王建民

(北京市延慶區(qū)教育科學(xué)研究中心)

統(tǒng)計(jì)與概率題是高中數(shù)學(xué)的核心模塊,也是北京高考的重點(diǎn),這一部分的知識(shí)內(nèi)容看似簡(jiǎn)單,但在實(shí)際的解題過程中卻有學(xué)生頻頻出錯(cuò),究其原因主要就是對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的概念理解不深,甚至都不知道統(tǒng)計(jì)與概率的定義,根本沒有研究概率的基本思維習(xí)慣;另外的一個(gè)問題就是閱讀理解能力太差,根本看不懂題.本文以2018年北京高考數(shù)學(xué)第17題為例,希望對(duì)教師的教學(xué)有一定的啟發(fā),更好的提升課堂教學(xué)的有效性.

1.試題呈現(xiàn)

【例1】(2018·北京卷·17改編)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:

好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(Ⅰ)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;

(Ⅱ)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率;

(Ⅲ)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等,用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.

(Ⅲ)問考查考生對(duì)方差概念的理解,好評(píng)率越接近50%,差距就越大,如第一類電影有40%的好評(píng)率,說(shuō)明有40%的人認(rèn)為好,60%的人認(rèn)為不好,差距比較大,自然方差就大,而第六類電影只有10%的人認(rèn)為好,90%的人認(rèn)為不好,意見相對(duì)就一致,方差就小,Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6,當(dāng)然此題也可通過兩點(diǎn)分布的方差公式來(lái)計(jì)算.

本題加強(qiáng)了對(duì)概念本質(zhì)的考查,注重了對(duì)考生閱讀理解能力的考查,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到了促進(jìn)作用.

2.試題的易錯(cuò)點(diǎn)分析

此題通過對(duì)生活中的一個(gè)有關(guān)電影好評(píng)率收集的數(shù)據(jù)分析,此題立意新,關(guān)注實(shí)際生活,考查考生對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率本質(zhì)的理解,解答此題要求考生對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的定義、本質(zhì)要有清楚的認(rèn)識(shí),要有較強(qiáng)的閱讀理解能力,如果僅通過“刷題” “模式化”教學(xué)就很難理解此題.

2.1第一問易錯(cuò)點(diǎn)分析

第(Ⅰ)問,由于考生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)本質(zhì)理解不到位,在試卷中發(fā)現(xiàn)很多問題,主要有以下類型錯(cuò)誤:(P(A)表示從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率)

一些考生計(jì)算錯(cuò)、看錯(cuò)(第四類看成第五類外)就不一一列舉了.

2.2第二問易錯(cuò)點(diǎn)分析

考生主要有以下幾十種錯(cuò)誤:

9.學(xué)生答案P(B)=(0.25×0.8)×(0.75×0.2).錯(cuò)因:把互斥事件與相互獨(dú)立事件混淆;

11.學(xué)生答案P(B)=0.25+0.2-0.25×0.2=0.4.錯(cuò)因:理解成了求集合并集了,實(shí)質(zhì)上是求恰有一個(gè)好評(píng)的概率,如果再減一個(gè)都是好評(píng)的就對(duì)了;

12.學(xué)生答案P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2+0.25×0.2=0.4.錯(cuò)因:誤認(rèn)為至少有一個(gè)好評(píng)的概率;

17.學(xué)生答案P(B)=0.25×0.8=0.2或P(B)=0.75×0.2=0.15.錯(cuò)因:不知道怎么算相互獨(dú)立事件的概率;

2.3第三問易錯(cuò)點(diǎn)分析

學(xué)生主要有以下錯(cuò)誤:

1.不理解方差意義,瞎寫一通;

2.有些學(xué)生把它們寫反了,誤認(rèn)為好評(píng)率越大,越集中,方差就越小,不理解好評(píng)率與方差的關(guān)系,所以把順序?qū)懛戳?

3.計(jì)算錯(cuò)了,記不清方差公式,只記得個(gè)大概,當(dāng)然就出錯(cuò)了.

