周琪芝 劉思言

摘 要：針對鋼琴音域?qū)拸V、音色豐富的頻域，本文提出了一種基于頻域分區(qū)的諧波峰值法。在原本諧波峰值法的基礎(chǔ)上，對鋼琴音高信號基于頻域分區(qū)進行預(yù)處理。在幅度濾波和諧波濾波后，用FFT定位基頻音高。經(jīng)實驗和仿真，證明該方法針對鋼琴音高信號具有較低的誤差率。

關(guān)鍵詞：頻域分區(qū)；諧波峰值法；鋼琴音高識別

中圖分類號：J624文獻標(biāo)識碼：A文章編號：2096-0905（2023）10-00-03

一、背景

鋼琴因其音域?qū)拸V、音色豐富、音質(zhì)清亮、表現(xiàn)力強等特點，素有“樂器之王”的美稱，常作為音樂創(chuàng)作和表演的樂器進行使用。鋼琴的音高識別可以幫助音樂演奏者對鋼琴進行校音和調(diào)音。不同于以往人耳識別音高，利用音頻處理技術(shù)的音高識別能夠做到識別更加精確。隨著與人工智能的結(jié)合，音高識別也成為眾多領(lǐng)域的研究熱點[1-2]。

對鋼琴的音高識別研究可以追溯到語音識別技術(shù)，主要分為時域處理和頻域處理。時域處理法通過分析時域上信號波形的周期峰值，來識別該段信號的音高。這類方法包括短時自相關(guān)法[3-4]、短時平均幅度差（Average Magnitude difference function，AMDF）法[5-6]。但時域處理法更容易受到噪聲的影響，且經(jīng)常出現(xiàn)半頻或倍頻的錯誤。頻域檢測法將信號轉(zhuǎn)換到頻域上，再對波形特征進行提取檢測。目前使用廣泛的有諧波峰值法[7]、置信度法[8]。小波變換法屬于時頻域檢測法，它通過對高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，整合信號細(xì)節(jié)，實現(xiàn)音高識別[9]。

本文針對鋼琴音高的頻域，采取一種優(yōu)化后的諧波峰值法實現(xiàn)了對鋼琴的音高識別。

二、音高識別的基本原理和常用方法

（一）音高和十二平均律

樂音體系中各音的絕對準(zhǔn)確高度及其相互關(guān)系，被稱為音律。目前國際上廣泛采用的是十二平均律。其將一個音階按照1/12倍頻程劃分，每八度音為一個倍頻程，一個八度音階被劃分為12個半度音階。

鋼琴是一種通過十二平均律進行定音的鍵盤樂器，包括52個白鍵和36個黑鍵，一共88個音鍵組成。鋼琴涉及的音域低至27.5Hz，高至4186Hz，音域廣泛，幾乎囊括了樂音體系中的全部音高。通過上述十二平均律的半音規(guī)則，可以計算鋼琴各個鍵名對應(yīng)的半音頻率。

（二）基波和諧波

根據(jù)振動形式的不同將音分為兩種不同的形式：純音和復(fù)音。復(fù)音可以分解為多個不同頻率和振幅的單音的疊加，其中頻率最低的音稱為基音，其頻率叫作基頻，其物理意義為本征頻率，是物體振動形成的聲波中的最低頻率。其他的音稱為泛音，其頻率叫作泛頻，其物理意義為諧振頻率，是基音頻率的整數(shù)倍。

鋼琴作為弦樂器，其音是弦周期性振動產(chǎn)生的復(fù)合音，產(chǎn)生的波是幾種正弦波的集合。其中振動周期最長的波被稱為基波，基波的頻率稱為基頻。弦在振動產(chǎn)生基波后，振動并不會立即停止。由于弦兩端固定，振動產(chǎn)生的波在傳輸過程中不斷地碰撞反射，從而產(chǎn)生的頻率是基波頻率整數(shù)倍的諧波。諧波使得音樂信號有了不同的音色，諧波成分不同，所聽到的音色也就不同，越是豐富的諧波能使得音樂更加飽滿，更加華麗。

基波和諧波共同組成了鋼琴的音樂信號。而在時域上，基波和多次的諧波疊加，形成更加復(fù)雜的波形。波形的復(fù)雜會使得分辨音高更為困難。而在頻域上，基波和諧波的頻率呈現(xiàn)倍率關(guān)系，更利于系統(tǒng)識別出音高。

綜上可知，鋼琴弦振動產(chǎn)生的基波發(fā)出基音。在我們的研究中，我們過濾掉諧波，只識別基波頻率，達到音高識別的目的。

（三）音頻處理技術(shù)

