張曉鋒?姚靈娣

【摘 要】倍數(shù)關(guān)系是常見的數(shù)量關(guān)系之一。理解倍的含義，關(guān)鍵在于有效建立“倍”的概念。王圣昌老師不走尋常路，從兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系入手，先引導(dǎo)學(xué)生和“倍”的內(nèi)涵互動(dòng)，從發(fā)現(xiàn)關(guān)系、明確關(guān)系到用除法算式表達(dá)倍數(shù)關(guān)系，從直觀到抽象，從淺顯到深刻，逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化，教學(xué)簡(jiǎn)約、深刻，為一線教師開啟了識(shí)“倍”新視界。

【關(guān)鍵詞】倍的認(rèn)識(shí) 概念 建構(gòu) 數(shù)學(xué)化 簡(jiǎn)約

倍數(shù)關(guān)系是常見的數(shù)量關(guān)系之一。建立倍的概念，能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解乘法和除法的含義，擴(kuò)大應(yīng)用乘、除法計(jì)算解決實(shí)際問(wèn)題的范圍。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從具體直觀到抽象思考，理解“倍比”是對(duì)相關(guān)數(shù)量進(jìn)行比較的數(shù)學(xué)方法。理解倍的含義，關(guān)鍵是建立“倍”的概念。有些教師是以告知的方式，引導(dǎo)學(xué)生圈一圈、比一比，初步理解倍的含義，這可稱之為告知“倍”。王圣昌老師先引導(dǎo)學(xué)生和“倍”的內(nèi)涵互動(dòng)，通過(guò)解決問(wèn)題，借助除法算式發(fā)展概念，可稱之為生長(zhǎng)“倍”。

王圣昌老師教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”，僅用3張演示文稿（PPT），就呈現(xiàn)了一節(jié)非常有味道、有思維含量的數(shù)學(xué)課。3張PPT，對(duì)應(yīng)3項(xiàng)逐步進(jìn)階的核心任務(wù)，每項(xiàng)核心任務(wù)中的幾個(gè)子問(wèn)題能較好地彰顯學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)理念——低門檻、大空間、多層次，為每個(gè)學(xué)生提供思考與表達(dá)的機(jī)會(huì)，這也是全課最鮮明的特點(diǎn)。王老師充分肯定和鼓勵(lì)每個(gè)學(xué)生的表達(dá)，并且把每個(gè)學(xué)生的想法都展示出來(lái)，資源捕捉意識(shí)特別好。他引導(dǎo)學(xué)生先和“倍”的內(nèi)涵互動(dòng)，從發(fā)現(xiàn)關(guān)系到明確關(guān)系再到用算式表達(dá)，通過(guò)解決問(wèn)題發(fā)展概念，概念教學(xué)指向有意義的建構(gòu)，真正體現(xiàn)了以學(xué)生的學(xué)為中心。這樣的課應(yīng)該就是如吳正憲老師說(shuō)的“好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)課。

片段1：明確關(guān)系初識(shí)“倍”

呈現(xiàn)第一張PPT（見圖1），圖中包含4根黃瓜和12根香蕉的圖片以及3個(gè)問(wèn)題。

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)？說(shuō)一個(gè)就可以！

生1：黃瓜有4根。

師：這是不是數(shù)學(xué)信息呢？誰(shuí)還有不一樣的發(fā)現(xiàn)呢？

生2：香蕉有12根。

師：他說(shuō)得對(duì)嗎？還有不同的嗎？

生3：黃瓜和香蕉一共有16根。

師：非常棒，黃瓜加香蕉有16根。

生4：香蕉比黃瓜多8根。

師：太棒了，你們能聽懂他的意思嗎？

生5：我認(rèn)為還可以說(shuō)黃瓜比香蕉少8根。

師：好，你把它倒過(guò)來(lái)了，黃瓜比香蕉少8根。

生6：香蕉是黃瓜的3倍。

師：你們?cè)趺纯?？他突然講了我們好像沒(méi)學(xué)過(guò)的知識(shí)——香蕉是黃瓜的3倍。懂他意思的同學(xué)請(qǐng)舉手。誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)這是什么意思？

