洪顯 郭文杰 戴承欣

摘要：為探究滯變阻尼對周期軌道結(jié)構(gòu)帶隙的影響，以我國有砟軌道為例，基于能量泛函變分原理分析其帶隙特征。通過將滯變阻尼效應(yīng)引入鋼軌、扣件和道床中，研究了周期性有砟軌道的頻散特性隨阻尼的變化情況。進(jìn)一步地，研究了阻尼作用下軌道結(jié)構(gòu)的振動傳輸特性。結(jié)果表明：無阻尼軌道結(jié)構(gòu)的帶隙范圍與振動響應(yīng)的衰減范圍一致;鋼軌阻尼很小且對軌道結(jié)構(gòu)帶隙幾乎沒有影響，在計算和預(yù)測振動時可以忽略;扣件的阻尼會略微增加軌道結(jié)構(gòu)帶隙，對帶隙整體影響不大，但對于振動響應(yīng)，扣件阻尼的耗散作用會增加150～500 Hz內(nèi)振動衰減范圍;道床阻尼增大會增加第一階帶隙范圍，但會減小第二階帶隙范圍，在振動響應(yīng)中，增大道床阻尼能夠使260 Hz內(nèi)的鋼軌振動均發(fā)生衰減。

關(guān)鍵詞：滯變阻尼;周期結(jié)構(gòu);有砟軌道;帶隙;傳輸特性

中圖分類號：U213.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

本文引用格式：洪顯，郭文杰，戴承欣. 滯變阻尼對周期軌道結(jié)構(gòu)垂向振動帶隙特性影響[J]. 華東交通大學(xué)學(xué)報，2023，40（1）：82-91.

Effect of Hysteresis Damping on Vertical Vibration Band Gap

Characteristics of Periodic Track Structure

Hong Xian，Guo Wenjie，Dai Chengxin

（School of Transportation Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China）

Abstract：In order to explore the effect of hysteresis damping on the band gap of periodic track structure， the ballasted track of was taken as an example， and the band gap characteristics were analyzed based on the energy functional variational principle. By introducing hysteretic damping effect into rails， fasteners and track bed， the variation of dispersion characteristics with damping of periodic ballasted track was studied. Furthermore， the vibration transmission characteristics of the track structure under the effect of damping were explored. The results show that the band gap range of the undamped track structure is consistent with the attenuation range of the vibration response; the rail damping is very small and has little effect on the band gap of the track structure， which can be ignored when calculating and predicting vibration; the damping of the fasteners slightly increases the track structural band gap and has little effect on the overall band gap， but for the vibration response， the dissipation effect of the fastener damping increases the vibration attenuation range within 150～500 Hz; the increase of the ballast bed damping increases the first-order band gap range， but it decreases the second-order bandgap range， in the vibration response， increasing the damping of the track bed can dampen the vibration of the rail within 260 Hz.

Key words： hysteresis damping; periodic structure; ballast track; band gap; transmission characteristics

Citation format：HONG X，GOU W J，DAI C X. Effect of hysteresis damping on vertical vibration band gap characteristics of periodic track structure[J]. Journal of East China Jiaotong University，2023，40（1）：82-91.

現(xiàn)代鐵路大多都采用大型機(jī)械進(jìn)行模塊化施工，軌枕間距穩(wěn)定，因而具有較強(qiáng)的周期性特征。以有砟軌道為例，周期性結(jié)構(gòu)具有帶隙特性，在禁帶的頻率范圍內(nèi)的彈性波無法沿結(jié)構(gòu)傳播，從而使該結(jié)構(gòu)振動衰減[1-2]。研究周期軌道的帶隙特性，掌握其內(nèi)彈性波的傳播機(jī)理，對實現(xiàn)軌道結(jié)構(gòu)振動的精準(zhǔn)控制具有重要的工程意義。

對于周期性結(jié)構(gòu)的研究，Sheng[3-4]提出了一種基于傅里葉變換，計算周期軌道結(jié)構(gòu)在移動或靜止簡諧荷載作用下的響應(yīng)計算方法。Wang等[5-7]基于傳遞矩陣法和Bloch理論求出了周期軌道結(jié)構(gòu)的帶隙，發(fā)現(xiàn)Bragg帶隙和局部共振帶隙在周期軌道結(jié)構(gòu)中共存。易強(qiáng)等[8]結(jié)合傳遞矩陣法與Bloch定理計算出了有砟軌道的帶隙，同時運用波疊加和功率流法分析了軌道結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)及軌道內(nèi)彈性波的傳播特性。

