戴中元 (華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 201203)

“丘成桐中學(xué)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”是丘成桐先生于2007年12月發(fā)起，為激發(fā)和提升全球中學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)研究的興趣和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)有前途的青年數(shù)學(xué)才俊而設(shè)立的．該獎(jiǎng)項(xiàng)面向全球中學(xué)生，舍棄了試卷和標(biāo)準(zhǔn)答案，學(xué)生的作品以研究報(bào)告的形式提交，經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家三輪審核和最后決賽答辯，評(píng)出獎(jiǎng)項(xiàng)．后又加入了物理、化學(xué)、生物、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)建模等學(xué)科，組成了新的丘成桐中學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)(下稱(chēng)“丘獎(jiǎng)”)．筆者結(jié)合這些年指導(dǎo)學(xué)生參加丘獎(jiǎng)的經(jīng)歷以及華東師大二附中的課題引導(dǎo)來(lái)探討它對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育的影響．

1 丘獎(jiǎng)為中學(xué)生的理論研究提供了舞臺(tái)

華東師大二附中有六個(gè)百分百，其中之一就是百分百的學(xué)生做課題研究.學(xué)校在新生入校時(shí)即會(huì)舉辦走近科學(xué)夏令營(yíng)，讓學(xué)生領(lǐng)略到科學(xué)的魅力，找到自身感興趣的方向，然后在學(xué)校科技輔導(dǎo)團(tuán)老師的指導(dǎo)下開(kāi)展研究.每年均有許多學(xué)生參加全國(guó)青少年科技創(chuàng)新大賽，并連續(xù)20余年入圍英特爾國(guó)際工程學(xué)大獎(jiǎng)賽，迄今已有5位學(xué)生榮獲小行星命名．

不同于英特爾大獎(jiǎng)賽側(cè)重于實(shí)驗(yàn)科學(xué)和工程學(xué)，丘獎(jiǎng)更側(cè)重于理論研究．

筆者高中時(shí)即對(duì)不等式非常感興趣，閱讀了諸如《不等式理論方法》《常用不等式》等參考書(shū)，并寫(xiě)信向國(guó)內(nèi)這方面的專(zhuān)家楊學(xué)枝老師求教，楊老師非常認(rèn)真地答復(fù)我并郵寄了《不等式研究通訊》給我，我學(xué)習(xí)了許多知識(shí)，也研究了一些問(wèn)題，但當(dāng)時(shí)在中學(xué)階段除了高考只有奧賽這條道路，沒(méi)有做數(shù)學(xué)課題的氛圍，所以只是淺嘗輒止．

在2008年第一屆丘成桐中學(xué)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)中，復(fù)旦附中學(xué)生韓京俊的《完全對(duì)稱(chēng)不等式的取等判定》榮獲優(yōu)勝獎(jiǎng)，之后又出版了《初等不等式的證明方法》，進(jìn)入大學(xué)后他開(kāi)始符號(hào)計(jì)算領(lǐng)域的研究.他的興趣最初來(lái)自于高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽里的不等式問(wèn)題，競(jìng)賽要求參賽者手工證明不等式，那能不能找到一個(gè)通法用計(jì)算機(jī)的符號(hào)運(yùn)算解決不等式證明問(wèn)題呢？在這一興趣的驅(qū)使之下，韓京俊很早就展開(kāi)了對(duì)符號(hào)運(yùn)算領(lǐng)域的研究，大一時(shí)他就解決了中科院楊路教授在《中國(guó)科學(xué)》上提出的公開(kāi)問(wèn)題．韓京俊后來(lái)從事代數(shù)幾何研究，現(xiàn)在美國(guó)約翰霍普金斯大學(xué)任J.J.Sylvester助理教授．像韓京俊這樣的例子還有許多，丘獎(jiǎng)為許多熱愛(ài)探究的學(xué)生提供了展示舞臺(tái)，為他們和大學(xué)教授之間建立起橋梁；提前學(xué)習(xí)了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，用不同于中小學(xué)的模式學(xué)習(xí)知識(shí)，充分激發(fā)了中學(xué)生的潛能，并堅(jiān)定了之后走科研道路的信心．

2 華東師大二附中的數(shù)學(xué)科創(chuàng)活動(dòng)

華東師大二附中的科技創(chuàng)新班是由一批學(xué)有余力、喜愛(ài)科學(xué)、勇于探索的學(xué)生組成，他們每周有一個(gè)下午的卓越課程和一個(gè)晚上的時(shí)間可以去學(xué)校4樓科創(chuàng)教室自由地開(kāi)展課題研究，學(xué)校為他們配備了物理、化學(xué)、生物、工程、機(jī)器人等實(shí)驗(yàn)室，做數(shù)學(xué)課題的學(xué)生則可以選擇數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室．