這些錯(cuò)誤的原因除了個(gè)別學(xué)生可能是看錯(cuò)了外,恐怕主要就是對(duì)概率的概念不理解,甚至都不知道概率的定義,根本沒有研究概率的基本思維習(xí)慣,不知道什么是一次試驗(yàn),什么是基本事件,什么是基本事件空間.另外的一個(gè)問題就是閱讀理解能力太差,根本看不懂題.不理解方差的本質(zhì),只是死記公式,只知道“刷題” “模式化”訓(xùn)練,特別進(jìn)入高三后,師生基本都把課本扔到一邊,根本不看,只是一味的做題,死記題型,模式化訓(xùn)練.

3.教學(xué)啟示

從高考的角度來(lái)講,該板塊在高考中占有重要地位,該部分知識(shí)既出現(xiàn)在選擇、填空題中,又出現(xiàn)在解答題中.從實(shí)踐的角度來(lái)講,在日常生活中學(xué)生常會(huì)遇到與概率和統(tǒng)計(jì)相關(guān)的問題.通過一道北京高考題學(xué)生們出現(xiàn)的錯(cuò)誤,給我們教學(xué)提供了一些很好的啟示.

3.1教學(xué)中要明確高考考查的方向

統(tǒng)計(jì)與概率一題在高考中承擔(dān)著數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)匯總分析、通過分析統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的任務(wù),在統(tǒng)計(jì)與概率題中通常從生產(chǎn)和生活中的實(shí)際問題出發(fā),以解決生活中的實(shí)際問題為目的,因此,通常將生活當(dāng)中的問題抽象為數(shù)學(xué)問題來(lái)進(jìn)行求解,但是萬(wàn)變不離其宗,主要考查知識(shí)點(diǎn)仍然是讀懂統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)圖,學(xué)會(huì)使用相應(yīng)的計(jì)算公式來(lái)解題.因此,在教學(xué)中要明確高考考查的方向,對(duì)于高頻的考點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)性的總結(jié)與訓(xùn)練,以提高學(xué)生的解題熟練程度和解題速度.通過大量的做題來(lái)掌握這類題目的解題套路,從而減少解題的時(shí)間,提高做題效率.

3.2教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)

根據(jù)對(duì)近年來(lái)的高考題目的歸納總結(jié),不難發(fā)現(xiàn)這類題目在試卷中所占的篇幅有逐漸增加的趨勢(shì).有時(shí)候會(huì)占試卷的較大篇幅,學(xué)生在閱讀理解方面會(huì)花費(fèi)較長(zhǎng)的時(shí)間,這也是近年來(lái)統(tǒng)計(jì)與概率部分考查的一個(gè)發(fā)展方向,即提高題目的閱讀量,來(lái)增加考生的閱讀困難.因此,在統(tǒng)計(jì)與概率部分進(jìn)行教學(xué)的過程當(dāng)中,應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生的閱讀速度進(jìn)行提升,抓住關(guān)鍵字詞,防止出現(xiàn)對(duì)題目理解偏差的現(xiàn)象.只有在平時(shí)的教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng),多下功夫找一些題目較長(zhǎng)的練習(xí)題來(lái)強(qiáng)化學(xué)生完成閱讀,才能夠培養(yǎng)他們的耐心和信心.

3.3教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

就高中的各知識(shí)板塊而言,統(tǒng)計(jì)與概率部分是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的關(guān)鍵章節(jié).進(jìn)入高中階段,學(xué)生經(jīng)常會(huì)感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實(shí)際生活的聯(lián)系不密切,有些學(xué)生甚至出現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無(wú)意義論.通過統(tǒng)計(jì)與概率部分的學(xué)習(xí),教師應(yīng)該有效培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),在實(shí)際的教學(xué)中,通過將實(shí)際生活中的例子運(yùn)用于課堂教學(xué),來(lái)啟發(fā)學(xué)生將理論知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活的意識(shí)與能力.學(xué)生一旦形成了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),生活中遇到的很多問題就能夠迎刃而解.