劉 煒 (江蘇省蘇州中學(xué) 215007)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》明確了數(shù)學(xué)課程的“四能”：從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.近年來(lái)，提出問(wèn)題成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注與研究的教育主題.事實(shí)上，心理學(xué)研究早就肯定了提出問(wèn)題的能力是創(chuàng)造力的一種表現(xiàn)，國(guó)內(nèi)學(xué)者也早已用問(wèn)題提出測(cè)量學(xué)生的思維品質(zhì)，并利用自編應(yīng)用題來(lái)培養(yǎng)小學(xué)生的創(chuàng)造力[1]．同時(shí)，提出問(wèn)題的過(guò)程與形式是開(kāi)放的，不同程度的學(xué)生都可以參與其中，挖掘他們更大的學(xué)習(xí)潛力，從而比解決問(wèn)題給學(xué)生提供了更多學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)[2].事實(shí)上，要培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力，教師要成為好的提出問(wèn)題者，并能將提出問(wèn)題與教學(xué)活動(dòng)整合，才能將數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)從解決問(wèn)題走向提出問(wèn)題.

2020年，筆者應(yīng)江蘇省東臺(tái)中學(xué)邀請(qǐng)，開(kāi)設(shè)了一輪復(fù)習(xí)微專題“三角形中的最值與范圍問(wèn)題”，對(duì)提出問(wèn)題開(kāi)展了初步教學(xué)實(shí)踐，形成了有益的經(jīng)驗(yàn)，即從問(wèn)題出發(fā)類(lèi)比推理，從模型出發(fā)構(gòu)建情境[3]，以期實(shí)現(xiàn)培育提出問(wèn)題的能力.時(shí)隔兩年，筆者再次受邀開(kāi)設(shè)同題的公開(kāi)課，促成了自我的“同題異構(gòu)”，進(jìn)一步落實(shí)提出問(wèn)題的理念，以期更好地培育學(xué)生的“四能”.

1 教學(xué)實(shí)踐

1.1 多角度解決問(wèn)題

教師布置“課前作業(yè)”，以波利亞在1945年所著的《怎樣解題》(HowtoSolveIt)一書(shū)中提出解決問(wèn)題的四個(gè)步驟為藍(lán)本，給學(xué)生制定了解決問(wèn)題的指導(dǎo)語(yǔ)與解題表(表1).

表1 解決問(wèn)題的指導(dǎo)語(yǔ)與解題表

教師在課前收集并整理學(xué)生的完成情況，分別展示幾種典型的解決問(wèn)題的方案，并比較“形異質(zhì)同”的多個(gè)方案，與學(xué)生共同提煉解決三角形中相關(guān)問(wèn)題的“通性通法”，即模式.

圖1

師：點(diǎn)A的軌跡是圓嗎？

生：不是，去掉P，Q兩點(diǎn).

師：是去掉兩點(diǎn)的一段圓弧嗎？

生：是，(停頓)那不是，應(yīng)該是兩段對(duì)稱的圓弧.

師：的確，在“軌跡”的相關(guān)問(wèn)題上，要注意純粹性與完備性.

師：在代數(shù)推理過(guò)程中，方法2與方法3有什么區(qū)別？

生：方法2適用求最值，方法3適用求范圍.

師：總結(jié)得相當(dāng)好，那么有什么共性呢？

生：都是用了邊和角的關(guān)系.

師：更加準(zhǔn)確地來(lái)說(shuō)，建立邊和角的等量關(guān)系，選擇合適的工具得到范圍或最值.

設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題1是經(jīng)典的解三角形問(wèn)題，可以根據(jù)幾何直觀，也可以用代數(shù)推理，即使用角元變量、邊元變量，而后選擇三角函數(shù)、基本不等式加以處理.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生是熟悉的，但是問(wèn)題的深入分析與反思則是學(xué)生比較薄弱的,因此解決問(wèn)題的教學(xué)分兩步走：在課前，用表格形式指導(dǎo)學(xué)生將分析問(wèn)題的過(guò)程形成文字，既達(dá)成引導(dǎo)學(xué)生對(duì)感性判斷作理性思考，同時(shí)也指明了分析問(wèn)題的常規(guī)思路；在課上，通過(guò)不同方法的比較，展現(xiàn)學(xué)生解題過(guò)程，從而梳理三角形中常規(guī)的研究方法，幫助學(xué)生從解題經(jīng)驗(yàn)中找到解決問(wèn)題的一般觀念，最終找到認(rèn)識(shí)、表達(dá)、解決一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的程式化了的方法[4].

