季超

［摘 要］數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展?！傲信e策略”教學(xué)的核心目標(biāo)是讓學(xué)生在自主運(yùn)用列舉策略解決問題的過程中，進(jìn)一步發(fā)展思維的嚴(yán)密性和條理性，使得學(xué)生逐步學(xué)會更清晰、更全面、更深入、更合理地思考，由“理性思維”走向“理性精神”。

［關(guān)鍵詞］列舉策略；深度理解；數(shù)形結(jié)合

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）11-0043-03

一、審題：從“如臨大敵”到“因勢利導(dǎo)”

“列舉策略”單元例1（如圖1）的教學(xué)依托“圍花圃”的真實(shí)情境，涉及長方形的等長（周長）變形，對學(xué)生來說是有一定難度的。因此，在拋出主問題后，教材編排了問題“根據(jù)題中的條件和問題，你能想到什么？”，旨在讓學(xué)生能分別“從問題想起”和“從條件想起”，想到“周長是22米，可以圍成大小不同的長方形”“圍成的長方形的長和寬都是整米數(shù)”。

然而，真實(shí)的課堂不會如教材設(shè)計(jì)的那樣“按部就班”，學(xué)生往往會迫不及待地回答：“長與寬越接近，面積越大?！睂τ谶@種在教師預(yù)設(shè)之外的回答，一些年輕教師會感到“如臨大敵”，于是選擇冷處理；經(jīng)驗(yàn)豐富的教師則會憑借一些語言技巧“搪塞”過去，等到例1的教學(xué)接近尾聲時(shí)，再請學(xué)生來說之前的發(fā)現(xiàn)，感覺這樣就“功德圓滿”了。

針對以上這些教學(xué)現(xiàn)象，筆者不禁產(chǎn)生了以下思考。

其一，教材希望學(xué)生依據(jù)題目條件“用22根1米長的木條圍花圃”想到“圍成的長方形的長和寬都是整米數(shù)”，這有點(diǎn)“強(qiáng)人所難”，因?yàn)樵谏钪校藗兺耆梢詫⒛静陌磳?shí)際需要進(jìn)行切割后再使用，更重要的是，即使不明確“長和寬都是整米數(shù)”，也完全不影響解題。但是，圍成長方形的長和寬如果可以是非整米數(shù)，那圍法便有無數(shù)種了。

其二，學(xué)生迫不及待地回答“長與寬越接近，面積越大”恰恰反映了學(xué)生的精神追求，即迫切希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而教師的主要責(zé)任便是以深刻的思想啟迪學(xué)生?！伴L與寬越接近，面積越大”這句話有一定的可取之處，但也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。作為教師，?yīng)當(dāng)抓住學(xué)生回答中的可取之處引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考。

基于上述思考，筆者進(jìn)行了教學(xué)改進(jìn)。

生1：我覺得長方形的長與寬越接近，面積越大。

師：你認(rèn)為長方形的面積跟長與寬的相差量有一定的關(guān)系，不過要想讓你的想法更有說服力，還得怎樣？

生1：還要把所有可能圍成的情況都列舉出來，再比較它們的面積大小。

師：為什么要把所有情況都列舉出來？

生1：因?yàn)榉稀爸荛L是22米”這個(gè)條件的長方形有很多種，只有把它們都列出來，才能通過比較找到面積最大的圍法。

生2：從中還能判斷“長方形的長與寬越接近，面積越大”這樣的規(guī)律是否成立。

……

在以上教學(xué)中，學(xué)生在理解題意的環(huán)節(jié)便說出了“長方形的長與寬越接近，面積越大”。教師不僅認(rèn)可了學(xué)生的說法，還引導(dǎo)學(xué)生思考如何進(jìn)一步證明自己的想法，讓學(xué)生在自主選擇用列舉策略解決問題的過程中培育思維的嚴(yán)密性。而教師的提問“為什么要把所有情況都列舉出來？”不僅讓學(xué)生充分感受了列舉策略的特點(diǎn)，還讓學(xué)生將“規(guī)律”與“列舉”溝通了起來，形成理性思維。

二、探究：“動(dòng)手動(dòng)口”終是為了“積極動(dòng)腦”

通過之前的學(xué)習(xí)，學(xué)生已逐步學(xué)會了從條件或問題出發(fā)分析數(shù)量關(guān)系，確定解題思路的策略意識，也充分感受到了列表、畫圖整理?xiàng)l件和問題的策略價(jià)值，具備了初步的策略應(yīng)用意識。通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生自然能在列舉時(shí)使用列表、畫圖的策略，使得列舉過程更為直觀清晰、簡潔明了。

