余繼光

(浙江省紹興市柯橋中學(xué))

教育部高考命題中心數(shù)學(xué)命題專家依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中高考數(shù)學(xué)命題評價(jià)標(biāo)準(zhǔn),命制新高考數(shù)學(xué)空間幾何題所形成的命題文化氛圍,不同于其他省市單獨(dú)命題的命題文化氛圍,因此,一線教師在高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)時(shí),一要關(guān)注近幾年新高考空間幾何題的命題特點(diǎn);二要把握其命題特色,使復(fù)習(xí)更加有效,著力點(diǎn)更加準(zhǔn)確.

1.近兩年新高考空間幾何題的命題特點(diǎn)

以新高考Ⅰ卷為例,2021年與2022年新高考空間幾何題體現(xiàn)在多面體與旋轉(zhuǎn)體的融合性,標(biāo)準(zhǔn)幾何體中點(diǎn)線面的動(dòng)態(tài)性,命題手段的逆向性,空間圖形的應(yīng)用性等.

表1

1.1 2021年新高考空間幾何題的命題特點(diǎn)

(1)融合性:空間幾何題選擇的幾何圖形既有旋轉(zhuǎn)體(圓錐)又有多面體(正三棱柱與三棱錐);

(2)動(dòng)態(tài)性:在標(biāo)準(zhǔn)幾何體——正三棱柱中引入向量與雙參數(shù),使點(diǎn)、線變動(dòng),判斷度量關(guān)系與位置關(guān)系命題的正確性;

( )

A.當(dāng)λ=1時(shí),△AB1P的周長為定值

B.當(dāng)μ=1時(shí),三棱錐P-A1BC的體積為定值

求解中快速而準(zhǔn)確地畫出直觀圖進(jìn)行邏輯推理與分析,從而可以判斷A錯(cuò)誤,B正確,C錯(cuò)誤,D正確,考查空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系與度量關(guān)系分析的基本功;

(3)逆向性:解答題中,空間幾何位置關(guān)系中的由面面垂直推證線線垂直,度量關(guān)系由二面角大小反推算三棱錐體積,都屬于逆向設(shè)問.

1.2 2022年新高考空間幾何題的命題特點(diǎn)

表2

(1)應(yīng)用性:用數(shù)學(xué)眼光看現(xiàn)實(shí)情境,解決近似臺體體積的大數(shù)據(jù)計(jì)算與表示問題;

(2)融合性:正四棱錐與外接球結(jié)合,將其中幾何量間的關(guān)系隱藏,邏輯推理計(jì)算出幾何體的體積范圍;

( )

剖析:設(shè)該球的半徑為R,

設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長為a,如圖,

當(dāng)且僅當(dāng)h=12-2h,即h=4時(shí),等號成立.

導(dǎo)數(shù)思路:f′(h)=2h(4-h),

故選C.

將多面體與旋轉(zhuǎn)體融合在一起是新高考空間幾何題的一大特色,球的體積給定即球的半徑給定;抓住四棱錐中的“圖眼”;求解四棱錐體積函數(shù)的最值,需要尋找合適的自變量;側(cè)棱長是變量,說明四棱錐的高在變化.

(3)經(jīng)典性:在正方體中命制線線(異面)所成角與線面所成角命題,考查學(xué)生的空間想象、邏輯推理基本功;

(4)逆向性:由幾何體的體積,逆向計(jì)算點(diǎn)到平面的距離與二面角的大小.

2.2023年新高考空間幾何題命題特色預(yù)測

通過近兩年新高考空間幾何題的上述命題特點(diǎn),預(yù)測2023年新高考空間幾何題仍將保持這些特點(diǎn)與命題特色文化.

2.1多面體與旋轉(zhuǎn)體的融合特色

空間幾何體由多面體與旋轉(zhuǎn)體組合,多面體的內(nèi)切球與外接球是命題的一大背景;另一特色就是球體內(nèi)放置多面體,這一融合將球體的幾何要素與多面體的幾何要素間關(guān)系隱藏,應(yīng)試者必須熟練地挖掘出它們之間的聯(lián)系,從而解決給定的問題.

2.2空間幾何體中的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律

空間幾何體中任何一個(gè)幾何要素的變化都可以引起位置關(guān)系與度量關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化,其間是否有定值定位的規(guī)律呢?需要應(yīng)試者具有分析智慧與空間想象能力,如果以參數(shù)形式帶動(dòng),必須將“數(shù)”與“形”準(zhǔn)確有機(jī)結(jié)合,解題思維與途徑才能突破.

