅在不同方向上可實(shí)現(xiàn)參數(shù)的連續(xù)性,而且還可有效提高曲面形狀的可控性.

1 帶形狀參數(shù)的雙三次Bezier三角曲面

圖1 基函數(shù)的圖形

2)幾何不變性,即曲線p(t)的形狀僅與控制頂點(diǎn)Pi(i= 0,1,2,3)有關(guān),而與坐標(biāo)系的選取無關(guān).

證明對控制頂點(diǎn)為Pi(i= 0,1,2,3)的曲線p1(t)進(jìn)行線性變換和平移變換后,得控制頂點(diǎn)為Qi(i=0,1,2,3)的曲線p2(t)為:

式中:M為線性變換,N為平移變換.由上式可知,曲線具有幾何不變性.

3)凸包性,即曲線p(t)落在由控制頂點(diǎn)Pi(i= 0,1,2,3)構(gòu)成的凸包內(nèi).

其次證明變差縮減性質(zhì)成立.設(shè)直線L與控制多邊形P0P1P2P3的邊PiPi+1交于點(diǎn)Q,直線L與控制多邊形P0P1P2P3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,且邊PiPi+1的法向量為v.由于控制頂點(diǎn)Pi和Pi+1分別位于直線L的兩側(cè),所以v·(Pi-Q)和v·(Pi+1-Q)的符號(hào)相反,進(jìn)而有:

5)保凸性,即曲線p(t)具有保凸性.

證明由變差縮減性可知,當(dāng)控制多邊形為凸多邊形時(shí),平面內(nèi)任一直線與控制多邊形的交點(diǎn)數(shù)最多為2.由此可得曲線p(t)與任一直線的交點(diǎn)數(shù)最多為2,故曲線p(t)具有保凸性.

6)逼近性,即:當(dāng)形狀參數(shù)α變大時(shí),曲線p(t)更加逼近控制多邊形的邊P1P2;當(dāng)形狀參數(shù)α變小時(shí),曲線p(t)更加逼近控制多邊形的邊P0P3.當(dāng)形狀參數(shù)α取不同值時(shí),帶形狀參數(shù)的三次Bezier三角曲線p(t)的圖形如圖2所示.

圖2 帶形狀參數(shù)的三次Bezier三角曲線p(t)的圖形

定義3在R3空間中給定16個(gè)控制頂點(diǎn)Pij(i,j= 0,1,2,3),α1,α2∈(0,2],定義帶形狀參數(shù)的雙三次Bezier三角曲面為:

其中Xi(u,α1)和Xj(v,α2)與式(1)定義的基函數(shù)相同,α1和α2是曲面的兩個(gè)形狀參數(shù).

帶形狀參數(shù)的雙三次Bezier三角曲面S(u,v;α1,α2)具有以下性質(zhì):

證明由帶形狀參數(shù)的三次Bezier三角曲線p(t)的端點(diǎn)性質(zhì)和定義3可得:

由上式可知插值性得證.

2)邊界性和凸包性,即曲面S(u,v;α1,α2)位于由控制頂點(diǎn)Pij(i,j= 0,1,2,3)生成的凸包內(nèi),且4條邊界曲線均為三次Bezier三角曲線.4條邊界曲線分別為:

證明由帶形狀參數(shù)的三次Bezier三角曲線p(t)的端點(diǎn)性質(zhì)和定義3可得:

由上式可知邊界性和凸包性得證.

3)幾何不變性,即曲面S(u,v;α1,α2)的數(shù)學(xué)表示式及其形狀不依賴于坐標(biāo)系的選擇.

證明因證明過程與曲線p(t)的幾何不變性的證明過程類似,故本文在此省略.

4)表示唯一性,即若有兩張曲面S(u,v;α1,α2)相同,則它們的控制頂點(diǎn)和形狀參數(shù)相同;反之,它們的控制頂點(diǎn)和形狀參數(shù)不同.

證明由式(3)可知,曲面S(u,v;α1,α2)的表示唯一性顯然成立.

5)形狀可調(diào)性,即曲面S(u,v;α1,α2)的形狀參數(shù)對曲面的形狀具有調(diào)節(jié)作用.

證明由于曲面S(u,v;α1,α2)帶有兩個(gè)形狀參數(shù)α1和α2,因此根據(jù)曲線p(t)的逼近性可知:在控制頂點(diǎn)Pij(i,j= 0,1,2,3)不變的情況下,通過選取不同的α1值和α2值可調(diào)整曲面的形狀.當(dāng)α1=α2= 0時(shí),曲面S(u,v;α1,α2)是定義在三角域上的三次Bezier三角曲面,由此可知定義在三角域上的三次Bezier三角曲面是曲面S(u,v;α1,α2)的一個(gè)特殊情況.圖3為形狀參數(shù)α1和α2取不同值時(shí)的曲面圖.

