[摘? 要] 自“雙減”政策推行以來，“減負增效”的理念根植于教學(xué)的每個環(huán)節(jié). 其中，對于如何借助信息技術(shù)手段挖掘教學(xué)中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，成了廣大教育工作者普遍關(guān)心的重要課題. 研究者經(jīng)過潛心探索與實踐，取得了一定的成效. 現(xiàn)從數(shù)學(xué)思想方法的理論基礎(chǔ)出發(fā)，結(jié)合一些課例，談?wù)劺脦缀萎嫲遢o助初中數(shù)學(xué)教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論與化歸等思想方法的具體措施.

[關(guān)鍵詞] 幾何畫板;數(shù)學(xué)思想方法;數(shù)學(xué)教學(xué)

作者簡介：林小梅（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

新課標(biāo)提出，教師應(yīng)加強知識與學(xué)生生活經(jīng)驗的聯(lián)系，通過實驗、嘗試與操作等手段，揭示知識的內(nèi)涵，體現(xiàn)知識所蘊含的數(shù)學(xué)思想[1]. 實踐證明，借助幾何畫板開展教學(xué)活動，是滲透各類數(shù)學(xué)思想行之有效的方法，尤其在“雙減”的背景下，幾何畫板的應(yīng)用從真正意義上實現(xiàn)了“減負增效”的作用.

數(shù)學(xué)思想方法觀念的界定

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系在人腦中的反映，是人類思維活動所產(chǎn)生的結(jié)果，它是人類從本質(zhì)上認識數(shù)學(xué)現(xiàn)象與規(guī)律的有效途徑. 從狹義的角度來分析，初中階段所涉及的數(shù)學(xué)思想是最基本、最淺顯，也是最常見的，它們都是在某些具體的數(shù)學(xué)事物認識過程中所提煉出來的觀點或結(jié)論，并在后繼學(xué)習(xí)活動與反復(fù)應(yīng)用中得以證實;從廣義的角度來看，數(shù)學(xué)思想泛指一些內(nèi)容豐富、意義重大、體系完整的教學(xué)成果[2].

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法相比，數(shù)學(xué)方法是解決問題程序、步驟或格式，是數(shù)學(xué)思想實施的基本手段. 結(jié)合在一起分析，數(shù)學(xué)思想方法具有顯著的層次性、過程性與可操作性等特征. 這兩者既是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，又有著一定的差異性. 差異性主要體現(xiàn)在：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的核心，具有指導(dǎo)意義;而數(shù)學(xué)方法為數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)方法更指向于實踐.

簡而言之，數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，具有普遍性與概括性等特征，相對深刻;數(shù)學(xué)方法是外顯的，有著具體性與操作性等特征. 兩者因同屬“方法論”的范疇，常被大眾統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法.

借助幾何畫板滲透數(shù)學(xué)思想方法的措施

隨著時代的發(fā)展與科技的進步，信息技術(shù)已然成為課堂教學(xué)必不可少的輔助設(shè)施. 幾何畫板作為信息技術(shù)的一個分支，在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要作用，它可將抽象、深奧的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成直觀形象的圖象，刺激學(xué)生的視覺，啟發(fā)學(xué)生的思維，促進學(xué)生更加形象、深刻地理解相關(guān)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法.

1. 借助幾何畫板，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合思想方法作為最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，是指將數(shù)學(xué)事物的數(shù)量關(guān)系與幾何圖形有機地結(jié)合在一起進行研究的方法，這也是將形象思維與抽象思維結(jié)合于一體的解題方案. 初中階段會涉及一些難以直接解決的代數(shù)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助幾何畫板的畫圖功能，體現(xiàn)出代數(shù)的幾何意義，從而探究其知識本質(zhì)，這種幾何畫板的應(yīng)用為解題帶來了極大的便利.

例1? 已知代數(shù)式+存在最小值，求x的取值與該最小值.

（1）教學(xué)構(gòu)思.