在上述關(guān)于周期軌道結(jié)構(gòu)的帶隙研究中，很少考慮阻尼效應(yīng)，但在實際的鐵路結(jié)構(gòu)中，由于施工和材料本身的因素，無阻尼情況是不存在的。并且，在一些研究中可以了解到，阻尼對鐵路結(jié)構(gòu)各項特性都有一定影響。

谷愛軍等[9]通過對北京地鐵鋼軌異常波磨的研究，發(fā)現(xiàn)扣件阻尼能夠影響鋼軌的波磨形成。張迅等[10]基于車-線-橋耦合振動理論和聲學(xué)邊界元，分析了扣件阻尼對鐵路簡支箱梁結(jié)構(gòu)聲輻射特性的影響規(guī)律。方銳等[11]通過建立軌道結(jié)構(gòu)的有限元模型，研究了鋼軌、軌下墊層和道床的阻尼損耗因子的變化對鋼軌和軌枕振動特性有著不同范圍和不同程度的影響。Iqbal等[12]研究了剛性軌枕支撐的周期性軌道的橫向和豎向彎曲波傳播，并研究了鋼軌和諧振器的阻尼對帶隙特性的影響。

為探究阻尼變化對軌道結(jié)構(gòu)帶隙特性的影響，本文以有砟軌道為研究對象，基于能量泛函變分法[13]，引入滯變阻尼效應(yīng)，研究其帶隙特征。滯變阻尼又稱為復(fù)阻尼，通常是通過材料試驗得出的，比較符合實際工程狀況[14]，而且滯變阻尼是通過阻尼損耗因子將阻尼復(fù)化到剛度中，十分契合能量法的求解。本文首先計算無阻尼的周期性有砟軌道帶隙，并與文獻(xiàn)和有限元模型進(jìn)行對比，證明該方法的正確性。之后分別設(shè)置鋼軌、扣件和道床滯變阻尼，對比分析阻尼變化對結(jié)構(gòu)帶隙的影響。為進(jìn)一步驗證阻尼對周期軌道結(jié)構(gòu)的帶隙特性影響，本文結(jié)合有限長軌道結(jié)構(gòu)的振動傳輸特性來分析阻尼影響。

1 頻散特性分析

如圖1所示，取軌道結(jié)構(gòu)的一個特征周期建立垂向振動分析模型：鋼軌考慮為Timoshenko梁單元，軌枕考慮為質(zhì)量塊，扣件系統(tǒng)和碎石道床視為彈簧-阻尼單元。在特征周期中以鋼軌最左端建立笛卡爾坐標(biāo)系xRORzR， 其中zR和zS分別為鋼軌和軌枕的垂向位移;特征周期長度為軌枕間距，即l;扣件的垂向剛度為kF，阻尼為cF;道床的垂向剛度為kB，阻尼為cB。傳統(tǒng)有砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)[4，8，15]見表1。

1.1 帶隙計算理論

1.1.1 鋼軌的能量泛函

鋼軌的能量包括應(yīng)變能和動能。基于Bloch理論和平面波級數(shù)，可構(gòu)造滿足周期邊界條件的鋼軌位移場函數(shù)

zR（xR）=eikxR

zj expi

θR（xR）=eikxR

θj expi

（1）

式中：zR和θR分別為鋼軌的垂向位移和截面轉(zhuǎn)角;i為虛數(shù)單位;k為Bloch波數(shù);xR為沿鋼軌軸向的坐標(biāo);zj和θj為未知系數(shù)。

基于Timoshenko梁理論，可得鋼軌的應(yīng)變能和動能

UR=

2dxR+θR

-2dxR（2）

VR=ρRΑR zR2dxR+ρRIR θR2dxR（3）

式中：UR和VR分別為鋼軌的應(yīng)變能和動能;ER，IR，kR，GR，AR和ρR分別為鋼軌的彈性模量，截面慣性矩，剪切系數(shù)，剪切模量，橫截面積和質(zhì)量密度;ω為結(jié)構(gòu)固有圓頻率。由于考慮了滯變阻尼的效應(yīng)，故此處的鋼軌彈性模量為：ER=ER0（1+iηR），ER0為初始彈性模量，ηR為鋼軌的阻尼損耗因子，取值見表1。