生7：黃瓜有4根，香蕉有12根，12除以4等于3，也就是說(shuō)香蕉是黃瓜的3倍。

師（追問(wèn)）：你們?cè)趺纯闯鰜?lái)有3倍？3倍在哪里？第1倍在哪里？第2倍、第3倍呢？每倍都是幾根？誰(shuí)決定的？

（學(xué)生回答略）

師：你們能列出算式表示這4個(gè)數(shù)學(xué)信息里兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生用算式表示“黃瓜加香蕉有16根，香蕉比黃瓜多8根，黃瓜比香蕉少8根，香蕉是黃瓜的3倍”，算式分別為：4+12=16，12-4=8，12-8=4，12÷4=3。

師組織生交流。

師：你們都能列出算式表示它們之間的關(guān)系。誰(shuí)來(lái)解釋3倍這個(gè)問(wèn)題？

生8：3×4=12。

師：誰(shuí)來(lái)解釋這個(gè)算式中每個(gè)數(shù)表示什么意思？

生9：4是香蕉的根數(shù)，3是把香蕉平均分成了3份，12是香蕉的總數(shù)。

師：這里有一個(gè)解釋怪怪的，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生10：4是黃瓜的數(shù)量，3是3倍，12是香蕉的總數(shù)。

生11：12是香蕉的數(shù)量，4是黃瓜的數(shù)量，12÷4表示……（生一時(shí)語(yǔ)塞）

生12：12÷4表示把香蕉平均分成3份。

師：為什么除以4？為什么平均分3份，每幾根一份？

一名學(xué)生上講臺(tái)指著圖片演示平均分3份的等分過(guò)程。

……

【賞析】三個(gè)問(wèn)題層次清晰、逐級(jí)遞進(jìn)。首先通過(guò)問(wèn)題“你看到了哪些數(shù)學(xué)信息？”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)黃瓜和香蕉的數(shù)量進(jìn)行感悟。其次，教師通過(guò)問(wèn)題“它們的個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？”引導(dǎo)學(xué)生尋找合適的路徑，表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系——求和關(guān)系、相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系，并對(duì)不同關(guān)系用文字表達(dá)，完整建構(gòu)出數(shù)量之間的關(guān)系。其間，教師還可以結(jié)合圖形直觀幫助學(xué)生思考，再通過(guò)追問(wèn)幫助學(xué)生重點(diǎn)理解倍數(shù)關(guān)系。最后通過(guò)問(wèn)題“你能用算式表示它們之間的關(guān)系嗎？”引導(dǎo)學(xué)生用算式表示倍數(shù)關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生用抽象的算式表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系，既為學(xué)生提供表達(dá)關(guān)系的工具，也是數(shù)學(xué)化的過(guò)程，學(xué)生感悟了關(guān)系，明白了本質(zhì)，就能用算式抽象表達(dá)，真正理解算式的含義，加深對(duì)倍數(shù)關(guān)系本質(zhì)的理解。這是關(guān)于倍的概念的核心問(wèn)題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識(shí)”的關(guān)鍵——先確定標(biāo)準(zhǔn)，然后比較，看另一個(gè)數(shù)量相當(dāng)于有幾個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)，也就是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的幾倍。這樣設(shè)計(jì)，循序漸進(jìn)，從直觀到抽象，從文字語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言，最后緊扣數(shù)量關(guān)系中的倍數(shù)關(guān)系，師生、生生多邊互動(dòng)，可有效實(shí)現(xiàn)對(duì)“倍”的概念的完整認(rèn)知與深度理解，學(xué)生自主建構(gòu)，初步識(shí)“倍”，一步步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。

片段2：結(jié)合算式表達(dá)“倍”

