包高宏

[摘 ?要] 數(shù)學教學要突出本質(zhì)，弱化細節(jié)，才能讓學生在學習活動中彰顯思維活力. 教學中教師要依據(jù)教學目標創(chuàng)新教學模式，圍繞學科核心素養(yǎng)開展學習活動，在探究學習中滲透數(shù)學思想和數(shù)學方法，不斷提升思維活力，真正體現(xiàn)數(shù)學學習價值.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學本質(zhì);思維活力;核心素養(yǎng)

數(shù)學是一門磨煉思維，提高學生邏輯推理能力的學科，數(shù)學教學的目標是提高學生的核心素養(yǎng)，提升學生的思維品質(zhì). 思維能力的提高要在體驗活動中實現(xiàn)，因此開展教學活動是教學過程中的必要環(huán)節(jié)，教學活動不僅是教師的事情，還需要學生積極參與. 那么，課堂熱熱鬧鬧，學生積極發(fā)言，是否就能說明這是一次成功的教學活動呢？筆者認為不然，熱鬧的氣氛體現(xiàn)的只是一節(jié)課的外在形式，一節(jié)課的目標是否實現(xiàn)歸根結(jié)底要看學生的思維是否得到了發(fā)展，學生在課堂上是否有了深入思考，在課堂上是否迸發(fā)了思維碰撞的火花，只有教學過程充滿學生的思維活動，才能彰顯課堂的生命力[1]. 數(shù)學教學歸根結(jié)底是數(shù)學思維的教學，一節(jié)課表面看起來非常安靜，但只要學生在課堂上能夠積極思考，就是一節(jié)有活力的課堂. 數(shù)學課的活力指的是課堂上師生、生生之間的思維碰撞.

問題背景

新課程改革進行得如火如荼，深入人心，廣大數(shù)學教師對于教學中強調(diào)數(shù)學本質(zhì)的認識，課堂教學返璞歸真，實現(xiàn)思維活動的深入，努力揭示數(shù)學概念、定義、結(jié)論后的本質(zhì)特征都有了統(tǒng)一認知，但是在實際教學過程中卻存在著各種偏差，部分教師沒有真正理解新理念的本質(zhì)，只是停留在課堂表面“新的形式化”，新理念只有形式，沒有落實本質(zhì)，所以課堂教學只留下了表面上的熱鬧，實則學生并沒有真正理解數(shù)學本質(zhì).

數(shù)學教學的形式化體現(xiàn)在諸多方面，如學生對數(shù)學知識的學習停留在表面的記憶和技能操作上，沒有理解數(shù)學本質(zhì). 在數(shù)學教學中，教學主體是數(shù)學內(nèi)容（本質(zhì)），形式是服務于內(nèi)容的，但有些教學活動，形式卻大于內(nèi)容. 在這樣的教學活動中，教師過分注重形式化的東西，滿足了表面的形式化創(chuàng)新，卻弱化了數(shù)學最核心的內(nèi)容.

過分注重“細節(jié)”，帶來的只是課堂表面上的熱鬧，這反而造成了學生對于數(shù)學本質(zhì)理解的偏差，導致學生過分關(guān)注與實際問題關(guān)系不大的表面現(xiàn)象，或者是形式上的數(shù)學表達方法. 學生在這些細節(jié)上分散了過多的精力，導致其容易忽視數(shù)學本質(zhì)，舍本逐末，主次顛倒. 為改變這種現(xiàn)象，教學時教師要對外在形式上的內(nèi)容做淡化處理，不要過分強調(diào)，而應該著重關(guān)注數(shù)學本質(zhì)，突出數(shù)學思維的培養(yǎng)，彰顯數(shù)學課堂活力.

突出數(shù)學本質(zhì)，彰顯課堂活力

1. 淡化非核心概念，注重數(shù)學本質(zhì)

概念、定理是數(shù)學學習中的重要內(nèi)容，教學中教師要處理好核心概念與非核心概念之間的關(guān)系. 非核心概念是指一些描述性或過渡性的概念，它們對于學生理解核心概念具有重要價值，但是在教學中它們起到的只是輔助功能，不能喧賓奪主. 數(shù)學核心概念或定理與許多要素有著千絲萬縷的聯(lián)系，如果處理不好，主次顛倒，就會削弱學生對數(shù)學本質(zhì)的把握，難以深刻理解數(shù)學本質(zhì)[2].

案例1 “函數(shù)零點存在”的教學

函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

筆者曾聽過一次公開課，有位年輕的教師講授函數(shù)零點概念與方程根之間的關(guān)系時非常順暢，但是解釋函數(shù)零點存在定理時進行了過度延伸. 他認為這一定理還不夠嚴謹和完善，特別對定理中描述的“一條連續(xù)不斷的曲線”有異議，于是用了大量的時間給學生進行詳細闡述.

