［摘? 要］ 數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾經(jīng)說過，“用一，從無，可生萬物”. 數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)即從“一”出發(fā)，讓學(xué)生有針對性地突破某個知識難點，促進解題能力的觸類旁通. 文章以“解析幾何中的動點問題”為例，從“循序漸進，激活思維”“深入探索，發(fā)展思維”“一題多解，提煉思想”“歸納總結(jié)，發(fā)展學(xué)力”四方面展開分析，并提出幾點思考.

［關(guān)鍵詞］ 專題復(fù)習(xí)；動點問題；數(shù)學(xué)思想

專題復(fù)習(xí)是指立足實際教情、學(xué)情與考情，有針對性地選擇一個切入口小的復(fù)習(xí)專題，力求讓學(xué)生通過對幾個典型問題的研究，學(xué)會觸類旁通，提高解題能力. 高三專題復(fù)習(xí)課的質(zhì)量，對學(xué)生知識與技能的掌握程度、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、思維能力的提升以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展具有直接影響.

教學(xué)過程

1. 循序漸進，激活思維

思維發(fā)展遵循一定的規(guī)律. 復(fù)習(xí)課上的內(nèi)容，雖說學(xué)生學(xué)習(xí)過，但結(jié)合艾賓浩斯遺忘曲線可知，經(jīng)過一定的時間，出現(xiàn)遺忘屬于正?，F(xiàn)象. 因此，在專題復(fù)習(xí)課的伊始，教師需要借助一些低起點的問題讓學(xué)生的思維“熱熱身”，使學(xué)生循序漸進地進入專題復(fù)習(xí)的探索狀態(tài).

解析幾何中的動點問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點與難點內(nèi)容之一. 鑒于學(xué)生對這部分知識內(nèi)容有所遺忘，筆者根據(jù)學(xué)生的實際認知水平，精心挑選了以下三個問題，由淺入深地激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生進入自主探索狀態(tài).

問題1 已知在△ABC中，AB，BC，AC三邊成等差數(shù)列，點B（－3，0），C（3，0），寫出點A的軌跡方程.

解題實況 此問，學(xué)生主要呈現(xiàn)以下兩種求解方法：①直接法，設(shè)點A的坐標，再化簡；②定義法，借助橢圓的定義獲得點A的軌跡為橢圓. 很明顯，定義法優(yōu)于直接法. 通過交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于曲線方程相關(guān)知識比較生疏，對于求軌跡方程必須檢驗其完備性出現(xiàn)了遺忘現(xiàn)象.

設(shè)計意圖 設(shè)置問題1意在引發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)生回顧用直接法和定義法求解動點問題的思路. 顯然，定義法在應(yīng)用時，比直接法更加簡便. 這要求學(xué)生熟悉圓、橢圓、雙曲線與拋物線的定義. 另外，本題提醒學(xué)生求動點的軌跡方程時務(wù)必檢驗其完備性.

問題2 已知在平面直角坐標系xOy中，如果點P為一個動點，且在拋物線y=2x2+1上移動，點M是點Q（0，－1）和點P連線的中點，寫出點M的軌跡方程.

問題3 已知在平面直角坐標系xOy中，點Q（2a，a－3），點P是圓C：（x－1）2+y2=4上的任意點，求線段PQ的最小值.

解題實況 大部分學(xué)生都選擇用兩點間的距離公式獲得點Q與圓心距離的最小值，而后減掉半徑，即得問題的解；也有少部分學(xué)生選擇用消參法獲得點Q的方程是一個直線方程，如此將最小值問題轉(zhuǎn)化成點到直線的距離問題.

設(shè)計意圖 本題意在讓學(xué)生用消參法來求動點的軌跡方程. 但從解題實況來看，學(xué)生在這方面的意識并不強，因此課堂中應(yīng)注重軌跡思想的滲透.