2.3逆向設(shè)計(jì)位置與度量關(guān)系混合呈現(xiàn)

高考數(shù)學(xué)命題專家逆向設(shè)計(jì)命題手段是最熟練的,應(yīng)試者只需順向思考,不受逆向設(shè)計(jì)的干擾,遇“河”搭“橋”,引入基本要素變量.

3.新高考空間幾何專題復(fù)習(xí)的變式訓(xùn)練

科學(xué)研究表明,開放式的變式訓(xùn)練是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常有益的,可以提升或培養(yǎng)空間想象的關(guān)鍵能力.

3.1由平面圖形折疊成空間幾何體中變式訓(xùn)練

由平面圖形——折成空間幾何體——補(bǔ)成規(guī)范空間幾何體,以便于研究其點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系或度量關(guān)系,尋找圖眼運(yùn)用邏輯推理,或建立空間直角坐標(biāo)系運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算,以便于發(fā)現(xiàn)棱長之間的數(shù)量關(guān)系,如此“動(dòng)手折,動(dòng)腦思,動(dòng)筆算,用心變”變式訓(xùn)練可以豐富學(xué)生的空間想象能力,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解關(guān)鍵能力.

【案例1】三角形折疊

動(dòng)手動(dòng)腦:用硬紙(板)剪一個(gè)(正)三角形,然后按對稱軸折起,用一線段連接構(gòu)成一個(gè)半封閉的三棱錐,觀察分析三棱錐的特征,可將三棱錐補(bǔ)形成三棱柱.

提出問題:一個(gè)邊長為2的正三角形△ABC沿高AD折起后,使B,C間距離為x,則當(dāng)x為________時(shí),平面ABD⊥平面ACD;當(dāng)x為________時(shí),CD⊥平面ABD;當(dāng)x為________時(shí),直線AB⊥CD.

【變式1】一個(gè)邊長為2的正三角形△ABC沿高AD折起后,使B,C間距離為x,則

當(dāng)x為________時(shí),平面ABD與平面ACD構(gòu)成的二面角為60°;

當(dāng)x為________時(shí),BC與平面ABD所成角為60°;

設(shè)△ABC重心為G,當(dāng)x為________時(shí),直線BD與CG所成角為60°.

解析:按照題意折成的三棱錐A-BCD,如圖1所示,

圖1

底面△BCD是一個(gè)腰長為1的等腰三角形,

且AD⊥平面DBC,因此可將此三棱錐補(bǔ)形為直三棱柱,

如圖2所示,易知∠BDC為平面ABD與平面ACD所成二面角的平面角,

圖2

所以當(dāng)x=BD=CD=1時(shí),

二面角∠BDC=60°;

過點(diǎn)C作CF⊥BD交BD于點(diǎn)F,

易知CF⊥平面ABD.

因?yàn)椤螪BC為直線BC與平面ABD所成角,

所以當(dāng)∠DBC=60°時(shí),x=BD=CD=1;

如圖3所示,

圖3

連接CE,GE,GC.

因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心,

則∠EGC為直線BD與CG所成角,

所以∠EGC=60°,

在△BEC中,CE2=BE2+BC2-2BE·BC·cos∠EBC,

【變式2】一個(gè)底邊為2,腰為3的等腰三角形ABC沿高AD折起后,使B,C間距離為x,則當(dāng)x為________時(shí),平面ABD與平面ACD構(gòu)成60°二面角;當(dāng)x為________時(shí),BC與平面ABD所成角為60°;當(dāng)x為________時(shí),直線AB⊥CD.

解析:依題意折成三棱錐A-BCD,

底面△BCD是一個(gè)腰長為1的等腰三角形,

且AD⊥平面BCD,

因此可將該三棱錐補(bǔ)形為直三棱柱,

易知∠BDC為平面ABD與平面ACD所成二面角的平面角,

所以當(dāng)x=BD=CD=1時(shí),

二面角∠BDC=60°.

過點(diǎn)C作CE⊥BD交BD于點(diǎn)E,

易知CE⊥平面ABD,

所以∠DBC為直線BC與平面ABD的所成角,

當(dāng)∠DBC=60°時(shí),x=BD=CD=1,

【設(shè)計(jì)意圖】

(1)動(dòng)手折三角形的過程,要能畫出直觀圖,補(bǔ)形圖,鍛煉學(xué)生的畫圖能力——空間想象能力;

(2)面對直觀圖,動(dòng)腦思考的過程,可以提出一系列的具有邏輯推理思維的空間幾何問題;

(3)平面圖形轉(zhuǎn)化為空間幾何體的動(dòng)態(tài)變化是一大特色,體現(xiàn)經(jīng)典性與動(dòng)態(tài)性,將立體幾何中的點(diǎn)線面位置關(guān)系與度量關(guān)系全面復(fù)習(xí)到位.

