吳寶瑩 (江蘇省無(wú)錫市惠山區(qū)教師發(fā)展中心 214174) 陳 敏 (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) 214174)

2021年11月24日—26日，江蘇省初中數(shù)學(xué)青年教師基本功大賽在江蘇南通舉行，其中上課的課題是“方差”．筆者作為評(píng)委參與了大賽的全過(guò)程．選手水平良莠不齊，數(shù)學(xué)教學(xué)有失起碼的自然性與合理性．參加省級(jí)青年教師基本功大賽的教師尚且如此，其他教師的教學(xué)情況可想而知．鑒于此，下面以蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)方差為例[1]，談一談追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)．

1 存在的問(wèn)題

1.1 概念的形成缺乏自然性與合理性

1.2 只是照本宣科地“教教材”

不少教師直接簡(jiǎn)單地利用教材提供的例子——質(zhì)檢部門(mén)抽取兩個(gè)廠的各10只乒乓球的直徑數(shù)據(jù)，這兩組數(shù)據(jù)較多，而且相對(duì)來(lái)說(shuō)也較大，較為復(fù)雜．教材應(yīng)用的三個(gè)層次是教教材、用教材、寫(xiě)教材，直接應(yīng)用教材中的例子，按照教材編排的先后順序照本宣科，只能是教材應(yīng)用的最低層次“教教材”，教材應(yīng)用的最高境界是“寫(xiě)教材”，即“得意忘形”[2]：“得其意”——領(lǐng)悟與把握教材的編寫(xiě)意圖；“忘其形”——不拘泥于教材內(nèi)容的編排形式，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況，創(chuàng)造性地使用教材，個(gè)性化地“寫(xiě)教材”．

1.3 把數(shù)學(xué)概念教學(xué)演變成了程式操作

不少教師很快呈現(xiàn)出“方差”的概念與公式，然后是大量的題目跟進(jìn)，學(xué)生進(jìn)行程序化訓(xùn)練.這樣的教學(xué)追求的是知識(shí)取向，不是數(shù)學(xué)文化取向，短期的教學(xué)效果可能是好的(當(dāng)天的作業(yè)、當(dāng)周的測(cè)試等)，但是，因?yàn)閷W(xué)生不清楚為什么要學(xué)習(xí)方差，不了解方差概念是怎樣一步一步產(chǎn)生的，只是老師告訴了他計(jì)算方差的方法步驟，題目訓(xùn)練多了，充其量，他只能算是一個(gè)熟練的操作工，而不會(huì)成為一名設(shè)計(jì)師，這種做法不利于長(zhǎng)遠(yuǎn)的學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

1.4 沒(méi)有形成數(shù)據(jù)分析的結(jié)構(gòu)化思想

在課堂總結(jié)階段，許多教師大都是一些套話：“你今天學(xué)習(xí)了什么？”“你有什么收獲？”“你想對(duì)老師說(shuō)些什么？”“你想對(duì)同學(xué)說(shuō)些什么？”等等，學(xué)生你一言我一語(yǔ)，只是停留在知識(shí)的碎片化層面，沒(méi)有形成利用數(shù)據(jù)分析、解決問(wèn)題的一般性結(jié)構(gòu)化思想．

1.5 概念的拓展理解不夠

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷了解—理解—見(jiàn)解“三部曲”[3]：了解就是學(xué)生要經(jīng)歷體會(huì)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程；理解就是學(xué)生要弄明白概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)與邏輯關(guān)系；見(jiàn)解就是學(xué)生學(xué)習(xí)了概念以后的反思與收獲、所受的啟發(fā)，甚至是質(zhì)疑與批判．方差較為清晰地反映了一組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù)的平均偏差，是一個(gè)被廣泛采用的描述數(shù)據(jù)離散程度的量，但是，它有什么缺點(diǎn)？又如何改進(jìn)？提出這些問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生思辨“方差”這個(gè)描述數(shù)據(jù)離散程度的量，形成概念學(xué)習(xí)的自我見(jiàn)解，進(jìn)行自我建構(gòu)，發(fā)生深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的個(gè)人意義．