1．信號數(shù)字化處理

日常生活中我們所感知到的音樂信號都是模擬信號，而利用計算機等對音樂信號進行處理，需要將連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)化為離散的數(shù)字信號。采樣頻率越高，模擬信號的失真也越小。對于音樂信號，采樣頻率通常是8-10kHz。本文對鋼琴信號采樣頻率選取的為44.1kHz。

對鋼琴信號進行實時檢測時，模擬信號是一個線性時變信號，但這個變化對于頻率來說是緩慢的。故我們假設(shè)在一個很短的時間內(nèi)，信號是平穩(wěn)的。通常這個時間段取值為10-30ms。

在進行數(shù)字化處理時，便是針對模擬信號進行分幀加窗操作。分幀加窗操作是指，使用一個窗函數(shù)在采樣后的信號上滑動，將其分成若干個短時信號，這些信號可視為平穩(wěn)信號，每個短時信號為一幀，其長度為幀長，每一幀的長度為10-30ms。常用的窗函數(shù)有矩形窗、漢寧窗和漢明窗等。

矩形窗屬于時間變量的零次冪窗，具有主瓣集中，旁瓣較高，并且伴有負(fù)旁瓣的特點，容易帶入高頻干擾和泄露。

漢寧窗又被稱為升余弦窗。相較于矩形窗，漢寧窗加寬并降低了主瓣，減小了旁瓣，有效減少了泄露和波動現(xiàn)象。由于其主瓣加寬，導(dǎo)致頻率分辨率下降。

漢明窗和漢寧窗一樣都是余弦窗，又被稱為改進升余弦窗。漢明窗相較于漢寧窗，旁瓣更小，旁瓣衰減速度更慢。

2．時域分析

音樂信號的時域特征包括短時能量、短時過零率、短時自相關(guān)函數(shù)、短時幅度差函數(shù)等。

短時能量：描繪了信號在時間上的變化。通過短時能量能夠分辨噪聲段、環(huán)境背景音和樂音。

短時過零率：反映了每一幀內(nèi)信號過零的次數(shù)。因為鋼琴信號具有固定的基頻，其過零率通常分布在一個固定的范圍內(nèi)，而噪聲則不滿足，所以過零率也可以用于區(qū)分噪聲和音樂。

短時自相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)描述了兩個信號之間的相似程度，有互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。離散信號的短時自相關(guān)函數(shù)具有與其相同的周期，其與自身的相關(guān)性最大。故而對于一個周期信號而言，它的短時自相關(guān)函數(shù)必定在周期的整數(shù)倍出現(xiàn)最大值，這為利用其提取信號的基頻提供了基礎(chǔ)。

短時幅度差函數(shù)：它在提供與短時自相關(guān)函數(shù)相似的作用的參量的同時，減小了短時自相關(guān)函數(shù)由于乘法運算而帶來的計算量。與短時自相關(guān)函數(shù)一樣，短時幅度差函數(shù)也具有周期性，但不同的是，短時幅度差函數(shù)在信號周期的整數(shù)倍處出現(xiàn)的是谷值，而短時自相關(guān)函數(shù)在信號周期的整數(shù)倍處出現(xiàn)的是峰值。

3．頻域分析

除了在時域上，在頻域上音樂信號也有眾多特征，可以用于基音檢測。常用的方法有短時傅里葉變換。與傅里葉變換（Fourier Transform，F(xiàn)T）一樣，它們都是通過將感興趣的信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域進行研究的方法。短時傅里葉變換的優(yōu)點是，可以處理近似平穩(wěn)的信號，應(yīng)用更廣。

三、優(yōu)化的諧波峰值法

（一）諧波峰值法

鋼琴發(fā)音為復(fù)合音，通過檢測基音頻率，就可以得到當(dāng)前演奏的音高。諧波峰值法正是通過將預(yù)處理后的信號進行快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT），轉(zhuǎn)換到頻域。通過檢測頻域上最大峰值，峰值所在位置的最大公因子即為當(dāng)前的基音。這是由于通常音樂信號除了基音外，還有豐富的諧波。因此，不能簡單地將頻譜中的最大峰值作為基頻，而要提取峰值序列中的最大公因子?！昂钊』簟蓖ㄟ^計算其自身的置信度，從而得到真實的音高。