2.1 數(shù)學(xué)課題研究討論班

數(shù)學(xué)課題研究小組是由有志于做數(shù)學(xué)課題的學(xué)生組成，要求具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，平時(shí)在課內(nèi)學(xué)習(xí)之外有時(shí)間閱讀數(shù)學(xué)方面的科普書(shū)和專(zhuān)業(yè)書(shū)，有一定的自學(xué)能力，有探索精神和抗挫折的能力[1]．每周的卓越課程，我會(huì)組織學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)課題研究討論班，本課程有些類(lèi)似于大學(xué)的數(shù)學(xué)討論班，由學(xué)生主講自己所學(xué)知識(shí)和所做的數(shù)學(xué)研究，教師幫助解答問(wèn)題和提供參考意見(jiàn)．

數(shù)學(xué)課題組進(jìn)行課題選題討論，閱讀數(shù)學(xué)拓展類(lèi)書(shū)籍(如《數(shù)學(xué)建?！返?，查閱文獻(xiàn)(如《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》《數(shù)學(xué)文化》《數(shù)學(xué)傳播》《數(shù)理人文》《數(shù)學(xué)通報(bào)》《數(shù)學(xué)通訊》等)，課題進(jìn)展匯報(bào)，專(zhuān)題學(xué)習(xí)匯報(bào)等活動(dòng)．專(zhuān)題學(xué)習(xí)匯報(bào)主要由學(xué)生自己查閱感興趣的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，然后制作匯報(bào)PPT，由老師審閱及和同學(xué)討論修改后向所有課題組同學(xué)匯報(bào)，在期中、期末考試等課業(yè)負(fù)擔(dān)比較重的時(shí)候由指導(dǎo)老師來(lái)講．

在專(zhuān)題學(xué)習(xí)匯報(bào)討論班中，發(fā)現(xiàn)由學(xué)生視角導(dǎo)入對(duì)其他學(xué)生更易于接受和理解，并且學(xué)生能更積極地提出問(wèn)題．在討論班過(guò)程中經(jīng)常要求學(xué)生最后用一個(gè)具體的例子來(lái)講解自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使聽(tīng)的學(xué)生真正將這些內(nèi)容弄懂．另外討論班可以使做不同課題的學(xué)生加強(qiáng)溝通和交流，了解其他人在做什么，在短時(shí)間內(nèi)學(xué)習(xí)更多的知識(shí)，并且相互借鑒和啟發(fā)．

表1 華東師大二附中歷年入圍丘獎(jiǎng)決賽的數(shù)學(xué)課題

2.2 現(xiàn)代數(shù)學(xué)巡禮選修課

“現(xiàn)代數(shù)學(xué)巡禮”是周五下午的全校性選修課[2]，內(nèi)容是以高中課內(nèi)知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行拓展、加深，注重思想，介紹問(wèn)題的由來(lái)、發(fā)展、背景、影響以及在實(shí)際生活中的應(yīng)用．介紹比較有名的問(wèn)題(如費(fèi)馬大定理、黎曼猜想等)，或較新的重大突破(如張益唐在孿生素?cái)?shù)方面的工作)，普及數(shù)學(xué)文化方面的知識(shí)，如數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)與和諧、數(shù)學(xué)中的創(chuàng)造、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性等．觀看數(shù)學(xué)家的電影(如納什、圖靈、拉馬努金、高斯、希帕提婭、陳省身、華羅庚等)，數(shù)學(xué)科普紀(jì)錄片(如《數(shù)學(xué)漫步》《平面國(guó)》《數(shù)學(xué)的故事》《尋找隱藏的維度》《神秘的混沌理論》等)．

表2 “現(xiàn)代數(shù)學(xué)巡禮”的部分課程

“現(xiàn)代數(shù)學(xué)巡禮”為對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生打開(kāi)了一扇新的窗戶(hù)，從中可以學(xué)到許多課本上沒(méi)有的數(shù)學(xué)知識(shí)(如幻方、魔術(shù)中的數(shù)學(xué))，又可以了解到數(shù)學(xué)在生活中的具體應(yīng)用(如博弈論、圖論、分形)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，從中體會(huì)到數(shù)學(xué)的美和價(jià)值，許多學(xué)生就是從這門(mén)課走入了課題研究的樂(lè)園．