從代數(shù)式本身來看，學(xué)生很難直接獲得結(jié)論，為此，教師應(yīng)想辦法賦予該代數(shù)式幾何意義，便于學(xué)生理解與分析. 從建立直角坐標(biāo)系的角度出發(fā)，教師可讓學(xué)生將表示成x軸上的某一點和點（1，4）之間的距離，如此將原問題轉(zhuǎn)化為：求x軸上某一點到兩定點的距離之和的最小值. 這樣，借助幾何畫板的測量功能，可獲得最小值，讓學(xué)生形成猜想，再加以驗證.

（2）操作過程.

①建構(gòu)平面直角坐標(biāo)系，分別描出點A（1，4），B（4，2）;

②在x軸上描出點P，構(gòu)造線段PA與PB，并測量這兩根線段的長，在幾何畫板上顯示出PA+PB的值;

③用鼠標(biāo)拖動點P，顯示點P的坐標(biāo)，并測量PA+PB的值;

④點P位于x軸上左右移動，并觀察PA+PB值的變化情況，當(dāng)值到達最小時，則停止運動，并記錄下此刻點P的具體坐標(biāo);

⑤構(gòu)造一條射線AP，反射后經(jīng)過點B，此時得到點B關(guān)于x軸對稱的點B′.

（3）提出問題.

①觀察幾何畫板上呈現(xiàn)的圖象，找出點B′是否在射線AP上;

②結(jié)合上一問，說說不通過實驗驗證，該怎樣通過作圖法快速找到點P，使得PA+PB的值最小？怎么證明？

③如何用三點A（1，4），B（4，2），P（x，0）的坐標(biāo)值來表示PA+PB的值？結(jié)合圖象分析，當(dāng)x取值多少時，PA+PB的值最小？

（4）教學(xué)分析與思考.

數(shù)和形作為數(shù)學(xué)研究的主要對象，在特定條件下具有互相轉(zhuǎn)化與滲透的功能. 本教學(xué)過程，巧妙地通過平面直角坐標(biāo)系的建立，將代數(shù)式最小值的問題轉(zhuǎn)化成線段最小值的問題來分析. 隨著幾何畫板將線段之和最小時點的坐標(biāo)固定下來，問題也就水落石出了.

幾何畫板將靜態(tài)的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成動態(tài)的幾何問題，讓學(xué)生從視覺上直接感知所獲得的點P坐標(biāo)具有特殊的意義. 第一個問題，在于引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)點B′恰巧落于射線AP上;第二個問題，在于引導(dǎo)學(xué)生想辦法通過對稱點快速找到點P;第三個問題，在于引導(dǎo)學(xué)生通過線段最小值的發(fā)現(xiàn)，獲得代數(shù)式的最小值.

綜上可見，幾何畫板的介入，讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)變得更加便捷. 尤其是枯燥的代數(shù)問題，在幾何畫板的轉(zhuǎn)化下，變成了直觀可視的幾何問題，這為學(xué)生的思維開辟了一條新的道路，使得原本復(fù)雜、抽象的問題變得簡單.

當(dāng)然，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化是相互的，除了可以將抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化成直觀的形外，還可以將一些圖形問題抽象成具體的數(shù). 實踐證明，數(shù)形結(jié)合思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，它能更好地促進知識的實際應(yīng)用與科技的發(fā)展.

2. 借助幾何畫板，滲透分類討論思想方法

分類討論思想方法是指根據(jù)數(shù)學(xué)研究對象性質(zhì)上的差異，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將研究對象分為幾類不同的情況進行逐個研究與解決的過程. 這種數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想之一，它能確保思維的全面性，避免解題過程中出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象. 在初中數(shù)學(xué)中，分類討論思想方法存在于整式、方程、函數(shù)與圖形等相關(guān)內(nèi)容中，真可謂無處不在.

例2? 探究圓周角定理.

（1）教學(xué)構(gòu)思.

探究圓周角定理需對圓心與圓周角不同的位置關(guān)系，進行分類驗證. 教學(xué)中，教師可帶領(lǐng)學(xué)生借助幾何畫板的測量與動態(tài)演示功能，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一條弧所對的圓周角，在任何時候都與它所對的圓心角的一半是相等的關(guān)系.