在解決問題后，教師往往會先問學(xué)生有什么發(fā)現(xiàn)，當(dāng)聽到學(xué)生回答“長方形的長與寬越接近，面積越大”便會心滿意足，然后補(bǔ)充說明還需要加個(gè)前提條件“周長一定”，最后讓學(xué)生一同齊讀規(guī)律。這樣的教學(xué)使得規(guī)律的得出完全是走過場，學(xué)生看似讀得整齊響亮，實(shí)則沒能讀入心中。究其緣由，是學(xué)生在探索的過程中始終只是“動(dòng)手”“動(dòng)口”，沒有真正“動(dòng)腦”！

基于上述問題，筆者進(jìn)行了教學(xué)改進(jìn)。

師（出示圖2）：仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：長與寬越接近，面積就越大。

師：你觀察到了長方形的面積隨著長和寬的變化而變化。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)除了要看到變化，還要關(guān)注不變。在整個(gè)過程中，長方形的什么始終不變？

生1：在整個(gè)過程中，長方形的周長不變。

生2：當(dāng)長方形的周長不變時(shí)，長與寬越接近，面積就越大。這樣說就更加嚴(yán)謹(jǐn)了。

師：真是這樣嗎？我們用數(shù)據(jù)說話。當(dāng)長10米、寬1米時(shí)，長與寬相差多少？……

師：果真如你們所發(fā)現(xiàn)的，當(dāng)周長一定時(shí)，面積隨著長與寬相差量的變化而變化。

......

在以上教學(xué)中，教師并沒有急著告知學(xué)生前提條件“周長一定”，而是讓學(xué)生在“變化”中找尋“不變”，即在不斷變化的數(shù)中找準(zhǔn)其中的不變因素。通過對規(guī)律的不斷剖析，學(xué)生逐步想得更全面、更合理，思維的綜合性由此得到提升。

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“在教學(xué)過程中，教師要重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程?！睋Q言之，充分感受規(guī)律得出的過程比規(guī)律本身更為重要，教師不應(yīng)以單純的尋找規(guī)律作為策略教學(xué)的拓展路徑，而應(yīng)充分處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，讓學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)得到有效的溝通整合，幫助學(xué)生逐步學(xué)會更清晰、更全面、更深入、更合理地思考，努力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

三、深化：數(shù)形結(jié)合，讓規(guī)律可視化

“在理性思維與理性精神背后同樣隱藏著火熱的激情：一種希望，揭示世界最深刻奧秘的強(qiáng)烈情感?！边@就需要教師處理好直觀與抽象的關(guān)系——對抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入剖析，并以直觀的形式加以展示。在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在比較不同列舉方法的過程中已經(jīng)初步感知到了數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)然，這種對應(yīng)關(guān)系相對來說是比較簡單的，因?yàn)橹暗臄?shù)代表的只是長與寬的長度。在學(xué)生得到規(guī)律后，此時(shí)表格中的數(shù)代表的含義變成了長與寬的相差量以及對應(yīng)的面積。此時(shí)，基于函數(shù)思想，同樣可以用直觀的圖形來表示抽象的數(shù)乃至規(guī)律。

基于上述思考，筆者進(jìn)行了教學(xué)改進(jìn)。

師：這里同樣可以用直觀的圖形來體現(xiàn)數(shù)的變化。用橫軸表示長與寬的相差量，越往右代表相差量越大；用縱軸表示長方形的面積，越往上表示長方形的面積越大。

師（描出其中一個(gè)點(diǎn)）：當(dāng)長與寬的相差量是9米時(shí)，對應(yīng)面積是10平方米，可以用1個(gè)點(diǎn)來表示此時(shí)長方形的面積和長與寬相差量之間的關(guān)系。

師（指名學(xué)生依次指出剩下4個(gè)點(diǎn)的所在位置，如圖3）：我們得到了這5個(gè)點(diǎn)，把它們連起來，就能得到這樣一條曲線?？粗@條曲線，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：這條曲線的變化趨勢更加直觀地說明，當(dāng)面積一定時(shí)，長與寬的相差量越大，面積越?。婚L與寬相差量越小，面積越大。

師：是啊，看來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，將數(shù)與形結(jié)合起來，能更直觀地發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律。

生2：我覺得這條曲線還可以往左邊延伸，一直延伸到縱軸，到縱軸這個(gè)位置，就相當(dāng)于長與寬相差0米，此時(shí)它就是一個(gè)正方形，邊長為5.5米，通過計(jì)算得出面積是30.25平方米。在所有的長方形中，這是面積最大的情況。