師：函數(shù)零點存在定理中要求函數(shù)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，其中的“連續(xù)不斷”滿足什么特征，你們知道嗎？

生1：我覺得有兩層含義，一是連續(xù)，二是不斷.

師：很好，除了這兩層含義，還有其他意思嗎？

生2：“連續(xù)”表示圖象連接在一起，而“不斷”則是不分開的意思.

師：你的解釋是正確的. 大家討論交流一下，我們能否用數(shù)學思維和表達將“連續(xù)不斷”的含義再深入解釋一下.

……

接下來，該教師對“不斷”的含義就三類間斷點配上圖形進行了細致的分類解釋，最后還對函數(shù)圖象在閉區(qū)間[a，b]的兩個端點處連續(xù)做了補充解釋. 此時課堂越來越安靜，大部分學生已經(jīng)游離于課堂之外.

教學目標要依據(jù)教學內(nèi)容和學情確定，事實上在這一時期提出函數(shù)零點存在定理，其目標是讓學生理解定理的本質(zhì)，即當函數(shù)y=f（x）的圖象在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)不斷的情況下，只要f（a）f（b）<0，就存在零點. 因此在學生對函數(shù)知識認識有限的情況下，對于函數(shù)零點存在的前提，只需要學生了解是什么就可以了，不需要進行精確的描述. 該教師在教學中出現(xiàn)的問題，不是自己對知識的研究不夠深入，而是沒有依據(jù)學生的認知規(guī)律和認知特點，合理地設(shè)定教學目標，導致拓展過度，超出了學生的認知能力，反而適得其反[3].

在函數(shù)零點存在定理中，前提是函數(shù)圖象是一條“連續(xù)不斷”的曲線，作為高一的學生只需要了解這個前提即可. 這一前提對于理解定理的本質(zhì)來說只是一個“細節(jié)”，不屬于核心概念，因此不需要教師對這個非核心概念進行過多解釋，只需要學生能根據(jù)常識認識曲線連續(xù)不斷就可以了，這樣反而有利于學生將注意力放在數(shù)學本質(zhì)上. 本節(jié)課中，該教師在解釋定理上雖然追求嚴謹，但是超出了學生的認知能力，超出了學生的最近發(fā)展區(qū)，因此學生難以參與課堂活動，教學目標自然難以落實.

2. 淡化“嚴謹”證明，注重本質(zhì)思路

公式的推導和證明是高中數(shù)學教學最重要的一部分. 在推導與證明的過程中，教師要先帶領(lǐng)學生厘清主要推導思路，再逐步完善證明過程，如果過分關(guān)注過程的完整性，要求推導過程一步到位，容易使學生只關(guān)注規(guī)范的證明過程，而忽視數(shù)學思想方法的本質(zhì).

案例2 推導兩角差的余弦公式

關(guān)于兩角差的余弦公式的推導可以利用單位圓中的三角函數(shù)線進行，也可以利用向量知識進行. 但利用向量知識推導兩角差的余弦公式更容易讓學生理解，教學中教師一般會采用這種方法. 下面展示一位教師講解這一內(nèi)容的教學實錄.

師：如果現(xiàn)在我們不限制角的取值范圍，那么可以擴大到什么范圍呢？

生（齊）：可以是任意角.

師：在公式cos（α-β）中的α和β是任意角，那么α和β的差有哪些可能呢？

生（齊）：α和β的差有多種可能，但它仍然是一個任意角.

師：對此，我們能不能進行分類討論，以更加明確幾種不同的情況呢？

學生先思考，再相互交流，接著發(fā)表各種看法，教師最后總結(jié). 根據(jù)任意角的誘導公式確定分為兩類，一類是α-β∈[0，π]，另一類是α-β?[0，π]，但教師沒有說明不以0

，或[0，2π]為分類標準的原因. 接下來，師生一起在這兩類情況下探究如何使用向量知識推導兩角差的余弦公式，推導完成后便開始應用該公式.

可以說課堂教學氣氛熱烈，學生發(fā)言積極，教學活動參與度非常高，然而課堂教學結(jié)束后在學生的問卷反饋中，對“推導cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ這個公式采用了什么方法”這一問題，表明只對角的分類有較深的印象. 這個答案讓大家大吃一驚，學生似乎對向量知識推導兩角差的余弦公式?jīng)]有印象，只記得分類討論角的不同類型，很顯然教學目標出現(xiàn)了偏離. 這一教學片段中，學生之所以沒有掌握兩角差余弦公式的推導方法，究其原因是教師在教學中突出了內(nèi)容細節(jié)，而忽略了內(nèi)容本質(zhì)，使推導思路和推導過程本末倒置.