（2）操作過程.

①在幾何畫板上先作一個☉O，且在該圓上任意取一條AB弧，畫出該弧所對的圓心角∠AOB，以及該弧所對的任意一個圓周角∠APB;

②任意移動點P，并觀察點P在活動過程中，圓心和圓周角的位置具備怎樣的關(guān)系;

③在幾何畫板上重新作一個☉O，并在該圓上任意取點A，B，P，分別連接OA，OB，AP，BP，于圓周上拖動點A或P，讓圓心O位于∠APB的內(nèi)部，此時分別測量∠APB與∠AOB的大小;

④在圓周上拖動點A或P，讓圓心O處于∠APB的一條邊上，觀察此過程中∠APB與∠AOB的變化情況;

⑤在圓周上拖動點A或P，讓圓心O處于∠APB的外面，觀察此過程中∠APB與∠AOB的變化情況.

（3）提出問題.

①觀察圖形的變化過程，我們發(fā)現(xiàn)圓心O和圓周角∠APB之間存在幾種位置關(guān)系？（此問在完成操作的第二步后提出）

②通過對以上操作的觀察，大家會得出什么結(jié)論？

（4）教學(xué)分析與思考.

實際操作過程中，首先改變圓周角頂點的位置，讓學(xué)生獲得以下結(jié)論：雖然以圓上的任意點作為頂點的圓周角存在無數(shù)個，但這無數(shù)個圓周角和圓心之間的位置關(guān)系卻只有三種，即圓心位于圓周角的一邊上、外部和內(nèi)部.

據(jù)此，通過分類驗證法，發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓周角與其所對的圓心角之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，獲得“一條弧所對的圓周角與其所對圓心角的一半是相等的關(guān)系”的結(jié)論. 在幾何畫板的輔助下，通過分類討論思想方法，使原本抽象的圓周角定理變得簡潔明了. 可見分類討論思想方法在解決數(shù)學(xué)問題中具有重要作用，它能讓探索問題的過程中變得更具條理性.

3. 借助幾何畫板，滲透化歸思想方法

化歸思想方法是指將待解決的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)成另一種學(xué)生更容易接受或解決的問題來分析，這種數(shù)學(xué)思想方法主要包含轉(zhuǎn)化與歸結(jié)兩層含義. 如圖形運動類問題，這是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點，若讓學(xué)生從問題條件出發(fā)尋找解題的途徑，難度很大. 若借助數(shù)學(xué)化歸思想方法將問題“化動為靜”，則能出現(xiàn)柳暗花明之效.

教師借助幾何畫板的演示功能，將數(shù)學(xué)圖形運動過程中的幾種情況展示出來，可讓學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，為解決問題提供突破口.

例3? 連接正方形ABCD的兩條對角線，交點為O，而點O恰巧是正方形OABC的一個頂點，且這兩個正方形的邊長為相等的關(guān)系. 將正方形OABC圍繞點O進行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，兩正方形重疊部分的面積會發(fā)生改變嗎？若變化，說說是怎么變化的;若不變，則重疊部分的面積是多少？

（1）教學(xué)構(gòu)思.

教師借助幾何畫板，利用其測量功能進行正方形旋轉(zhuǎn)演示的制作，可讓學(xué)生從直觀的圖形中，觀察到兩個正方形重疊部分面積的變化情況，為形成猜想提供依據(jù).

（2）操作過程.

①在幾何畫板上畫出滿足題設(shè)條件的兩個正方形，并分別測量正方形ABCD與四邊形EBFO（兩正方形的重疊部分）的面積，記錄下來;

②按照題設(shè)條件旋轉(zhuǎn)正方形OABC，使得∠AOA1分別為0°，45°，90°，135°，180°，并在對應(yīng)的每個度數(shù)的位置測量一次四邊形EBFO的面積，記錄下來;

③觀察圖形旋轉(zhuǎn)演示過程中所記錄的數(shù)據(jù).