呈現(xiàn)第二張PPT（圖略），這是一道有思維含量的趣味練習(xí)，PPT上呈現(xiàn)了無(wú)序排列、大小相同的藍(lán)色、綠色、黃色3種不同顏色的圓。藍(lán)色有18個(gè)，黃色有9個(gè)，綠色有3個(gè)。課件中呈現(xiàn)3個(gè)學(xué)習(xí)提示：你能找到它們之間的倍數(shù)關(guān)系嗎？如果要找出倍數(shù)關(guān)系，需要找到哪些數(shù)學(xué)信息？用算式表達(dá)你找出的倍數(shù)關(guān)系。

師：數(shù)一數(shù)，從圖中你可以找到哪些倍數(shù)關(guān)系？要結(jié)合算式哦。

生先數(shù)再列出除法算式。

師：我建議你們數(shù)一個(gè)寫一個(gè)，因?yàn)檫@道題的倍數(shù)關(guān)系不止一種。

師板書：綠3個(gè)、黃9個(gè)、藍(lán)18個(gè)。

小組討論發(fā)現(xiàn)的倍數(shù)關(guān)系。

師：請(qǐng)你來(lái)說(shuō)一說(shuō)。

生1：藍(lán)色圓的數(shù)量是黃色圓的數(shù)量的2倍。

師：他是怎么知道的？算式應(yīng)該怎樣列？

生2：18÷9=2。

師：為什么用18÷9=2就能知道藍(lán)色圓的數(shù)量是黃色圓的數(shù)量的2倍？誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)每幾個(gè)一份？

生3：把18平均分成2個(gè)9，每9個(gè)一份，可以分成2份。

師：誰(shuí)再來(lái)說(shuō)說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍？

生4：黃色圓的數(shù)量是綠色圓的數(shù)量的3倍。

生5：9÷3=3，9可以分成3個(gè)3。

生6：藍(lán)色圓的數(shù)量是綠色圓的數(shù)量的6倍，18÷3=6。

師：也就是18里面有6個(gè)3。

【賞析】用大小相同、無(wú)序排列的3種顏色的圓設(shè)計(jì)一組練習(xí)，特別有創(chuàng)意。這樣可以催生學(xué)生不同的想法：藍(lán)色圓的數(shù)量是黃色圓的數(shù)量的2倍，藍(lán)色圓的數(shù)量是綠色圓的數(shù)量的6倍，黃色圓的數(shù)量是綠色圓的數(shù)量的3倍。因?yàn)榻處熖峁┑膱D片中反映的數(shù)量關(guān)系比較豐富，所以學(xué)生找到的數(shù)量關(guān)系與表達(dá)的形式也較為豐富。學(xué)生能跳出圖形直觀，從圖形個(gè)數(shù)的角度思考，用除法算式表達(dá)它們之間的倍數(shù)關(guān)系，不受圖形無(wú)序排列的影響。這道練習(xí)通過(guò)“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)—尋找信息—用算式表達(dá)”的遞進(jìn)順序，讓學(xué)生體會(huì)倍數(shù)關(guān)系的內(nèi)涵，并明白數(shù)量和算式之間的邏輯關(guān)系，從而更好地理解“倍”的概念本質(zhì)，知其然并知其所以然。借助除法算式學(xué)習(xí)“倍”，有利于促進(jìn)學(xué)生理解從算式的角度表達(dá)倍數(shù)關(guān)系，從而逐步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化。

片段3：實(shí)踐感悟深入“倍”

呈現(xiàn)第三張PPT，圖上有3種不同顏色的扣條和方塊（見圖2）?；顒?dòng)要求：用你手中的學(xué)具表示出4倍的關(guān)系。

圖2

王老師為每一組學(xué)生準(zhǔn)備了適量的兩種學(xué)具，即扣條和方塊，這兩種學(xué)具都可以拼接。學(xué)生分組合作操作，他們選用若干扣條或方塊，用合適的方式直觀表達(dá)4倍關(guān)系。

分組操作前，王老師做適當(dāng)引導(dǎo)。

師：操作前同學(xué)們首先要知道一個(gè)叫1倍，一個(gè)叫4倍。4倍關(guān)系不僅僅是數(shù)量上的，找找看，除了數(shù)量上有倍數(shù)關(guān)系，還能在其他地方找到倍數(shù)關(guān)系嗎？

