唐亞軍 唐永生 李亞文 朱雨亭 (合肥師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 230601)

1 前言

考試命題對學校教育教學具有重要引導作用，是健全立德樹人落實機制、扭轉不科學教育評價導向的關鍵環(huán)節(jié)，對于全面貫徹黨的教育方針和發(fā)展素質教育具有重要意義[1].因而對數(shù)學試卷的分析是數(shù)學教育教學的重要內容，教師對試題及學生成績的分析可以為評價區(qū)域和學校教學質量、改進教學提供重要參考[2].數(shù)學學業(yè)水平考試(中考)是依據(jù)學業(yè)質量標準對學生學完本課程后的課程目標達成度進行的終結性評價.中考試題一般代表著教學的方向，它所考查的是學生的數(shù)學綜合素質與能力，這種能力集中體現(xiàn)在數(shù)學知識的把握、數(shù)學技能的熟練與數(shù)學思維的完善.同樣，中考幾何試題反映幾何知識的層次，反映對學生幾何技能和幾何思維的要求，因此基于中考幾何試題的分析與總結，進而思考如何促進幾何教學質量提升是一項非常必要的工作.

2 相關研究闡述

幾何知識主要指初中階段平面幾何基本知識.幾何圖形及其性質是幾何知識的主要內容，幾何語言是其主要表達方式，幾何推理與證明是其主要操作手段，是幾何技能與幾何思維的基礎；幾何技能不是人腦中所固有的，而是在不同階段幾何知識的積累與運用過程中逐步發(fā)展而來的，是在練習的基礎上形成的、按照幾何內在規(guī)則順利完成某種與幾何有關的活動任務的技能[3]；幾何思維是在幾何技能熟練操作的基礎上慢慢形成的一種潛在性的思維，是人類理性活動的正常發(fā)展中不能缺少的階段.幾何知識到幾何技能、幾何思維的發(fā)展是一種循序漸進、不斷深化的過程.學生在掌握幾何知識并通過練習形成心理操作，這種操作達到熟練和自動化就形成相應的幾何技能.一方面幾何技能會促進對幾何知識的理解，另一方面心智操作的成熟也會促進學生幾何思維的形成.三者之間的關系密不可分.已有研究[4-5]將幾何技能主要概括為視覺技能、語言技能、畫圖技能、邏輯推理技能與應用技能，其中視覺技能是基礎，邏輯推理技能是核心.幾何思維水平公認的是以范希爾理論為基礎的視覺、分析、非形式化演繹、形式化演繹、嚴密性五個層次[6].因此，以知識為內容的幾何試題中體現(xiàn)著對幾何技能與幾何思維的考查，各思維層次對知識內容與技能類型的要求也不相同，這也是本研究的理論性依據(jù).

教育部明確指出，試題命制既要注重考查基礎知識、基本技能，還要注重考查思維過程[1].縱觀已有的中考試題研究，大致分幾類：以特例研究，著眼于一道幾何試題的多種解法或價值思考；進行幾何試題的專題式(如圓)研究，分析知識模塊的重要性；以中考試題為背景的命題特點分析和解題策略研究；以各省市中考試卷為例進行質量分析及各省市中考試卷之間的比較分析；中考試題與課程標準一致性的研究等.中考幾何試題知識分布的研究多體現(xiàn)在綜合性的試卷分析，以圖形和幾何為模塊出現(xiàn).李柏翰等[7]以范希爾理論為基礎研究了中考幾何試題的思維層次分布及各層次的主要幾何知識分布，為其他研究者提供范本.因此，本文從幾何知識、技能與思維三個方面對8省中考試卷進行分析.

3 中考幾何試題研究過程

3.1 中考試題的選取

研究者選取安徽、河北、河南、山西、陜西、江西、福建、云南2022年的中考試題作為樣本，這8省初中學業(yè)水平測試均為全省統(tǒng)考，受眾面大，對幾何知識內容的考查也相對較為完善.雖然各省初中教材版本不盡相同，但是對幾何知識內容、目標與能力的考查以課程標準為范本，因此教材版本的不同對中考幾何試題的分析沒有影響.

