陳超

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，對(duì)于數(shù)與式的教學(xué)，教師應(yīng)把握數(shù)與式的整體性.在二次根式的加減（1）的教學(xué)中筆者以關(guān)注數(shù)式通性、關(guān)注整體教學(xué)、關(guān)注素養(yǎng)培養(yǎng)為抓手進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).本文通過(guò)導(dǎo)入新知、建構(gòu)新知、鞏固新知、深化新知、回味新知、延伸新知六個(gè)環(huán)節(jié)開(kāi)展教學(xué)，從而有序培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)式通性；單元視角；二次根式；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，對(duì)于數(shù)與式的教學(xué)，教師應(yīng)把握數(shù)與式的整體性^［1］.因此，對(duì)于二次根式的加減運(yùn)算，在教學(xué)中筆者主要以關(guān)注數(shù)式通性、關(guān)注整體教學(xué)、關(guān)注素養(yǎng)培養(yǎng)為抓手進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).所謂關(guān)注數(shù)式通性，就是引導(dǎo)學(xué)生在回顧前面學(xué)習(xí)的同類項(xiàng)的概念、合并同類項(xiàng)法則及整式加減的步驟的基礎(chǔ)上，構(gòu)建同類二次根式的概念、二次根式加減的法則以及二次根式加減的步驟；所謂關(guān)注整體教學(xué)，就是在整個(gè)單元視角下設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)，同時(shí)讓學(xué)生及時(shí)有效地類比前面學(xué)過(guò)的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、整式、分式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并完成對(duì)應(yīng)的生長(zhǎng)性的思維導(dǎo)圖；而素養(yǎng)培養(yǎng)，則是在具體的教學(xué)活動(dòng)中，凸顯“四基”和“四能”，關(guān)注綜合實(shí)踐，從而有序培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).2023年10月，筆者有幸參加了蘇州高新區(qū)教研室組織的教研活動(dòng)，開(kāi)設(shè)公開(kāi)課一節(jié)，課題為“二次根式的加減（1）”，現(xiàn)將在磨課過(guò)程中的一些思考和教學(xué)過(guò)程以及反思整理如下：

1?教學(xué)分析

1.1?教材分析

“二次根式的加減”是蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第12章第3節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義、性質(zhì)、化簡(jiǎn)和乘除法運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)和有了相關(guān)研究經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的.同時(shí)，二次根式的加減與之前學(xué)過(guò)的實(shí)數(shù)的加減、整式的加減、分式的加減又有著密切的聯(lián)系，通過(guò)類比展開(kāi)對(duì)二次根式的加減相關(guān)知識(shí)的研究能加深學(xué)生對(duì)數(shù)和式加減運(yùn)算的研究方法的認(rèn)識(shí)，也能為學(xué)生以后繼續(xù)研究數(shù)和式加減運(yùn)算奠定基礎(chǔ)并且提供范式.在知識(shí)形成過(guò)程中，蘊(yùn)含了類比、從特殊到一般、從具體到抽象等數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)有積極的作用.

1.2?學(xué)情分析

（1） 從學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)來(lái)看：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的定義、性質(zhì)、化簡(jiǎn)和乘除法運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)，這套學(xué)習(xí)數(shù)與式的范式對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)二次根式的加減有良好的引導(dǎo)作用.

（2） 從學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看：在之前“實(shí)數(shù)的加減”“整式的加減”和“分式的加減”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已初步了解了研究的路徑，具備了一定的獨(dú)立思考和歸納總結(jié)等能力.

1.3?視角分析

在大單元教學(xué)的視角背景下，引導(dǎo)學(xué)生歸納所學(xué)數(shù)與式知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)框架、類比總結(jié)出研究數(shù)與式的一般路徑：定義→性質(zhì)→運(yùn)算→應(yīng)用，顯得很有必要.為此，我打算在學(xué)生合作討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納所學(xué)數(shù)與式知識(shí)點(diǎn)的思維導(dǎo)圖，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)在課堂上的有效生成，真正做到以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，從而實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)要求的“整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”，真正落實(shí)核心素養(yǎng)的提升.

2?教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1?創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知

同學(xué)們，在剛剛結(jié)束的第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)上，我國(guó)體育健兒不畏困難，不懼挑戰(zhàn)，取得了201枚金牌、111枚銀牌、71枚銅牌，共383枚獎(jiǎng)牌的好成績(jī).小明同學(xué)想在亞運(yùn)會(huì)手抄報(bào)上規(guī)劃出三個(gè)區(qū)域畫亞運(yùn)會(huì)的吉祥物，如圖所示.如果這三塊區(qū)域設(shè)置成正方形.

（1）若從左往右的3個(gè)正方形的面積分別是4、16、9，求線段AD的長(zhǎng)度.

（2） 若從左往右的3個(gè)正方形的面積分別是4a²、16a²、9a²（a＞0），求線段AD的長(zhǎng)度.

你能說(shuō)說(shuō)這是什么運(yùn)算嗎？你是如何運(yùn)算的呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)介紹生活中的實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.引導(dǎo)學(xué)生回顧前面學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)的加減法運(yùn)算和整式的加減法運(yùn)算.

（3） 若從左往右的3個(gè)正方形的面積分別是2、18、8或3、27、12或5、45、20.