2.3 大學(xué)先修課程

從2013年開(kāi)始清華大學(xué)和北京大學(xué)就在中學(xué)設(shè)立大學(xué)先修課程.北京數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)柳彬在課程啟動(dòng)時(shí)曾說(shuō)：“16歲的中學(xué)生在智力上已經(jīng)成熟，有能力學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)．”華東師大二附中在數(shù)學(xué)方面開(kāi)設(shè)了《微積分》《線(xiàn)性代數(shù)》《抽象代數(shù)》《概率論》等課程，筆者曾長(zhǎng)期擔(dān)任學(xué)校的微積分講師，由于上海地區(qū)很長(zhǎng)時(shí)間不講導(dǎo)數(shù)，這門(mén)課很好地彌補(bǔ)了這個(gè)不足，并且對(duì)物理競(jìng)賽的學(xué)生使用求導(dǎo)、積分工具起到了很大的幫助．我校許多學(xué)生都在清華大學(xué)和北京大學(xué)先修課的考試中取得了優(yōu)異成績(jī)，這方面的工作得到北京師范大學(xué)張英伯教授的肯定[3]．在2021年兩次清華領(lǐng)軍計(jì)劃的選拔中，二附中共有7位學(xué)生成功入選，這和我校長(zhǎng)期堅(jiān)持開(kāi)設(shè)大學(xué)先修課、鼓勵(lì)學(xué)生自學(xué)是分不開(kāi)的．

同時(shí)大學(xué)先修課也為高中生學(xué)習(xí)深入的大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)鋪設(shè)了道路，為他們做課題研究奠定了更加堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)．例如，復(fù)旦附中的陳子弘同學(xué)(2015年銀獎(jiǎng)獲得者)高中階段即自學(xué)Stein的三卷調(diào)和分析，且在普林斯頓的本科生雜志上發(fā)表論文，而我校的劉臻化同學(xué)(2015年金獎(jiǎng)獲得者)則利用課余時(shí)間自學(xué)了代數(shù)數(shù)論和解析數(shù)論的部分內(nèi)容．丘先生也在接受采訪(fǎng)中提到丘獎(jiǎng)剛開(kāi)始時(shí)因?yàn)閲?guó)內(nèi)高中生不懂微積分[4]，所以大多數(shù)學(xué)生做的都是初等數(shù)學(xué)問(wèn)題．隨著丘獎(jiǎng)影響力逐漸擴(kuò)大，更多有深度、用高等數(shù)學(xué)方法解決的課題占比越來(lái)越大，有些被評(píng)委會(huì)認(rèn)為達(dá)到了碩士論文的水平，可見(jiàn)丘獎(jiǎng)對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)知識(shí)起到了巨大的推動(dòng)作用，學(xué)生的視野更加開(kāi)闊，知識(shí)儲(chǔ)備和科研能力得到了大幅提高．

3 數(shù)學(xué)課題案例分析

3.1 研究性學(xué)習(xí)

雖然經(jīng)常在教學(xué)研討時(shí)提到研究性學(xué)習(xí)，但筆者認(rèn)為平時(shí)在課堂中的這些方式至多被稱(chēng)為啟發(fā)式教學(xué)，而“研究性學(xué)習(xí)”應(yīng)至少具備這樣三點(diǎn)：

一是獨(dú)立性，學(xué)生必須在大部分時(shí)間內(nèi)單獨(dú)進(jìn)行探究，如果身旁總是有別人的幫助或者提示，那么應(yīng)歸屬于啟發(fā)式教學(xué)范疇．

二是長(zhǎng)時(shí)性，“研究”是利用有計(jì)劃與有系統(tǒng)的資料收集、分析和解釋的方法，獲得解決問(wèn)題的過(guò)程，試想如果問(wèn)題只需用很短的時(shí)間就能解決，那怎能稱(chēng)為“研究”呢？