1.2 多角度提出問(wèn)題

師：三角形中，除了六個(gè)基本量(三邊三角)外，還有什么刻畫(huà)三角形的相關(guān)要素呢？

生：面積、周長(zhǎng).

師：通常情況下還有外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑，把它們稱為四個(gè)輔助量.在三角形中還有一些特殊線段，比如說(shuō)？

生：中線，角平分線.

師：把高線、中線和角平分線稱為三個(gè)相關(guān)量.問(wèn)題1中問(wèn)面積的取值范圍，那還可以提什么問(wèn)題？

生：周長(zhǎng)、高線、中線、角平分線.

討論發(fā)現(xiàn)，高線與面積有關(guān)，周長(zhǎng)與面積相似，都可以預(yù)期結(jié)果．在中線與角平分線中，學(xué)生選擇了中線，類(lèi)比提出如下問(wèn)題：

問(wèn)題2已知∠A為定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長(zhǎng).當(dāng)P，Q處于什么位置時(shí)，△APQ的中線AB最長(zhǎng)?

師：這個(gè)問(wèn)題對(duì)嗎？(學(xué)生沉默、疑惑)如果要研究中線，應(yīng)該選什么作為基本變量？用什么建立等量關(guān)系？

師：現(xiàn)在能判斷是最大值還是最小值嗎？

生：當(dāng)A為銳角時(shí)，AB有最大值；當(dāng)A為直角時(shí)，AB為定值；當(dāng)A為鈍角時(shí)，AB有最小值.

師：很好!這里需要根據(jù)符號(hào)確定最值，也就是進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠懻?類(lèi)比提出的問(wèn)題不一定就是準(zhǔn)確的，大家可以課后研究一下如下提法是否妥當(dāng)：

思考已知∠A為定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長(zhǎng).當(dāng)P，Q處于什么位置時(shí)，△APQ的角平分線AB最長(zhǎng)?

設(shè)計(jì)意圖類(lèi)比是數(shù)學(xué)推理之一，即觀察到兩個(gè)或兩類(lèi)事物在許多屬性上都相同，便推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤?類(lèi)比是一種合情推理，也是一種形象思維，不能保證所做的推理科學(xué)正確，但是可以開(kāi)拓學(xué)生的學(xué)術(shù)視野與創(chuàng)造能力，同時(shí)還可以幫助學(xué)生形成求真意識(shí)和思辨精神，這是數(shù)學(xué)“立德樹(shù)人”的重要內(nèi)容.在本環(huán)節(jié)中，筆者不僅讓學(xué)生提出問(wèn)題，還讓學(xué)生辨析問(wèn)題的提法是否準(zhǔn)確，并給學(xué)生留有課后思考的問(wèn)題，讓他們?cè)俅螌?duì)類(lèi)比所提問(wèn)題加以辨析并解決，漸漸讓學(xué)生從解決問(wèn)題走向提出問(wèn)題，并對(duì)問(wèn)題的準(zhǔn)確性加以辨別，讓學(xué)生從感性走向理性.

師：剛才通過(guò)類(lèi)比提出了一些問(wèn)題，還可以提什么問(wèn)題？(學(xué)生沉默)命題中有條件與結(jié)論的區(qū)別，它們可以適當(dāng)調(diào)換，由此啟發(fā)，可以提什么問(wèn)題？

生：給定面積，研究角或邊長(zhǎng)的范圍和最值問(wèn)題.

師：的確可以提出這樣的問(wèn)題，如果面積為定值，邊PQ為定值，那么點(diǎn)A在平行于PQ的直線上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于角的刻畫(huà)是容易處理的.再一起來(lái)看另一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題3在△APQ中，∠A為定角，△APQ的面積為定值，求PQ的取值范圍.

師：基于前面解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，該如何處理呢？

生：尋找等量關(guān)系，然后求目標(biāo)的最值，計(jì)算一遍就可以.

