[摘? 要] 問題是數(shù)學的靈魂. 隨著新課改的推進，如今的課堂倡導以問題為紐帶，讓教學內(nèi)容以問題的形式呈現(xiàn)出來，鼓勵學生通過自主探究、合作學習等方式，主動獲取知識的內(nèi)涵. 文章從以下三方面對如何精心設計問題，優(yōu)化數(shù)學教學展開闡述：階梯狀問題，完善認知結(jié)構(gòu);體驗型問題，激發(fā)數(shù)學思考;合作型問題，促進思維發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 問題;思維;認知

作者簡介：胡磊（1989—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學工作.

問題是數(shù)學教學的載體，缺乏問題的教學稱不上真正意義上的數(shù)學教學，缺乏好問題的教學成就不了課堂的精彩. 若想觸及教學的本質(zhì)，就要進行深度教學的研究. 這要求教師不僅要在課堂中傳授知識與技能，還要以“問題導向”來暴露數(shù)學本質(zhì)，以激活學生的思維，促進學生各項能力的發(fā)展.

所謂的問題導向，是指以解決問題為方向，有效避開與問題關(guān)聯(lián)不大的無用功. 本文以幾類常見問題的設置為例，具體談談如何以問題為導向，引發(fā)學生思考，讓學生在輕松、愉悅的氛圍下實現(xiàn)綜合能力的提升.

階梯狀問題，完善認知結(jié)構(gòu)

教師設置逐層深入的問題，可為學生的思維鋪設臺階，讓學生在由淺入深的思考中，逐漸深化對知識的理解. 特別是初三復習階段，時間尤為寶貴，教師若指望通過刷題來深化學生對知識的理解，簡直是天方夜譚. 而教師緊扣專題復習，通過階梯狀問題的設置，可實現(xiàn)學生對知識的系統(tǒng)性認識，為解決綜合性問題奠定基礎.

案例1? “求直角坐標系中三角形面積”的專題復習

問題1：如圖1所示，已知在直角坐標系中，點A（3，4），B（2，1），連接點A，B，O，可得一個三角形，求△ABO的面積.

設計意圖? 以一個低起點的問題，引發(fā)學生對如何建立模型來求底、高均不明顯的三角形面積產(chǎn)生初步思考，引導學生在多種解法中感知各類解題方法的優(yōu)勢和劣勢.

復習的目的在于讓學生獲得“舉一反三”的解題能力，低起點的問題能引發(fā)學生的探究欲，讓學生從中得出求斜三角形面積的基本模型. 此過程最大的優(yōu)點在于讓學生個性化的思維得以有效發(fā)展. 教師讓學生通過知識的歸納與總結(jié)，提煉相應的解題方法，積累豐富的解題經(jīng)驗，這樣的過程符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，能有效降低學生復習時的心理負擔.

問題2：如圖2所示，已知在直角坐標系中，反比例函數(shù)y=4/x與一次函數(shù)y=2x+2分別相交于點A，B，求△ABO的面積.

設計意圖? 在以上建模的基礎上，呈現(xiàn)本題的目的在于調(diào)動學生思維的積極性，解決稍微復雜一些的綜合性問題. 本題意在考查學生對圖形的處理能力、函數(shù)知識的綜合應用能力以及幾何分析能力，讓學生通過對問題的思考與突破，進一步鞏固基礎知識，對函數(shù)背景下的幾何知識的應用，產(chǎn)生更加深刻的理解.

學生在此環(huán)節(jié)的解題思考中，發(fā)現(xiàn)求該三角形的面積，利用“水平高×鉛垂線”的方法比較簡單，但這兩個條件怎么尋找呢？這就需要學生學會歸納與總結(jié)，靈活應用第一個問題中所產(chǎn)生的模型.

問題3：如圖3所示，已知點M（-2，-4）為拋物線y=ax2+bx+c的頂點，拋物線與x軸分別相交于點A，B，其中點A（-6，0），點C為拋物線與y軸的交點.

（1）求拋物線的表達式;

（2）△ABC的面積是多少？

（3）如圖4所示，該拋物線在直角坐標系的第三象限上有沒有一點P，可使得△ACP的面積最大？若有，求點P的坐標;若無，說明理由.

設計意圖? 引入“最值”問題，意在考查學生對函數(shù)與幾何知識的綜合應用能力. 此類題綜合性高、難度大、靈活性強，尤其是動態(tài)幾何中的函數(shù)最值問題，常讓學生望而卻步.