學(xué)生分組操作2分鐘。

師：我們來(lái)看一下有幾種表示方式。

展示第一種：4個(gè)方塊（成田字格形狀）是1個(gè)方塊的4倍。

師：有沒(méi)有4倍？除了數(shù)量是4倍關(guān)系，還看到哪里有4倍關(guān)系？

生：我看到大小有4倍關(guān)系。

師：從哪里看出大小有4倍關(guān)系？拿著1倍來(lái)比，第1倍在哪里？第2倍、第3倍、第4倍呢？

學(xué)生逐一放上去比對(duì)。

展示第二種：4條是1條的4倍。

師：有沒(méi)有4倍？除了數(shù)量是4倍關(guān)系以外，還有什么是4倍關(guān)系？

生：我看出長(zhǎng)度也是4倍關(guān)系。

師：到前面來(lái)比對(duì)。

學(xué)生到前面一倍一倍地比對(duì)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度是4倍關(guān)系。

師：現(xiàn)在有個(gè)同學(xué)搭了這樣的1倍，你覺得他的4倍應(yīng)該有幾個(gè)？（師高舉著由4個(gè)方塊拼成一排的組合體）

生：應(yīng)該有16個(gè)。

教師拿出4個(gè)方塊的組合體和16個(gè)方塊的組合體，然后一倍一倍地比對(duì)，從長(zhǎng)度上比對(duì)出是4倍關(guān)系。

師：如果這樣是1倍，4倍應(yīng)該有幾個(gè)？（師高舉2個(gè)方塊的組合體）

師：如果是這樣呢？（師高舉由3個(gè)方塊拼成一排的組合體）

……

【賞析】這個(gè)練習(xí)比較開放，能很好地幫助每個(gè)學(xué)生自主操作、深度參與，加深對(duì)“倍”數(shù)關(guān)系的理解。先放手讓學(xué)生利用學(xué)具扣條和方塊，自主創(chuàng)造倍數(shù)關(guān)系，使其在應(yīng)用中深化對(duì)倍的理解；再通過(guò)豐富的直觀模型，從數(shù)量、大小、長(zhǎng)度等不同維度表達(dá)倍數(shù)關(guān)系，凸顯倍數(shù)關(guān)系模型的本質(zhì)?？蹢l可以表征個(gè)數(shù)、長(zhǎng)度、面積的倍數(shù)關(guān)系，方塊可以表征個(gè)數(shù)、長(zhǎng)度、面積、體積之間的倍數(shù)關(guān)系，多維度表示倍數(shù)關(guān)系促使學(xué)生的認(rèn)知更豐富、更多元。

縱觀全課，教師僅用了3張演示文稿，第一張建構(gòu)概念，讓學(xué)生感受并表達(dá)數(shù)量關(guān)系，通過(guò)從圖形直觀到用算式表達(dá)的過(guò)程，促進(jìn)每個(gè)學(xué)生建構(gòu)對(duì)倍的認(rèn)識(shí)；第二張鞏固理解，并適度抽象，加強(qiáng)數(shù)學(xué)化，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)用算式表達(dá)倍數(shù)關(guān)系，借助精選的學(xué)習(xí)素材——3種顏色的圓片，幫助學(xué)生概括一般化的模型，進(jìn)一步數(shù)學(xué)化；第三張實(shí)踐深化，學(xué)生借助學(xué)具自主創(chuàng)造倍數(shù)關(guān)系，在豐富多樣的表達(dá)“倍”的方式中探尋共同的本質(zhì)屬性，從而達(dá)成對(duì)概念本質(zhì)的深度理解——倍數(shù)關(guān)系可以是個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，可以是長(zhǎng)度之間的關(guān)系，可以是面積大小之間的關(guān)系，還可以是體積大小之間的關(guān)系。教師充分利用學(xué)具即興變式，在與學(xué)生對(duì)話和互動(dòng)中促進(jìn)學(xué)生借助豐富的直觀模型深化認(rèn)知，加深對(duì)倍數(shù)關(guān)系模型內(nèi)涵實(shí)質(zhì)的理解。