（3）提出問題.

①通過以上實驗的測量和分析，大家可以初步獲得什么結(jié)論？

②結(jié)合以上操作，我們猜想兩正方形面積與其重疊部分面積之間是否存在什么聯(lián)系？

③如何驗證這個結(jié)論？

（4）教學(xué)分析與思考.

轉(zhuǎn)動正方形OABC時，兩正方形重疊部分的形狀也隨之發(fā)生了變化，至于面積到底有沒有發(fā)生變化，僅憑借大腦思考很難辨別，直接觀察動態(tài)圖也難以得出結(jié)論. 鑒于此，教師借助幾何畫板的演示功能，讓圖形旋轉(zhuǎn)時在不同的節(jié)點逗留，方便學(xué)生測量出重疊部分的面積.

通過對第一個問題的思考，學(xué)生結(jié)合所測量出來的數(shù)據(jù)，輕而易舉地獲得在這幾個特殊節(jié)點，兩正方形重疊部分的面積始終沒有發(fā)生變化;第二個問題讓學(xué)生通過對所測得的數(shù)據(jù)進行分析，獲得重疊部分的面積恰好是正方形面積的1/4;第三個問題則引導(dǎo)學(xué)生進一步從理論上去驗證所獲得的結(jié)論.

借助幾何畫板的作用，學(xué)生不僅自主探索出問題的結(jié)論，還結(jié)合認知結(jié)構(gòu)從理論上加以驗證. 這種方法不僅規(guī)避了探索問題的盲目性，還大大提高了解題效率，同時使數(shù)學(xué)化歸思想方法在學(xué)生自主探索、猜想與驗證中得以有效發(fā)展.

思考

數(shù)學(xué)思想方法種類有很多，除了以上幾種外，常見的還有函數(shù)思想方法、方程思想方法、模型思想方法等. 數(shù)學(xué)思想方法是人類認識數(shù)學(xué)理論本質(zhì)的基礎(chǔ)，也是促進數(shù)學(xué)學(xué)科科學(xué)發(fā)展的根本. 借助幾何畫板的功能，滲透、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，是幫助學(xué)生串聯(lián)數(shù)學(xué)知識、理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵的基本手段.

中學(xué)數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思想方法的教育，掌握數(shù)學(xué)思想方法就掌握了數(shù)學(xué)的精髓. 作為一線的數(shù)學(xué)教師，應(yīng)利用好現(xiàn)代化的信息技術(shù)手段，借助幾何畫板等工具，加強知識間的縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)思想方法的來龍去脈，建構(gòu)完整的認知體系，以達到融會貫通的目的.

教學(xué)設(shè)計時，教師應(yīng)將教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法聯(lián)系到一起進行分析，從真正意義上揭示知識的內(nèi)涵，讓學(xué)生高屋建瓴地掌握知識的本質(zhì)[3]. 同時，還要引導(dǎo)學(xué)生形成追根溯源的習(xí)慣與刨根問底的精神，如此才能更好地揭露數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生與形成過程. 鑒于數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，需要學(xué)生擁有善于思考與求實的品質(zhì)，借助幾何畫板能為各種猜想與數(shù)學(xué)驗證提供直觀的依據(jù)，對揭示問題的內(nèi)涵具有直接的輔助作用.

總之，幾何畫板強大的作圖、測量與演示功能，在解決數(shù)學(xué)問題上具有得天獨厚的優(yōu)勢，它不僅具有化未知為已知的功能，而且對解題具有明確的導(dǎo)向作用，更重要的是能滲透數(shù)學(xué)思想方法，助力學(xué)生理解問題的本質(zhì). 鑒于此，教師應(yīng)緊跟時代發(fā)展的步伐，不斷地提高自身的業(yè)務(wù)水平，更新教學(xué)手段，將數(shù)學(xué)思想方法滲透落實到教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)中.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論第5輯——自然界中的數(shù)學(xué)模型[M]. 長春：東北師范大學(xué)出版社，2012.

[3]曹才翰，章建躍. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.