萬(wàn)海兵

摘 要：在直線與平面垂直的判定定理教學(xué)中，由定義中的“與任意一條直線垂直”到定理中的“與兩條相交直線垂直”的跨越是教學(xué)的難點(diǎn).本文從學(xué)科知識(shí)本質(zhì)、學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、教學(xué)實(shí)施過(guò)程三個(gè)方面分析問(wèn)題存在的原因，提出兩種解決方案，使學(xué)生親歷化繁為簡(jiǎn)、以簡(jiǎn)馭繁的思維過(guò)程，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.

關(guān)鍵詞：直線與平面垂直的判定定理；教學(xué)思考；定理獲得

1?問(wèn)題提出

在《直線與平面垂直》的一節(jié)研討課中，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下概括出直線與平面垂直的定義，緊接著發(fā)現(xiàn)用直線與平面垂直的定義來(lái)判斷直線與平面是否垂直不夠簡(jiǎn)潔的問(wèn)題，教師適時(shí)提出類(lèi)比直線與平面平行的判定定理，將直線與平面垂直定義中的“與任意一條直線垂直”轉(zhuǎn)化為“與有限條直線垂直”的問(wèn)題.學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入教材中（蘇教版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）》）折紙、旗桿與地面垂直情境的探討，順利得到直線與平面垂直的判定定理.縱觀整個(gè)課堂，學(xué)生積極參與，課堂氛圍輕松愉悅.

但探究直線與平面垂直的判定定理的過(guò)程中，有學(xué)生追問(wèn)“怎么從任意一條直線就變成兩條相交直線了？”確實(shí)，在教學(xué)中教師雖提出類(lèi)比直線與平面平行的判定定理的探索過(guò)程，但折紙、旗桿與地面垂直的情境等都是教師提供，直接暗示了兩條相交直線.筆者對(duì)出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因，以及教學(xué)中如何改進(jìn)進(jìn)行了思考.

2?問(wèn)題分析

學(xué)生能夠?qū)χ本€與平面垂直的判定定理的探究過(guò)程提出疑問(wèn)值得肯定，這表明學(xué)生希望經(jīng)歷知識(shí)結(jié)論的探究和獲得過(guò)程，而不是教師的“告訴”，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維，是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的追求.

以下從學(xué)科知識(shí)本質(zhì)、學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和教學(xué)實(shí)施過(guò)程三個(gè)方面對(duì)出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因進(jìn)行聚焦分析.

2.1?從學(xué)科知識(shí)本質(zhì)上看，從任意到有限的跨越需要思維的降維轉(zhuǎn)化

“在空間的種種性質(zhì)中，最為基本而且影響無(wú)比深遠(yuǎn)者，首推對(duì)稱(chēng)性和平直性”，直線與平面的關(guān)系是維數(shù)不同的兩類(lèi)基本圖形的關(guān)系，是聯(lián)系維數(shù)相同的兩類(lèi)基本圖形的橋梁，所以這是非常重要的^［1］.

從任意到有限的跨越是用于恰當(dāng)數(shù)量、恰當(dāng)條件的有限條直線的垂直關(guān)系去取代與任意直線的垂直，體現(xiàn)了思維的降維轉(zhuǎn)化.學(xué)生具有相交垂直、異面垂直等認(rèn)知基礎(chǔ).從維數(shù)上看，這是一維對(duì)象之間的垂直；學(xué)生具有線面垂直的直觀經(jīng)驗(yàn)，如旗桿垂直于地面，圓錐的軸線垂直于底面等，但缺乏線面垂直的理性認(rèn)知.從任意到有限的跨越，是一維直線與二維平面之間的垂直轉(zhuǎn)化為一維直線之間的垂直，將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決.

2.2?從學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)來(lái)看，學(xué)生缺乏對(duì)直線與平面垂直關(guān)系的理性認(rèn)知

學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)包括他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中所掌握的知識(shí)、技能和經(jīng)驗(yàn).理解直線與平面垂直的定義是本單元學(xué)生遇到的第一個(gè)難點(diǎn).教材是這樣安排的：圓錐的軸線是“直”的，那么如何用數(shù)學(xué)的方式刻畫(huà)“直”？圓錐是由直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成，所以軸線與底面內(nèi)每一條半徑都垂直，更進(jìn)一步，根據(jù)異面直線垂直的定義，直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直，從而歸納出線面垂直的定義.該定義的抽象程度高，學(xué)生對(duì)于定義的理解也僅僅是勉強(qiáng)接受，以定義為起點(diǎn)思考從任意到有限的跨越，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難.