圖3 形狀參數(shù)α1 和α2 取不同值時(shí)的曲面圖

2 形狀參數(shù)的幾何意義

為方便設(shè)計(jì)者調(diào)整曲面S(u,v;α1,α2)的形狀,本文對兩個(gè)形狀參數(shù)α1和α2的幾何意義進(jìn)行分析,即分析當(dāng)其中一個(gè)形狀參數(shù)發(fā)生改變或兩個(gè)形狀參數(shù)均發(fā)生改變時(shí),曲面形狀所發(fā)生變化的規(guī)律.

定理1在帶形狀參數(shù)的雙三次Bezier三角曲面S(u,v;α1,α2)中,當(dāng)控制頂點(diǎn)Pij(i,j=0,1,2,3)不變時(shí),有:①若保持其中一個(gè)形狀參數(shù)不變,而增大(或減小)另一個(gè)形狀參數(shù),則曲面會(huì)逐漸靠近(或遠(yuǎn)離)控制網(wǎng)格;②若同時(shí)增大(或減小)兩個(gè)形狀參數(shù),則曲面會(huì)逐漸靠近(或遠(yuǎn)離)控制網(wǎng)格.

證明本文采用文獻(xiàn)[9]中的證明方法證明定理1中的①.不失一般性,假設(shè)形狀參數(shù)α2不變,則曲面S(u,v;α1,α2)的基函數(shù)Xi(t)(i= 0,1,2,3)對形狀參數(shù)α1求導(dǎo)可得:

由上式可知,當(dāng)形狀參數(shù)α2不變而α1增大時(shí),X1(t)和X2(t)均增大,而X0(t)和X3(t)均減小.再由式(3)可知,當(dāng)形狀參數(shù)α2不變而α1增大時(shí),曲面S(u,v;α1,α2)圖靠近控制頂點(diǎn)P1j和P2j(j= 0,1,2,3),同時(shí)遠(yuǎn)離控制頂點(diǎn)P0j和P3j(j= 0,1,2,3).另外,由于P1j和P2j(j= 0,1,2,3)是位于曲面S(u,v;α1,α2)中間位置的控制頂點(diǎn),所以當(dāng)曲面S(u,v;α1,α2)圖靠近控制頂點(diǎn)P1j和P2j(j= 0,1,2,3)時(shí)曲面S(u,v;α1,α2)圖靠近控制網(wǎng)格.同理,當(dāng)形狀參數(shù)α2不變而α1減小時(shí),曲面S(u,v;α1,α2)圖遠(yuǎn)離控制網(wǎng)格.

因證明定理1中的②的過程與證明定理1中的①的過程類似,故本文在此省略.

3 曲面的G1 拼接定理

其中:兩曲面的控制頂點(diǎn)分別為Pij和Qij(i,j= 0,1,2,3);形狀參數(shù)α1,α2,λ1,λ2∈(0,2];Xi(u,α1)、Xj(v,α2)、Xi(u,λ1)和Xj(v,λ2)與式(1)定義的基函數(shù)相同.

定理3兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)滿足u向與u向G1拼接的充要條件是:

推論11)若兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)在u向與u向上有公共的邊界,則僅改變形狀參數(shù)α2和λ2的值仍能使兩張曲面保持G0拼接.

2)若兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)滿足u向與u向G1拼接,則修改形狀參數(shù)α1、α2、λ1和λ2可改變拼接曲面的整體形狀,修改法矢模比例因子μ可改變拼接曲面的局部形狀.

證明首先證明1).若兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)在u向與u向上有公共的邊界,則由定理3中的條件2)可知兩張曲面的G0拼接條件僅與α1和λ1有關(guān),而與α2和λ2無關(guān).所以,若僅改變形狀參數(shù)α2和λ2的值仍能使兩張曲面保持G0拼接.

因2)的證明過程與1)的證明過程類似,故本文在此省略.

定理4兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)滿足v向與v向G1拼接的充要條件是:

推論21)若兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)在v向與v向上有公共的邊界,則僅改變形狀參數(shù)α1和λ1的值仍能使兩張曲面保持G0拼接.

2)若兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)滿足v向與v向G1拼接,則修改形狀參數(shù)α1、α2、λ1和λ2可改變拼接曲面的整體形狀,修改法矢模比例因子μ可改變拼接曲面的局部形狀.

證明因證明過程與推論1的證明過程類似,故本文在此省略.

定理5兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)滿足u向與v向G1拼接的充要條件是:

證明因證明過程與定理1和定理2的證明過程類似,故本文在此省略.

推論31)若兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)在u向與v向上有公共的邊界,則僅改變形狀參數(shù)α2和λ1的值仍能使兩張曲面保持G0拼接.

2)若兩張雙三次Bezier三角曲面S1(u,v;α1,α2)和S2(u,v;λ1,λ2)滿足u向與v向G1拼接,則修改形狀參數(shù)α1、α2、λ1和λ2可改變拼接曲面的整體形狀,修改法矢模比例因子μ可改變拼接曲面的局部形狀.

證明因證明過程與推論1的證明過程類似,故本文在此省略.