1.6 沒(méi)有點(diǎn)破方差的本質(zhì)及其實(shí)際生活指導(dǎo)意義

教師只是從數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上說(shuō)明方差是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量，自始至終沒(méi)有點(diǎn)破方差的本質(zhì)及其對(duì)實(shí)際生活的指導(dǎo)意義．事實(shí)上，方差的本質(zhì)是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量，方差越大，說(shuō)明這件事波動(dòng)性越大，而風(fēng)險(xiǎn)，本質(zhì)上指的就是這種波動(dòng)性．所以，一個(gè)隨機(jī)事件的方差越大，可能的結(jié)果離期望值越遠(yuǎn)，就說(shuō)明它的風(fēng)險(xiǎn)越大．股票與國(guó)債、貨幣基金對(duì)比，股票起伏不定，就是方差太大，風(fēng)險(xiǎn)太高了．在實(shí)際生活中如何抵抗和利用方差呢？在理財(cái)投資領(lǐng)域，一方面“不要把雞蛋放在一個(gè)籃子里面”，就是基于方差的考量；另一方面就是本錢(qián)越多，投資人承受風(fēng)險(xiǎn)的能力就越強(qiáng)，因?yàn)樗匈Y本多次試錯(cuò)，一旦試對(duì)了，就會(huì)得到可觀的收益，畢竟數(shù)學(xué)期望是著眼于長(zhǎng)期的，適于長(zhǎng)期做，即便試錯(cuò)了，他也有足夠的實(shí)力抵御風(fēng)險(xiǎn)壓力，正如風(fēng)華正茂的同學(xué)們，敢闖敢試，敢于質(zhì)疑，勇于創(chuàng)新才是青春應(yīng)有的模樣！

2 追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)的兩個(gè)特質(zhì)

“數(shù)學(xué)是自然的、數(shù)學(xué)是合理的、數(shù)學(xué)是有用的”[4]，數(shù)學(xué)教師要“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”．追求自然合理的數(shù)學(xué)教學(xué)就是要理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)：理解數(shù)學(xué)就是要遵循數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯；理解學(xué)生就是遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；理解了數(shù)學(xué)、理解了學(xué)生，才能理解數(shù)學(xué)教學(xué).基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)才是自然合理的數(shù)學(xué)教學(xué)，這種自然合理性一般表現(xiàn)為以下兩個(gè)特質(zhì)：

一是遵循數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯關(guān)系．本節(jié)課中，對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，我們一般既要分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，也要描述數(shù)據(jù)的離散程度，由于之前學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)只能描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，所以對(duì)數(shù)據(jù)離散程度的描述需要另外尋求一個(gè)新的數(shù)學(xué)量．從極差—離差—離差的絕對(duì)值的平均值(平均差)—離差的平方的平均值(方差)—標(biāo)準(zhǔn)差，教學(xué)活動(dòng)都是遵循數(shù)學(xué)理論的內(nèi)在邏輯關(guān)系自然合理地逐步展開(kāi)．

二是遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．上述教學(xué)活動(dòng)的每一步都發(fā)生在學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)不能解決新問(wèn)題的最近發(fā)展區(qū)和時(shí)間節(jié)點(diǎn)，引起了認(rèn)知沖突，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)使得學(xué)習(xí)逐步深入，符合學(xué)生的認(rèn)知心理、認(rèn)知習(xí)慣與認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生一般意義的數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn)獲得與積累．