1.1.2 扣件的能量泛函

扣件的能量為其彈性勢能，其表達(dá)式為

UF=kF[zR（xR=l/2）-zS]2（4）

式中：zR（xR=l/2）表示鋼軌在扣件處的垂向位移;kF為考慮阻尼后的扣件剛度：kF=kF0（1+iηF）， kF0為初始扣件剛度，ηF為扣件的阻尼損耗因子，取值見表1。

1.1.3 軌枕的能量泛函

由于軌枕被考慮為質(zhì)量塊，其能量應(yīng)為動能，即

VS=mSzS2（5）

式中：mS為軌枕的質(zhì)量。

1.1.4 道床的能量泛函

道床的能量為其彈性勢能，其表達(dá)式為

UB=kB zB2（6）

式中：kB為考慮阻尼后的道床剛度：kB=kB0（1+iηB），

kB0為初始扣件剛度，ηB為扣件的阻尼損耗因子，取值見表1。

1.1.5 系統(tǒng)的總能量泛函與特征方程

系統(tǒng)的總能量泛函Π為總應(yīng)變能與總動能之差，即

Π=UR+UF+UB-VR-VS（7）

基于Hamilton原理對總能量泛函變分（對Π中未知量zj，θj和zS求極值），可得到周期有砟軌道中彎曲波傳播的特征方程

（Ktot-ω2Mtot）Q=O（8）

式中：Ktot和Mtot分別為總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣;Q為未知系數(shù)向量;O為0距陣。在第一 Brillouin區(qū)內(nèi)對上式求解，可到的周期有砟軌道中彎曲波的帶隙特性。

1.2 帶隙的準(zhǔn)確性驗證

1.2.1 無阻尼帶隙

為驗證能量法求解帶隙的準(zhǔn)確性，將軌道結(jié)構(gòu)的阻尼損耗因子ηR，ηF和ηB設(shè)為0，可得到無阻尼帶隙特性，再與文獻(xiàn)[8]的結(jié)果進(jìn)行對比，見圖2和表2。根據(jù)文獻(xiàn)[16]，軌道結(jié)構(gòu)中的彎曲波可分為兩類，即近場波（文獻(xiàn)[16]中第1類彎曲波）和彌散波（文獻(xiàn)[16]中第2類彎曲波）。由于近場波波數(shù)虛部始終不為0，故其在全頻段范圍內(nèi)均是帶隙，而彌散波既能傳播又能衰減（如圖2（b）所示，0～1 500 Hz范圍內(nèi)存在3條帶隙）。顯然，軌道結(jié)構(gòu)中彎曲波的帶隙特性取決于彌散波;因此，本文主要研究的是彌散波的帶隙特性。

由圖2和表2可知，基于能量法所求得的周期性有砟軌道中彎曲波的帶隙范圍及頻散曲線與文獻(xiàn)[8]結(jié)果基本一致，這可以證明了能量法求解帶隙特性的準(zhǔn)確性。

1.2.2 有阻尼帶隙

考慮軌道結(jié)構(gòu)的損耗因子ηR=0.01、ηF=0.25和ηB=1.0，可得到有阻尼帶隙特性，再與有限元結(jié)果進(jìn)行對比驗證，見表3。

從表3中可以看到兩種方法的頻率的實部與虛部基本相同，由此可證用能量法求解含滯變阻尼的帶隙也是可行的。

1.3 阻尼對帶隙的影響分析

1.3.1 鋼軌阻尼

60 kg/m鋼軌是中國鐵路的主軌型，也是鋪設(shè)最廣的鋼軌。其結(jié)構(gòu)形式和材料屬性固定，因此其阻尼損耗因子ηR一般也是定值（通常取ηR=0.01）。為研究鋼軌滯變阻尼的影響，這里設(shè)置ηB=ηF= 0，ηR從0變化到0.02，有砟軌道帶隙變化如圖3。

由圖4可以明顯看出，在1 500 Hz內(nèi)的3條帶隙中，阻尼的增加幾乎不會影響帶隙寬度。這與鋼軌本身的阻尼很小有關(guān);因此在計算時，可以不設(shè)置有砟軌道的阻尼。從表4中看出含有滯變阻尼鋼軌的帶隙的虛數(shù)部分（阻尼衰減項）與阻尼損耗因子呈線性變化。

1.3.2 扣件阻尼

扣件的種類很多，不同的扣件的剛度和阻尼也不一樣，而在。因而探究清楚扣件阻尼對周期帶隙的影響，才能確定扣件阻尼的取舍。設(shè)置ηR=ηB=0，ηF從0變化到0.25，有砟軌道帶隙變化如圖4和表5。

扣件阻尼僅對有砟軌道的第1階與第2階帶隙有輕微影響，隨著阻尼的增加，第1階帶隙和第2階帶隙的起始頻率和截止頻率在略微增大。阻尼損耗因子從0增加到0.25，第1階帶隙寬度增大0.5 Hz，第2階帶隙寬度增大1.2 Hz且?guī)额l率位置略微上移?？傮w上，扣件阻尼的變化對周期有砟軌道的帶隙特性影響不大，在帶隙計算中扣件阻尼損耗因子可不予考慮。而且隨阻尼損耗因子增加n倍，虛部的值也大致呈n倍增加。由此可以看出扣件阻尼的衰減作用是和扣件阻尼損耗因子大小是有線性關(guān)系的。

1.3.3 道床阻尼

有砟軌道的道床阻尼受道砟的壓實度，級配類型等影響[17]，并且對于經(jīng)過城市有砟軌道，有一定的降低環(huán)境振動的需求，需要增加道床的阻尼。再者聚氨酯固化道床[18]也在被研究，具有一定的發(fā)展前景與應(yīng)用，其阻尼相較一般道床更大。故而道床阻尼有較大變化幅度的;設(shè)置ηR=ηF= 0，ηB從0變化到1.0，有砟軌道帶隙變化如圖5和表6。

道床阻尼對有砟軌道的第1階與第2階帶隙有明顯影響，對第3階帶隙幾乎無影響。道床阻尼損耗因子從0增加到1，第1階帶隙寬度增加了17.5 Hz，且隨著阻尼的增加，寬度增加的幅度也在增加，第2階帶隙起始頻率增大，截止頻率降低，帶隙寬度減小12.8 Hz?？傮w上，道床阻尼的取值對周期有砟軌道的中低頻帶隙特性影響顯著，因此在帶隙計算中道床阻尼損耗因子應(yīng)予以考慮。

2 傳輸特性分析

周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性表征方法除無限周期結(jié)構(gòu)的能帶之外，主要還有有限周期結(jié)構(gòu)的傳輸特性[19]。為進(jìn)一步理解周期軌道結(jié)構(gòu)的帶隙特性，本節(jié)擬結(jié)合有限長軌道結(jié)構(gòu)的振動傳輸特性來對帶隙特性進(jìn)行解釋。結(jié)構(gòu)的振動傳輸特性是指不同頻率的入射彈性波在該結(jié)構(gòu)中的傳播能力，通常是用激勵端的頻響函數(shù)和響應(yīng)端的頻響函數(shù)的比值來表征。

2.1 計算原理

2.1.1 計算模型

振動傳輸特性的求解思路與上文中的帶隙求解理論基本相似，但需要引入外荷載（本文為點荷載）并將其轉(zhuǎn)化為外力做功，再結(jié)合功能關(guān)系求解結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。有限長周期軌道結(jié)構(gòu)在固定點諧荷載作用下的振動傳輸特性計算模型見圖6。如圖6所示，加載端位于模型的首端（周期1的首端）;響應(yīng)端位于模型的尾端（周期n的尾端）;固定點諧荷載為F（t）F（，t）=F0 eit;F0為荷載幅值，取1 N;為激振頻率），作用于周期1中的鋼軌起點，方向垂直向下。

2.1.2 理論推導(dǎo)

下面將介紹基于能量泛函變分原理求解有砟軌道結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，有砟軌道的響應(yīng)求解可依此推導(dǎo)出。

1） 鋼軌能量泛函。

由于圖7中模型為有限長結(jié)構(gòu)，故選用改進(jìn)Fourier級數(shù)構(gòu)造鋼軌的位移場函數(shù)

zB（xB）=

zj λj（xB）eit=eitλ（xB）H1

θB（xB）=

θj? λj（xB）eit=eitλ（xB）H2（9）

式中：λ（xB）是梁的位移形函數(shù)行向量，形函數(shù)采用改進(jìn)Fourier級數(shù)，見式（1）;xB取值為[0，l]，l0為軌道結(jié)構(gòu)長度;N1形函數(shù)項數(shù);H1和H2為未知系數(shù)列向量。