三是不確定性，既然是研究，就會(huì)有成功和失敗，如果在做之前就能完全確定結(jié)果，那至多只是驗(yàn)證工作．

圖1 與凸四邊形四頂點(diǎn)共橢圓的點(diǎn)的區(qū)域

根據(jù)以上三點(diǎn)，做課題是一種非常好的自主研究性學(xué)習(xí)．下面以沈伊茜同學(xué)的《凸四邊形外接橢圓及其性質(zhì)研究》中的部分結(jié)果為例進(jìn)行說(shuō)明.首先容易驗(yàn)證凸四邊形必然存在外接橢圓，且有無(wú)窮多個(gè)，那么很自然地想到如果加入第5個(gè)點(diǎn)能否將這個(gè)橢圓確定下來(lái).這里采用從特殊到一般的方法，先從矩形入手，然后依次討論平行四邊形、等腰梯形、非等腰梯形，可以發(fā)現(xiàn)與原來(lái)四點(diǎn)共橢圓的點(diǎn)的區(qū)域是前面這幾幅圖中的陰影部分，且梯形中的一條邊界是過(guò)四點(diǎn)的拋物線(xiàn)，最后將結(jié)論自然地推廣到一般四邊形(對(duì)邊不平行)的情況，此時(shí)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)的拋物線(xiàn)有2條，而此時(shí)滿(mǎn)足要求的點(diǎn)就是以這2條拋物線(xiàn)為邊界的．

在得到共橢圓的點(diǎn)集后，與四頂點(diǎn)共拋物線(xiàn)的點(diǎn)集就是這2條拋物線(xiàn)，那么猜測(cè)剩下的點(diǎn)與四頂點(diǎn)共雙曲線(xiàn).經(jīng)過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)果然如此，并且還可得到在圖2淺灰色部分的點(diǎn)所得的雙曲線(xiàn)兩支上各有2個(gè)頂點(diǎn)，而深灰色部分所得的雙曲線(xiàn)的一支上有4個(gè)頂點(diǎn)．

圖2 與凸四邊形四頂點(diǎn)共雙曲線(xiàn)的點(diǎn)的區(qū)域

該篇文章中這個(gè)結(jié)論的思路是從特殊到一般，在課堂中已做過(guò)很多類(lèi)似的問(wèn)題，但我認(rèn)為這些都不如做課題體會(huì)來(lái)得深，這就是研究性學(xué)習(xí)和其他學(xué)習(xí)方式的不同點(diǎn)，它帶給人一種超越自我的感覺(jué)．同時(shí)這個(gè)課題還體現(xiàn)了幾何之美，三種圓錐曲線(xiàn)在這里得到了完美的融合，該課題得到了丘先生的贊譽(yù)，并榮獲了2014年丘獎(jiǎng)的銅獎(jiǎng).這對(duì)沈同學(xué)是非常大的激勵(lì)，之后做任何事情都信心十足，成績(jī)一直位列班級(jí)第一，后考入清華大學(xué)．還有許多學(xué)生也是如此，由此可見(jiàn)課題研究對(duì)學(xué)生的作用不僅是本學(xué)科，對(duì)其他方面也有極大的促進(jìn)作用．

3.2 堅(jiān)持自主選題

現(xiàn)在許多高中生課題都是直接由大學(xué)教師或研究生指定，我認(rèn)為這會(huì)失去課題探究的初心，變得和數(shù)學(xué)競(jìng)賽一樣，又成了解決別人提出的問(wèn)題，并且很多學(xué)生根本不知道這項(xiàng)研究的意義何在．平時(shí)課內(nèi)學(xué)習(xí)課本知識(shí)時(shí)，少有人問(wèn)為什么要學(xué)習(xí)等差數(shù)列、指數(shù)函數(shù)這樣的知識(shí)，而研究過(guò)程則告訴學(xué)生為什么要走這條路、這條路還有哪些地方?jīng)]人去過(guò)，說(shuō)不定可以發(fā)現(xiàn)新的事物，這是課內(nèi)淺嘗輒止的學(xué)習(xí)所做不到的．丘先生曾說(shuō)：“近40年來(lái)，中國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展很快，但還是不滿(mǎn)意，最大的問(wèn)題是人們解決問(wèn)題，不是自己提出問(wèn)題.”所以二附中堅(jiān)持學(xué)生自主選題，在每次的科技夏令營(yíng)中會(huì)向?qū)W生介紹過(guò)去的各種課題，并歸納出幾種選題的思路：

(1)從課本中尋找問(wèn)題

例如，葛敬元同學(xué)的《復(fù)函數(shù)奇偶性及其他性質(zhì)的圖象研究》就是將函數(shù)的奇偶性推廣到復(fù)函數(shù)，給出了相應(yīng)的ω奇、ω偶的概念，并將它應(yīng)用于圖象變換，使其具有給定的對(duì)稱(chēng)性，課題獲2016年丘獎(jiǎng)華東賽區(qū)二等獎(jiǎng)．鈕敏學(xué)、蔡偌箐同學(xué)的《形如ax+bx=cx的簡(jiǎn)單指數(shù)方程解的無(wú)理性判定》是從指數(shù)函數(shù)的例題3x+4x=5x中得來(lái)，這個(gè)方程根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知有唯一解，且因?yàn)?,4,5是勾股數(shù)，所以它的解是x=2，那么如果底數(shù)是其他正整數(shù)呢？猜測(cè)除了極少數(shù)特殊情況外解都是無(wú)理數(shù).兩位學(xué)生自學(xué)伽羅華理論，并利用復(fù)數(shù)知識(shí)進(jìn)行了細(xì)致的討論，并將其推廣到左邊有3項(xiàng)及3項(xiàng)以上的情況，該課題獲2013年丘獎(jiǎng)華東賽區(qū)一等獎(jiǎng)．