當(dāng)然，數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯關(guān)系與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的完美結(jié)合，是追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界．從教學(xué)過(guò)程看，本節(jié)課應(yīng)達(dá)到“知其然，知其所以然，何以知其所以然”的境界，即不僅知道結(jié)論正確，還要知道為什么正確，以及怎么知道結(jié)論是正確的．事實(shí)上，“何以知其所以然”上升到了學(xué)生元認(rèn)知的認(rèn)識(shí)高度．本節(jié)課中，一方面，學(xué)生不僅知道方差能較好地描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，而且清楚方差相對(duì)于極差、離差、平均差，在描述數(shù)據(jù)的離散程度方面，為什么更有合理性與優(yōu)越性(這是遵循數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯)；另一方面，經(jīng)過(guò)認(rèn)知沖突、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)逐步深入的學(xué)習(xí)體驗(yàn)(這是遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律)，學(xué)生深刻明晰了怎么知道“方差”能較好地描述數(shù)據(jù)的離散程度，即怎么知道結(jié)論是正確的，從元認(rèn)知層面上完成“何以知其所以然”．

3 追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)的“兩條腿”走路

理解數(shù)學(xué)就是要遵循數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯，理解學(xué)生就是遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.理解了數(shù)學(xué)、理解了學(xué)生，才能理解數(shù)學(xué)教學(xué)，才是自然合理的數(shù)學(xué)教學(xué)，所以追求自然合理的數(shù)學(xué)教學(xué)要“兩條腿”走路：一要吃透課程標(biāo)準(zhǔn)，領(lǐng)悟其意義內(nèi)涵，深度研究分析教材，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯關(guān)系，在此基礎(chǔ)上展開(kāi)教學(xué)；二要了解學(xué)生的認(rèn)知心理、認(rèn)知習(xí)慣、認(rèn)知特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律，了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，清晰學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新的數(shù)學(xué)理論的差異關(guān)系，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律展開(kāi)教學(xué)．但很多情況下數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯關(guān)系發(fā)展和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律并不一致，這就要求教師要兼顧這“兩個(gè)遵循”，關(guān)鍵是彼此的度的把握，這是難點(diǎn)，也是教學(xué)水平之所在．其度如何把握，要隨著教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生、教學(xué)方法等教學(xué)因素的變化而變化，做到循序漸進(jìn)、實(shí)事求是，但是始終不變的底線原則是“心中有人”，也就是說(shuō)，教學(xué)活動(dòng)的一切從學(xué)生出發(fā)，“心中有人”才能“腳下有路”，才能追求自然合理的數(shù)學(xué)教學(xué)．

4 追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

針對(duì)這次省級(jí)青年教師基本功大賽中“方差”課堂教學(xué)的主要問(wèn)題，兼顧遵循數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯關(guān)系和遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，綜合各位教師的現(xiàn)場(chǎng)教學(xué)情況，下面給出方差教學(xué)的主要環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)與實(shí)施．

4.1 基本情況分析

(1)學(xué)生分析.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，了解了它們的各自特點(diǎn)，知道這些量是從不同角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，知道在不同情況下要選擇不同的量來(lái)描述．學(xué)生對(duì)與實(shí)際生產(chǎn)生活有密切聯(lián)系的統(tǒng)計(jì)分析問(wèn)題表現(xiàn)出較強(qiáng)的興趣，對(duì)一組數(shù)據(jù)有一定的分析能力，也掌握了初步的分析方法，在對(duì)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)描述的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步描述其離散程度．

(2)教材分析.“方差”是蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第三章《數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度》的第四節(jié)，前三節(jié)學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，這些量從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，而方差是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度的，是從兩個(gè)不同的維度進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的．方差是繼小學(xué)階段學(xué)習(xí)了“統(tǒng)計(jì)初步”后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，也為高中階段概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

(3)教學(xué)重、難點(diǎn).重點(diǎn)：方差概念的產(chǎn)生過(guò)程；難點(diǎn)：用“方差”描述一組數(shù)據(jù)離散程度的自然合理性的理解．

4.2 主要教學(xué)過(guò)程

·溫故知新

師：為了有效地認(rèn)識(shí)、分析和利用數(shù)據(jù)，我們前面學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，它們各自是怎么定義的？它們?cè)跀?shù)據(jù)分析方面有什么共同功能？又各有什么特點(diǎn)？

