浙江省金華師范學(xué)校附屬小學(xué) 余慶玲

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思考是判斷學(xué)生是否深度學(xué)習(xí)的一個(gè)重要指標(biāo)。

能引起學(xué)生感興趣的不是知識(shí)與技能，而是隱含在背后的思考。

思考來(lái)源于感想，有所感才會(huì)有所想，而感來(lái)源于體驗(yàn)。

這些道理都是深受廣大一線教師認(rèn)可的，但如何做到是個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。本文以“用數(shù)對(duì)確定位置”一課為例，談?wù)剶?shù)學(xué)思考缺失的原因及課堂教學(xué)中關(guān)于“數(shù)學(xué)思考”的實(shí)施與把握。

一、分析：“用數(shù)對(duì)確定位置”的數(shù)學(xué)思考消失的原因

“用數(shù)對(duì)確定位置”，北師大版、人教版、蘇教版等教材都是從教室的座位圖出發(fā)的，多年以來(lái)，教師也已形成一個(gè)基本的教學(xué)套路——“以教室座位圖為情境，描述某個(gè)學(xué)生的位置→學(xué)生發(fā)現(xiàn)描述方法的差異→感受到需要對(duì)‘列’和‘行’的認(rèn)定統(tǒng)一規(guī)則→將座位圖抽象為點(diǎn)子圖、格子圖→認(rèn)識(shí)數(shù)對(duì)→練習(xí)”。這樣的教學(xué)，表面上看很順暢，但當(dāng)追問(wèn)學(xué)生“通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲或感想”時(shí)，學(xué)生通常只能說(shuō)出“通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我知道了什么是數(shù)對(duì)，如何用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置”。如此看來(lái)，在這節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生屬于一種表層的記憶學(xué)習(xí)，而這兩個(gè)顯性目標(biāo)一般用5分鐘左右即可掌握下來(lái)，同時(shí)知識(shí)、技能背后的數(shù)學(xué)思考是明顯缺失的。筆者不禁反思：這節(jié)課的數(shù)學(xué)思考是怎么消失的？

（一）教學(xué)目標(biāo)的缺失

一節(jié)課，完整的教學(xué)目標(biāo)除了從“四基”的角度來(lái)思考外，教師還可以從它的“顯性目標(biāo)”和“隱性目標(biāo)”兩個(gè)層面來(lái)思考?！帮@性目標(biāo)”指的是這節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)和技能點(diǎn)，“隱性目標(biāo)”指的則是這節(jié)課的體驗(yàn)點(diǎn)。“顯性目標(biāo)”通常指向應(yīng)試，而“隱性目標(biāo)”則指向成長(zhǎng)。本課的教學(xué)目標(biāo)整理后如下表。

顯性知識(shí)知識(shí)點(diǎn) 明確數(shù)對(duì)的意義當(dāng)下的考試技能點(diǎn) 掌握用數(shù)對(duì)確定平面上物體的位置隱性知識(shí) 體驗(yàn)點(diǎn) 角色轉(zhuǎn)換（觀測(cè)點(diǎn)：自我→對(duì)方） 學(xué)生的成長(zhǎng)

本節(jié)課，學(xué)生最大的一個(gè)糾結(jié)點(diǎn)：學(xué)生看到的班級(jí)座位方向和教師看到的班級(jí)座位方向是相反的，而直角坐標(biāo)方向相當(dāng)于以教師為觀測(cè)點(diǎn)，即數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了沖突。觀測(cè)點(diǎn)由“我→老師”的轉(zhuǎn)換，這個(gè)體驗(yàn)點(diǎn)就是這節(jié)課的意義。

“我→老師”角色轉(zhuǎn)換的價(jià)值：我是這樣看的，但別人不是這樣看的，當(dāng)這個(gè)觀念放在腦子里時(shí)，他就具有了同理心，實(shí)現(xiàn)了換位思考，所謂的理解、交流、溝通都在這里面了，這也就真正達(dá)成了學(xué)科“育人”的目標(biāo)。

（二）課堂節(jié)奏的失誤

課堂節(jié)奏是有輕重緩急的，本課中的顯性知識(shí)適合以“演示+告知”的方式進(jìn)行，它適合輕而快；而“角色轉(zhuǎn)換”這一隱性知識(shí)是無(wú)法通過(guò)觀察和講解來(lái)完成的，必須通過(guò)體驗(yàn)才能實(shí)現(xiàn)，因此它適合重而緩。