【案例2】正方形折疊

動(dòng)手動(dòng)腦:用硬紙(板)剪一個(gè)正方形,然后按要求虛線折起,構(gòu)成一個(gè)全封閉的三棱錐,觀察分析三棱錐的特征,發(fā)現(xiàn)其是直四棱柱的一部分,即可將三棱錐補(bǔ)形成直四棱柱.

提出問題:一個(gè)邊長為1的正方形AP1P2P3,B是P1P2中點(diǎn),C是P2P3中點(diǎn),沿AB,BC,CA折起后使P1,P2,P3重合為點(diǎn)P,則平面ABC與平面PBC所成二面角的正切值為________.

解析:按照題意折成三棱錐P-ABC,

PA,PB,PC兩兩垂直,

將此三棱錐補(bǔ)形為長方體,如圖所示,

過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D,連接AD,

則∠ADP為平面ABC與平面PBC構(gòu)成二面角的平面角,

【變式1】一個(gè)邊長為1的正方形AP1P2P3,B是P1P2中點(diǎn),C是P2P3中點(diǎn),沿AB,BC,CA折起后使P1,P2,P3重合為點(diǎn)P,則直線PA與平面ABC所成角正切值為________.

解析:按照題意折成三棱錐P-ABC,

PA,PB,PC兩兩垂直,

此時(shí)三棱錐為墻角模型,

取BC的中點(diǎn)D,連接AD,

過點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E,

則∠PAE為直線PA與平面ABC所成角,

【變式2】一個(gè)邊長為1的正方形AP1P2P3,B是P1P2中點(diǎn),C是P2P3中點(diǎn),沿AB,BC,CA折起后使P1,P2,P3重合為點(diǎn)P,設(shè)三角形ABC的重心為G,則直線PG與AB所成角的余弦值為________.

解析:以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn),PB,PC,PA所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

【變式3】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E是棱D1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在正方體內(nèi)部或正方體的面上,如圖,且滿足EF∥平面A1BC1,則

( )

A.動(dòng)點(diǎn)F軌跡為由正六邊形所圍成的平面區(qū)域外(含邊界)

B.動(dòng)點(diǎn)F軌跡為由正六邊形所圍成的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)

解析:如圖1,在正方體內(nèi)作出截面EFGHIJ,

且平面EFGHIJ∥平面A1BC1,

所以動(dòng)點(diǎn)F的軌跡為由正六邊形所圍成的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界),故A錯(cuò)誤,B正確;

故C正確;

如圖2,連接B1D1交A1C1于點(diǎn)O,

連接BO,BD1,

因?yàn)槠矫鍱FGHIJ∥平面A1BC1,

所以BD1與平面A1BC1所成的角即為θ.

因?yàn)橹本€BD1在平面A1BC1的投影為BO,

所以∠D1BO即為所求的角.

在△BOD1中,由余弦定理的推論得

故D錯(cuò)誤,故選BC.

圖1

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】

(1)此處所提問題及變式把空間三大角問題都涉及到;

(2)解決問題的方法也比較多,有傳統(tǒng)法、幾何法、坐標(biāo)法;

(3)變式問題體現(xiàn)新高考空間幾何題命題的特色.

3.2多面體與旋轉(zhuǎn)體融合變式訓(xùn)練

多面體與旋轉(zhuǎn)體融合的方式與途徑很多,命題專家也在不斷地變化,只有在開放式變式訓(xùn)練中才能提升學(xué)生的創(chuàng)新意識與實(shí)踐能力,迎接新高考空間幾何題對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

【案例3】如圖,AC為圓O的直徑,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),PA垂直于圓O所在的平面,連接PB,PC,AB,BC,作AN⊥PB,AS⊥PC,連接SN.

(Ⅰ)求證:∠ASN是二面角A-PC-B的平面角;

(Ⅱ)若∠ACB=30°,∠PCA=45°,求二面角A-PC-B的正弦值.

【變式1】如圖,AC=2為圓O的直徑,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),PA垂直于圓O所在的平面,連接PB,PC,AB,BC.若∠ACB=30°,∠PCA=45°.