一般情況下，結(jié)構(gòu)在點諧荷載的作用下做受迫振動，其角頻率與激振力的角頻率相同，而其中各點位移的振幅和它與激振力間的相位差只決定于系統(tǒng)本身特性和力的性質(zhì)，與運動初始條件無關(guān)。因此，只需求解得到位移幅值和相位差即可得到結(jié)構(gòu)在受迫振動位移的穩(wěn)態(tài)解。在本文方法中，只需求得各未知系數(shù)列向量即可得到每個點處的位移。為了方便后續(xù)的理論公式推導(dǎo)，簡化推導(dǎo)過程，在之后的公式中都略去而僅保留位移展開式中的時間項eit。

將式（9）代入式（2）、式（3），可得到受迫振動下梁的應(yīng)變能和動能

UB=

dxB+θB

-dxB

=HTMBH（10）

VB=ρBΑB zB2dxB+ρBIB θB2dxB

=HTMBH（11）

2） 扣件彈性勢能。

UF1=kF zB xB=

+n-1l0-zS，n（12）

式中：N為選取的周期數(shù)，在本文中取N=50。

3） 軌枕動能。

VS=mSzS，n2（13）

4） 道床彈性勢能。

UD=kDzS，n2（14）

5） 總能量泛函。

系統(tǒng)的能量泛函為

Π=UB+UF1+UD-（VB-VS）

UB+UF2+UP+UP，B+UCA-（VB+VP）（15）

外力做功為

W=F0 eit·zB（xB=0）dt

=F0 ·λ（xB=0）Η11=Η（1，10）=F（16）

總能量泛函為

Ψ=Π-W（17）

6） 振動響應(yīng)計算。

對總能量泛函Ψ未知系數(shù)求一階偏導(dǎo)，可得振動控制方程：

Η（1，10）=（K-2M）-1F（18）

將式（18）代入式（9）即可得到在某一任意頻率的點荷載F作用下，激勵點處的位移幅值（頻響函數(shù)）和響應(yīng)點的位移幅值

zB1（xB=0）=λ（xB=0）·H11

zB10（xB=l0）=λ（xB=l0）·H110（19）

進(jìn)一步地，可得有砟軌道結(jié)構(gòu)的振動位移傳遞率rT

rT=20log10

dB（20）

2.2 振動傳遞率分析

計算振動響應(yīng)的各個參數(shù)取值見表1，首先取鋼軌、扣件和道床的阻尼損耗因子均為0，并將得到結(jié)果與之前計算的帶隙結(jié)果進(jìn)行對比，見圖7和表7。

由圖8和表4的對比結(jié)果可以看出位移傳遞率為負(fù)的頻率帶是和軌道帶隙是大致是重合的，由此可見在周期有砟軌道的帶隙范圍內(nèi)，彈性波會產(chǎn)生衰減，而這部分的衰減全是由帶隙造成的。同時，這也證明了2.1中的振動響應(yīng)的理論計算的正確性。

2.3 阻尼對傳遞率的影響分析

2.3.1 鋼軌阻尼

其他參數(shù)不變，ηR從0變化到0.02，有砟軌道振動響應(yīng)變化如圖8。

在圖8中，不同阻尼損耗因子的傳遞率變化曲線幾乎是重合的。在數(shù)值上，如在第一段衰減區(qū)，鋼軌損耗因子從0到0.01，0.02;衰減的最大頻率從129 Hz到130，131 Hz。鋼軌損耗因子的變化對鋼軌傳遞率幾乎是沒有影響的，即設(shè)不設(shè)置鋼軌滯變阻尼，對結(jié)構(gòu)整體幾乎沒有影響。這與前面帶隙所得出的結(jié)論一致。

2.3.2 扣件阻尼

其他參數(shù)不變，ηF從0變化到0.25，有砟軌道振動響應(yīng)變化如圖9。

在第1段的衰減頻率范圍內(nèi)，扣件阻尼的從0到0.15再到0.25，衰減的范圍從129 Hz到136 Hz再到139 Hz，相對來說變化不大。在第2段衰減頻率范圍內(nèi)（158～500 Hz），無阻尼的扣件振動會劇烈衰減，并在260 Hz之后就不再衰減，增大阻尼后，衰減幅度下降，衰減的起始頻率會下降同時衰減的頻率范圍會增大?？奂冏枘釓?增加到0.25，衰減的最大頻率從260 Hz，增加到500 Hz仍有少量衰減。而在前文中，扣件在第2階的帶隙增加僅有1.2 Hz，故造成衰減擴(kuò)大的主要原因是阻尼本身導(dǎo)致的能量耗散。而在pinned-pinned頻率（1 080 Hz）附近，扣件的阻尼對振動響應(yīng)沒太大影響?？梢钥闯?，扣件阻尼主要對該模型的第2階傳遞率有較大影響。