4 曲面拼接算法的實(shí)現(xiàn)

帶形狀參數(shù)的雙三次Bezier三角曲面的拼接算法如下:

步驟1 選定待拼接曲面的16個(gè)控制頂點(diǎn)Pij(i,j= 0,1,2,3)及形狀參數(shù)α1和α2,并根據(jù)雙三次Bezier三角曲面方程計(jì)算出第1張待拼接曲面S1(u,v;α1,α2);

步驟2 計(jì)算出曲面S1(u,v;α1,α2)公共邊界線的4個(gè)控制頂點(diǎn),并根據(jù)G1拼接定理確定相鄰曲面的其余12個(gè)控制頂點(diǎn)Qij(i= 0,1,2,3;j= 1,2,3)及形狀參數(shù)λ1和λ2,由此得到第2張待拼接曲面S2(u,v;λ1,λ2);

步驟3 如果待拼接曲面數(shù)大于2,則轉(zhuǎn)至步驟2,直至生成所有待拼接曲面后再執(zhí)行下一步;否則,直接執(zhí)行下一步;

步驟4 通過修改各拼接曲面片的形狀參數(shù)及法矢模比例因子調(diào)整拼接曲面的形狀,以此獲得滿意的圖形.

5 計(jì)算實(shí)例

構(gòu)造碗曲面模型時(shí),因需要多個(gè)曲面才能拼接而成,因此本文根據(jù)選定的16個(gè)控制頂點(diǎn)Pij(i,j= 0,1,2,3)首先計(jì)算出第1張待拼接曲面S1(u,v;α1,α2).16個(gè)控制頂點(diǎn)分別為:

然后再根據(jù)曲面S1(u,v;α1,α2)與第2張待拼接曲面S2(u,v;λ1,λ2)的公共邊界線的4個(gè)控制頂點(diǎn)Pi3(i= 0,1,2,3)和曲面S2(u,v;λ1,λ2)的其余12個(gè)控制頂點(diǎn)Qij(i= 0,1,2,3;j= 1,2,3)計(jì)算出第2張待拼接曲面S2(u,v;λ1,λ2).曲面S2(u,v;λ1,λ2)的其余12個(gè)控制頂點(diǎn)分別為:

重復(fù)以上步驟,最終可生成如下4張待拼接曲面:

由于上述4張曲面的任意2個(gè)相鄰曲面在u向具有公共的邊界線,所以上述4張曲面的任意2個(gè)相鄰曲面均滿足u向與u向的G0拼接條件,且這4張曲面的形狀參數(shù)滿足α1=λ1=β1=γ1,如圖4所示.

圖4 碗曲面G0 拼接的網(wǎng)格模型

當(dāng)相鄰曲面滿足u向與u向的G1拼接時(shí),由定理3可知.所以,通過修改法矢模比例因子μ可改變拼接曲面的局部形狀.不同法矢模比例因子下的碗曲面G1拼接的網(wǎng)格模型如圖5所示.由定理3和圖5可得:法矢模比例因子越大,相鄰公共邊界線的兩排控制頂點(diǎn)越靠近邊界線處的控制頂點(diǎn);法矢模比例因子越小,相鄰公共邊界線的兩排控制頂點(diǎn)越遠(yuǎn)離邊界線處的控制頂點(diǎn).

圖5 不同法矢模比例因子下的碗曲面G1 拼接的網(wǎng)格模型

另外,由曲面的形狀可調(diào)性和定理1可知,修改形狀參數(shù)可改變曲面的整體形狀,即:當(dāng)形狀參數(shù)增大或減小時(shí),曲面從整體上逐漸靠近或遠(yuǎn)離控制網(wǎng)格.不同形狀參數(shù)下的碗曲面G1拼接的網(wǎng)格模型如圖6所示.

圖6 不同形狀參數(shù)下的碗曲面G1 拼接的網(wǎng)格模型

6 結(jié)束語

本文研究了帶形狀參數(shù)的雙三次Bezier三角曲面的光滑拼接,該曲面不僅保留了傳統(tǒng)Bezier曲面的一些優(yōu)良性質(zhì)(插值性、邊界性質(zhì)、凸包性、幾何不變性等),而且在不改變控制頂點(diǎn)的條件下可通過形狀參數(shù)調(diào)節(jié)曲面形狀.為提高Bezier曲面在復(fù)雜曲面造型中的構(gòu)圖能力,本文給出了帶形狀參數(shù)的雙三次Bezier三角曲面的u向與u向、v向與v向、u向與v向間的G1拼接定理及其算法.實(shí)例計(jì)算顯示,曲面的形狀參數(shù)和法矢模比例因子可分別調(diào)整曲面的整體形狀和局部形狀,并且其幾何意義明顯.即:在給定范圍內(nèi),形狀參數(shù)越大,曲面在整體上越靠近控制網(wǎng)格;法矢模比例因子越大,相鄰公共邊界線的兩排控制頂點(diǎn)越靠近邊界線處的控制頂點(diǎn).本文研究結(jié)果有效解決了Bezier曲面難以進(jìn)行局部調(diào)節(jié)的缺點(diǎn).在今后的工作中,我們將對高次曲線曲面的光滑拼接進(jìn)行研究.