學(xué)生回憶三者的概念、特點(diǎn)及其刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的共同功能．

設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念，它們都能刻畫(huà)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，又各有特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)需要恰當(dāng)選擇．

·問(wèn)題情境

師：在實(shí)際生產(chǎn)生活中，我們不僅需要描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，而且還需要描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，如在射擊比賽選手的選拔中，對(duì)某個(gè)選手的評(píng)估，教練不但要看他的平均水平，還要看他發(fā)揮的穩(wěn)定程度．

甲乙兩位射擊選手各射擊5次，其射擊環(huán)數(shù)分別為3,5,6,7,9；4,5,6,7,8．教練如何選擇？

設(shè)計(jì)意圖教材提供的例子是質(zhì)檢部門(mén)抽取兩個(gè)廠的各10只乒乓球的直徑數(shù)據(jù)，這兩組數(shù)據(jù)較多也較大．這里在數(shù)據(jù)變少、變小的情況下，不妨礙揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)．

·概念建構(gòu)

生：經(jīng)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)都一樣，每個(gè)數(shù)據(jù)都只出現(xiàn)了一次，眾數(shù)意義也不大！但是，又感覺(jué)到數(shù)據(jù)乙(即選手乙的射擊環(huán)數(shù))的波動(dòng)相對(duì)小一些．

師：很好，同學(xué)們的數(shù)學(xué)感覺(jué)很敏銳，這是很可貴的！感覺(jué)到數(shù)據(jù)乙的波動(dòng)相對(duì)小一些是不是指數(shù)據(jù)間的跨度更小一些？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)解決不了現(xiàn)在的問(wèn)題了，引起認(rèn)知沖突，激起學(xué)生學(xué)習(xí)新知解決問(wèn)題的欲望，學(xué)生感覺(jué)到數(shù)據(jù)乙的跨度相對(duì)更小一些．所謂數(shù)據(jù)跨度也就是最大值與最小值的差，極差的概念呼之欲出，另外關(guān)于“極”之理解，極者最也．這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，從概念的產(chǎn)生，到概念的理解，兼顧了數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)在邏輯關(guān)系與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，自然而然．

生：兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是6，但數(shù)據(jù)乙的極差4小于數(shù)據(jù)甲的極差6，選手乙更穩(wěn)定一些，選擇乙．

師：另外兩位射擊選手丙和丁各射擊7次，其射擊環(huán)數(shù)分別為4,5,6,7,8,9,10；4,7,7,7,7,7,10．教練又如何選擇？

設(shè)計(jì)意圖新的兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一樣，剛剛學(xué)習(xí)的極差也一樣，再一次引起認(rèn)知沖突，解決新問(wèn)題需要引入新的量，引導(dǎo)學(xué)生更深一層的思考．

生：這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與極差都一樣，繪制出二者的散點(diǎn)圖，會(huì)直觀地會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)丁波動(dòng)程度小一些．

師：波動(dòng)程度大與小是不是相對(duì)于某個(gè)“中間值”而言的？它與每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，散點(diǎn)圖直觀地描述了這兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，那如何用數(shù)量來(lái)描述呢？

生：這個(gè)“中間值”我們可以選平均數(shù)，計(jì)算各組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差．

師：計(jì)算出各組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差以后，怎么辦呢？是直接相加嗎？

生：兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是7，對(duì)數(shù)據(jù)丙：(4-7)+(5-7)+(6-7)+(7-7)+(8-7)+(9-7)+(10-7)=0；對(duì)于數(shù)據(jù)丁：(4-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(7-7)+(10-7)=0，由于相對(duì)于平均數(shù)波動(dòng)的正負(fù)抵消，兩個(gè)計(jì)算結(jié)果都是0，這個(gè)數(shù)量與直觀圖的描述不符？！

