韓紅軍

(陜西省麟游縣中學(xué))

2022年新高考Ⅰ卷的數(shù)學(xué)試題倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用,關(guān)注我國社會(huì)主義建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要成果,突出數(shù)學(xué)本質(zhì),重視理性思維,堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則,設(shè)計(jì)真實(shí)問題情境,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.尤其是第22題,對(duì)能力的要求比往年高,“題海戰(zhàn)術(shù)”的功效明顯下降,堅(jiān)持熟而不俗、俗而不易、穩(wěn)中求變、變中出新的命題初心,科學(xué)把握必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的關(guān)系,全面體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求.

1.原題再現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(Ⅰ)求a;

(Ⅱ)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

本題結(jié)構(gòu)新穎,思維巧妙.本題由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)新函數(shù)為載體,第(Ⅰ)問考查函數(shù)的最值問題,設(shè)置比較基礎(chǔ);第(Ⅱ)問考查函數(shù)與方程,屬于探索創(chuàng)新情境,具有一定的選拔性,主要考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力,以及數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法,考查學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性及創(chuàng)新性.命題人將指、對(duì)函數(shù)與參數(shù)結(jié)合,考查函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理、反函數(shù)等知識(shí).從命題的角度看,主要考查如下關(guān)鍵能力;從學(xué)生答卷情況看,主要涉及如下失誤.

序號(hào)關(guān)鍵信息抽象概括能力1函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值,求a解決函數(shù)的最值問題可考慮研究函數(shù)的單調(diào)性,本題中的兩個(gè)函數(shù),定義域都是開區(qū)間,從兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可以看出,當(dāng)a≤0時(shí),顯然兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù),那么在定義域內(nèi)是沒有最值的,再討論當(dāng)a>0時(shí),兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得兩個(gè)函數(shù)的最小值,根據(jù)最小值相同,得到方程a-alna=1+lna,解這個(gè)超越方程有一個(gè)難點(diǎn),雖然能夠得到一個(gè)特殊解a=1,但是否還有其他解未可知,這就需要轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于a的函數(shù),去研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)

續(xù)表

1.1關(guān)鍵能力

1.1.1抽象概括能力

1.1.2推理論證能力

函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)、方程的根三者間的轉(zhuǎn)化應(yīng)用.

1.1.3運(yùn)算求解能力

應(yīng)用零點(diǎn)存在定理時(shí)判斷符號(hào)的取值、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化、指對(duì)同構(gòu)都對(duì)運(yùn)算求解能力提出了較高的要求.

1.2學(xué)生失誤分析

第(Ⅰ)問,解超越方程a-alna=1+lna思路不清;第(Ⅱ)問,一是找不到解決三個(gè)交點(diǎn)問題的突破口;二是直線y=b與兩條曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的證明不嚴(yán)謹(jǐn);三是不能對(duì)三個(gè)交點(diǎn)滿足的關(guān)系靈活地進(jìn)行指對(duì)變形或同構(gòu).

2.解法探究

第(Ⅰ)問的解法探究.

若a≤0,f′(x)>0恒成立,f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)沒有最小值;

若a>0,令f′(x)=0得x=lna,當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值為f(lna)=a-alna.

若a≤0,g(x)沒有最小值;

上述解法比較復(fù)雜,構(gòu)造函數(shù)的好與壞直接影響著求解過程的簡與繁,觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,我們發(fā)現(xiàn)a-alna=1+lna含有超越函數(shù),并且lna前面還有a,于是想到分離lna,因此我們得到解法二.

第(Ⅱ)問的解法探究.本小題對(duì)于學(xué)生有一定的難度.思路1:構(gòu)造函數(shù),G(x)=f(x)-g(x),通過函數(shù)的單調(diào)性尋找函數(shù)G(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn),利用零點(diǎn)存在定理,確定唯一零點(diǎn)x0∈(e-2,1),從而得到證明;思路2:以g(x)為主函數(shù),采用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行同構(gòu),將對(duì)數(shù)向指數(shù)轉(zhuǎn)化;思路3:以f(x)為主函數(shù),采用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行同構(gòu),將指數(shù)向?qū)?shù)轉(zhuǎn)化;思路4:比較巧妙通過觀察發(fā)現(xiàn)y=ex與y=lnx互為反函數(shù),y=x+b與y=x-b互為反函數(shù),利用對(duì)稱性得到x0-x1=y2-y0.思維導(dǎo)圖如下.

所以直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)從左到右共有三個(gè)不同的交點(diǎn)(lnx0,b),(x0,b),(ex0,b).因?yàn)閑x0+lnx0=2x0,所以這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

解法四:證明:(反函數(shù)法)由題意可得,ex-x=b和x-lnx=b共有三個(gè)不同的根,等價(jià)于ex=x+b和lnx=x-b共有三個(gè)不同的根.因?yàn)閥=ex和y=lnx互為反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,y=x+b和y=x-b也互為反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對(duì)稱.根據(jù)對(duì)稱性,得?b∈R,使得y=ex與y=x+b交于A,B兩點(diǎn),y=lnx與y=x-b交于C,D兩點(diǎn),且B,C橫坐標(biāo)相同時(shí)有3根.設(shè)A(x1,y1),B(x0,y0),C(x0,y0),D(x2,y2),由反函數(shù)的對(duì)稱性,易知x0-x1=y2-y0,又直線CD斜率為1,故y2-y0=x2-x0,所以x2-x0=x0-x1,x2+x1=2x0,即三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

3.高考二輪復(fù)習(xí)備考策略

通過這道題的探究過程,啟示我們高考二輪復(fù)習(xí)備考要從以下方面著手.

3.1把握命題方向,提高復(fù)習(xí)效率

新高考備考要立足《中國高考評(píng)價(jià)體系》,立足《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》,立足教材,依托“一核四層四翼”評(píng)價(jià)體系,明確“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查要求,遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,把握新高考命題方向,注重“能力立意”和“素養(yǎng)導(dǎo)向”,注重學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系,夯實(shí)數(shù)學(xué)必備知識(shí),提升學(xué)生關(guān)鍵能力,優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

3.2優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì),促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

高考備考要聚焦主干知識(shí)為主線,精心設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)教學(xué)過程,創(chuàng)設(shè)問題和實(shí)際情境,以問題意識(shí)喚醒學(xué)生的隱性知識(shí)積累,建構(gòu)知識(shí)體系,注重通性通法,夯實(shí)必備知識(shí),幫助學(xué)生深度理解核心概念、數(shù)學(xué)規(guī)則和思想方法,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)深度思維和深度學(xué)習(xí).

3.3實(shí)施單元教學(xué),完善知識(shí)體系

高考備考要圍繞主干知識(shí)為主線,實(shí)施單元教學(xué),對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法進(jìn)行重新組合,可以是橫向的,也可以是縱向的,以大單元為依據(jù)選擇二輪復(fù)習(xí)主題,以高考真題或經(jīng)典模擬題為例題,以問題鏈、變式串的形式引領(lǐng)學(xué)生思考和交流,引導(dǎo)學(xué)生深度思考.

3.4強(qiáng)化解題教學(xué),適應(yīng)題型變化