如果學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)“角色轉(zhuǎn)換”的活動(dòng)，教師直接告訴學(xué)生：“教室的座位方向是為了方便老師而規(guī)定的，因此要以老師為觀測(cè)點(diǎn)，此時(shí)‘組’的方向就是從左往右，‘號(hào)’的方向是從前往后?！边@樣教學(xué)可以嗎？當(dāng)然也可以。但這會(huì)給學(xué)生留下嚴(yán)重的后遺癥：“為什么1組1號(hào)的座位始終沒(méi)動(dòng)，而我和老師看到的座位方向會(huì)不一樣？”學(xué)生的困惑點(diǎn)得不到疏通，而教師把一個(gè)對(duì)于孩子來(lái)說(shuō)并不大認(rèn)可的結(jié)論強(qiáng)塞給他們，長(zhǎng)此以往，他們就干脆不思考了，同時(shí)也錯(cuò)失了良好的“育人”機(jī)會(huì)。

（三）學(xué)習(xí)材料的偏差

體驗(yàn)需要經(jīng)歷活動(dòng)，活動(dòng)需要有材料。對(duì)于“角色轉(zhuǎn)換、換位思考”的體驗(yàn)，教室座位圖并不是最理想的學(xué)習(xí)材料。因?yàn)樵诮淌易粓D中，學(xué)生很容易自我代入，把自己作為其中的一員，然后以自己為觀測(cè)點(diǎn)來(lái)確定位置。那如何才能去“自我”，以對(duì)方的角度來(lái)觀察呢？

教學(xué)中，有些教師會(huì)請(qǐng)幾個(gè)學(xué)生站在講臺(tái)上，讓他們進(jìn)行換位觀察，并把觀察到的結(jié)果告訴其他同學(xué)；有些教師會(huì)用相片的方式，讓學(xué)生觀察教師與座位圖之間的方向關(guān)系……但當(dāng)學(xué)生回到自己的座位，離開了相片之后，他們便又掉回了原點(diǎn)。

我們發(fā)現(xiàn)，把人物換成動(dòng)物，能較好地實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。因?yàn)闆](méi)有學(xué)生會(huì)把自己當(dāng)成動(dòng)物中的一員，讓他給一班動(dòng)物排座位時(shí)，他就自然而然地把自己作為領(lǐng)導(dǎo)者（或教師）的角色，然后便能以教師的角度為觀測(cè)點(diǎn)來(lái)確定位置。

簡(jiǎn)言之，沒(méi)有提供充足的時(shí)間、空間及合適的學(xué)習(xí)材料是導(dǎo)致數(shù)學(xué)思考消失的主要原因。

二、實(shí)踐：數(shù)學(xué)思考如何把握與實(shí)現(xiàn)

根據(jù)以上思考，重構(gòu)“用數(shù)對(duì)確定位置”一課的教學(xué)流程如下。

環(huán)節(jié)一：激活經(jīng)驗(yàn) 感悟規(guī)律

師：誰(shuí)能給大家介紹一下你在教室里的座位（多個(gè)學(xué)生）？

師：大家在介紹自己的座位時(shí)有什么共同點(diǎn)？

生1：都要用兩個(gè)數(shù)來(lái)表示。

生2：都是先“組”再“號(hào)”；“組”都是從教室門口依次往另一邊數(shù)，“號(hào)”的方向是從前往后。

師（小結(jié)）：看來(lái)在教室里確定一位同學(xué)的座位需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。

環(huán)節(jié)二：改造經(jīng)驗(yàn) 深入思考

1.產(chǎn)生沖突

（教師呈現(xiàn)圖1左側(cè)的座位表）

師：你能在這張座位表里找到3組2號(hào)嗎？你是怎么想的？

生：通常會(huì)出現(xiàn)圖1右側(cè)四種不同的想法，用黑點(diǎn)代表“3組2號(hào)”，生2的認(rèn)可度最高。

圖1

師：這四位小朋友的差別在哪里？

生1：他們對(duì)“1組1號(hào)”規(guī)定的位置不同（標(biāo)準(zhǔn)不同）。

生2：“組”和“號(hào)”數(shù)的方向不同。

師：對(duì)于同一個(gè)位置卻出現(xiàn)多種不同的結(jié)果，你有什么想法？

生：這樣的話，世界會(huì)很混亂。

師（小結(jié)）：看來(lái)確定幾組幾號(hào)，我們需要統(tǒng)一“1組1號(hào)”這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)或?qū)Α敖M”和“號(hào)”統(tǒng)一方向。

