［摘? 要］ 高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo). 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大要素之一，對(duì)學(xué)生的個(gè)人發(fā)展具有重要意義. 如何立足教學(xué)實(shí)踐，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)呢？文章從概念教學(xué)、模型建構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法的提煉與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的建構(gòu)四方面展開(kāi)分析.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)抽象；教學(xué)實(shí)踐；思維

數(shù)學(xué)是一門綜合性學(xué)科，對(duì)學(xué)生的思維要求較高. 學(xué)生不僅要理解生澀的概念、抽象的定理和公式等，還要將概念、定理和公式等靈活地應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題的解決中. 尤其是高考試題，綜合程度高，一道題往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這對(duì)學(xué)生的思維與抽象能力提出了更高的要求. 為了讓學(xué)生形成以“不變應(yīng)萬(wàn)變”的解題能力，教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的方法滲透在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生在潛移默化中得以發(fā)展.

在概念教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

概念是數(shù)學(xué)的核心，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵. 弄清概念的本質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，對(duì)發(fā)展學(xué)生的抽象能力具有重要價(jià)值與意義. 學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過(guò)程實(shí)則為掌握一類事物關(guān)鍵屬性的過(guò)程，這種關(guān)鍵屬性一般從大量的同類事物的不同例證中逐個(gè)發(fā)現(xiàn)，羅列到一起則抽象出相應(yīng)的概念（概念形成）. 學(xué)生結(jié)合自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來(lái)理解新的概念，稱為概念同化. 概念同化與形成是獲得概念的兩種基本形式.

如何在概念教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的抽象素養(yǎng)呢？從概念的意義來(lái)看，概念是在對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象模式識(shí)別與圖形感知的基礎(chǔ)上抽象而來(lái)的.

案例1 “弧度制”的教學(xué).

弧度制是指建立在扇形圓心角的基礎(chǔ)上，分別從弧長(zhǎng)、圓心角與半徑三者中抽象出圓心角大小的概念. 因此，執(zhí)教弧度制概念時(shí)，可設(shè)計(jì)一個(gè)既符合學(xué)生實(shí)際認(rèn)知，又包含弧長(zhǎng)、圓心角與半徑的情境，啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生順利進(jìn)入新知探索狀態(tài)，為抽象弧度制的概念做準(zhǔn)備.

情境：如圖1所示，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)要求鉛球的投擲區(qū)為圓，落地區(qū)為一個(gè)以圓心為頂點(diǎn)的角，根據(jù)比賽規(guī)定，要在角內(nèi)確定的位置畫出多條弧線.

問(wèn)題1：只憑借皮尺，該如何測(cè)算出該角的大小？

教師以學(xué)生熟悉的鉛球比賽場(chǎng)地作為情境，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平提出相應(yīng)的問(wèn)題，讓學(xué)生很快聯(lián)想到之前接觸的扇形與弧長(zhǎng)問(wèn)題，顯然這個(gè)情境起到了良好的誘導(dǎo)思維的效果.

問(wèn)題2：觀察到每一個(gè)小組成員所測(cè)得的半徑r與弧長(zhǎng)l的值雖然不一樣，但計(jì)算后所獲得的n的值又是一樣的，這是為什么呢？

鑒于學(xué)生有了生動(dòng)、形象且有效的活動(dòng)作為思維的支撐點(diǎn)，學(xué)生很快就自主感悟并抽象出圓心角公式所具備的結(jié)構(gòu)特征.

問(wèn)題3：基于上述探索，大家還有其他想法嗎？

當(dāng)學(xué)生抽象出弧度制的概念后，教師可帶領(lǐng)學(xué)生化簡(jiǎn)扇形的弧長(zhǎng)與面積公式，這彰顯著數(shù)學(xué)學(xué)科的簡(jiǎn)潔美. 接下來(lái)，借助弧度制與角度制的換算，建立角度和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這也是三角函數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ).

