沈莞薔， 汪國(guó)昭

(1. 江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122；2. 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江 杭州 310027；3. 浙江大學(xué)CAD&CG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027)

有理二次Bézier形式共軛雙曲線段的幾何計(jì)算

沈莞薔1， 汪國(guó)昭2,3

(1. 江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇 無(wú)錫 214122；2. 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江 杭州 310027；3. 浙江大學(xué)CAD&CG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027)

考慮有理二次Bézier形式的相互共軛的雙曲線的控制頂點(diǎn)之間的關(guān)系，給定表示一段雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)型有理二次Bézier曲線，目標(biāo)是求出它的共軛雙曲線上相應(yīng)段的控制頂點(diǎn)。首先給出共軛雙曲線段的自然定義；接著通過(guò)參數(shù)變換，將有理二次Bézier形式和一般參數(shù)形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并把這種轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)到矩陣，以給出所求控制頂點(diǎn)的顯式表達(dá)；最后，給出表達(dá)式的幾何意義，即共軛雙曲線段的控制頂點(diǎn)可由原雙曲線的控制頂點(diǎn)通過(guò)兩次線性插值得到。

曲線造型；有理二次Bézier曲線；雙曲線；共軛雙曲線；線性插值

在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中，Bézier曲線及其有理模型有著良好的幾何性質(zhì)，常被用于數(shù)據(jù)的插值[1]、擬合[2]、逼近[3]，從而被廣泛用于公路設(shè)計(jì)[4]、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)[5]等領(lǐng)域。雙曲線是經(jīng)典的圓錐曲線之一，被廣泛用于建筑施工[6]、生態(tài)系統(tǒng)[7]、地質(zhì)勘探[8]等領(lǐng)域。在所有Bézier模型中，能表示雙曲線的最簡(jiǎn)單的是有理二次，其幾何性質(zhì)已經(jīng)得到了廣泛深入的研究。文獻(xiàn)[9-10]分別研究了參數(shù)的幾何意義和優(yōu)化方法，文獻(xiàn)[11]給出了圓錐曲線的幾何元素(頂點(diǎn)、焦點(diǎn)等)關(guān)于有理二次Bézier控制頂點(diǎn)和權(quán)因子的顯式表達(dá)，文獻(xiàn)[12]給出離心率的統(tǒng)一表達(dá)。

然而，對(duì)有理二次Bézier形式的雙曲線而言，它的共軛雙曲線的表達(dá)形式還未有研究。本文將考慮有理二次 Bézier形式共軛雙曲線的控制頂點(diǎn)之間的關(guān)系。與文獻(xiàn)[13]不同，本文不計(jì)算雙曲線的實(shí)虛軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)等幾何元素，而是通過(guò)矩陣變換直接給出共軛后的控制頂點(diǎn)關(guān)于原曲線控制頂點(diǎn)的顯式表達(dá)，并給出控制頂點(diǎn)的幾何計(jì)算方法。

任一有理二次 Bézier曲線可以化為如下標(biāo)準(zhǔn)型[14]：

其中，參數(shù) t∈ [0,1]，權(quán)因子 ω＞ 0。由于有理二次Bézier曲線的三個(gè)控制頂點(diǎn)必定共面，且不考慮退化到單點(diǎn)和直線的情況，因此，不妨假設(shè)式(1)中的控制頂點(diǎn)pi=(xi, yi) (i=0, 1, 2)不共線。于是，當(dāng) ω＜1, ω=1, ω＞1時(shí)， p (t)分別為橢圓、拋物線和雙曲線[15]。

