袁小強(qiáng) 蔣愛國(guó)

(江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

通過(guò)對(duì)近四年新高考、全國(guó)卷的研究,不難發(fā)現(xiàn)解三角形大題的考查方向靈活多變,與其他數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)(函數(shù)、方程、向量等)綜合考查,試題考查從單一走向復(fù)雜,重點(diǎn)考查學(xué)生的題意理解能力和化歸與轉(zhuǎn)化的思想,因此需培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力,同時(shí)試題考查要求學(xué)生在面對(duì)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題和新穎、較為復(fù)雜情境時(shí),具有一定的探究能力與創(chuàng)新精神.

年份題號(hào)背景題型條件個(gè)數(shù)問(wèn)題個(gè)數(shù)考點(diǎn)2019全國(guó)Ⅰ卷理科17單三角形求角1+12正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)的性質(zhì)2019北京卷理科15單三角形求邊,求角32正弦定理、余弦定理、兩角和差公式2020山東卷17單三角形結(jié)構(gòu)不良題(三選一)2+11(探究性)正弦定理與余弦定理2021八省聯(lián)考18四邊形求邊,求角1+12余弦定理2021新高考Ⅰ卷19多三角形證明,求角2+12正弦定理與余弦定理2022新高考Ⅰ卷18單三角形求角,求最值12倍角公式、兩角和差公式、余弦定理、基本不等式

1.全國(guó)卷解三角形題型統(tǒng)計(jì)

2.題型分析

題型一:靜態(tài)單三角形

1.已知三個(gè)條件解三角形

(Ⅰ)求b,c的值;

(Ⅱ)求sin(B-C)的值.

∴b=7,∴c=b-2=5.

【評(píng)注】本題在一個(gè)三角形中考查正弦定理、余弦定理,已知三個(gè)條件,往往三角形已經(jīng)確定了,從而研究邊和角,考查角時(shí)可以利用三角形內(nèi)角和為π,考查研究?jī)山呛团c差的正、余弦公式.

2.結(jié)構(gòu)不良題添加條件構(gòu)成三個(gè)條件解三角形

∴b=1,c=1.

【評(píng)注】本題考查解三角形中的正弦定理與余弦定理,20年山東卷第一次出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良試題,已知兩個(gè)條件,再?gòu)娜齻€(gè)條件中選一個(gè),構(gòu)成三個(gè)條件,若選條件①②三角形確定并且存在,若選條件③三角形確定但不存在,題中給出①②③三個(gè)條件對(duì)于解題難易差不多,相當(dāng)于三個(gè)變量三個(gè)方程,構(gòu)造方程組解題.

題型二:動(dòng)態(tài)單三角形

1.已知兩個(gè)條件求角

【例3】(2019·全國(guó)Ⅰ卷理·17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(Ⅰ)求A;

【解析】(Ⅰ)∵(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,

∴sin2B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC.

【評(píng)注】本題考查正弦定理、余弦定理,該題給了一個(gè)條件相當(dāng)于已知了角A,第(Ⅱ)問(wèn)加了一個(gè)條件:三邊的關(guān)系,三個(gè)變量,只有兩個(gè)方程,本質(zhì)上一個(gè)三角形只給出兩個(gè)條件不能解三角形,但是本題三角形的形狀固定,從而可以求另外兩個(gè)定角,動(dòng)態(tài)三角形中有“定角”,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“動(dòng)”中有“靜”.

2.已知一個(gè)條件求范圍

即cosAcosB-sinAsinB=sinB,∴cos(A+B)=sinB,即-cosC=sinB.

時(shí)等號(hào)成立

),

題型三:靜態(tài)四邊形

【例5】(2021·八省聯(lián)考·18)在四邊形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=BD=1.

(Ⅱ)若AB=2BC,求cos∠BDC.

∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD.

(Ⅱ)設(shè)BC=x,則AB=2x,

在△ABD中,由余弦定理得1=(2x)2+1-2·2xcos∠ABD, ①

在△BCD中,由余弦定理得x2=1+1-2cos∠BDC, ②

∵CD∥AB,∴∠BDC=∠ABD,

【評(píng)注】本題考查余弦定理,已知四邊形ABCD由△BCD和△ABD兩個(gè)三角形構(gòu)成,且兩個(gè)三角形有公共邊BD,且易知∠BDC=∠ABD,第(Ⅰ)問(wèn)在△BCD中,求邊BC,已知△BCD中的兩邊差一個(gè)條件,∠ABD轉(zhuǎn)化為求∠BDC,三角形確定了;第(Ⅱ)問(wèn)已知△BCD和△ABD中一組角相等,一組邊有關(guān)系,兩個(gè)變量構(gòu)造成方程組,消元即可求解,四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形,找出兩個(gè)三角形角和邊之間的關(guān)系,通過(guò)構(gòu)造方程組求解.