師：是否可以借用前面的結(jié)論去處理呢？

師：這類(lèi)問(wèn)題可以稱為原問(wèn)題的逆問(wèn)題，其處理的基本思路就是按照原本方向進(jìn)行.借助圖形直觀，不難發(fā)現(xiàn)三角形可以變得極其細(xì)長(zhǎng)，那加什么限制條件可限定圖形的變化？

生：銳角三角形，或者鈍角三角形.

變式 已知△APQ是銳角三角形，∠A為定角，△APQ的面積為定值，求PQ的取值范圍.

師：能否還延續(xù)上述做法？用什么來(lái)刻畫(huà)銳角三角形比較方便？

生：選擇角為變量.

設(shè)計(jì)意圖在《什么是數(shù)學(xué)》中曾提出一對(duì)問(wèn)題：在三角形中，給定面積和某邊長(zhǎng)求周長(zhǎng)的最小值；給定周長(zhǎng)和某邊長(zhǎng)求面積的最大值[5].就是交換了條件與結(jié)論中的對(duì)象，相對(duì)形成了原問(wèn)題與逆問(wèn)題.對(duì)于已有問(wèn)題來(lái)說(shuō)，就可以將目標(biāo)作為條件，將某個(gè)條件作為目標(biāo)，調(diào)換一個(gè)推理方向來(lái)提出新問(wèn)題.如此，不僅可以提出更多、更新鮮的問(wèn)題，而且可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究對(duì)象的整體性，有助于從更高的層面來(lái)審視情境與問(wèn)題.

師：既然可以交換目標(biāo)與條件提出新的問(wèn)題，那么是否也可以改變條件而提出新的問(wèn)題呢？我們來(lái)審視問(wèn)題1中的兩個(gè)條件∠A為定角，PQ為定長(zhǎng).“PQ為定長(zhǎng)”是對(duì)邊的一種限定刻畫(huà)，那還有什么方式可以刻畫(huà)呢？

生：傾斜程度確定.

師：這樣的三角形都是相似的，該問(wèn)題比較平凡，還可以如何？

生：過(guò)某點(diǎn).

師：這個(gè)提議很有意思，由此可以提煉出如下問(wèn)題——

問(wèn)題4已知∠A為定角，P，Q分別在∠A的兩邊上，PQ過(guò)點(diǎn)M，其中點(diǎn)M在∠A內(nèi)且到AP，AQ的距離分別為d1，d2(d1，d2>0)，當(dāng)P，Q處于什么位置時(shí)，△APQ的面積最??？

師：這里用到距離，考慮看看應(yīng)該用什么建立等式呢？(生答面積)很好，大家課后嘗試下.問(wèn)題4是改變其中一個(gè)條件，另一個(gè)也可以改嗎？點(diǎn)A在圓弧上運(yùn)動(dòng)，如果讓你改，可以在什么上呢？

生：點(diǎn)A在某條直線上.

師：“∠A為定角”是對(duì)定點(diǎn)所在位置的一種限定刻畫(huà).類(lèi)似地，可以說(shuō)點(diǎn)A在直線上，或者在其他曲線上，最簡(jiǎn)單可以提出如下情境：

師：可以研究什么對(duì)象？

生：面積.

師：幾何直觀可以看到范圍.

生：周長(zhǎng).

師：跟面積一樣，不過(guò)如果直線不是垂直的，就是將軍飲馬問(wèn)題.

生：∠PAQ.

師：這個(gè)提議很好，這類(lèi)張角問(wèn)題是典型的米勒問(wèn)題.由于時(shí)間關(guān)系，具體細(xì)節(jié)有勞大家完成.當(dāng)然，斜線甚至是曲線，同學(xué)們都可以嘗試.回顧本節(jié)課的歷程，從解決問(wèn)題常見(jiàn)三類(lèi)切入點(diǎn)到提出問(wèn)題常用三種著力點(diǎn)，進(jìn)一步理解三角形中各種量之間的關(guān)系，做到解決范圍與最值問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖在同一情境下，類(lèi)比提出不同的研究目標(biāo)，那么替換條件從一定意義上來(lái)說(shuō)也是類(lèi)比.這種類(lèi)比造成了情境的改換，達(dá)到煥然一新的狀態(tài).由于情境的改換，問(wèn)題就從原有的模式變成新鮮的，從而解決問(wèn)題的方法和策略都需作出相應(yīng)調(diào)整，才能真正解決新的問(wèn)題.由于課堂時(shí)間有限，本環(huán)節(jié)只安排了提出問(wèn)題，并沒(méi)有解決問(wèn)題，一方面教師引導(dǎo)學(xué)生去體驗(yàn)如何提出問(wèn)題，另一方面也延伸了課堂的空間與時(shí)間，留下充分的思考余地.