(Ⅰ)求A到平面PBC的距離;

(Ⅱ)求AP與BC之間的距離.

【變式2】AC=2r為圓O的直徑,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),PA垂直于圓O所在的平面,∠PCA=45°,設(shè)PB與平面PAC所成角為θ,求sinθ的最大值.

【變式3】如圖,AC為圓O的直徑,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),PA垂直于圓O所在的平面,連接PB,PC,AB,BC,作AN⊥PB,AS⊥PC,連接SN,設(shè)圓O的半徑為1,∠ACB=30°,∠PCA=45°.

(Ⅰ)求S△SAN;

【變式4】如圖,AC為圓O的直徑,點(diǎn)B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),PA垂直于圓O所在的平面,連接PB,PC,AB,BC,作AN⊥PB,AS⊥PC,連接SN,∠APC=60°,∠BAC=α,∠ASN=β,證明tanα·tanβ=2.

【變式5】如圖,圓柱的軸截面ACDP是正方形,點(diǎn)B在底面的圓周上,AN⊥PB,N為垂足.

(Ⅰ)求證:AN⊥PC;

(Ⅱ)如果圓柱與三棱錐P-ABC的體積比為3π,求直線PB與平面ACDP所成角的正切值.

【變式6】在基本模型中(如圖),A點(diǎn)在PB和PC上的射影分別為N和S,設(shè)PA=AC=2a,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)B在圓周上移動(dòng)時(shí),四面體PANS的體積是否存在最大值?

【問題解答】

∴∠ASN是二面角A-PC-B的平面角;

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知∠ASN是二面角A-PC-B的平面角,

設(shè)AC=2,則AB=1,PA=2,

解法二:過點(diǎn)B作BD⊥PC于點(diǎn)D,

過點(diǎn)D在平面PAC內(nèi)作PC的垂線交AC于點(diǎn)E,連接BE,

則∠BDE是二面角A-PC-B的平面角,

易證BE⊥DE,設(shè)AC=2,

【變式1】(Ⅰ)過點(diǎn)A作AN⊥PB于點(diǎn)N,

(Ⅱ)∵PA⊥AB,AB⊥BC,∴AB=1為AP與BC之間的距離.

BD⊥平面PAC,

∴∠BPD為PB與平面PAC所成的角θ.

則BD=2rcosαsinα.

∵∠PCA=45°,∴PA=AC=2r,

【變式3】(Ⅰ)由上述問題的分析可知,

【變式4】證明:由上述問題的討論中可知,

∵在Rt△PAC中,∠APC=60°,

∴PC=2PA,∴tanα·tanβ=2.

(Ⅱ)過點(diǎn)B作BH⊥AC,H是垂足,連接PH.

由圓柱性質(zhì)得平面ACDP⊥平面ABC,

平面ACDP∩平面ABC=AC,

且BH?平面ABC,

所以BH⊥平面ACDP.

又PH?平面PAC,

所以PH是PB在平面PAC上的射影,

所以∠BPH是PB與平面ACDP所成的角.

設(shè)圓柱的底面半徑為R,

則PA=AC=2R,V圓柱=2πR3,

所以點(diǎn)H是圓柱底面的圓心,

所以AH=R,

【變式6】連接AN,SN,AS.

由上述分析可知,PC⊥平面ANS,

∴PS為點(diǎn)P到平面ANS的距離.

又PA=AC=2a,

∴△APC為等腰直角三角形.

要使VP-ANS最大,則sin2θ=1,

∴當(dāng)θ=45°,即AN=NS=a時(shí),

四面體PANS的體積有最大值,

【設(shè)計(jì)意圖】

(1)案例3及變式題是在一個(gè)經(jīng)典圖形中體現(xiàn)新高考數(shù)學(xué)空間幾何問題的特色題,變式5的融合性,變式2的動(dòng)態(tài)性,變式群的經(jīng)典性等;

(2)此變式群將立體幾何的基礎(chǔ)知識全覆蓋,空間想象能力與推理論證能力全體現(xiàn),使得復(fù)習(xí)的綜合性更深入.

讀者(高三學(xué)生)體驗(yàn)題:

【案例4】如圖,三棱錐P-ABC,PA⊥平面ABC,Rt△ABC中∠B為直角,PA=AB,若M為PB中點(diǎn),AN⊥PC于點(diǎn)N,若AB=BC=2.

(Ⅰ)求證:平面PAC⊥平面MAN;

(Ⅱ)求四棱錐A-BCNM的體積;

(Ⅲ)從下面兩個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)探究: