李明翠 陳愛喜 曾偉

摘要：基于近年來微波腔與磁子相互作用的實驗進展以及非線性庫理論，提出將腔-磁系統(tǒng)與壓縮庫耦合，分析其中的磁子阻塞效應，以實現(xiàn)磁性量子級的操控。在一個受驅(qū)動的微波腔中放置一個釔鐵石榴石小球，球體中的Kittel模與微波腔模耦合，同時腔場與壓縮真空庫耦合。通過數(shù)值求解系統(tǒng)的量子主方程，詳細分析了關聯(lián)函數(shù)受耦合強度、失諧量、耗散率等因素的影響。從理論上證明了與壓縮庫耦合的腔-磁系統(tǒng)可以產(chǎn)生單磁子阻塞和雙磁子阻塞，并且可以通過調(diào)節(jié)驅(qū)動強度或者失諧量靈活地在單磁子阻塞、雙磁子阻塞、雙磁子隧穿之間進行切換。所提出的磁子阻塞方案主要由壓縮庫的非線性誘導得到，為腔-磁系統(tǒng)實現(xiàn)單磁子和雙磁子阻塞提供了一種可能的新途徑。

關鍵詞：磁子;阻塞;壓縮庫;微波腔

中圖分類號：O413.2 文獻標志碼：A

本文引用格式：李明翠，陳愛喜，曾偉. 基于壓縮庫產(chǎn)生的磁子阻塞[J]. 華東交通大學學報，2023，40（1）：99-105.

Magnon Blockade Generated by Coupling to a Squeezed Reservoir

Li Mingcui1，Chen Aixi2，Zeng Wei1

（1. School of Information Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China;

2. School of Science， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract：Inspired by the recent experiments of cavity-magnon system and the theories of nonlinear reservoir， a scheme of coupling a cavity-magnon system to a squeezed reservoir is proposed to analyze the magnon blockade effect， thus realizing the manipulation of magnetism at quantum level. An yttrium iron garnet sphere was located in a driven microwave cavity. The Kittel mode in the yttrium iron garnet sphere interacted with the microwave cavity mode， and the cavity field was coupled to a squeezed vacuum reservoir. By numerically solving the quantum master equation of the system， the influence of various factors such as coupling strength， detuning and dissipation rate on the correlation function was analyzed in details. It is proved theoretically that the cavity-magnon system coupled to a squeezed reservoir can induce single-magnon blockade and two-magnon blockade， and the switching among single-magnon blockade， two-magnon blockade and two-magnon tunneling can be flexibly controlled by tuning the driving intensity or the detuning. The magnon blockade effect in the proposed scheme is mainly induced by the nonlinearity of the squeezed reservoir， which provides a possible new method to realize single or double magnon blockade in cavity-magnon system.

Key words： magnon; blockade; squeezed reservoir; cavity

Citation format：LI M C，CHEN A X，ZENG W. Magnon blockade generated by coupling to a squeezed reservoir[J]. Journal of East China Jiaotong University，2023，40（1）：99-105.

磁子是量子化的自旋波，具有能量耗散率低、體積小[1-2]等優(yōu)點，可用于新型的基于波的計算技術中。釔鐵石榴石（YIG）具有極高的自旋密度，是量子信息處理領域很有潛力的磁性材料[2-3]。YIG球體中的Kittel模與微波腔中的場模在低溫和室溫下都實現(xiàn)了強耦合[4-6]，甚至超強耦合[7]。通過微波腔中虛光子的激發(fā)，YIG小球中的磁子與transmon類型的量子比特之間的相互作用已得到了實驗證實[8]。

磁子阻塞是制備磁子源的基礎。在包含一個量子比特和一個YIG小球的腔-磁系統(tǒng)中，磁子阻塞于2019年首次被提出[9]，隨后的相關研究也陸續(xù)展開[10-11]。同時，在三明治夾層結構的磁子節(jié)中，也展現(xiàn)了依賴于自旋的磁子阻塞效應[12]。理論上，光子、聲子和磁子的同時阻塞可以在包含YIG球體和二能級原子的光-力-磁系統(tǒng)中實現(xiàn)[13]。與磁子阻塞相關的研究還包含宇稱時間對稱的腔-磁系統(tǒng)中的磁子阻塞[14]，納米磁體中的磁子反聚束效應[15]，腔-磁系統(tǒng)中的克爾效應導致的磁子亞泊松統(tǒng)計等[16]。

以上這些磁子阻塞相關的工作都是基于將非線性系統(tǒng)（系統(tǒng)中包含二能級原子、光力非線性作用或Kerr非線性等）耦合到一個諧振庫（通常是熱庫）的模型。事實上，通過耦合到壓縮庫，許多光學性質(zhì)，如穩(wěn)態(tài)行為[17]、糾纏和壓縮[18-19]、反聚束和光子阻塞[20-22]都得到了研究?；谶@些理論和相關的磁子實驗，本文首次提出將一個線性的腔-磁系統(tǒng)耦合到壓縮庫，討論其中的磁子阻塞效應。

1 系統(tǒng)模型

考慮圖1所示的系統(tǒng)模型，一個YIG小球放置在微波腔中。YIG小球中的磁模與腔模強耦合，其中磁子的頻率可以通過外加偏置磁場進行調(diào)節(jié)。該微波腔由單模相干光驅(qū)動，并與壓縮庫耦合。在驅(qū)動場頻率的旋轉(zhuǎn)框架中，微波腔和YIG小球這部分的哈密頓量如式（1）所示

H

?=Δaa?a+Δmm?m+Km?mm?m+

g（am?+a?m）+ε（a+a?）? ? （1）

式中：a（a?）和m（m?）分別為腔模和磁模的湮滅（產(chǎn)生）算符;Δj=ωj-ωd（j=a，m）為失諧量，ωj（j=a，m）為這些模式的頻率;?為約化普朗克常量;磁模的頻率可以從外部偏置磁場Hm和相應的旋磁比γ得到，即 ωm=γHm[23];Km?mm?m為YIG材料中磁晶各向異性引起的克爾項[24-25]，K為克爾系數(shù);g為諧振腔中磁模與微波場之間的耦合強度;ε為驅(qū)動場和腔模之間的耦合強度。

在弱驅(qū)動條件下，系統(tǒng)的能級可以在截斷的Fock空間中進行分析?？紤]總激發(fā)數(shù)N≤2的情況，可以得到式（1）中哈密頓量的裸態(tài)，即 |00〉，|01〉，

|10〉，|11〉，|02〉和|20〉。在態(tài)|n1n2〉中，n1為微波光子數(shù)，n2為磁子數(shù)。在以這些裸態(tài)為基的空間中，式（1）中無驅(qū)動的哈密頓量可以展開成式（2）的矩陣形式[14，26]

=0 0 ? ? ?00 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 Δm+K g0 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 g ? ? ?Δa 0 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? 0

0 0 ? ? ?0Δa+Δm+K

g

g

0 0 ? ? ?0

g ? ? 2Δm+4K 0

0 0 ? ? ?0

g ? ? 0 ? ? ? ?2Δa（2）

設Δa=Δm=0，可以得到式（3）～式（6）的系統(tǒng)本征值。

E0=0 （3）

E1±=? ? ? ? ? ? ?（4）

E20=? ? （5）

E2±=? （6）

式中：θ=arccosT，T=，

對K和g進行適當?shù)娜≈担到y(tǒng)的能譜可以表現(xiàn)出非諧性。然而，當克爾系數(shù)遠小于耦合強度時，系統(tǒng)能級的非諧性消失了。即，如果K→0，式（4）、式（5）和式（6）的特征值變?yōu)镋1±=±g，E20=-2g，E2±=+2g。事實上，在目前的實驗條件下，獲得的克爾系數(shù)通常非常小（直徑為1 mm的YIG小球中觀測到的Kerr系數(shù)約為10-10Hz[23-25]）。因此，腔-磁振系統(tǒng)本身不足以產(chǎn)生磁子阻塞。

假設微波腔與壓縮庫耦合。系統(tǒng)的動力學演化由式（7）所示的主方程控制[19，22，27-28]

=-i[H，ρ]-Na[aa?ρ-2a?ρa+ρaa?]-

（Na+1）[a?aρ-2aρa?+ρa?a]-

[m?mρ-2mρm?+ρm?m]+

[aaρ-2aρa+ρaa]+

[a?a?ρ-2a?ρa?+ρa?a?]? ?（7）

式中：H為式（1）所示的系統(tǒng)哈密頓量;γa（γm）為腔模（磁模）的耗散率;Na為壓縮庫中頻率為ωa的平均光子數(shù);Ma為壓縮參數(shù)。參數(shù)Na和Ma滿足不等式Ma≤。