此環(huán)節(jié)用時10分鐘，在學(xué)生自主解決問題的基礎(chǔ)上，主要引導(dǎo)學(xué)生鞏固相關(guān)概念與解題方法等. 對于學(xué)生存在的疑問，筆者給予適當?shù)狞c撥與引導(dǎo)，為本節(jié)課的教學(xué)夯實了思維基礎(chǔ).

2. 深入探索，發(fā)展思維

鑒于專題復(fù)習(xí)的針對性強，選題不可能做到面面俱到，這就要求教師結(jié)合課程標準與學(xué)生在知識、方法與能力方面的弱點，擇取合適的問題，讓學(xué)生在有限的問題探索中獲得最大程度的發(fā)展.

本節(jié)課，筆者在章建躍先生所提出的“理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)”（簡稱“三個理解”）的基礎(chǔ)上，又精心設(shè)計了以下三個問題，以期增強學(xué)生對“解析幾何中的動點問題”的認識，為形成良好的解題技巧與思維能力奠定基礎(chǔ).

問題4 已知圓（x－2a）2+（y－a－3）2=4上恒有兩點與原點的距離是1，求實數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計意圖 設(shè)置本題意在深化學(xué)生對解析幾何中的動點問題的理解，為優(yōu)化學(xué)生的解題思路奠定基礎(chǔ).

設(shè)計意圖 讓學(xué)生從常用的兩種解法出發(fā)，發(fā)現(xiàn)解法2的優(yōu)勢在于計算更簡便、直接. 在此基礎(chǔ)上適當引導(dǎo)與拓展，具有拔高學(xué)生思維的作用，讓學(xué)生學(xué)會自主探尋知識間的聯(lián)系與區(qū)別，從而更好地發(fā)現(xiàn)與把握知識本質(zhì).

從學(xué)生在課堂中的表現(xiàn)（大部分學(xué)生直接應(yīng)用的是解法2）來看，在軌跡思想的應(yīng)用中，學(xué)生的能力有所提升. 以阿波羅尼斯圓為背景的引導(dǎo)與點撥，進一步培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造意識，讓學(xué)生學(xué)會了靈活轉(zhuǎn)化，這是學(xué)習(xí)能力有效發(fā)展的表現(xiàn).

3. 一題多解，提煉思想

縱然不少教師非常希望自己能將復(fù)習(xí)專題課上好，讓學(xué)生達到舉一反三的解題能力，但理想很豐滿，現(xiàn)實總是很骨感. 確實，專題復(fù)習(xí)課雖然有高度的針對性，但高考試題的綜合性很強，考查的是學(xué)生的思維能力與數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用情況.

究竟怎樣能讓學(xué)生通過課堂中的幾道題形成以一通百的解題能力呢？這是一個永不過時的問題. 實踐證明，借助一題多解、一解多題等方式，能有效幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生獲得用數(shù)學(xué)思想方法來“統(tǒng)領(lǐng)”零碎知識的能力，為形成觸類旁通的解題能力奠定基礎(chǔ).

設(shè)計意圖 上述兩種解法，在設(shè)點上存在差異，但思路不約而同——都是從點出發(fā)探尋所設(shè)點的軌跡方程，此為曲線軌跡方程問題的求解本質(zhì). 學(xué)生通過一題多解的練習(xí)訓(xùn)練，不僅深化了對“用相關(guān)點法求動點軌跡方程”的認識和理解，還從中提煉出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，為后續(xù)解決更多問題奠定了方法基礎(chǔ).

4. 歸納總結(jié)，發(fā)展學(xué)力

師：回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識，請大家談?wù)勛约旱氖斋@.

設(shè)計意圖 這是一個典型的開放式總結(jié)，不同水平層次的學(xué)生都可以參與，從學(xué)生的言談中辨析本節(jié)課教學(xué)的成敗，為后續(xù)調(diào)整教學(xué)方案提供了依據(jù).