3.2 幾何試題分析內容及量化標準

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》將初中幾何內容分為“圖形的性質、圖形的變化及圖形的坐標”，3個板塊的內容包含13項內容，又細化為87條具體內容要求.研究者依據(jù)13項內容對考查內容進行計分，其原則如下：對每道題體現(xiàn)的主要知識進行計分；若題目中出現(xiàn)若干小問則以每小題所考查的知識內容劃分，分值以參考答案為標準.比如一道6分的試題中全等三角形和相似三角形是解題的關鍵性因素，則給三角形計6分、圖形的相似計6分.

幾何試題的解題往往需要多種幾何技能的組合.研究者依據(jù)幾何技能內容及其表現(xiàn)形式[4-5]，給出了幾何技能量化表(表1).每道確定的試題都有其主導功能且應優(yōu)先保證其主導功能的實現(xiàn)[8]. 幾何試題的主導功能就是使學生的幾何知識成熟與自動化，進而形成幾何技能，發(fā)展幾何思維.因此每道題都有其培養(yǎng)的主要技能和次要技能.合理的試題一般具有兩種以上的技能的組合.因此，幾何技能的計分原則如下：對試題的主要技能計全分，次要 技能按照技能的個數(shù)平均計分.如一道6分的試題涉及視覺、邏輯與繪畫技能，且邏輯是主要技能，則邏輯技能計6分，視覺技能與繪畫技能分別計2分(6/3).

表1 幾何技能量化表

中考幾何試題的考查反映了課程標準對學生幾何思維水平的要求，因此研究者依據(jù)數(shù)學課程標準的要求、范希爾幾何思維水平[6]，參照李柏翰幾何思維量化表[7]編制了范希爾幾何思維水平量化表(表2)，分析幾何試題中體現(xiàn)的幾何思維層次及知識內容的分布.同一幾何試題中會出現(xiàn)多種思維水平，考慮到思維水平是逐步發(fā)展的，在計分時以幾何試題中最高層次水平計分.如一道4分的試題中有層次1和層次2，給層次2計4分.

表2 范希爾幾何思維水平量化表

4 研究結果分析

4.1 幾何知識分析

根據(jù)課標對幾何部分內容的界定及知識分析的原則，得出表3.

由表3可以看出，8省幾何試題總分都占到試卷總分的30%以上，平均占比38.6%，基本符合圖形與幾何知識內容在中考中的體現(xiàn).內容主要集中在圖形的性質中的三角形、四邊形、圓及圖形的相似部分，且多以選擇、填空的壓軸題和解答題的形式出現(xiàn)，說明這四部分知識是各省考查的重點內容.其中，三角形的內容覆蓋率較高(以性質及全等居多)，其他部分或與三角形相互組合、或以三角形為圖形載體構成其他圖形、或通過其他圖形分解而成三角形，說明三角形部分的知識在平面幾何中起到基礎性和關鍵性的作用，是幾何入門教學的關鍵.圖形的變換中，除去圖形的相似，其他部分的內容多以選擇、填空的形式出現(xiàn)且考查內容簡單，圖形的投影考查三視圖居多，圖形的軸對稱、平移、旋轉則多體現(xiàn)于幾何圖形的探究題，在圖形與坐標之中作為一種操作形式考查.點線面角、定義命題定理除福建省第11題之外，沒有以直接的形式進行考查，但是解題的過程是對這些對象和元素的精準操作，以一種隱性的形式考查.因此，教師應注重關鍵知識的教學，通過圖形的變換讓學生把握其中的變與不變量，從而掌握圖形的性質.

表3 8省幾何試題考查知識內容分值與占比

4.2 幾何技能分析

以表2為標準，參照幾何技能的計分原則得出表4.