解決此類問題的關(guān)鍵在于學生具備良好的問題分析能力與圖形處理能力，同時還要能利用數(shù)形結(jié)合思想與模型思想等數(shù)學思想解題. 從本題就能看出知識整體性和系統(tǒng)性的重要性，要求學生在舊知復習的基礎上，還要有靈活的應變能力來建構(gòu)新的模型.

問題4：如圖5所示，已知拋物線y=1/5-x+3/5x+2與x軸的正半軸相交于點A，與y軸的交點為C，若過點C作x軸的平行線，與拋物線相交于點B，點D是位于線段OA上的一點，且DB=AB. 若點Q從點D出發(fā)，以每秒個單位的速度往點B的方向運動，求△ACQ的面積，并寫出△ACQ的面積S關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)解析式與t的取值范圍.

設計意圖? 基于以上幾個問題，學生對求直角坐標系中三角形面積已經(jīng)有了比較深刻的理解. 本題意在考查學生在動態(tài)幾何中，如何獲得三角形的面積. 這是在學生原有的認知經(jīng)驗上促進新知生長的過程，也是專題復習的目的所在.

縱觀近年的中考試題，動態(tài)幾何結(jié)合函數(shù)的問題常以壓軸題出現(xiàn)，學生的解題正確率偏低. 此題的設計主要是為了促進學生獲得較高層次的數(shù)學思維，為備戰(zhàn)中考夯實基礎. 對于本題的指導，教師可引導學生在分析問題的基礎上，通過精準畫圖的方式，找出解決問題的關(guān)鍵點. 如圖6所示，可將復雜的圖象簡單化，通過高度概括，抽象出基本圖形.

通過以上幾個問題的設置，學生對求三角形面積這個專題有了更為系統(tǒng)、整體的認識. 其實，每個問題的呈現(xiàn)，并不是為了讓學生能解決這個問題，而是讓學生獲得解題思想與方法，當遇到同類問題時，能觸類旁通，順利解題. 因此，復習階段教師切忌應用題海戰(zhàn)術(shù)，而要精心設計目標明確的導向性問題，以激活學生的思維，提高復習效率.

體驗型問題，激發(fā)學生思考

新課標提出，學生應有充足的時間與空間來參與實驗、觀察、猜想、推理等活動過程，這就明確了動手實踐也是教學的重要手段之一，且體驗式學習受到廣大師生的一致好評. 以體驗型問題為教學導向，能讓學生在體驗與感悟中對知識產(chǎn)生深刻印象，利于知識信息的儲備與提取. 尤其是學生自主發(fā)現(xiàn)、分析與解決的問題，往往能有效地激發(fā)學生思考，促使學生思維發(fā)展，讓學生體驗到學習帶來的成就感.

案例2? “角”的教學

活動準備：要求每位學生準備一副三角尺，以小組為單位進行拼圖競賽.

具體規(guī)則為：①用一副三角尺拼圖;②用一副三角尺拼出確定度數(shù)的角;③拼圖合格得一分，圖形重復不得分;④5分鐘內(nèi)，將自己組內(nèi)所拼出的角，用畫圖的方式記錄下來，標明度數(shù)、字母與式子（如圖7所示，∠ACD=∠BCA+∠BCD=75°）;⑤各小組選一組自己覺得最滿意的圖形進行展示，并根據(jù)展示圖，提一個與角的度數(shù)相關(guān)的問題，大家對每組的問題進行不記名投票，看看哪組得到的票最多.

設計意圖? 讓學生親歷動手實踐過程，感知角的特征，用三角尺拼成符合要求的角，就需要考慮利用三角尺的邊與頂點構(gòu)造三角形的邊與頂點，這注定一副三角尺拼在一起時，會出現(xiàn)邊的重合，也是活動設計的主要意圖所在——為了讓學生體驗“角是由一個頂點與兩條邊所組成的”.

學生一旦掌握了角的基本性質(zhì)，后期遇到與角相關(guān)的計算類問題時，會自然而然地將問題轉(zhuǎn)化為尋找角的頂點和兩條邊的問題. 此活動的最后一個環(huán)節(jié)，讓學生展示自己最喜歡的角，成功地喚醒了學生的學習熱情，使學生提出的問題也豐富多樣，比如有學生自主提出了與角計算相關(guān)的經(jīng)典問題：

問題1：如圖8所示，根據(jù)一副三角尺所拼出來的圖形，計算∠BAB′與∠B′C′C的度數(shù).

解決本題的關(guān)鍵是將∠B′C′C視為一個平角減掉∠AC′B′，這不僅讓學生知道拼圖后，所構(gòu)成的角的頂點不一定是三角尺兩個頂點的重合，還可以是一個頂點與一條邊的重合，這就挖掘出了一個隱含條件——“平角”.