師：有什么新的想法？

生3：圍法可以有無數(shù)種，只是因?yàn)槲覀兪怯谩?米長的木條”圍的，長與寬必須是整數(shù)，所以剛才只列舉出這五種情況。

生4：如果沒有這個(gè)條件，就不能把所有情況一個(gè)一個(gè)列舉出來了。

師：這條變化趨勢線的出現(xiàn)，離不開最初的這5個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，而這恰恰是我們通過一一列舉得到的?？磥硪灰涣信e的策略不僅可以幫助我們解決問題，還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

“具體解題策略的學(xué)習(xí)”與“普遍性思維策略的學(xué)習(xí)與思維品質(zhì)的提升”是相輔相成的。教師的推理性提問和啟發(fā)性提問，能引導(dǎo)學(xué)生迸發(fā)出思維的火花，從而實(shí)現(xiàn)對規(guī)律的深度理解。策略教學(xué)的深化不應(yīng)被理解成形式的變化，而是“由簡單走向復(fù)雜，化復(fù)雜為簡單”。這也為學(xué)生具體學(xué)習(xí)各種解題策略，特別是普遍性思維策略，以及提升思維的品質(zhì)，提供了重要途徑。

筆者通過課前調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有不少學(xué)生對“周長一定時(shí)，長方形的長與寬越接近，面積越大”這樣的規(guī)律有了一定的感知，但這樣的感知往往是模糊的、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｈ绾瓮黄茖W(xué)生的淺層認(rèn)知，促使學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容深入理解，就需要教師在課堂實(shí)踐中把握好過程與結(jié)果的關(guān)系、直觀與抽象的關(guān)系以及直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系。

其一，重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程。不僅讓學(xué)生能較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f出規(guī)律，還要使學(xué)生了解規(guī)律是如何得到的。列舉策略不僅可以研究“周長一定時(shí)，面積和長與寬的相差量之間的關(guān)系”，還可以研究“面積一定時(shí)，周長和長與寬的相差量之間的關(guān)系”，乃至“長方形一邊靠墻時(shí)，面積和長與寬的相差量之間的關(guān)系”。值得注意的是，在教學(xué)中，規(guī)律本身并不重要，重要的是引導(dǎo)學(xué)生充分參與規(guī)律的得出過程，并從中發(fā)展思維的嚴(yán)密性和條理性。

其二，重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的直觀表述。在上述教學(xué)案例中，教師充分運(yùn)用幾何直觀幫助學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識：由5個(gè)關(guān)系點(diǎn)得到一條變化趨勢線，將抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)化成了直觀的圖形，依托曲線的變化，更為直觀地證明了規(guī)律的合理性。

其三，重視學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的形成。在教學(xué)案例中，教師既沒有急著結(jié)合變化趨勢線按部就班地授課，也沒有把其當(dāng)作“噱頭”一帶而過，而是設(shè)置了開放性問題，以啟發(fā)學(xué)生自主探索和發(fā)現(xiàn)。學(xué)生的思維隨之打開，自然而然想到了這條曲線可以朝著另一個(gè)方向繼續(xù)延伸，感受到符合“面積一定”圍法的無限性，只是受限于題目的具體條件“1米長的木條”才只能列舉出五種不同的情況。如此，學(xué)生對題目的條件有了更加深刻的認(rèn)知，感受到列舉策略不僅能解決問題，還能找出規(guī)律。此時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知由“理性思維”走向“理性精神”。

蘇霍姆林斯基曾說：“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界里，這種需要特別強(qiáng)烈?！?數(shù)學(xué)教師應(yīng)由強(qiáng)調(diào)各種具體解題策略轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅貙W(xué)生普遍性思維策略與思維品質(zhì)的提升，幫助學(xué)生通過解決問題逐步想得更清晰、更深入、更全面、更合理，從而不斷提升思維的綜合性、靈活性、自覺性和創(chuàng)造性。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 鄭毓信 .傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)之當(dāng)代重建（上）[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2020（1）：3-7.

[2]鄭毓信 .教育之哲學(xué)審思：哲學(xué)視角下的數(shù)學(xué)教育（二）[J].江蘇教育，2022（17）：25-30.

［3] 孫保華.豐盈教學(xué)過程? 感受策略價(jià)值：“解決問題的策略（列舉）”教學(xué)設(shè)計(jì)與說明[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（22）：48-49.

[4] 鄭毓信 .數(shù)學(xué)教師應(yīng)有的“文化擔(dān)當(dāng)”（中）[J]. 湖南教育（C版），2019（2）：22-24.

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（責(zé)編 金 鈴）