2.3.3 道床阻尼

其他參數(shù)不變，ηB從0變化到1.0，有砟軌道振動響應(yīng)變化如圖10。

無道床阻尼時，結(jié)構(gòu)在129～181 Hz內(nèi)會有一段不衰減的頻率，而隨著阻尼損耗因子的增加，這段不衰減的頻段會逐漸消失，在這頻段的振動衰減幅度也會增加，而這個“峰值”會隨著阻尼損耗因子的增加，頻率也會向略微后移。在表5中可以看到道床的阻尼損耗因子從0增加到1，其帶隙寬度從128.74 Hz增加到146.25 Hz。在181～260 Hz頻率范圍內(nèi)，道床阻尼的增加會使得衰減的幅度降低，但會略微的增加衰減的范圍，相比扣件阻尼導(dǎo)致的衰減范圍要小很多，這說明該部分的衰減與第2階帶隙的寬度變小有關(guān)。

3 結(jié)論

1） 鋼軌滯變阻尼很小且穩(wěn)定，而且從帶隙和振動響應(yīng)的計算結(jié)果也可以看出鋼軌的滯變阻尼對結(jié)構(gòu)整體幾乎沒有影響，故而在計算和預(yù)測中可以不考慮。

2） 扣件阻尼對第1段帶隙和第3段帶隙的影響可以忽略不計。扣件阻尼的增加會略微增加第2階帶隙寬度，阻尼損耗因子為0.25的扣件比無阻尼扣件增加1.2 Hz且?guī)额l率位置略微上移。而阻尼本身的能量耗散作用會讓振動響應(yīng)的第2段衰減范圍大幅度增加。

3） 有砟軌道道床的阻尼對第1階帶隙的影響較大，隨著道床阻尼的增加，第1階帶隙寬度也會增加。道床阻尼損耗因子從0增加到0.25時，第1階帶隙寬度增加了17.5 Hz，第2階帶隙寬度減小12.8 Hz。而且因為第1階帶隙寬度的增大，并在阻尼的在振動響應(yīng)表現(xiàn)為低頻的振動都會發(fā)生衰減。因而在計算和預(yù)測中應(yīng)該考慮道床的滯變阻尼影響。

4） 不論鋼軌阻尼、扣件阻尼和道床阻尼，對結(jié)構(gòu)的pinned-pinned處的帶隙幾乎沒有影響，在該處的振動響應(yīng)的衰減范圍也沒有影響，其衰減的幅度也沒有太大變化。

參考文獻(xiàn)：

[1] ESVELD C. Modern railway track[M]. Zaltbommel：MRT?Productions，2001.

[2] 馮青松，梁玉雄，陸建飛. 基于聲子晶體理論的軌道交通減振降噪研究綜述[J]. 華東交通大學(xué)學(xué)報，2021，38（4）：54-63.

FENG Q S，LIANG Y X，LU J F. Review on railway vibration and noise reduction based on phononic crystal theory[J]. Journal of East China Jiaotong University，2021，38（4）：54-63.

[3] SHENG X. Generalization of the Fourier transform-based method for calculating the response of a periodic railway track subject to a moving harmonic load[J]. Journal of Modern Transportation，2015，23（1）：12-29.

[4] SHENG X，JONES C J C，THOMPSON D J. Responses of infinite periodic structures to moving or stationary harmonic loads[J]. Journal of Sound and Vibration，2005，282（1/2）：125-149.

[5] 王平，易強(qiáng)，趙才友，等. 基于局域共振機(jī)理的周期性軌道結(jié)構(gòu)彈性波控制[J]. 中南大學(xué)學(xué)報，2018，25（12）：3062-3074.

WANG P，YI Q，ZHAO C，et al. Wave propagation control in periodic track structure through local resonance mechanism[J]. Journal of Central South University，2018，25（12）：3062-3074.

[6] WANG P，YI Q，ZHAO C Y，et al. Wave propagation in periodic track structures：band-gap behaviours and formation mechanisms[J]. Archive of Applied Mechanics，2017，87（3）：503-519.