以上概念教學(xué)片段，教師從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)了豐富的教學(xué)情境，成功地吸引了學(xué)生的注意力. 問(wèn)題串的應(yīng)用與數(shù)學(xué)文化的滲透，有效啟發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生主動(dòng)抽象出弧度制的概念并深刻理解弧度制的來(lái)龍去脈，為后續(xù)三角函數(shù)的研究奠定了基礎(chǔ).

在命題教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)知識(shí)有三個(gè)模塊：概念、命題與論證. 高中數(shù)學(xué)命題教學(xué)要求讓學(xué)生深刻理解命題的意義，明晰推理過(guò)程以及命題的應(yīng)用范圍，能利用命題解決實(shí)際問(wèn)題. 在命題教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，關(guān)鍵在于帶領(lǐng)學(xué)生探索命題的推理過(guò)程. 如教師提供一些探索素材，輔以適當(dāng)引導(dǎo)，可讓學(xué)生在良好的氛圍下通過(guò)自主觀察、分析、類比獲得命題.

現(xiàn)代教育心理學(xué)研究表明：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程并不僅僅是帶領(lǐng)學(xué)生理解并掌握知識(shí)的過(guò)程，還是引發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題的過(guò)程. 這就需要教師從一些典型的知識(shí)出發(fā)，利用各種教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，探尋數(shù)學(xué)事物中所蘊(yùn)含的規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的研究過(guò)程，為建構(gòu)新知、形成長(zhǎng)時(shí)記憶、發(fā)展抽象素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

案例2 “平面向量基本定理”的教學(xué).

在作向量的過(guò)程中，學(xué)生的第一次抽象為：應(yīng)用向量a，b能表示多個(gè)以O(shè)為起點(diǎn)的向量c，也就是c=λa+μb（λ，μ∈R）.

接下來(lái)，教師借助幾何畫板變換λ與μ的值，學(xué)生在動(dòng)態(tài)演示中發(fā)現(xiàn)用向量a，b能表示無(wú)數(shù)個(gè)以O(shè)為起點(diǎn)的向量c，此為學(xué)生的第二次抽象.

此時(shí)，學(xué)生的思維切換到建模的節(jié)點(diǎn)：①以O(shè)為起點(diǎn)的向量c能不能用向量a，b表達(dá)出來(lái)？②觀察自己作的5個(gè)向量，抽象出平行四邊形法則，即向量c=λa+μb（λ，μ∈R）的具體作法. 此為完成上述問(wèn)題的基礎(chǔ)，亦是引發(fā)學(xué)生進(jìn)行逆向思考的過(guò)程，由此學(xué)生自主獲得與向量c相對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)λ與μ.

至于起點(diǎn)不位于點(diǎn)O處的任何向量，都可以把起點(diǎn)平移到點(diǎn)O的位置. 到這個(gè)時(shí)候，抽象平面向量基本定理的過(guò)程基本完成.

學(xué)生的思維因經(jīng)歷了由淺入深、循序漸進(jìn)的逐層抽象過(guò)程，不僅對(duì)平面向量基本定理的來(lái)龍去脈有了充分認(rèn)識(shí)，還對(duì)平面向量基本定理有了深刻理解.

命題教學(xué)的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生掌握邏輯推理能力，尤其要關(guān)注一些具有典型意義的數(shù)學(xué)思想、研究技巧的提煉與總結(jié)等. 同時(shí)，命題還是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維與反思能力的契機(jī)，尤其是命題的變用、逆用等能有效促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升.

在數(shù)學(xué)思想方法提煉中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的規(guī)律與本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的重要方式、策略與指導(dǎo)原則. 數(shù)學(xué)方法是指人們解決實(shí)際問(wèn)題的程序、步驟，是實(shí)施數(shù)學(xué)思想的手段.

將數(shù)學(xué)思想與方法聯(lián)合在一起進(jìn)行表述，其實(shí)兩者間有著一定的聯(lián)系：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，具有指導(dǎo)方法應(yīng)用的功能，以及內(nèi)隱性特征；數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式與實(shí)現(xiàn)手段，具有外顯性特征.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，抽象過(guò)程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有重要的促進(jìn)作用.