磁子的統(tǒng)計特性可以用關聯(lián)函數(shù)描述[9-10]。二階關聯(lián)函數(shù)的定義如式（8）所示

g（2）（τ）=? （8）

式中：τ為兩個磁子之間的延遲時間。與光子和聲子阻塞類似，單磁子阻塞可以用具有亞泊松統(tǒng)計特性的等時（τ=0）二階關聯(lián)函數(shù)g（2）（0）<1來表征。g（2）（0）>1對應于具有超泊松統(tǒng)計特性的雙磁子群

聚束（雙磁子隧穿）效應。好的單磁子源還應當滿足式（9）中的條件[22]

g（3）（0）

多磁子阻塞可以用k階關聯(lián)函數(shù) gk（0）=〈（a?）k（a）k〉

〈a?a〉k來表征。在少量磁子數(shù)的條件下，多磁子阻塞的判斷標準可簡化為式（10）[22，29-30]

gk（0）≥1 and g（k+1）（0）<1? ?（10）

2 數(shù)值模擬計算

本節(jié)通過數(shù)值求解式（7）中的主方程，討論系統(tǒng)參數(shù)對關聯(lián)函數(shù)的影響。數(shù)值模擬結果使用Python軟件包QUTIP[31]計算獲得，所有參數(shù)的選取均基于目前的實驗進展。

圖2展示了耦合庫有壓縮（圖2（a））和無壓縮（圖2（b））兩種情形下，等時二階關聯(lián)函數(shù)g（2）（0）隨腔模相對于驅(qū)動場的失諧量的變化。這里克爾系數(shù)設置為K=10-16γa，即假設使用的是直徑約為1 mm的YIG小球。

在弱驅(qū)動限制條件下，克爾非線性對毫米直徑的YIG小球的量子統(tǒng)計結果幾乎沒有影響。然而，在納米直徑的YIG小球中情況并非如此，這將在圖3中討論。如圖2（a）所示，通過調(diào)整驅(qū)動強度ε，可以獲得滿足g（2）（0）<1的關聯(lián)函數(shù)值。對于圖2（a）給定的參數(shù)，隨著驅(qū)動強度從0.1γa增加到0.8γa，不同曲線的最小值從0.076 1增加到1，并且反聚束效應在ε≥0.8γa時消失。圖2中的所有曲線均關于直線Δ≈-17γa=-g對稱，并且g（2）（0）的最小值位于對稱軸上。在圖2（b）中，系統(tǒng)與非壓縮的普通庫耦合，即Ma=0。在這種情況下，系統(tǒng)的非線性完全由克爾效應決定。然而，對于毫米直徑的YIG小球而言，克爾系數(shù)太弱，不足以誘導磁子反聚束效應。

事實上，克爾系數(shù)（K=μ0kanγ2/（M2V））與YIG球體的體積成反比[24-25]，其中kan，γ，M和V為一階各向異性常數(shù)、旋磁比、飽和磁化強度和YIG球體的體積，μ0為真空磁導率。另一方面，微波光子-磁子耦合強度g與YIG球體中的自旋數(shù)的平方根成正比，即g=g0=g0，S為YIG球體的凈宏觀自旋數(shù)、ρ為凈自旋密度，g0（g0 /2π=38 mHz）為單個玻爾磁子與微波空腔的耦合強度[5，25]。因此，g隨YIG小球體積的減小而減小，而克爾系數(shù)隨球體體積的減小而增大。假設直徑為1 mm的YIG小球中的磁膜與微波腔模的耦合強度為g=17γa，克爾系數(shù)為K=10-16γa，可以進一步計算出不同直徑的YIG小球相應的耦合強度和克爾系數(shù)。當YIG小球的直徑大于0.3 μm時，耦合強度遠遠大于克爾系數(shù)。假設微波腔的耗散率為γa /2π=2.7 MHz[5]，隨著YIG小球直徑減小到0.2 μm，克爾系數(shù)增加到大約212.058 Hz，同時耦合強度降低到大約815.713 Hz。當YIG小球的直徑減少到只有幾納米時，克爾效應比腔模和磁模之間的相互作用要強得多。在這種情況下，腔模-磁模相互作用以及與壓縮庫的耦合不再是產(chǎn)生磁子阻塞的必要條件。通過直接驅(qū)動非線性納米磁體，就可以獲得主要由納米磁體的克爾非線性引起的磁子的反聚束效應[15]。YIG小球的尺寸對二階關聯(lián)函數(shù)的影響如圖3所示，參數(shù)設置為γm=γa，ε=0.1γa，Na=3×10-4，Ma=，并假設直徑為1 mm的YIG球的腔模-磁模耦合強度和克爾系數(shù)為g=17 γa，K=10-16 γa。不同直徑d=（0.5 mm，0.3 mm，0.1 mm，10 μm，）對應的g（2）（0）的最小值分別位于（Δ≈