在總結(jié)過程中，有學(xué)生緊扣核心概念對曲線方程問題的解法總結(jié)得很到位；有學(xué)生對動點軌跡方程的求解提出了不同的想法；還有學(xué)生總結(jié)了本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想方法. 學(xué)生的娓娓道來表明其思維自然流暢，體現(xiàn)出了課堂的生態(tài)性.

最后，筆者給學(xué)生留下一組關(guān)于“解析幾何中的動點問題”的高考模擬題作為課后作業(yè)，力求達到“學(xué)以致用”的目的，從綜合性的角度幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識，從真正意義上促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力的發(fā)展.

幾點思考

1. 課程設(shè)定需合理

鑒于高三復(fù)習(xí)時間緊、任務(wù)重，不可能將所有知識都設(shè)計成復(fù)習(xí)專題，因此教師在專題復(fù)習(xí)課程的設(shè)定上需要花費一點功夫. 教師可結(jié)合課程標準、考綱與考試說明等要求，通過對近些年的高頻考點的分析，將一些難度較大的教學(xué)內(nèi)容科學(xué)地分成若干個小專題，應(yīng)用多種教學(xué)手段逐個突破.

如本節(jié)課所研究的“解析幾何中的動點問題”就屬于直線與圓錐曲線下的一個子專題. 通過一節(jié)課的針對性復(fù)習(xí)，可以有效幫助學(xué)生突破思維的障礙，為打破知識間的界限奠定基礎(chǔ). 在專題復(fù)習(xí)后再進行綜合訓(xùn)練，不僅能有效提高學(xué)生的解題技巧，還能加強知識章節(jié)間的縱橫聯(lián)系.

2. 問題選擇需謹慎

既然為專題復(fù)習(xí)課，必然離不開問題的輔助. 而問題的選擇，則決定著一節(jié)課的成敗. 專題復(fù)習(xí)課的問題用于幫助學(xué)生突破原有認知障礙，攻克教學(xué)重點與難點，為高考服務(wù). 此背景下的問題選擇要求比較高，除了難易程度要適中外，還要具有示范性與創(chuàng)新性.

專題復(fù)習(xí)課的問題不在于難度大，而在于典型；切忌從教輔資料上隨意摘取，而應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實際認知水平與特點，盡可能設(shè)計能夠幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法的問題，讓學(xué)生在問題的剖析中獲得舉一反三的解題能力.

3. 思想方法需滲透

雖說搞教育的人都知道數(shù)學(xué)思想方法的重要性，但數(shù)學(xué)思想方法的形成并非一朝一夕的事情，而需經(jīng)過日積月累的滲透，讓學(xué)生自主提煉而來. 如本節(jié)課的問題都滲透著轉(zhuǎn)化思想，思路都指向動點軌跡方程的求解，只要學(xué)生能踏踏實實地分析、解題，一節(jié)課下來基本能提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.

從學(xué)生解題的實際情況來看，不少學(xué)生容易忽略求動點軌跡方程的思想方法. 鑒于這種情況，教師需要有意識地帶領(lǐng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法，鼓勵學(xué)生自主探究問題本質(zhì)，想方設(shè)法挖掘掩藏在問題背后的數(shù)學(xué)思想方法，從而跳出“題?！?

4. 復(fù)習(xí)過程有梯度

專題復(fù)習(xí)中的內(nèi)容，雖說學(xué)生學(xué)習(xí)過，但學(xué)生的思維在復(fù)習(xí)前仍處于“休眠”狀態(tài)，這就需要教師從低起點出發(fā)，創(chuàng)設(shè)跨度小、密度大的問題，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生做足“準備活動”，使學(xué)生的思維充滿條理性，提高教學(xué)效率的同時讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)帶來的成就感，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

總之，高三專題復(fù)習(xí)應(yīng)從高考熱點、難點與核心點出發(fā)，挖掘知識深度的同時還要關(guān)注知識模塊間的聯(lián)系、學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)思想方法的滲透等，從真正意義上提升學(xué)生的綜合解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

作者簡介：王海娟（1982—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲江陰市先進工作者榮譽.