案例3 “兩角差的余弦公式”的教學(xué).

當(dāng)學(xué)生抽象出兩角差的余弦公式并對(duì)其特征與本質(zhì)有所了解后，進(jìn)入公式的證明環(huán)節(jié)，讓學(xué)生將這一公式的研究類比到其他類似公式的研究中，形成一定的研究“套路”.

在研究過(guò)程中，最重要的就是數(shù)學(xué)思想方法的提煉與應(yīng)用. 立足學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的公式教學(xué)，可在數(shù)學(xué)思想方法的提煉與滲透中幫助學(xué)生形成良好的抽象能力.

通過(guò)以上幾項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，不難看出數(shù)學(xué)思想方法的提煉與滲透不僅能有效促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，還能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提高學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的成就感.

在結(jié)構(gòu)體系建構(gòu)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系是數(shù)學(xué)抽象的重要體現(xiàn). 普朗克是量子論的創(chuàng)始人，他提出：科學(xué)是內(nèi)在的統(tǒng)一體，雖然將它分解到各個(gè)單位的部門中，但這并不是由事物的本質(zhì)所決定的，而是源于人類認(rèn)知的局限性，事實(shí)上不論是物理、化學(xué)，還是人類學(xué)、社會(huì)學(xué)等都存在一定的內(nèi)在關(guān)系.

如圖2所示，我們所熟悉的數(shù)系內(nèi)的六則運(yùn)算之間就存在著縱橫交錯(cuò)的聯(lián)系.

將教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化與體系化，可讓知識(shí)變得更簡(jiǎn)約，利于學(xué)生記憶、存儲(chǔ)與檢索，促使學(xué)生形成新的想法，為創(chuàng)新意識(shí)的形成與抽象意識(shí)的發(fā)展奠定基礎(chǔ). 有些教學(xué)內(nèi)容從縱向的邏輯來(lái)看，并不存在什么關(guān)系，但它們所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法卻有高度的相似性，從橫向來(lái)打通這種關(guān)系，能有效突破知識(shí)的封閉性，幫助學(xué)生建構(gòu)結(jié)構(gòu)開(kāi)放、內(nèi)容豐富的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

如我們熟悉的對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，就可以通過(guò)列表的方式，類比其定義域、圖象、值域與性質(zhì)等.

案例4 “圓錐曲線”的教學(xué).

橢圓與雙曲線的橫向類比，要求學(xué)生思考：假設(shè)兩個(gè)定點(diǎn)間的距離是2c（2c＞0），到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)2a（2a＞2c）的點(diǎn)所形成的軌跡是一個(gè)橢圓；到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為定長(zhǎng)2a（2a＜2c）的點(diǎn)的軌跡為雙曲線. 若橢圓和雙曲線分別對(duì)應(yīng)加和減的運(yùn)算，則是否存在相應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)乘和除的運(yùn)算呢？

這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)難度，主要是針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生而設(shè)計(jì)的，意在引導(dǎo)這部分學(xué)生進(jìn)入探究狀態(tài)，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 對(duì)應(yīng)乘和除的運(yùn)算的曲線確實(shí)存在，即到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（不等于1）的點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡為卡西尼卵形線，雙紐線為特殊的卡西尼卵形線.

兩種圓錐曲線的橫向類比，不僅能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們間的異同點(diǎn)，還能讓學(xué)生感知知識(shí)的統(tǒng)一性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美. 學(xué)生在自主探索中不斷完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)良好的知識(shí)體系，一方面促進(jìn)了抽象素養(yǎng)的形成與發(fā)展，另一方面增強(qiáng)了對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)世界的洞察力.

總之，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)必須立足教學(xué)實(shí)踐，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析與看待問(wèn)題，形成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的能力. 知識(shí)與技能的教學(xué)是最基礎(chǔ)的教學(xué)活動(dòng)，是發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的重要過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

作者簡(jiǎn)介：崔亮（1984—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.