除去退化到單點(diǎn)和直線段的情況，當(dāng)權(quán)因子ω＞1時(shí)，式(1)表示一段雙曲線。本文考慮其共軛雙曲線。在幾何中，無(wú)限延伸的共軛雙曲線的意義明確。然而，在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中，給出的往往是雙曲線的某段，它對(duì)應(yīng)著共軛雙曲線中的某段，本文簡(jiǎn)稱(chēng)共軛段。本文將先給出共軛段的自然定義，再研究式(1)的共軛段的有理二次 Bézier形式。據(jù)此，任意給定一條非退化且滿足 ω＞1的有理二次Bézier曲線式(1)，依次提出如下兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題 1. 給出其共軛雙曲線段的控制頂點(diǎn)的表達(dá)式，將共軛段表示為有理二次Bézier曲線的形式；

問(wèn)題2. 給出表達(dá)式的幾何意義，即將共軛段的控制頂點(diǎn)表示為式(1)的控制頂點(diǎn)的線性插值形式。

1 共軛段控制頂點(diǎn)的顯式表達(dá)

本節(jié)將先給出共軛段的自然定義，再對(duì)其控制頂點(diǎn)進(jìn)行求解。

1.1 共軛段

對(duì)于任意雙曲線，取其中心為原點(diǎn)，實(shí)軸頂點(diǎn)和虛軸頂點(diǎn)所在直線分別為x軸和y軸。于是，在該坐標(biāo)下，該雙曲線某分支(不妨假設(shè)為右支)上任意一段可表示為：

其中，a和b分別為實(shí)、虛半軸。

如圖 1所示，其中紅色和紫色分別表示原雙曲線的右支和左支，其共軛雙曲線的上、下支分別為藍(lán)色和綠色，它們共有的兩條漸近線用黑色點(diǎn)劃線表示。參數(shù)式(2)所對(duì)應(yīng)的是原雙曲線右支中的某段，它用紅色實(shí)線表示。式(2)所對(duì)應(yīng)的左支中的段為

即為圖中紫色實(shí)線段，它與紅色實(shí)線段關(guān)于原點(diǎn)(雙曲線的中心)呈中心對(duì)稱(chēng)。共軛雙曲線的上支和下支中的相應(yīng)段為：

和

分別用藍(lán)色和綠色實(shí)曲線段表示，它們都是式(2)的共軛段，這是一個(gè)自然的定義。

圖1 雙曲線共軛段的解釋

至此，上節(jié)中的問(wèn)題 1可以進(jìn)一步明確為：若已知紅色實(shí)曲線段的有理二次 Bézier標(biāo)準(zhǔn)形式如式(1)，求其兩共軛段(藍(lán)色和綠色實(shí)曲線段)的有理二次Bézier標(biāo)準(zhǔn)形式。根據(jù)權(quán)因子的幾何意義[16]，共軛段的權(quán)因子也是ω，因此，關(guān)鍵是求共軛段的控制頂點(diǎn)。

由于有理 Bézier曲線的形狀與所取坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，因此，本文考慮更一般的參數(shù)形式：

1.2 共軛段控制頂點(diǎn)的顯式表示

根據(jù)1.1節(jié)的分析，本文希望將表示雙曲線的有理二次Bézier的標(biāo)準(zhǔn)形式(如式(1))，通過(guò)參數(shù)變換，先化為類(lèi)似式(3)的形式，再在其中交換中心指向虛、實(shí)軸頂點(diǎn)的向量，最后通過(guò)逆變換回到標(biāo)準(zhǔn)形式的有理二次 Bézier曲線，即得到原曲線的共軛段。在參數(shù)變換過(guò)程中，控制頂點(diǎn)的變化可用矩陣表示，逆變換對(duì)應(yīng)逆矩陣，這就是本文的核心思想。其中，不需要特意求出雙曲線的實(shí)虛軸頂點(diǎn)、焦點(diǎn)等幾何元素。