推導兩角差的余弦公式選擇的是向量數(shù)量積的定義，因為這一推導方法較為簡潔. 通過向量數(shù)量積的定義知道兩向量的夾角α-β的取值范圍只能是[0，π]，因此在推導過程中需要分為α-β∈[0，π]與α-β?[0，π]兩類，這是自然聯(lián)想的結(jié)果. 但這個教學片段中教師重點討論的是如何將角進行分類，以凸顯證明的嚴謹和科學，這樣的證明過程使學生忽視了公式本身的推導過程，不符合學生的認知習慣和特點，因此學生對公式的推導方法沒有深刻的印象，只是掌握了角的分類. 在推導兩角差余弦公式的過程中，應該弱化角的分類討論（這是推導過程中的細枝末節(jié)），弱化非核心的內(nèi)容細節(jié)，突出向量知識推導公式的本質(zhì)思路.

教學用書強調(diào)向量知識推導兩角差的余弦公式中提出了幾個需要關(guān)注的要點，其中一點就是在探索過程中不要著重一步到位，應該抓住問題核心探討推導思路，然后再進行反思，完善推導過程，其中包括對角的分類討論和誘導公式的完善. 因此對數(shù)學一般性問題的探索，都應依據(jù)具體的教學內(nèi)容和學生的實際認知進行優(yōu)化設(shè)計，引導學生理解數(shù)學本質(zhì)，對“嚴謹”性進行適當?shù)牡?，以做到詳略得當，突出重點.

總之，課堂教學中如果沒有抓住本質(zhì)內(nèi)容，只有表面上的熱鬧氛圍，就無法實現(xiàn)學生思維發(fā)展的目標.

3. 淡化非必要“情節(jié)”，注重情境創(chuàng)設(shè)本質(zhì)

數(shù)學源于生活，又應用于生活，因此創(chuàng)設(shè)情境是教學中的必要環(huán)節(jié)，然而在實際教學中，情境的創(chuàng)設(shè)有時是為了創(chuàng)設(shè)而創(chuàng)設(shè)，沒有考慮這一情境對于教學目標的落實是否真正有作用. 毋庸置疑，好的情境能夠增強課堂的趣味性，有利于吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣，但能否讓學生真正參與到課堂教學活動中去，還需要教師理解教學內(nèi)容的特點，把握數(shù)學本質(zhì)，并長時間保持學生的學習興趣. 目前，數(shù)學教學中創(chuàng)設(shè)情境的情況越來越普遍，但也出現(xiàn)了隨意捏造、只重趣味不重實質(zhì)、脫離實際的情況. 下面展示某位教師教學“隨機事件概率”時引入的部分情境.

案例3 “隨機事件概率”的教學

在一次公開課中，筆者聽取了執(zhí)教教師在講解隨機事件概率時，創(chuàng)設(shè)的一個現(xiàn)實情境：第二次世界大戰(zhàn)期間，在1943年以前，英美聯(lián)軍被德軍的潛艇在大西洋重挫，已經(jīng)沒有反抗的力量. 為了解決困境，美國海軍專門請教幾位數(shù)學家應該怎么辦，數(shù)學家通過運算概率的方法進行分析，艦艇的相遇是一個有規(guī)律性的隨機事件，可以通過擴大海軍艦隊的規(guī)模，來穿過危險海域，結(jié)果英美艦隊被襲擊的概率大大下降了，保證了物資的及時供應. 這是為什么呢？

這一情境引起了學生極大的興趣，從歷史到數(shù)學，除了討論第二次世界大戰(zhàn)的事件，學生還學習了概率知識，體現(xiàn)了數(shù)學知識在實際情境中的廣泛運用，同時又充滿了趣味性. 但是當大家反思這節(jié)課時，出現(xiàn)了疑問：這一情境對于學生理解隨機事件的概率有多大幫助呢？由于情境的內(nèi)容較為豐富，導致學生的思維被很多非本質(zhì)的情節(jié)所糾纏，遠離了本課的內(nèi)容主體. 情境的創(chuàng)設(shè)是必須的，但是要注意揭示數(shù)學本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學思維，體現(xiàn)數(shù)學味道.

數(shù)學教學中還存在著各種各樣的活動形式，雖然有的課堂看起來非常熱鬧，但是其實質(zhì)對學生的思維發(fā)展沒有啟發(fā)，也未體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì). 教學中教師只有從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，以富有思考性的問題引導學生，才能讓課堂真正迸發(fā)出思維的火花，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 陳峰，薛鶯. 以問題引領(lǐng)，提升復習效能——對初三“圓的復習”課幾個片段的感悟[J]. 中學數(shù)學，2013（10）：17-19.

[2] 杜育林. 讓學引思，讓數(shù)學思維自然生長——以“一元一次方程章復習課”為例[J]. 中學數(shù)學教學參考，2018（17）：20-23.

[3] 項志成. 初中數(shù)學德育實踐研究[J]. ?數(shù)學教學通訊，2019（35）：41-42.