表4 8省幾何試題考查幾何技能類型占比

由表4可以看出，各省技能考查最多的是邏輯技能，這與邏輯技能是核心技能相符，各省中考均達到60%以上，平均達到73.58%，說明邏輯技能的覆蓋率很高.邏輯技能在內容上主要集中在三角形、四邊形、圓和相似(如河南省第22、23題).語言技能可以說百分之百覆蓋，但只有福建省第11題單獨考查，它多依附于學生的閱讀與論證的過程之中，一些壓軸題(如河北省第26題)更是需要學生理解幾何語言，從中提取出關鍵性信息進行解題.同語言一樣，視覺技能體現(xiàn)于有幾何圖形的試題之中，單獨考查的形式多在選擇題之中且多以對幾何圖形的辨別、對復雜圖形的抽離等方式出現(xiàn)，如福建省第4題辨認軸對稱圖形.繪畫技能多體現(xiàn)于是否添加輔助線和對圖形的運動操作(如江西省第23題)，考查尺規(guī)作圖的如山西省第17(1)題、陜西省第17題、福建省第23(1)題，考查坐標系的圖形變換畫圖的如安徽省第16題，這些都考查了學生的畫圖能力.從表中清晰看出應用技能的考查較少，說明8省幾何試題與生活實際內容的聯(lián)系不多，側面反映出都比較看重以抽象圖形考查非形式或形式演繹推理能力.

4.3 試題的幾何思維水平

以表3為標準，參照幾何思維的計分原則得出表5.

表5 8省幾何試題考查幾何思維水平比重

由表5可以看出，8省2022年中考題中幾何試題考查最多的是層次2(58.22%)，其次是層次3(28.77%)和層次1(12.01%)，層次0和層次4沒有考查，因此各省主要考查的是(非)形式化演繹.根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論，此時的學生正處于形式運算階段，大多數(shù)學生超越了對具體可感知的事物的依賴，形成了抽象、推理思維.因此，幾何試題所考查的思維水平符合學生的認知，教學目標是使學生的思維達到形式化水平.基于幾何試題思維水平的研究，研究者繼續(xù)深入研究各個思維層次上幾何知識與幾何技能的分布，得到表6和表7.

表6 幾何思維水平下各領域知識分值分布

表7 幾何思維水平下各幾何技能占比

由表6可以看出：層次1中，考查相交線與平行線、三角形、四邊形和圖形的投影(三視圖)較多，其中三角形部分的知識大多以其他知識的圖形載體出現(xiàn)；層次2集中在三角形、四邊形、圓及相似考查最多，且大多為考查這幾類圖形的性質，用性質進行基本的邏輯推理；層次3也集中于三角形、四邊形、圓及相似，但融合了圖形的旋轉，多以探究題的形式考查.

由表7可以看出：層次1中考查視覺技能較多，層次2和層次3中考查邏輯技能較多；各項技能在思維層次2中體現(xiàn)較多，層次3與層次1次之.因此，在層次1階段，教學應多以視覺分析為主，在層次2和層次3時教學應以完整的邏輯推理為主.

5 平面幾何教學啟示

5.1 幾何知識——抓圖形、抓關鍵、抓結構

技能與思維是建立在幾何知識的掌握并達到自動化的基礎之上的，要想提升幾何教學質量，必須重視幾何知識.

首先，幾何教學要抓基礎圖形.所謂基礎圖形就是在幾何圖形中起到支撐作用、貫穿于幾何教學始終的圖形.點、線、角是學生初中最先接觸到的抽象幾何圖形，后面的任何圖形都在這三種元素基礎上形成，因此，在平面幾何起始課上要幫助學生破除原有認知，深入理解基礎圖形的概念，為幾何圖形的學習做好思維的鋪墊.