因此，關(guān)鍵是要確定使用怎樣的參數(shù)變換。本文從比式(3)更簡(jiǎn)單的形式入手，對(duì)于一段雙曲線：

根據(jù)以上過(guò)程的逆過(guò)程，對(duì)式(1)作參數(shù)變換：

于是，式(1)化為式(4)的形式，控制頂點(diǎn)的關(guān)系為：

其中，A是

的逆矩陣：

將式(4)向式(3)的形式轉(zhuǎn)換，令：

使得L1和L2正交，于是有：

其中，

于是，得到如下關(guān)系式：

其中，

B的逆矩陣為：

這里，L1，L2分別為雙曲線中心指向虛、實(shí)軸頂點(diǎn)的向量，它們相交換即為共軛雙曲線的中心指向虛、實(shí)軸頂點(diǎn)的向量。將交換矩陣設(shè)為：

記矩陣 M =A-1B-1NBA，有：

于是，得到如下定理。

定理1. (共軛雙曲線段的有理二次Bézier形式)對(duì)于任意非退化的標(biāo)準(zhǔn)形式的有理二次 Bézier曲線式(1)，若其表示一段雙曲線(即滿足 ω＞1)，則該雙曲線的共軛段可表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式的有理二次Bézier曲線：

其中，控制頂點(diǎn)：

M和α分別由式(11)和式(8)給出。

在式(8)中，符號(hào)“±”代表兩段共軛段。圖2給出例子，ω=2。初始給定的標(biāo)準(zhǔn)型有理二次Bézier曲線，其控制頂點(diǎn)用紅色空心圈表示，曲線用紅色實(shí)線表示。其對(duì)應(yīng)的另一分支上的曲線段用紫色實(shí)線表示，控制頂點(diǎn)用紫色空心圈表示，由原控制頂點(diǎn)通過(guò)雙曲線的中心(即為式(9)~(10)中給出的 Q0)進(jìn)行中心對(duì)稱(chēng)得到。由定理1給出的兩段共軛段，分別用藍(lán)色和綠色實(shí)曲線表示，它們的控制頂點(diǎn)，分別用藍(lán)色和綠色空心圈表示。圖2(a)是一般情況下的例子，求出的兩段共軛段關(guān)于雙曲線的中心呈中心對(duì)稱(chēng)。若給出的有理二次Bézier曲線的控制頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形則其對(duì)應(yīng)的雙曲線段關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，求出的兩共軛段也關(guān)于它們的實(shí)軸(即原雙曲線的虛軸)對(duì)稱(chēng)，如圖2(b)。另外，在等軸雙曲線的特殊情況下，所求出的兩共軛段與原給定的雙曲線段分別關(guān)于兩條漸近線呈軸對(duì)稱(chēng)，如圖2(c)。

圖2 求解雙曲線共軛段的例子

2 幾何求解

本節(jié)將指出，共軛雙曲線段的控制頂點(diǎn)，都能表示為原雙曲線段的控制頂點(diǎn)的線性插值(包括內(nèi)插和外插)的形式，并給出實(shí)例。

在式(11)中，將矩陣M重新表示為 M =CD，其中，

或者，

在這些矩陣中，每行僅有相鄰的兩個(gè)元素非零，并且它們的和均為 1，這即是線性插值的形式。假設(shè)：

表示由原始控制頂點(diǎn)進(jìn)行第一次線性插值所得的過(guò)渡點(diǎn)，于是：

算法1. (共軛雙曲線段的有理二次Bézier形式的幾何求解)若給定任意表示雙曲線的非退化的標(biāo)準(zhǔn)形式的有理二次Bézier曲線式(1)，即已知不共線的三個(gè)控制頂點(diǎn)p0，p1，p2和權(quán)因子 ω＞1，則其共軛段的控制頂點(diǎn)R0， R1， R2可以通過(guò)如下步驟求得：

(1) 根據(jù)式(8)，通過(guò)權(quán)因子ω計(jì)算出α(正負(fù)號(hào)算出不同的α代表了不同的兩段共軛段)。

(2) 根據(jù)式(12)和式(15)，通過(guò)p0，p1，p2線性插值出過(guò)渡點(diǎn)G0，G1，G2，G3。

① 在p0P1上分別取的定比分點(diǎn)G0，G2。

② 在p1P2上 分 別 取的定比分點(diǎn)

