牛獻(xiàn)禮

【摘 要】分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運算，兩者在本質(zhì)上具有一致性和整體性。本文結(jié)合若干典型課例，闡述在教學(xué)中以單元大概念為核心對分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法單元內(nèi)容進(jìn)行重組，引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)乘除法的意義、算理、算法、數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系出發(fā)，多角度溝通分?jǐn)?shù)乘、除法之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，體會分?jǐn)?shù)乘除法運算的一致性和可遷移性，從而促進(jìn)學(xué)科知識技能向核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化。

【關(guān)鍵詞】大概念 分?jǐn)?shù)乘除法 單元整體教學(xué)設(shè)計

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：應(yīng)當(dāng)改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)，展現(xiàn)內(nèi)容與觀念之間的融合，體現(xiàn)課程內(nèi)容的整體性。那么，在分?jǐn)?shù)乘除法的教學(xué)中如何體現(xiàn)新課標(biāo)的上述要求呢？下面談?wù)劰P者的思考與實踐。

從當(dāng)前的教材和教學(xué)來看，分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法是分屬于兩個單元的內(nèi)容，分?jǐn)?shù)乘法和除法有各自的算理和算法，應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘法和除法解決實際問題時也有各自的解題思路和方法。這些知識似乎是支離破碎、缺乏內(nèi)在一致性的。但事實上，分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運算，兩者在本質(zhì)上是一個整體：從算理推演和算法推導(dǎo)的角度來說，分?jǐn)?shù)除法的算理是借助演繹推理來推演的，其算法轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)乘法。

白了分?jǐn)?shù)乘除法運算的內(nèi)在一致性，還需要以單元大概念為核心統(tǒng)領(lǐng)具體的知識內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)科知識技能向核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化。筆者概括、提煉的分?jǐn)?shù)乘除法單元大概念如下。

概念1：分?jǐn)?shù)乘法的意義是整數(shù)乘法意義的擴(kuò)充。一個數(shù)乘整數(shù)，是求這個數(shù)的幾倍是多少；一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)，是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。

概念2：分?jǐn)?shù)除法的意義是整數(shù)除法意義的擴(kuò)充。分?jǐn)?shù)除法的本質(zhì)是把被除數(shù)和除數(shù)的計數(shù)單位通過細(xì)分變得相同，再把計數(shù)單位的個數(shù)與個數(shù)相除。分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運算。

概念3：可以借助幾何直觀理解分?jǐn)?shù)乘除法的算理、算法。分?jǐn)?shù)乘法運算與整數(shù)乘法運算保持了一致，都是計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相乘。分?jǐn)?shù)除法可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法，但本質(zhì)上是將被除數(shù)和除數(shù)的計數(shù)單位細(xì)分到相同，然后將相同計數(shù)單位的個數(shù)相除。

概念4：用分?jǐn)?shù)的乘法和除法解決問題的關(guān)鍵，是基于“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，就是用這個數(shù)乘幾分之幾”這個基本數(shù)量關(guān)系展開思考與分析的。

概念5：在推演算理、推導(dǎo)算法的過程中，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力、運算能力和推理能力（尤其是演繹推理能力）等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

筆者以上述大概念為核心對分?jǐn)?shù)乘除法內(nèi)容進(jìn)行重組，將分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法合并為一個學(xué)習(xí)單元，引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)乘除法的意義、算理、算法、數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系出發(fā)，多角度溝通分?jǐn)?shù)乘、除法之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會分?jǐn)?shù)乘除法運算的一致性和可遷移性。實踐表明，這種整體性思維方式能有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。

典型課例1：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)

教學(xué)片段一：

1.在遷移中體會乘法意義的擴(kuò)充

（1）一桶水有3L，5桶水共有多少升？

學(xué)生依據(jù)“一桶水的體積×桶數(shù)＝水的體積”列式：3×5＝15（L）。

小結(jié)：3×5表示3的5倍是多少。

：想一想，第1題和第2題在解題思路上有什么相同點？

生5：都是先找單位“1”，再找等量關(guān)系，然后列式解答。

生6：我發(fā)現(xiàn)它們的等量關(guān)系是一樣的，只不過一個是用乘法計算，另一個是用除法或者方程解答。

小結(jié)：用乘法和除法解決分?jǐn)?shù)問題，關(guān)鍵是根據(jù)“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，就是用這個數(shù)乘幾分之幾”找到等量關(guān)系，然后根據(jù)題目選擇不同的方法來解答。

【參考文獻(xiàn)】

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