師：一個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差叫離差，由于離差的正負(fù)抵消，掩蓋了數(shù)據(jù)的離散程度，所以不能用離差描述數(shù)據(jù)的離散程度．但是，我們要利用離差，又要避免正負(fù)抵消，怎么辦呢？

生：計(jì)算這些離差的絕對(duì)值的和(學(xué)生很快地說(shuō)出)．對(duì)數(shù)據(jù)丙：|4-7|+|5-7|+|6-7|+ |7-7|+|8-7|+|9-7|+|10-7|=12；對(duì)數(shù)據(jù)?。簗4-7|+|7-7|+|7-7|+|7-7|+ |7-7|+|7-7|+|10-7|=6，6<12，這個(gè)數(shù)量就和直觀圖的描述相符了．

師(追問(wèn))：避免正負(fù)抵消，除了取絕對(duì)值，還有什么辦法？

師(追問(wèn))：方差的單位與原始數(shù)據(jù)的單位有什么改變？怎么辦呢？

學(xué)生在體會(huì)感悟方差在描述數(shù)據(jù)離散程度方面的自然合理性的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)方差的單位與原始數(shù)據(jù)的單位不同，是原始數(shù)據(jù)單位的平方，于是提出了取方差的算術(shù)平方根(很果斷、大膽)．

設(shè)計(jì)意圖從離差—平均差—方差—標(biāo)準(zhǔn)差，不斷產(chǎn)生認(rèn)知沖突，邏輯思維循環(huán)上升的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，適時(shí)推動(dòng)學(xué)習(xí)進(jìn)展，追求學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與數(shù)學(xué)理論本身的內(nèi)部邏輯關(guān)系的完美結(jié)合，自然合理，水到渠成．

·數(shù)學(xué)運(yùn)用

學(xué)生分析質(zhì)檢部門(mén)抽取兩個(gè)廠的各10只乒乓球的直徑數(shù)據(jù)(教材提供的例子)，判斷哪個(gè)廠家生產(chǎn)的乒乓球質(zhì)量更穩(wěn)定．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)數(shù)據(jù)較少的問(wèn)題情境，成功建構(gòu)了方差的數(shù)學(xué)概念后，創(chuàng)造性地使用教材，把教材中的引例后置作為數(shù)學(xué)運(yùn)用的例子．由于學(xué)生對(duì)方差有了自我認(rèn)知意義，解決新問(wèn)題就會(huì)得心應(yīng)手．

4.3 教學(xué)辨析

為了深入淺出、簡(jiǎn)單明了地說(shuō)明方差概念的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程，數(shù)據(jù)的選取尤為重要．教材中的例子乒乓球直徑數(shù)據(jù)較多，也較復(fù)雜，為了解決這個(gè)問(wèn)題，上述教學(xué)過(guò)程中采用了射擊選手的射擊環(huán)數(shù)，這些數(shù)據(jù)固然很簡(jiǎn)單，很容易說(shuō)明問(wèn)題，易于學(xué)生理解，但是“地氣”不足，是筆者主觀想象產(chǎn)生的，這些數(shù)據(jù)最好能在簡(jiǎn)單明了且能說(shuō)明問(wèn)題的前提下，產(chǎn)生于真實(shí)的生產(chǎn)生活中，因?yàn)楫吘刮覀儗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終價(jià)值，是在新的真實(shí)情境下，運(yùn)用數(shù)學(xué)的精神、思想、觀點(diǎn)、方法解決實(shí)際問(wèn)題．

4.4 教學(xué)結(jié)構(gòu)

圖1 課題研究的四個(gè)層次

5 結(jié)束語(yǔ)

追求自然的數(shù)學(xué)教學(xué)不可能一蹴而就，它需要一個(gè)過(guò)程，但是，遵循數(shù)學(xué)理論的內(nèi)在邏輯與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律應(yīng)當(dāng)是我們廣大數(shù)學(xué)教師矢志不渝的價(jià)值追求，每一次上課有一點(diǎn)點(diǎn)向好的改變，都具有重要的現(xiàn)實(shí)意義！