[7] WANG P，YI Q，ZHAO C Y，et al. Elastic wave propagation characteristics of periodic track structure in high-speed

railway[J]. Journal of Vibration and Control，2019，25（3）：517-528.

[8] 易強(qiáng)，王平，趙才友，等. 有砟軌道結(jié)構(gòu)彈性波傳播特性研究[J]. 鐵道學(xué)報，2019，41（6）：137-145.

YI Q，WANG P，ZHAO C Y，et al. Study on elastic wave propagation properties of ballast track structure[J]. Journal of the China Railway Society，2019，41（6）：137-145.

[9] 谷愛軍，劉維寧，張厚貴，等. 地鐵扣件剛度和阻尼對鋼軌異常波磨的影響[J]. 都市快軌交通，2011，24（3）：17-21.

GU A J，ZHANG W N，ZHANG G H，et al. Impact of rail fastenings′ stiffness and damping on abnormal rail corrugation[J]. Urban Rapid Rail Transit，2011，24（3）：17-21.

[10] 張迅，蘇斌，李小珍. 扣件剛度與阻尼對鐵路箱梁車致振動噪聲的影響研究[J]. 振動與沖擊，2015，34（15）：150-155.

ZHANG X，SU B，LI X Z. Effects of fastener stiffness and damping on structure-borne noise of railway box-girders[J]. Journal of Vibration and Shock，2015，34（15）：150-155.

[11] 馮青松，楊舟，郭文杰，等. 周期離散支承鋼軌垂向振動帶隙特性分析[J].中國科學(xué)：技術(shù)科學(xué)，2020，50（12）：1563-1576.

FENG Q S，YANG Z，GUO W J，et al. Analysis of vertical vibration band gap characteristics of periodic discrete support rail[J]. Science Sin Technoloty（in Chinese），2020，50（12）：1563-1576.

[12] IQBAL M，KUMAR A，MURUGAN J M，et al. Flexural band gaps and vibration control of a periodic railway track[J]. Scientific Reports，2021，11（1）：1-13.

[13] 郭文杰. 任意形狀Mindlin板的彎曲自振特性分析[J]. 華東交通大學(xué)學(xué)報，2019，36（5）：22-32.

GUO W J. Free vibration analysis of mindlin plates with arbitrary shapes[J]. Journal of East China Jiaotong University，2019，36（5）：22-32.

[14] 田坤，李鵬，王元豐. 結(jié)構(gòu)等效復(fù)阻尼模型對鋼梁及鋼框架結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)影響分析[J]. 振動與沖擊，2008，27（7）：118-121.

TIAN K，LI P，WANG Y F. Analysis of dynamic response of steel beam and steel frame structures with structural equivalent complex damping model[J]. Journal of Vibration and Shock，2008，27（7）：118-121.

[15] 汪瑋. 基于振動理論的鐵路無縫線路溫度力檢測方式研究[D]. 南昌：華東交通大學(xué)，2017.

WANG W. Study on vibration characteristics of CWR track structure with axial temperature force[D]. Nanchang：East

China Jiaotong University，2017.

[16] CREMER L，HECKI M，PETERSSON B A T. Structure-borne sound[M]. Berlin，Heidelberg：Springer，2005.

[17] 劉衛(wèi)星，王午生. 鐵路碎石道床動剛度與阻尼的試驗研究[J]. 鐵道學(xué)報，2002，24（6）：99-104.

LIU W X，WANG W S. Study on dynamic stiffness and damp measurement of railway crushed stone ballast[J]. Journal of the China Railway Society，2002，24（6）：99-104.

[18] 馮仲偉，許良善，郄錄朝，等. 大西高速鐵路聚氨酯固化道床技術(shù)應(yīng)用[J]. 中國鐵路，2021（6）：16-20.

FENG Z W，XU L S，QIE L C，et al. Application of polyurethane solidified ballast bed technology in Datong-Xi′an HSR[J]. China Railway，2021（6）：16-20.

[19] 溫激鴻，郁殿龍，趙宏剛，等. 人工周期結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播：振動與聲學(xué)特性[M]. 北京：科學(xué)出版社，2015.

WEN J H，YU D L，ZHAO H G，et al. Propagation of elastic waves in artificial periodic structures：vibration and acoustic characteristics[M]. Beijing：The Science Publishing Company，2015.