(2)從生活中尋找問(wèn)題

網(wǎng)絡(luò)論壇中有水軍，微博中有僵尸粉，丁懿銘同學(xué)利用統(tǒng)計(jì)學(xué)把這些無(wú)效用戶(hù)的特征提取出來(lái)．例如，用真實(shí)照片的用戶(hù)更有可能是虛假的，然后利用它們來(lái)對(duì)用戶(hù)進(jìn)行測(cè)試，得到了不錯(cuò)的結(jié)果，她的課題《基于貝葉斯理論的微博僵尸粉識(shí)別研究》獲2014年丘獎(jiǎng)銅獎(jiǎng)．而華立成同學(xué)則是從田忌賽馬問(wèn)題出發(fā)，研究n(n≥4)匹馬情況下齊威王和田忌的勝負(fù)情況，得到了許多有趣的結(jié)論．例如，如果馬匹數(shù)足夠多，那么兩人獲勝的概率是相同的，并從哲學(xué)角度進(jìn)行了分析．在最后答辯時(shí)因?yàn)橛型饧u(píng)委，丘先生率先提問(wèn)：“Who’s Tian Ji？”華同學(xué)借這個(gè)機(jī)會(huì)又普及了中國(guó)古代運(yùn)籌學(xué)思想，他的《多馬匹情形下的田忌賽馬問(wèn)題研究》獲2015年丘獎(jiǎng)優(yōu)勝獎(jiǎng)．

(3)從習(xí)題中尋找問(wèn)題

有這樣一道立體幾何習(xí)題：是否存在空間五邊形，它的每條邊長(zhǎng)度都是1，相鄰兩邊所成的角都是直角？答案是否定的，那么如果將五邊形改為其他邊形呢？將直角改成其他角度呢？這實(shí)際上是平面正多邊形在空間中的推廣.孫越陽(yáng)同學(xué)仔細(xì)研究了內(nèi)角為90°的情況，得出了內(nèi)角為90°的空間正多邊形在n≥6時(shí)都存在，其中關(guān)鍵的一步是構(gòu)造七邊形的情況(圖3)，然后系統(tǒng)性地研究了在n比較小時(shí)，空間正n邊形內(nèi)角的范圍，并在4維空間中討論了相關(guān)問(wèn)題，她的課題《對(duì)空間中立體幾何相接數(shù)及其衍生定理的研究》獲得2019年丘獎(jiǎng)華東賽區(qū)二等獎(jiǎng)．

圖3 內(nèi)角為直角的空間正七邊形HGJKLIE

(4)對(duì)現(xiàn)有問(wèn)題進(jìn)行推廣

潘星宇同學(xué)將平面幾何中的Soddy點(diǎn)推廣到空間中，她將尺規(guī)作圖中的直尺和圓規(guī)推廣到空間中畫(huà)平面和圓錐的平尺和傘規(guī)，得到了許多有趣的結(jié)果．例如，古希臘三大幾何作圖問(wèn)題就可以通過(guò)這兩個(gè)新的作圖工具得到解決，她的《三角形中神奇的點(diǎn)》獲得2013年華東賽區(qū)一等獎(jiǎng)．楊岳同學(xué)在課余學(xué)習(xí)了許多高等數(shù)學(xué)知識(shí)，他應(yīng)用 Jacobi三重積恒等式和歐拉五邊形數(shù)定理推導(dǎo)了一套新的恒等式，并對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行了推廣，他的《一類(lèi)無(wú)窮乘積的計(jì)算方法和三角函數(shù)的一種推廣》獲2021年丘獎(jiǎng)華東賽區(qū)三等獎(jiǎng)．葉果然同學(xué)則是通過(guò)對(duì)博物館守衛(wèi)問(wèn)題進(jìn)行拓展，考慮到像俄羅斯冬宮這樣中間為廣場(chǎng)的建筑，他的《一個(gè)有空洞的多邊形建筑的內(nèi)部守衛(wèi)問(wèn)題》獲2016年丘獎(jiǎng)華東賽區(qū)三等獎(jiǎng)．