其次，抓關鍵知識.三角形在圖形研究方法上是作為基礎圖形而存在，在知識內容上是作為關鍵性知識而存在，因此掌握好三角形的知識就基本上掌握了幾何圖形的大部分性質.正如項武義[9]所說：“三角形是僅次于線段和直線的基本幾何圖形，它既簡單而又能充分反映空間的本質.”教師要高度重視三角形初步的課堂教學，教會學生圖形研究方法，讓學生加深對三角形知識的理解深度.可適當延長三角形的課時，將三角形的性質研究透徹.

最后，要讓學生熟練提取與運用，以形成技能和思維，教師就需要重視幾何知識結構，將幾何知識結構化重組.以幾何知識內在邏輯為基礎，組織形成完備的知識積累與穩(wěn)固貯存，以幾何思想方法為基礎，組合成學習者頭腦中的數(shù)學知識系統(tǒng)的邏輯聯(lián)系以及學習者頭腦中的數(shù)學方法、解題技巧、運用數(shù)學知識的手段等，它所側重的是對于一類問題的解決方法[10].不同角度的組織可以提高學生對幾何知識理解的深度和廣度，也可拓寬學生的思維.

5.2 幾何技能——看順序、看教學、看練習

幾何技能具有順序性和階段性的特點[4].順序性是指技能之間具有前后順序，前一個技能的訓練是后一個技能的基礎；階段性是指根據(jù)學生幾何知識學習的深度與階段的不同，每一種技能所要掌握的內容及其熟練程度也不同.因此，教師在教學中培養(yǎng)幾何技能時要按照技能的順序，從視覺技能到最后的應用技能合理地安排教學活動(圖1).教師在教學時以此順序為參照，以各知識內容的學習要求為基礎，在課堂教學中培養(yǎng)學生的幾何技能，但以培養(yǎng)學生的邏輯推理技能為核心教學思想展開.幾何技能是在知識的運用(多指練習)中慢慢熟練的，練習的教學功能與目的是使學生建立課程的主要技能技巧、運用相關術語和符號的技能技巧，以及把教學內容模塊化的技能技巧[8].因此教師應精心設計結構化的練習，設計知識難度有順次、技能培養(yǎng)有主次、思維水平有層次的高水平練習.

圖1 幾何技能教學培養(yǎng)要求

5.3 幾何思維——重過程、重形式、重心理

幾何思維的提高融合于知識與技能的教學過程，它內隱于知識與技能的熟練，具有潛在性.范希爾理論在宏觀上界定了學生的思維發(fā)展過程，且試題分析反映出非形式化演繹是考查的重點.幾何概念是幾何知識的元素，是幾何思維形式之一，學生獲得幾何概念過程中的觀察、比較、分類、分析、抽象與概括等微觀思維過程充斥于幾何課堂教學之中，這是培養(yǎng)學生幾何思維的重要手段.教師應該讓學生體會概念形成的思維過程，讓學生自主探究概念、命題與定理等思維形式，在這些過程中通過一系列的問題串、追問等形式探析學生思維歷程，通過反饋了解學生的幾何思維水平，進而依據(jù)教師的教學智慧制定相應的解決對策.當然除了重視幾何思維，還需要重視如學習思維、語言思維與解題思維等有利于幾何思維形成與發(fā)展的心理思維.幾何知識學習是思維形成的過程，幾何語言與幾何解題是思維輸出的過程，而輸出的過程更是幾何思維完善的過程.因此，教師更需要重視學生幾何語言的習得與轉化輸出，將抽象化的幾何符號語言形象化；也更要重視幾何解題的思維過程，多關注學生對幾何試題的分析過程與解題角度.

中考試題是評價學生知識、技能、思維與綜合素養(yǎng)的高水平性測試，指引著中學數(shù)學發(fā)展的總趨勢.幾何試題所滲透出的幾何知識、幾何技能與幾何思維方面的重要要求，是提升幾何教學質量的重要抓手.