問題2：如圖9所示，根據(jù)一副三角尺所拼出來的圖形，計算∠BB′D的度數(shù).

這也是一個含金量比較高的問題，它的精妙之處在于拼圖時，一副三角尺的頂點并未重合，而是邊重合，這不僅挖掘出了“平角”這個隱含條件，還初步顯露出了“平移”的本質(zhì).

評析? 隨著社會的進步，競爭是每個學生未來必須要面臨的挑戰(zhàn)，也是每個公民的基本素質(zhì). 教師設計以小組為單位的競賽活動，讓學生不僅體會到競爭帶來的快樂，還激發(fā)了學生的合作意識. 直觀的體驗式學習，更符合初中生的身心發(fā)展規(guī)律，合理的競爭制，能促使學生產(chǎn)生積極參與的熱情.

學生通過“做中學”，深刻領悟了角的性質(zhì)，并在提問與思考中推動了思維的發(fā)展. 事實證明，在課堂中適當?shù)丶尤敫偁幍膶W習方式，能有效提升學生的課堂參與度，讓學生產(chǎn)生自主思考的動力. 本教學過程要求學生拼出指定角的度數(shù)，并從不同角度去思考與分析問題，正因為如此，才呈現(xiàn)出了令人驚喜的類似問題1、問題2的問題.

隨著操作活動的完成，本節(jié)課關(guān)于角的基本計算的問題也就迎刃而解，為后期涉及的平移問題奠定了基礎. 顯然，體驗型問題為學生思維搭建了良好的平臺，讓學生在自主動手操作中體驗、感悟到知識的本質(zhì)，讓學生形成從不同角度看待問題的習慣，有效促進了其數(shù)學思維的形成與發(fā)展.

合作型問題，促進思維發(fā)展

合作是為了達到共同的學習目的，是個人與個人、群體與群體之間聯(lián)合行動、互相配合的一種學習方式. 孔子有云：“獨學而無友，則孤陋而寡聞. ”從這句話可以看出，合作學習模式具有悠久的歷史. 隨著時代的發(fā)展，新課標對合作學習提出了更高的要求. 合作型問題的提出，不僅給學生提供了明確的思維導向，還讓學生心往一處想，勁往一處使，為更好地挑戰(zhàn)自己、突破自己而努力.

然而，提升合作能力的前提是有效合作，堅決杜絕假討論、偽合作等不良行為. 研究發(fā)現(xiàn)，達到有效合作需具備以下幾個基本條件：①目標一致;②合作人員具有統(tǒng)一的認知和規(guī)范;③合作者之間互相信賴.

初中生的合作學習以小組合作為主，主要建立在學生自主探索的基礎上，鼓勵學生張揚個性，將獨立思考與合作探究有機地結(jié)合在一起，實現(xiàn)個體主體性以及實踐能力與合作意識等綜合素養(yǎng)的共同發(fā)展. 而合作性問題的設置，是培養(yǎng)與滲透合作意識的基礎，能有效提升學生的綜合素養(yǎng).

案例3? “余角”的教學

要求學生以合作學習的方式，完成以下幾個問題.

問題1：

（1）如圖10所示，用量角器分別測量∠α，∠β的度數(shù)，說說這兩個角的度數(shù)之間具有怎樣的關(guān)系.

（2）若點D的位置不發(fā)生改變，轉(zhuǎn)動上面的三角形，猜想∠α，∠β的度數(shù)之間可能存在怎樣的關(guān)系.

（3）若從你們已有的認知經(jīng)驗出發(fā)，可以解釋以上猜想嗎？

問題2：填空.

如果____，則這兩個角互為余角.

問題3：判斷下列說法的對錯.

（1）如圖11所示，已知點B為直線CD上的一點，∠ABD為直角，那么∠ABE與∠DBE互為余角. （ ? ? ）

（2）如圖12所示，已知∠AOC與∠DOB都是直角，則∠AOB，∠COB，∠COD互為余角. （ ? ? ）

（3）如圖13所示，已知∠1=25°，∠2=65°，那么∠1，∠2互為余角. （ ? ?）

設計意圖? 通過合作型問題的設置，引導學生在合作中探索出兩角互余問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，成功地揭示了互余的概念，也引導學生經(jīng)歷了“猜想—驗證—總結(jié)”.

總之，問題導向是實現(xiàn)有效教學的一種高效模式，問題作為學生思維的起點，亦是課堂的焦點，教師要優(yōu)化數(shù)學課堂教學，就要精心預設問題，用心搭建平臺，讓學生在積極參與中深刻感悟數(shù)學本質(zhì)，并形成善問、敢問、樂問的學習習慣. 如此，則能開啟智慧之旅，有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).