思考從任意到有限的跨越，一方面是學(xué)生對(duì)直線與平面垂直的定義理解有困難；另一方面是有限條直線，到底是幾條，位置關(guān)系如何；兩部分如何進(jìn)行過(guò)渡，學(xué)生沒(méi)有相應(yīng)的載體支撐，更沒(méi)有可借鑒的經(jīng)驗(yàn)，所以處理起來(lái)有些棘手.

2.3?從教學(xué)實(shí)施過(guò)程來(lái)看，教師的教學(xué)行為沒(méi)有落到學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)上

教師在準(zhǔn)確把握教材的基礎(chǔ)上，需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)教材進(jìn)行個(gè)性化的處理，圍繞知識(shí)產(chǎn)生的本源性問(wèn)題來(lái)探究，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí).

對(duì)于直線與平面垂直的判定定理的教學(xué)，要在“直觀感知、操作確認(rèn)”中通過(guò)多種途徑的說(shuō)理，體現(xiàn)出邏輯推理的成分，使判定定理成為邏輯思維的培養(yǎng)過(guò)程^［1］.

本節(jié)課老師向?qū)W生提出類(lèi)比直線與平面平行的判定定理，將直線與平面垂直定義中的“與任意一條直線垂直”轉(zhuǎn)化為“與有限條直線垂直”的問(wèn)題后，帶著學(xué)生進(jìn)入折紙、旗桿與底面垂直情境的探討.這樣的處理并沒(méi)有解決如何從任意到有限的問(wèn)題，也錯(cuò)失了一次與學(xué)生探討知識(shí)本源性問(wèn)題的機(jī)會(huì).教師需站在學(xué)生的角度，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，思考可能遇到的障礙，搭建腳手架來(lái)分解問(wèn)題，幫助學(xué)生更好地理解和掌握這個(gè)思維過(guò)程.

3?問(wèn)題解決

3.1?已有的解決方案

如何實(shí)現(xiàn)從任意到有限的跨越，現(xiàn)有文獻(xiàn)采取的是以簡(jiǎn)馭繁方案，即首先通過(guò)情境探究直線與平面垂直的判定定理的內(nèi)容，然后說(shuō)明兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線.

如圖1，人教A版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）》是首先通過(guò)折紙情境探究感知，直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD，DC都垂直時(shí)，直線AD垂直于平面α，然后由基本事實(shí)的推論2，平面α可以看成由兩條相交直線BD，DC所唯一確定的，當(dāng)直線AD垂直于這兩條相交直線時(shí)，就能保證直線AD與α內(nèi)所有直線都垂直^［2］.筆者認(rèn)為：折紙情境直接暗示了兩條相交直線，壓縮了學(xué)生的探究空間；運(yùn)用基本事實(shí)推論2解釋兩條相交直線“替代”平面上所有直線是升維轉(zhuǎn)化，而線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直是降維轉(zhuǎn)化，這樣的處理容易產(chǎn)生思維的跳躍，而且兩條相交直線BD，DC確定了平面α，那么直線AD垂直于BD，DC時(shí)，怎么保證直線AD與α內(nèi)所有直線都垂直？

張士民老師采用的方式是教師首先引導(dǎo)學(xué)生從日常生活中的衣架、跨欄的架子、三角形紙片折疊總結(jié)出判定定理的內(nèi)容，然后通過(guò)線面垂直的定義說(shuō)明兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線.如圖2，先固定BD，保證DC緊貼桌面，讓折紙的CAD部分繞著AD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中AD始終與平面α垂直，AD與平面α內(nèi)任意一條過(guò)點(diǎn)D的直線都垂直，而平面α內(nèi)不過(guò)點(diǎn)D的直線都可以通過(guò)平移移到點(diǎn)D，因此AD與平面α內(nèi)任意一條直線都垂直^［3］.筆者認(rèn)為：該方案的優(yōu)點(diǎn)是回歸線面垂直的定義，思路特別清晰，學(xué)生特別容易接受與掌握，不足之處是日常生活情境直接告知了兩條相交直線，學(xué)生的探究空間太小.

侯學(xué)萍、王振平老師采用的方式是教師引導(dǎo)學(xué)生依次討論直線與平面內(nèi)一條直線、兩條平行直線、兩條相交直線的情形.如圖3，在張士民老師的折紙情境的基礎(chǔ)上，增加了翻折后的紙卡放在平面境上，觀察折痕與其成像的環(huán)節(jié)，當(dāng)折痕與其成像在一條直線上時(shí)，折痕與平面垂直，最后從線面垂直定義的角度來(lái)解釋兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線.筆者認(rèn)為：該方案的優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生依次討論一條直線、兩條平行直線、兩條相交直線，這是符合學(xué)生思維的探究過(guò)程；平面鏡的運(yùn)用，為探究過(guò)程增加了亮點(diǎn)；不足之處是整個(gè)探究過(guò)程涉及多個(gè)情境，雖邏輯通順，但不免有些“亂”.