2 教后反思

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，解決問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要的形式，提出問(wèn)題是理解數(shù)學(xué)的重要方式.如何才能夠更多更好地提出問(wèn)題呢？筆者認(rèn)為，可以從以下三種路徑來(lái)學(xué)習(xí)提出問(wèn)題(圖2).

圖2 提出問(wèn)題的三種路徑示意圖

2.1 用類(lèi)比思想，更換目標(biāo)提出問(wèn)題

在同一數(shù)學(xué)情境下，對(duì)于研究目標(biāo)，可以通過(guò)類(lèi)比提出相仿的問(wèn)題.如在本案例中，面積(目標(biāo)0)類(lèi)比可以得到周長(zhǎng)(目標(biāo)1)，其本質(zhì)是sinA+ sinP+sinQ，繼續(xù)類(lèi)比可得cosA+cosP+ cosQ(目標(biāo)2)，當(dāng)然也可以直接從目標(biāo)0再次類(lèi)比到高線，繼而類(lèi)比到中線、角平分線等.一次類(lèi)比可以提出一些問(wèn)題，二次類(lèi)比可以提出更多問(wèn)題……問(wèn)題可以成“指數(shù)式”增多，但注意到類(lèi)比是一種合情推理，還需要通過(guò)理性分析來(lái)判斷問(wèn)題的準(zhǔn)確性.

2.2 逆推理順序，交換對(duì)象提出問(wèn)題

在同一數(shù)學(xué)情境下，所研究問(wèn)題的條件與結(jié)論都是對(duì)該情境中部分量的刻畫(huà)，所謂邏輯上的正向與逆向，只不過(guò)是把其中一部分作為已知，再把另外一部分作為未知而已，由此可以通過(guò)交換它們提出新的問(wèn)題.在本案例中，在面積(目標(biāo)0)確定時(shí)，可以去研究邊PQ(條件1)或∠A(條件2)的變化，解決問(wèn)題的方法并沒(méi)有發(fā)生太大的變化，進(jìn)而可以理解這類(lèi)數(shù)學(xué)情境的本質(zhì).隨著對(duì)目標(biāo)類(lèi)比提問(wèn)的增多，可以用目標(biāo)1、目標(biāo)2等去交換條件1或條件2等，如此疊加，可以提出更多有益的問(wèn)題.

2.3 析數(shù)學(xué)本質(zhì)，替換條件提出問(wèn)題

前兩種提問(wèn)的路徑中，所研究的數(shù)學(xué)情境是不變的，如果讓原始問(wèn)題中某些條件進(jìn)行重新限定，就可以產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)情境.在本案例中，∠A為定值(條件2)刻畫(huà)了點(diǎn)A在圓弧上運(yùn)動(dòng)，可以替換成點(diǎn)A在直線上運(yùn)動(dòng)(條件2′)，從而提出了問(wèn)題5.類(lèi)似地，此條件還可以有其他的限定，其他條件亦可作相應(yīng)替換，又一次可以利用前兩種路徑繼續(xù)提出問(wèn)題，由此提出問(wèn)題的數(shù)量可是成“冪集式”增長(zhǎng).

以上給出了三種提出問(wèn)題的基本路徑，教師的示范是重要的，但還要通過(guò)教師的語(yǔ)言精確地引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題，踐行主動(dòng)學(xué)習(xí)的原則[6].只有讓學(xué)生經(jīng)歷了提出問(wèn)題的過(guò)程，他們才會(huì)真正體會(huì)到提出問(wèn)題的路徑，最終學(xué)會(huì)主動(dòng)提出問(wèn)題，提升提出問(wèn)題的能力.

波利亞曾經(jīng)呼吁：讓我們教猜想吧！筆者也號(hào)召所有同仁：讓我們教提問(wèn)吧！