-6.005γm，g≈6.010γm），（Δ≈-2.790γm，g≈2.793γm），（Δ≈-0.533γm，g≈0.538γm），（Δ≈-0.015γm，g≈0.017γm）。此時，g相對于Δ的比率大約等于-1。然而，當直徑小于0.1 μm時，g/Δ的絕對值遠小于1，此時克爾非線性效應比腔模-磁模之間的相互作用強得多，在誘導磁子反聚束效應中起到更重要的作用。

與光子源類似，一個好的單磁子源對應的關聯(lián)函數(shù)值應該滿足不等式條件g（3）（0）

g（2）（0），g（3）（0），g（4）（0）在弱驅(qū)動下隨驅(qū)動強度的ε/γa變化。曲線g（2）（0）和g（3）（0）在點（ε，g（2）（0））≈（0.129，0.285）處相交。在圖4給出的條件下，當驅(qū)動強度大于或等于0.13γa時，系統(tǒng)可以很好地滿足式（9）表示的良好單磁子源的要求。圖5繪制了延時二階關聯(lián)函數(shù)g（2）（τ）隨γaτ的變化，以進一步驗證系統(tǒng)是否滿足“真”單磁子阻塞條件，相關參數(shù)為g=17γa，γm=γa，Δa=Δm=-g，Na=3×10-4，Ma=

，K=10-16γa。顯然，在給定的條件下，當驅(qū)動強度處于[0.13γa，0.14γa]區(qū)間時，系統(tǒng)同時滿足“好”單磁子源條件和“真”單磁子阻塞標準。

為了討論本系統(tǒng)產(chǎn)生雙磁子阻塞的可能性，圖6繪制了關聯(lián)函數(shù)g（k）（0）在不同驅(qū)動強度下隨磁子耗散率γm /γa和失諧量Δ/γa的變化，在圖6（a）中，g=17γa，Δa=Δm=-g，K=10-16γa;在圖6（b）中，g=17γa，γm=0.5γa，K=10-16γa;圖6（c）中，g=0.5γa，Δa=Δm=-g，K=10-13γa;在圖6（d）中，g=0.5γa，γm=0.5γa，K=10-13γa。其他參數(shù)為Na=3×10-4，Ma=。圖中的不同關聯(lián)函數(shù)通過顏色和線型進行區(qū)分：實線（虛線）表示等時二階（三階）關聯(lián)函數(shù)g（2）（0）（g（3）（0）），紅色（綠色、藍色）表示3種不同的驅(qū)動強度ε=1γa（2γa，3γa）。陰影區(qū)域是在不同條件下獲得的雙磁子阻塞窗口：圖6（a）和圖6（c）中的第一個窗口在ε=2γa，條件下獲得，第二個窗口在ε=3γa條件下獲得;圖6（b）中的左側(cè)和右側(cè)窗口在ε=3γa條件下獲得;圖6（b）中間的窗口和圖6（d）的窗口在ε=2γa條件下獲得。本文采用判據(jù)g（2）（0）≥1且g（3）（0）<1判定雙磁子阻塞，用條件1

可以得到g（3）（0）<1

3 結論

本文提出了一種通過將腔-磁系統(tǒng)耦合到壓縮庫來操控磁子阻塞效應的方案。文章通過數(shù)值求解量子主方程，分析了磁子的統(tǒng)計性質(zhì)，詳細討論了磁子關聯(lián)函數(shù)受外部驅(qū)動強度、失諧量、耗散率等因素的影響。所提出的方案無論是工作在微波腔與YIG小球Kittel模相互作用的強耦合區(qū)還是弱耦合區(qū)域，都可以滿足“好”單磁子源和“真”單磁子阻塞的標準。當微波腔的驅(qū)動強度略強于微波腔的耗散率時，還可以觀測到雙磁子阻塞窗口。系統(tǒng)中的磁子阻塞效應主要是由所耦合的量子壓縮庫導致的，而不是由腔-磁系統(tǒng)本身的非線性特性引起的。這為實現(xiàn)磁子阻塞提供了一種可能的新途徑，在基于混合腔-磁系統(tǒng)平臺的量子系統(tǒng)中有潛在的作用。

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