邱瑤老師與侯學(xué)萍、王振平老師的處理過(guò)程類(lèi)似，最大的亮點(diǎn)是教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平面向量基本定理，加深對(duì)直線與平面垂直判定定理的理解，使學(xué)生在未證明定理的情況下依然能夠確認(rèn)此定理的正確性.

張士民老師的折紙情境所發(fā)揮的作用得到教師們的認(rèn)可；在折紙情境之前增加師生討論環(huán)節(jié)，提升了學(xué)生探究的空間，有利于學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)；通過(guò)線面垂直的定義說(shuō)明兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線，加深了學(xué)生對(duì)判定定理內(nèi)容的理解；向量知識(shí)的運(yùn)用更有錦上添花的效果.

如果能將討論環(huán)節(jié)的情境與折紙情境有機(jī)融合在同一情境中，那么探究過(guò)程將顯得更有序！同時(shí)是否可以直接從線面垂直的定義出發(fā)，探尋直線與平面垂直所需要的最少條件呢？

3.2?解決方法探析

探究直線與平面垂直所需要的最少條件，即探究平面內(nèi)至少保留多少條直線，它們的位置關(guān)系如何.既然學(xué)生對(duì)理解直線與平面垂直的定義有困難，且缺少化多為少、化繁為簡(jiǎn)的經(jīng)驗(yàn)，那么引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的情境中，從簡(jiǎn)單情況開(kāi)始研究，直觀感知、操作確認(rèn)，逐步積累處理問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的效果.在之前方案優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)新的折紙情境，整個(gè)探究過(guò)程在該情境中完成.

方案一：由少到多，從直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直到直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直.

第一步?探究線面垂直判定定理的內(nèi)容

問(wèn)題1：將矩形紙片折疊成兩個(gè)矩形，將其中一個(gè)矩形置于桌面上（如圖4），將桌面上的矩形分別對(duì)折一次（如圖5），對(duì)折兩次（如圖6），思考直線l繞折痕a旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線l與各圖中折痕的位置關(guān)系、直線l與平面α是否垂直？你能得出什么結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流后，師生共同總結(jié)得出：直線l繞折痕a旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與所有折痕垂直，但直線l與平面α不能始終垂直，進(jìn)一步得出平行線與一條直線等效的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有相交與平行，而平行關(guān)系是比較容易處理的情形.學(xué)生通過(guò)自己的操作發(fā)現(xiàn)平行與一條直線等效后，目光自然轉(zhuǎn)向相交.問(wèn)題的設(shè)置有助于學(xué)生加深定理中的“兩條相交直線”的理解，感受一條直線駕馭無(wú)數(shù)條直線的效果.

問(wèn)題2：將矩形紙片折疊成兩個(gè)矩形豎立于桌面上（如圖7），選擇一個(gè)矩形對(duì)折一次（如圖8）、對(duì)折兩次（如圖9），調(diào)整各圖中紙片與平面α的交線之間的夾角，觀察紙片與平面α的交線與直線l的位置關(guān)系、直線l與平面α是否垂直？你能得出什么結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流后，師生共同總結(jié)得出：紙片與平面的交線與直線l垂直；直線l與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直，直線l與平面α垂直.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)自己的操作，直觀感知直線只要垂直于平面內(nèi)兩條相交直線就可以垂直于平面，增加的交線可以作為冗余條件去掉，感受到平面內(nèi)兩條相交直線駕馭無(wú)數(shù)條直線的效果.學(xué)生在折紙活動(dòng)中，動(dòng)手實(shí)踐、小組討論，積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).

第二步?說(shuō)明兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線

如圖7，固定直線a，直線b繞直線l旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中l(wèi)始終與平面α垂直.直線l與平面α內(nèi)任意一條過(guò)點(diǎn)A的直線垂直，而平面α內(nèi)不過(guò)點(diǎn)A的直線都可以通過(guò)平移移到點(diǎn)A，因此l與平面α內(nèi)任意一條直線都垂直.

學(xué)生對(duì)理解直線與平面垂直的定義有困難，而判定定理本質(zhì)上就是尋找直線與平面垂直的充分條件.探尋由繁到簡(jiǎn)方案，不可避免回到直線與平面垂直的定義，梳理定義的探究過(guò)程.