(5)從數(shù)學(xué)游戲中尋找問(wèn)題

鄭植勻同學(xué)的數(shù)學(xué)課題來(lái)源于“打地鼠”游戲，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是一個(gè)城堡中的房間在圖G的頂點(diǎn)上，一個(gè)住在城堡中的公主每天住在與她前一天相鄰的房間，王子們不知道公主所住的房間，但每天傍晚這些王子可以分別查看一間房間中是否住著公主，求最少需要幾個(gè)王子才可以有必定找到公主的策略．對(duì)于圖G，這個(gè)數(shù)被定義為最小王子數(shù)，記為ρ(G)，這個(gè)概念刻畫(huà)了圖的某種“連通”性質(zhì)．鄭同學(xué)利用鄰接矩陣等代數(shù)工具給出了許多特殊圖的ρ(G)，并給出它的不等式估計(jì)．例如，可以計(jì)算圖4的ρ(G)=7，他的《簡(jiǎn)單圖上的王子與公主問(wèn)題》獲得了2021年丘獎(jiǎng)華東賽區(qū)一等獎(jiǎng)．清華附中的楊青明老師及學(xué)生從數(shù)獨(dú)游戲中獲取靈感，發(fā)明了《形獨(dú)》游戲，并衍生出各種玩法，還將它開(kāi)發(fā)成App讓更多人能夠玩到這款益智游戲．在二附中，施洪亮副校長(zhǎng)與何智宇老師開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)游戲的選修課[5]，在數(shù)學(xué)文化節(jié)中有游戲?qū)?chǎng)，開(kāi)設(shè)魔方、數(shù)獨(dú)、24點(diǎn)等比賽，并在暑期組織學(xué)生參加MIT組織的數(shù)學(xué)游戲主題夏令營(yíng)，讓學(xué)生在游戲的快樂(lè)中體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，所以數(shù)學(xué)游戲也是數(shù)學(xué)課題的重要來(lái)源之一．

圖4 最小王子數(shù)ρ(G)=7

(6)從數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中尋找問(wèn)題

方瀟硯同學(xué)對(duì)軍事非常感興趣，他利用解析幾何知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究古代陣型，通過(guò)不同的曲線(xiàn)的兵陣面，得出每種陣法的攻擊力和防御力，并將其應(yīng)用到古代的各種有名戰(zhàn)爭(zhēng)中．例如，劉裕北伐的卻月陣，分析交戰(zhàn)雙方的勝敗得失，他的《運(yùn)用蘭開(kāi)斯特模型探究古代戰(zhàn)爭(zhēng)中弓弩殺傷模型和陣型選擇》獲2021年丘獎(jiǎng)華東賽區(qū)三等獎(jiǎng)．徐子卿同學(xué)則非常喜歡不等式，他將中等數(shù)學(xué)中的一道不等式題進(jìn)行推廣，研究結(jié)果獲2013年丘獎(jiǎng)華東賽區(qū)二等獎(jiǎng)．?dāng)?shù)學(xué)建模比賽和數(shù)學(xué)競(jìng)賽是個(gè)取之不盡的寶庫(kù)，許多競(jìng)賽問(wèn)題只考慮了某些特殊情況，而留有更廣闊的空間給學(xué)生進(jìn)行探索．

(7)從科普雜志和數(shù)學(xué)叢書(shū)中尋找問(wèn)題

倪丹同學(xué)對(duì)數(shù)論非常感興趣，在高一時(shí)即研讀《數(shù)論中未解決的問(wèn)題》，她對(duì)數(shù)論中的孤獨(dú)數(shù)、友誼數(shù)非常感興趣，在選修課中向其他同學(xué)介紹這方面的相關(guān)知識(shí)和進(jìn)展，目前還有許多數(shù)無(wú)法判定為究竟是友誼數(shù)還是孤獨(dú)數(shù)，于是她對(duì)許多情況進(jìn)行了討論，對(duì)函數(shù)值的有界性及分布進(jìn)行了分析，并估計(jì)了友誼數(shù)在正整數(shù)集中的密率，她的《關(guān)于函數(shù)f(n)=δ(n)/n的幾項(xiàng)探究》獲2019年丘獎(jiǎng)銅獎(jiǎng)．同樣對(duì)數(shù)論感興趣的還有劉臻化同學(xué)，他對(duì)Dirichlet定理進(jìn)行了研究，給出了新的代數(shù)證明方法，并給出了某個(gè)級(jí)數(shù)的漸近公式，他兩次參加丘獎(jiǎng)，分獲三等獎(jiǎng)和金獎(jiǎng)．