（二）基于頻域分區(qū)的諧波峰值法

在實際情況中，鋼琴演奏的音中，幅度最大的音并不一定是基音。在鋼琴的低音區(qū)，諧波頻率的幅度往往大于基音頻率的幅度；中音區(qū)諧波頻率的幅度與基音頻率的幅度相當(dāng)；高音區(qū)基音頻率的幅度大于諧波頻率的幅度。因此，我們采取了一種基于頻域分區(qū)的諧波峰值法。

1．頻域分區(qū)

鋼琴演奏的基音集中在25Hz到4300Hz之間。通過濾波器將超過范圍的諧波過濾，可以增加檢測到基音的準(zhǔn)確性。按照88個基音的頻率，我們將25-4300Hz的頻段分割成88個分區(qū)，每個分區(qū)對應(yīng)一個基音?；谑骄?，我們可知，基音之間呈指數(shù)上漲的規(guī)律。于是我們將區(qū)域的上屆定為fup=f×1.029，下屆定為fdown=f/1.029。其中，為基音頻率。

2．設(shè)定閾值

在音高的實時檢測中，信號除基音和諧波外，還有很多我們不感興趣的信號頻率。在頻域圖中，除了基波頻率、諧波頻率之外，還有許多頻率點對應(yīng)的幅度不為零。為了不被冗余信號影響，減少由于噪聲等因素導(dǎo)致的其他頻率分量，在頻域分區(qū)的基礎(chǔ)上，設(shè)定一個閾值，將頻域幅度在閾值以下的頻率分量幅度都置為零。通過將頻域上每個頻率點對應(yīng)的幅度值都取四次方，閾值即等于四次方后最大值的三分之一。

3．濾除諧波

過濾后信號中的諧波分量依然會影響基音的檢測。通過提取諧波頻率中最大公因子的方法，可以實現(xiàn)過濾諧波。先提取出信號中幅度最高的音頻，然后計算與其成1/2、1/3、1/4等倍數(shù)關(guān)系的頻率，若這些頻率的幅度均為零，則此最高的音頻為基頻，并刪除其相應(yīng)的諧波分量；若這些頻率中有一個幅度不為零，則幅度不為零的頻率中，頻率最小的為基頻，原最高音頻為諧波分量。綜上即可檢測出基頻信號。

四、實驗與仿真

本文以44.1kHz的采樣率對鋼琴音進行實時采集。采用漢明窗對信號進行分幀，并經(jīng)過基于頻域分區(qū)濾波的預(yù)處理。在幅度濾波和諧波濾波后，通過檢測最大幅度值所對應(yīng)頻率，識別音高。

（一）信號預(yù)處理

通過將音樂信號進行分幀加窗，將原本的時變信號以一定的幀長，劃分為不同幀。在短時間范圍內(nèi)，每一幀的信號的特性基本保持不變及相對穩(wěn)定，可以看作是一個準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)過程，即信號具有短時平穩(wěn)性。此后，再對每一幀信號進行濾波和基音識別。

（二）信號濾波

鋼琴樂音信號集中在25Hz到4300Hz之間，超出這個范圍的信號，不在我們的識別范圍內(nèi)。所以在進行音名識別之前，我們調(diào)用頻域分區(qū)濾波器，對信號進行濾波。經(jīng)過頻域分區(qū)濾波后噪聲信號明顯減少，得到質(zhì)量改善后的音樂信號。

最后對處理過的信號進行閾值濾波。在實驗中，設(shè)定的閾值為每個頻率點對應(yīng)的幅度值四次方后最大值的三分之一。

（三）音名識別

圖1所示是對A4鍵名所對應(yīng)音名經(jīng)頻域分區(qū)濾波和閾值濾波后的時域波形和頻域圖。

在88個鍵名中，我們隨機選取了其中20個進行測試。測試得到的頻率檢測結(jié)果如表1所示。

由表1可知，基于頻域分區(qū)的諧波峰值法識別音高誤差率低，且音高頻率越高，識別誤差率越低。這是由于低頻信號段鍵名的頻率較為集中，諧波分量不易過濾完全；高頻信號段鍵名的頻率分布更稀疏，諧波分量更易過濾。

五、結(jié)束語

本文針對鋼琴的音頻頻域，提出了一種優(yōu)化的諧波峰值法。在原本的諧波峰值法的基礎(chǔ)上，采用了頻域分區(qū)對采集的音高信號進行濾波。在濾波基礎(chǔ)上，運用諧波峰值法對鋼琴音高進行識別。實驗與仿真結(jié)果顯示，該方法對音高識別誤差率低。

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作者簡介：周琪芝（1981-），女，四川達州人，副教授，鋼琴演奏與教學(xué)專業(yè)。