2.經(jīng)歷體驗(yàn)

（教師提供操作板，如圖2）

圖2

師：現(xiàn)在每位小朋友手上都有一班小狗，請(qǐng)你給小狗排排座位，并給坐在3組2號(hào)的小狗畫上圈。

師：你找到的3組2號(hào)小狗在哪里？你是怎么確定的？

生：因?yàn)樾」肥敲娉覀兊模园凑掌綍r(shí)習(xí)慣，“組”是按從左往右來(lái)確定的，“號(hào)”是按從前往后確定的。（邊比畫邊說(shuō)明，如圖3，學(xué)生意見很統(tǒng)一）

圖3

師：結(jié)合小狗的座位圖，你覺(jué)得教室座位的方向是為了滿足誰(shuí)的需要？

生：老師。

師（小結(jié)）：教室的座位圖是為了方便老師而規(guī)定的，通常把講臺(tái)的位置統(tǒng)一在正下方，再以老師為觀測(cè)點(diǎn)，根據(jù)觀察習(xí)慣，從左往右為“組”，從前往后為“號(hào)”。

3.角色轉(zhuǎn)換

師：現(xiàn)在回頭看圖1中對(duì)于“3組2號(hào)”的四個(gè)不同的結(jié)果，你認(rèn)為哪幅圖的方向順序是符合以老師為觀測(cè)點(diǎn)，并且較為合理的？

生：（位于第三象限）生3同學(xué)的位置結(jié)果最合理，因?yàn)橐岳蠋煘橛^測(cè)點(diǎn)，老師從左往右看為“組”，從前往后看為“號(hào)”。

師：那圖4中的這兩幅圖有什么不同？

圖4

生：右上角（第一象限）的座位圖是以同學(xué)們?yōu)橛^測(cè)點(diǎn)，是同學(xué)們看到的方向和結(jié)果；左下角（第三象限）的座位圖是以老師為觀測(cè)點(diǎn)，是老師所看到的結(jié)果。

師：同學(xué)們，通過(guò)找“3組2號(hào)”的小狗和確定“3組2號(hào)”的座位，你們有什么感想？

師（小結(jié)）：學(xué)會(huì)站在他人角度思考問(wèn)題。

環(huán)節(jié)三：完善經(jīng)驗(yàn) 建立模型

動(dòng)畫展示下列學(xué)習(xí)材料，如圖5。

圖5

師：這樣的表示方法你能讀懂嗎？讀懂了什么？

生1：“組”表示的是橫軸，“號(hào)”表示的是縱軸，幾組幾號(hào)代表的是橫軸與縱軸所形成的具體位置。

生2：用一對(duì)數(shù)就能確定平面上的某個(gè)位置。

師：（3，2）是一個(gè)數(shù)對(duì)，由括號(hào)、兩個(gè)數(shù)字加逗號(hào)組成，讀作“數(shù)對(duì)三二”，數(shù)對(duì)的規(guī)則是“先橫再縱”，它可以確定一個(gè)具體的位置。

師：如果要表示老師的位置，用數(shù)對(duì)怎么表示？

生：如果老師站在第一組的前面，就是（1，0），如果老師站在門口就是（0，0）。

師（小結(jié)）：剛才我們以老師為確定位置的起點(diǎn)，這個(gè)起點(diǎn)也叫原點(diǎn)，用數(shù)對(duì)（0，0）表示。從原點(diǎn)出發(fā)，分別畫一條從左往右的橫軸和一條從下往上的縱軸，在間隔相同的距離處標(biāo)上相應(yīng)的數(shù)字，這就是數(shù)學(xué)中的平面直角坐標(biāo)系。

三、討論：進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的要素

思考，需要借助問(wèn)題才能進(jìn)行。而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題都需要具備一定的數(shù)學(xué)眼光才能完成，在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題中又少不了數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語(yǔ)言。因此，數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語(yǔ)言是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的三要素。