(3) 根據(jù)式(13)(或式(14))和式(16)，通過(guò)G0，G1，G2，G3線性插值出R0，R1，R2。

①在G0G1，G2G3上分別取的定比分點(diǎn)R0，R2。

②在G0G1上取的定比分點(diǎn)(對(duì)應(yīng)式(13))，或者取的定比分點(diǎn)(對(duì)應(yīng)式(14))，即為R1。

圖3給出一個(gè)例子，ω=1.2。給定有理二次Bézier曲線的控制頂點(diǎn)p0，p1和p2(紅色空心圈)，其兩共軛段的控制頂點(diǎn)通過(guò)p0，p1和p2的線性插值得到。藍(lán)色和綠色共軛段的相關(guān)點(diǎn)分別用上標(biāo)1和2來(lái)標(biāo)記。對(duì)于藍(lán)色共軛段，在式(8)中取“+”號(hào)，此時(shí)，記α=α1，中間的過(guò)渡插值點(diǎn)和采用藍(lán)色實(shí)心點(diǎn)表示，相應(yīng)共軛段的控制頂點(diǎn)和采用藍(lán)色空心圈表示；對(duì)于綠色共軛段，在式(8)中取“–”號(hào)，此時(shí)，記α=α2，中間的過(guò)渡插值點(diǎn)和采用綠色實(shí)心點(diǎn)表示，相應(yīng)共軛段的控制頂點(diǎn)和采用綠色空心圈表示。

圖3 雙曲線共軛段的控制頂點(diǎn)的幾何求解

3 結(jié) 論

本文針對(duì)表示雙曲線的有理二次 Bézier曲線的標(biāo)準(zhǔn)型式(1)，研究其共軛段的表示。先在引言中提出關(guān)于共軛段的控制頂點(diǎn)的顯式表達(dá)的問(wèn)題1，以及關(guān)于表達(dá)式的幾何意義的問(wèn)題 2。接著，在第1~2節(jié)中分別回答了問(wèn)題1、2。今后可以對(duì)包含雙曲函數(shù)的混合空間中的擬 Bézier曲線(AH Bézier[17]、AHT Bézier[18])的共軛問(wèn)題進(jìn)行研究，也可應(yīng)用于橢圓類(lèi)曲線的幾何元素的求解[19]。

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Geometric Calculation of Conjugate HyperbolaSegment Presented as Rational Quadratic Bézier Form

Shen Wanqiang1, Wang Guozhao2,3
(1.School ofScience, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China; 2. DepartmentofMathematics, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310027, China; 3.State Key Laboratory of CAD & CG, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310027, China)

Consider the relationship between the control points of the conjugate hyperbolas presented as rational quadratic Bézier forms. Given a rational quadratic Bézier curve withStandard form presenting a hyperbolicSegment, the target is to calculate the control points of the correspondingSegment on its conjugate hyperbola. Firstly, the natural definition of theSegment of conjugate hyperbola is given.Secondly, parameter conversion is used to transform the hyperbola between the rational quadratic Bézier form and a general parametric form. The transformations correspond toMatrices. Thus the explicit expressions of the control points of the conjugateSegments are obtained. Finally, the geometricMeanings of the expressions areShown. Each control point of the conjugate hyperbolaSegments can be given by two linear interpolations of the control points of the original hyperbolaSegment.

curveModeling; rational quadratic Bézier curve; hyperbola; conjugate hyperbola; linear interpolation

TP 391.72

A

2095-302X(2015)02-0172-06

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11326243，61402201，61272300，11371174)；江蘇省自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(BK20130117)

沈莞薔(1981–)，女，江蘇無(wú)錫人，講師，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。E-mail：wq_shen@163.com