以上是我校部分學(xué)生選題的出發(fā)點(diǎn)，迄今為止學(xué)生所選課題方向涵蓋了絕大部分中學(xué)階段的數(shù)學(xué)分支和數(shù)學(xué)方法(括號(hào)內(nèi)為對(duì)應(yīng)高中知識(shí))，如平面幾何、解析幾何、立體幾何、抽象代數(shù)(指數(shù)方程)、模糊數(shù)學(xué)(集合論)、組合數(shù)學(xué)(數(shù)列)、圖論、不等式、代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、復(fù)變函數(shù)(函數(shù)奇偶性)、機(jī)械化證明、數(shù)學(xué)建模、微積分、博弈論、貝葉斯統(tǒng)計(jì)、概率論(數(shù)學(xué)期望)、層次分析法等．

3.3 課題研究的四個(gè)層次

以下是筆者歸納的課題研究的四個(gè)層次(圖5)．

圖5 課題研究的四個(gè)層次

(1)有些學(xué)生因?yàn)閷W(xué)業(yè)壓力，無(wú)法在課題上投入太多時(shí)間，但他們通過(guò)選修課和科技營(yíng)的講座了解到數(shù)學(xué)的意義和生活的緊密聯(lián)系，改變對(duì)數(shù)學(xué)冷漠抽象的印象，不再用“菜場(chǎng)算錢(qián)”來(lái)衡量數(shù)學(xué)的價(jià)值．

(2)這部分學(xué)生敢于突破課標(biāo)的限制，去思考課堂內(nèi)沒(méi)有講的內(nèi)容，只需要教師在課堂教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)．這樣的學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)過(guò)程中不再唯唯諾諾，按照別人規(guī)定好的步伐前進(jìn)，而是能夠建構(gòu)起自己的知識(shí)體系，對(duì)自己要求更高，要知其然，知其所以然．

(3)對(duì)找到問(wèn)題且動(dòng)手去做的學(xué)生，他們不僅鍛煉了科研的各種能力，如文獻(xiàn)搜索能力，溝通表達(dá)能力，使用Latex撰寫(xiě)論文、制作PPT和展板向別人展示自己的能力，而且對(duì)自己的認(rèn)知更加清晰，更了解自己喜歡什么、興趣在什么方向、擅長(zhǎng)做哪些事情，他們?cè)谔顖?bào)大學(xué)志愿時(shí)比別的學(xué)生更加堅(jiān)定，可謂是“明天小小科學(xué)家”(教育部某項(xiàng)比賽名稱(chēng))．

(4)在課題研究中獲得非常有意義的結(jié)果，這種意義不是學(xué)術(shù)上的，而是超出高中生自身水平、創(chuàng)造力的．在這個(gè)過(guò)程中可能遇到過(guò)挫折、停頓，但是經(jīng)過(guò)不懈地努力學(xué)習(xí)，不斷地嘗試，最終柳暗花明又一村，這種體會(huì)就如同辛棄疾的詞句：“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處．”

在二附中大多數(shù)選擇做數(shù)學(xué)課題的學(xué)生都能達(dá)到第三層次，甚至第四層次．

3.4 指導(dǎo)教師的收獲

中學(xué)生的好奇心是非常強(qiáng)的，很多學(xué)生不滿(mǎn)足于解難題，我成為一名中學(xué)教師的重要原因就是希望能為他們提供一個(gè)探索未知的環(huán)境，為他們做課題研究提供助力．

在和學(xué)生討論的過(guò)程中有時(shí)我自覺(jué)知道答案，但也不直接告訴學(xué)生，讓他自己去思考，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生做得比我想得還要好，無(wú)論是結(jié)果還是方法的新穎程度都要更勝一籌．有時(shí)我因?yàn)橹赖臇|西多反而產(chǎn)生了定勢(shì)思維，如前面提到的凸四邊形外接橢圓的問(wèn)題，我認(rèn)為射影變換在這里不適用，因?yàn)樗鼤?huì)把圓變成雙曲線(xiàn)或者拋物線(xiàn)，但學(xué)生運(yùn)用平行投影的方法很輕松地就解決了．有些學(xué)生能夠在和我討論過(guò)程就得出新的結(jié)果，但也有一些學(xué)生遲遲找不到感覺(jué)，這時(shí)我會(huì)堅(jiān)定地支持他，為他提供可以嘗試的思路和小問(wèn)題，但仍盡可能讓他自己去思考，就像學(xué)自行車(chē)先在后面扶一下，當(dāng)車(chē)騎起來(lái)的時(shí)候就放手，而學(xué)車(chē)人仍然以為很安全，在不知不覺(jué)中就學(xué)會(huì)了騎車(chē)．