你能分別列出求線段AD長(zhǎng)的算式嗎？

追問(wèn)1：你能說(shuō)說(shuō)這是什么運(yùn)算嗎？

追問(wèn)2：你能說(shuō)說(shuō)上面算式中的3組二次根式各有什么共同特征嗎？

追問(wèn)3：你能給具有這些特征的二次根式取一個(gè)合適的名字嗎？

追問(wèn)4：為什么取這個(gè)名字呢？

追問(wèn)5：你能給同類二次根式下個(gè)定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)置一系列追問(wèn)，在對(duì)實(shí)數(shù)的加減法和整式的加減法回顧的基礎(chǔ)上，引入二次根式的加減法的學(xué)習(xí).同時(shí)，利用問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生類比前面學(xué)習(xí)的“同類項(xiàng)”的概念，并自主歸納總結(jié)出“同類二次根式”的概念.

2.2?類比學(xué)習(xí)，建構(gòu)新知

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)以后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式.

找一找：請(qǐng)找出同類二次根式，并整理在框圖內(nèi).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)計(jì)“找一找”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解和應(yīng)用“同類二次根式”的定義.通過(guò)對(duì)被開(kāi)方數(shù)為分?jǐn)?shù)的二次根式的化簡(jiǎn)，鞏固前面學(xué)習(xí)的最簡(jiǎn)二次根式，從而為學(xué)生本節(jié)課的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

2.3?數(shù)學(xué)運(yùn)用，鞏固新知

設(shè)計(jì)意圖：以計(jì)算題“意外情況的出現(xiàn)”為素材，進(jìn)一步提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)類比的負(fù)遷移現(xiàn)象.通過(guò)“平方法”和“作差法”的滲透，進(jìn)一步提升學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力等.

例2?兩個(gè)圓的圓心相同，半徑分別為Rcm、rcm，面積分別是18πcm²、8πcm².求圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）.

變式：兩個(gè)圓的圓心相同，半徑分別為Rcm、rcm，面積分別是18cm²、8cm².求圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）.

設(shè)計(jì)意圖：考慮到部分學(xué)生在計(jì)算被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)的二次根式時(shí)，經(jīng)常算錯(cuò).通過(guò)設(shè)計(jì)題目的階梯，來(lái)分層引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算生活中常見(jiàn)圓環(huán)圖形的寬度，為學(xué)生學(xué)習(xí)被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式的二次根式的化簡(jiǎn)，提供較好的范例，讓學(xué)生積累一定的經(jīng)驗(yàn)，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力和應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)和生活的緊密聯(lián)系.

2.4?聯(lián)系實(shí)際，深化新知

算一算：現(xiàn)有一塊長(zhǎng)8dm、寬3dm的木板，采用如圖的方式，在這塊木板上能否截出3個(gè)面積分別是4.5dm²、8dm²、4.5dm²的正方形木板？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)將問(wèn)題情境中的三個(gè)正方形問(wèn)題改編為生活中的截紙板問(wèn)題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又高于生活，最終服務(wù)于生活這一理念.通過(guò)讓學(xué)生自主探究“能否截出”，鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而有序發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和應(yīng)用意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.5?課堂小結(jié)，回味新知

設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生充足的時(shí)間來(lái)回顧第12章二次根式的學(xué)習(xí)過(guò)程，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)研究的路徑進(jìn)行小結(jié)，并完成思維導(dǎo)圖.以回顧為契機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)能力，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.讓學(xué)生感受到數(shù)與式等數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，關(guān)聯(lián)數(shù)式通性，從而實(shí)現(xiàn)算法的順利遷移^[2].

2.6?分層作業(yè)，延伸新知

必做題： 書本163—164頁(yè)練習(xí)第1、2題.

選做題：整理已學(xué)的數(shù)與式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，嘗試從知識(shí)內(nèi)容、過(guò)程方法、運(yùn)算法則等角度自主構(gòu)建知識(shí)框架.

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分必做題和選做題，讓不同層次的學(xué)生都得到相應(yīng)的發(fā)展.通過(guò)學(xué)生課后的獨(dú)立思考、自主歸納進(jìn)一步發(fā)展自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3?教學(xué)反思

3.1?注重設(shè)問(wèn)，培養(yǎng)能力

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心環(huán)節(jié)，那么在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，老師通過(guò)一系列嚴(yán)謹(jǐn)縝密的設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)，就顯得尤為重要.好的設(shè)問(wèn)可以激發(fā)學(xué)生的求知欲、讓教學(xué)目標(biāo)落地生根并有序推進(jìn).相反，脫離實(shí)際的隨意提問(wèn)，會(huì)讓學(xué)生一頭霧水，抓不住重點(diǎn).本節(jié)課通過(guò)一系列的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生類比歸納總結(jié)出同類二次根式的定義和二次根式加減的法則和步驟，體現(xiàn)了較好的教學(xué)效果.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)實(shí)數(shù)的加減到整式的加減再過(guò)渡到本節(jié)課二次根式的加減，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，也為學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，總結(jié)、設(shè)計(jì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的思維導(dǎo)圖做鋪墊.

3.2?類比遷移，發(fā)展素養(yǎng)

3.3?拓展延伸，回歸生活

為了呼應(yīng)本節(jié)課開(kāi)始研究的拼在一起的三個(gè)正方形的面積問(wèn)題，設(shè)計(jì)出“算一算”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生解決生活中的應(yīng)用題.在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，小組合作探討能否截出的具體意義，即：拼在一起的三個(gè)正方形的最大寬度需要不大于3dm，拼在一起的三個(gè)正方形的總長(zhǎng)度不大于8dm，從而解決實(shí)際問(wèn)題.讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又高于生活，最終服務(wù)于生活.同時(shí)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng).

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［7］ 魯和平.構(gòu)造拋物線巧解向量題［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（5）：69.

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題：“雙減”背景下初中數(shù)學(xué)作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究（課題編號(hào)：C-c/2021/02/78）.