張亮亮

【摘要】高考數(shù)學中排列組合問題常常會和其他知識內(nèi)容進行綜合性聯(lián)系，通過對排列組合的可能情況個數(shù)的提問考查學生對知識的掌握情況和熟練程度.解答幾何體背景下的排列組合問題，不僅要求學生熟練掌握排列組合知識，還要求學生能夠靈活處理圖形中涉及的點、線、面等關系.本文主要分析與幾何體有關的排列組合問題，從具體例題中分析得到求解的不同思路，以供學生在學習過程中參考和借鑒.

【關鍵詞】立體幾何；排列組合；解題技巧

1 直接分類思路

直接分類思路解答與立體幾何有關的排列組合問題，往往會根據(jù)問題要求做出一定的分類，進而在不同情況下探討排列組合的情況.以立體幾何作為載體，必定與點、線、面有關，此時應按照不同幾何位置考慮分類，在具體例題中解答步驟可表現(xiàn)為：

①分析幾何體特點和問題要求，根據(jù)定義、性質(zhì)、位置等進行分類，如共面的點可以分為兩類情況：在幾何體同一表面的點以及三點共面且不是幾何體表面的點；

②按照不同情況討論滿足題意的排列組合數(shù)，相加得到的總和即為對應問題的答案.

例1 如圖1所示，四棱錐P－ABCD以點P作為頂點，如果在該四棱錐中其余頂點和各條棱長所對應的中點處任取3個點，要求這3個點和點P在同一個平面內(nèi)，則不同的取點方法一共有種.

2 間接排除思路

間接排除思路適用于分類情況復雜且容易遺漏的排列組合問題，通過利用逆向思維，間接求出相關值進而得到所求答案的方法.運用間接思路求解幾何體中排列組合問題，一般思路為：

①根據(jù)問題所給條件，找出與題意相反的對應情況，運用分步或分類計數(shù)原理得到對應排列組合情況個數(shù)；

②求出所有排列組合總數(shù)，用總組合數(shù)減去所求相反情況的排列組合個數(shù)，即可得到問題所求值.

例3 要求某一個四面體的全部頂點是長方體的頂點，則滿足要求的四面體一共有個.

分析 問題可以理解成在長方體中任意選擇4個頂點能夠構(gòu)成四面體的個數(shù)，直接求解分類或分步時容易漏解或多解，故考慮間接思路解題.首先求出長方體中任意選擇4個頂點的所有可能個數(shù)，其次對4個頂點共面的組合情況做出解答，兩者相減即可得到滿足題意的排列組合數(shù).

解析 ①在長方體的8個頂點中任意選擇4個頂點，一共有C48種情況；

②當選擇的4個頂點共面時，有12種排列組合情況.

由題意可得：選擇的4個頂點構(gòu)成四面體，4個頂點不共面.

故滿足要求的四面體有C48－12=58（個）.

例4 從正方體6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選取法共有（? ）種.

（A）8. （B）12. （C）16. （D）20.

分析 此題直接求解分類或分步時容易漏解或多解，故考慮間接思路解題.根據(jù)已知條件，首先從6個面中任意選取3個面，可知其所有選取情況，再得出其中有3個面均相鄰的所有選取情況，最后兩者相減即可得到滿足題意的排列組合數(shù).

解析 從6個面中任意選取3個面，一共有C36 種選取情況；

其中有3個面均相鄰，一共有 8 種選取情況.

故滿足要求的選取情況有C36－8=12（種）.

故選（B）.

3 結(jié)語

立體幾何背景下有關于點、線、面的排列組合問題，分別有兩大解題思路，即分類討論求解思路以及間接排除求解思路.當問題要求過于復雜時，應選取間接排除思路求解.這些知識點交匯的問題雖然題型新穎，但萬變不離其宗，解題依舊離不開這些常見的解題思路應用.學生只有牢牢把握這些解題思路與適用范圍，才能使問題的解答更加順利、準確.希望學生能針對不同類型的問題采取相對應的解題方法進行解答.在解題過程中應加強對問題條件的分析應用，借助已知條件和相關性質(zhì)去靈活解答，以此提高解題的效率.

參考文獻：

[1]趙藝川.以立體幾何為載體的概率題的解法[J].中學數(shù)學月刊，2008（1）：39-41.

[2]袁媛.例談立體幾何的“運動”類型[J].數(shù)學之友，2022，36（8）：3.