（一）會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

數(shù)學(xué)是以真實(shí)世界里并不存在的抽象數(shù)量關(guān)系和空間形式為研究對(duì)象的。因此，生活在真實(shí)世界里的我們，需要通過(guò)創(chuàng)設(shè)一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題情境，再“剝離”或“去掉”真實(shí)對(duì)象中的“真實(shí)”，找到代表“真實(shí)”的本質(zhì)屬性，進(jìn)而得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，并尋得對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系或空間形式，而數(shù)學(xué)眼光就是通過(guò)這樣的思維活動(dòng)逐漸形成的。數(shù)學(xué)眼光是一種建立聯(lián)系的眼光，它搭建起現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間的橋梁。數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)路徑可參見圖6：

圖6

如“用數(shù)對(duì)確定位置”一課的“環(huán)節(jié)一”中，“向大家介紹自己的教室座位”，既創(chuàng)設(shè)了一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題情境，又是對(duì)真實(shí)位置屬性的一種抽象，抽象出與解決問(wèn)題相關(guān)的“組”和“號(hào)”兩個(gè)元素；“大家在介紹自己的座位時(shí)有什么共同點(diǎn)”便是利用直觀與比較、抽象與概括來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)元素之間“規(guī)律”的感悟，建立數(shù)對(duì)的基本模型。

（二）會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界

推理是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中最能反映數(shù)學(xué)獨(dú)特思維價(jià)值的部分，因此，數(shù)學(xué)思維能力的核心是推理能力。數(shù)學(xué)推理分為演繹推理和合情推理，課堂教學(xué)中的講解法（先講解相關(guān)知識(shí)、技巧，再練習(xí)）就是一種對(duì)演繹推理能力的培養(yǎng)。合情推理能力培養(yǎng)通?？梢詮倪@三條路徑進(jìn)行：一是通過(guò)對(duì)前后知識(shí)的對(duì)比與分析，從而進(jìn)行判斷與推理；二是基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，利用學(xué)生的“活明白”，通過(guò)推理、辨析“想明白”，進(jìn)而“學(xué)明白”；三是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法，通過(guò)猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)路徑可參見圖7：

圖7

在“用數(shù)對(duì)確定位置”一課的“環(huán)節(jié)二”中，走的是經(jīng)驗(yàn)改造的路徑：先是基于學(xué)生已有座位經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生了認(rèn)知沖突（對(duì)于“3組2號(hào)”這個(gè)座位產(chǎn)生了四種不同的位置結(jié)果，這是學(xué)生的“活明白”）；再通過(guò)給小狗排座位，跳出自我的角色代入，體驗(yàn)到“轉(zhuǎn)換觀測(cè)點(diǎn)，觀測(cè)到的結(jié)果就會(huì)發(fā)生變化”，利用改造后的經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行由自我到教師角色轉(zhuǎn)換的推理，這是“想明白”的過(guò)程。而“環(huán)節(jié)三”中從經(jīng)驗(yàn)向模型的建構(gòu)則是學(xué)生的“學(xué)明白”。

（三）會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界

語(yǔ)言是思維的載體，是思維的工具，是思維的橋梁。離開了數(shù)學(xué)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)思考就如同無(wú)水之池，而數(shù)學(xué)建模可以說(shuō)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的最高層次。在數(shù)學(xué)思考過(guò)程中，學(xué)生必須借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言才能使思維外顯和延續(xù)，彰顯智慧。加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力的培養(yǎng)，可以讓思維更嚴(yán)密、更開放、更準(zhǔn)確。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的培養(yǎng)路徑可參見圖8：

圖8

文字、符號(hào)、圖形三位一體，在直觀語(yǔ)言和抽象語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化中，學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范→精練準(zhǔn)確→簡(jiǎn)潔可變的提升過(guò)程。在“用數(shù)對(duì)確定位置”中，“3組2號(hào)”是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，（3，2）是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言；實(shí)物圖、示意圖、坐標(biāo)圖等是直角坐標(biāo)系的不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)語(yǔ)言不斷升級(jí)的背后，是學(xué)生思維水平的提升。

作為數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)的“三會(huì)”，它是一個(gè)整體，三者互為支撐。一方面，數(shù)學(xué)眼光的觀察和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)都離不開數(shù)學(xué)思維；另一方面，數(shù)學(xué)思維也肯定要在“眼光”和“語(yǔ)言”拓展出的空間中開展?！把酃狻?“思維”和“語(yǔ)言”清楚地告訴我們數(shù)學(xué)課程要學(xué)什么，“觀察” “思考”和“表達(dá)”清楚地告訴我們應(yīng)該怎么學(xué)。