復(fù)旦附中的汪杰良老師是筆者在上海市數(shù)學(xué)業(yè)余學(xué)校讀書(shū)時(shí)的老師，他課余就經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生做課題研究，本文前述的韓京俊就是汪老師的學(xué)生，他還撰寫(xiě)了兩本這方面的專(zhuān)著：《通往國(guó)際科學(xué)“奧賽”金牌之路——數(shù)學(xué)“研究型教學(xué)”的成功實(shí)踐》《激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的潛能——復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)學(xué)生撰寫(xiě)數(shù)學(xué)小論文的實(shí)踐》，對(duì)筆者的工作啟發(fā)很大，是這方面的前輩和引路人．

和學(xué)生探討課題的過(guò)程非常愉快，有時(shí)三四個(gè)小時(shí)悄悄過(guò)去也不覺(jué)得累，當(dāng)學(xué)生作出好的結(jié)論時(shí)總是由衷地感到高興．在此過(guò)程中不僅獲得了很多樂(lè)趣，學(xué)到了許多數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧，也驚嘆于學(xué)生的創(chuàng)新能力，這是沒(méi)有做過(guò)這方面工作的人所無(wú)法體會(huì)的．

4 從宏觀角度看丘獎(jiǎng)

丘獎(jiǎng)的設(shè)立為中學(xué)生開(kāi)辟了一條有別于競(jìng)賽的新的道路，中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備逐年提高．于是在此條件下，清華領(lǐng)軍計(jì)劃應(yīng)運(yùn)而生，這為那些真正對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生鋪平了道路，不必參加高考或聯(lián)賽，可以提前進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，參與求真書(shū)院的各種講座活動(dòng)，和世界一流數(shù)學(xué)家近距離交流．這獲得了國(guó)內(nèi)眾多中學(xué)生的積極響應(yīng)，由此丘先生又在中學(xué)設(shè)立丘成桐少年班，為更多低年級(jí)的天才學(xué)生提供良好的成長(zhǎng)環(huán)境，這些舉措可謂一環(huán)扣一環(huán)，每項(xiàng)都落到實(shí)處，為中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的土壤澆水施肥．

丘先生在香港特別行政區(qū)設(shè)立了恒隆數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，在臺(tái)灣地區(qū)也設(shè)立了丘獎(jiǎng)，他還不辭辛勞，多次到全國(guó)各地的中學(xué)舉辦講座，和中學(xué)生面對(duì)面交流，并將求真書(shū)院的學(xué)生帶回家，讓學(xué)生感受到濃濃的“家”的感覺(jué)．同時(shí)丘先生還主編了多套叢書(shū)，有國(guó)外引進(jìn)的優(yōu)秀教材，也有《數(shù)學(xué)與人文》這樣的科普叢書(shū)，丘先生認(rèn)為要做好的學(xué)問(wèn)，要有文化的根底，不僅要讀中國(guó)古詩(shī)詞，也可以看莎士比亞，聽(tīng)《浮士德》歌劇，聽(tīng)貝多芬的音樂(lè)[6]．并且在本科、研究生，直到獲得教職后的每個(gè)階段，丘先生都幫助設(shè)立了各種獎(jiǎng)項(xiàng)和比賽(表3)，給予莘莘學(xué)子以嚴(yán)格的要求和不斷的激勵(lì)．

表3 丘先生在各學(xué)段設(shè)立的班級(jí)、比賽、獎(jiǎng)項(xiàng)和主編叢書(shū)

例如，丘成桐大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽就希望每位學(xué)生要在本科生階段打好基礎(chǔ)，2021年青橙獎(jiǎng)獲得者韋東奕就曾在多個(gè)方向的比賽中獲得金獎(jiǎng)．而丘獎(jiǎng)則是所有這些的起始點(diǎn)，它讓中學(xué)生更加勇敢地走向數(shù)學(xué)前沿，是所有后續(xù)的奠基石；同時(shí)也讓中學(xué)生的視野更為寬廣，在中學(xué)階段就產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)(或其他學(xué)科)的濃厚興趣．最后祝愿丘獎(jiǎng)越辦越好，能使更多的中學(xué)生從做課題中體會(huì)到數(shù)學(xué)的快樂(lè)！