題型四:靜態(tài)多三角形

【例6】(2015·全國(guó)Ⅱ卷理·17)△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.

【解析】(Ⅰ)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.

又AB=2AC,cos∠ADB=-cos∠ADC,∴AC=1.

【評(píng)注】本題考查三角形的面積公式、正弦定理和余弦定理,已知在△ABC中,AD平分∠BAC,把大三角形分為兩個(gè)小三角形,兩個(gè)三角形有公共邊AD,兩個(gè)角∠ADB和∠ADC互補(bǔ).又易知AB=2AC,從而用余弦定理構(gòu)造方程組,可以求出邊和角,三個(gè)未知數(shù)三個(gè)方程,消元即可求解.本題解題關(guān)鍵是找出兩個(gè)三角形角和邊之間的關(guān)系,通過(guò)構(gòu)造方程組求解.

題型五:動(dòng)態(tài)四邊形

【例7】已知△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足(2a-c)cosB=bcosC.

(Ⅰ)求B的大小;

(Ⅱ)如圖,AB=AC,在直線AC的右側(cè)取點(diǎn)D,使得AD=2CD=4,求四邊形ABCD面積的最大值.

∵(2a-c)cosB=bcosC,

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.

在△ACD中,由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2AD·CDcosD=16+4-2×4×2cosD=20-16cosD,

【評(píng)注】本題考查正弦定理、余弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì),四邊形ABCD因角D的變化而變化,因此四邊形ABCD面積可以分解為兩個(gè)三角形,△ABC和△ACD的面積都可以用一個(gè)變量角D來(lái)表示,從而化歸為三角函數(shù)的最值問(wèn)題.

題型六:動(dòng)態(tài)多三角形

(Ⅰ)求角B的大小;

∴2sinAsinBcosB-sinCsinAcosA=sin2AcosC.

∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴2sinBcosB-sinCcosA=sinAcosC,

∴2sinBcosB=sin(A+C),∴2sinBcosB=sin(π-B),

∴2sinBcosB=sinB.

∴a·1·c·cos∠ABD=c·1·a·cos∠CBD,

∴cos∠ABD=cos∠CBD.

【評(píng)注】本題考查正弦定理、余弦定理和函數(shù)的性質(zhì),已知在△ABC中角B及其平分線長(zhǎng),從而將△ABC分解為兩個(gè)三角形,因?yàn)閍和c之間有關(guān)系,而邊b又可以用a,c表示,所以△ABC周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為用a,c表示,可以把a(bǔ)c或a+c看成整體,多元變量最值問(wèn)題化歸為單元變量最值問(wèn)題,最后應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

3.教學(xué)反思

3.1注重四基四能

新高考解三角形大題仍然是深化基礎(chǔ)性考查,要求學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的基本概念和基本思想方法,解三角形中重視正弦、余弦定理及三角形相關(guān)性質(zhì),重視三角形中邊、角的內(nèi)在聯(lián)系.要求學(xué)生深刻理解邊、角相互轉(zhuǎn)化的本質(zhì),基于探究的三角形中邊角教學(xué)活動(dòng),深化概念,內(nèi)化方法.要求中學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)、見識(shí)上下功夫,在數(shù)學(xué)知識(shí)方法應(yīng)用的靈活性和創(chuàng)造性上下功夫,在培養(yǎng)關(guān)鍵能力上下功夫.

3.2把握命題方向

解三角形要善于發(fā)現(xiàn)三角形圖形和三角形基本量邊角之間的關(guān)系,體會(huì)圖形與圖形、圖形和數(shù)量的關(guān)系,探索圖形之間的規(guī)律,借助圖形探索解決問(wèn)題的途徑,新高考中解三角形已從單三角形向多三角形、從靜態(tài)向動(dòng)態(tài)、從單元向多元、從簡(jiǎn)單向復(fù)雜等方向進(jìn)行考查.在教學(xué)中,應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考、主動(dòng)深化探究,從思維角度研究邊角轉(zhuǎn)化關(guān)系,從運(yùn)算角度探究數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系,幫助學(xué)生理解其中蘊(yùn)涵的“數(shù)形結(jié)合” “化歸與轉(zhuǎn)化”等重要數(shù)學(xué)思想.

3.3提高核心素養(yǎng)