方案二：由多到少，從直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直到直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直.

問(wèn)題1：如圖10，直線l垂直于平面α，垂足為O.結(jié)合直線與平面垂直的定義過(guò)程，思考如何保留平面α內(nèi)的部分直線，使得直線l依然垂直于平面α？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，在思考、討論后得出：運(yùn)用異面垂直的定義，在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作所有與直線l異面的直線的平行線（如圖11），那么直線l只要垂直于過(guò)點(diǎn)O的所有直線即可.

設(shè)計(jì)意圖：回到定義上去是一項(xiàng)重要的思想活動(dòng).教材通過(guò)圓錐模型引出直線與平面垂直的定義時(shí)有這樣一句話：“軸線與底面內(nèi)的每一條半徑都垂直，就有軸線垂直于底面內(nèi)所有直線”，這句話蘊(yùn)含了以簡(jiǎn)馭繁的思想，那么引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，回到異面垂直的定義，將直線與平面內(nèi)所有直線垂直轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)部分直線垂直也就順理成章.

通過(guò)問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)歷了化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程，完成了從任意到有限的跨越.幾何畫(huà)板的運(yùn)用，幫助學(xué)生獲取直觀性材料，加深了對(duì)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)，提高了課堂的效率.

4?教學(xué)啟示

4.1?教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容要有深入的理解

只有深入理解教學(xué)內(nèi)容，才能幫助學(xué)生更好地理解和掌握教學(xué)內(nèi)容.這種理解不僅僅是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶，更重要的是理解教學(xué)內(nèi)容內(nèi)在的邏輯、原理和應(yīng)用.

從任意到有限的跨越，包含了豐富的培養(yǎng)學(xué)生理性思維的材料，如研究?jī)?nèi)容包含了直線的平行與垂直，直線與平面垂直；知識(shí)的背后蘊(yùn)含了降低維度、化繁為簡(jiǎn)等數(shù)學(xué)思想；從高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，此內(nèi)容是二維線性空間的特例，平面向量基本定理表明，用兩個(gè)不共線的向量可以張成整個(gè)平面.學(xué)生領(lǐng)會(huì)了知識(shí)背后蘊(yùn)含的思想方法，對(duì)直線與平面垂直的判定定理的構(gòu)建就更清晰了.

4.2?教學(xué)方法的選擇要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

選擇和運(yùn)用符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方法，對(duì)有效突破教學(xué)難點(diǎn)，提高教學(xué)效果至關(guān)重要.為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從任意到有限的跨越，筆者充分考慮學(xué)生的背景知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)能力和興趣，設(shè)計(jì)了兩個(gè)解決方案：

“化繁為簡(jiǎn)”方案的三步：“回到定義”是考慮到學(xué)生的背景知識(shí)；“尋找原型”是考慮到學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)；“抽頁(yè)游戲”是考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和興趣.三步層層遞進(jìn)，尤其是抽頁(yè)游戲，激活學(xué)生思維，有效突破學(xué)生理解障礙.“以簡(jiǎn)馭繁”方案是在折紙情境中分別討論平面內(nèi)直線平行與相交兩種位置關(guān)系，在考慮學(xué)生學(xué)習(xí)能力和興趣的前提下，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有效突破難點(diǎn).兩個(gè)方案在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)發(fā)展分析能力，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

4.3?充分發(fā)揮一般觀念對(duì)學(xué)生認(rèn)知的引領(lǐng)作用

為了在課堂中有效落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，教師必須提高教學(xué)的品味，關(guān)鍵舉措之一就是要加強(qiáng)對(duì)一般觀念的指導(dǎo)，因?yàn)檫@些一般觀念可以給人以發(fā)現(xiàn)的眼光、洞察本質(zhì)的智慧、用數(shù)學(xué)分析和解決問(wèn)題的思想方法^［1］.

筆者設(shè)計(jì)的兩個(gè)解決方案是在“直線與平面的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)直線的垂直關(guān)系進(jìn)行研究”“研究判定定理就是研究直線與平面垂直的充分條件”等“一般觀念”的指導(dǎo)下，引導(dǎo)學(xué)生在系列化的情境中自主探索與發(fā)現(xiàn).“化繁為簡(jiǎn)”方案的探究過(guò)程蘊(yùn)含了回歸定義，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單、化生疏到熟悉等化歸思想.“以簡(jiǎn)馭繁”方案的探究過(guò)程蘊(yùn)含分類(lèi)討論思想，歸納思想.學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行深入探究，實(shí)現(xiàn)從任意到有限的跨越.

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