作者簡(jiǎn)介：祁山國(guó)寶（1979— ），男，一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

摘? 要：采用探究實(shí)驗(yàn)，從“引導(dǎo)學(xué)生感知幾何形態(tài)變化，發(fā)展空間想象能力”“指引學(xué)生尋覓動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，構(gòu)建直觀模型體系”“啟迪學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的聯(lián)系，樹(shù)立數(shù)形結(jié)合思想”等角度，分別闡述了在教學(xué)中以GeoGebra軟件為載體培育和提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的路徑.

關(guān)鍵詞：直觀想象；GeoGebra軟件；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思維

一、問(wèn)題提出

直觀想象是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，直觀想象是借助幾何的直觀、空間的想象來(lái)感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形來(lái)理解與解決問(wèn)題的過(guò)程. 其具體要求主要包括：能借助空間想象感知事物的位置關(guān)系和形態(tài)變化；能借助幾何直觀認(rèn)識(shí)事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；能構(gòu)建數(shù)和形之間的聯(lián)系，運(yùn)用圖形分析與探索數(shù)學(xué)中問(wèn)題的求解思路.

直觀想象要求學(xué)生能借形釋數(shù)，能把抽象的、不易理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象用易于呈現(xiàn)的直觀圖形描述出來(lái)，對(duì)學(xué)生的思維習(xí)慣和空間想象能力要求較高. 在面對(duì)這些抽象的、不可視的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，學(xué)生往往無(wú)從下手. 因此，在講授這些抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象、發(fā)展直觀想象素養(yǎng)時(shí)，教師如果單純憑借板書(shū)教授知識(shí)很難達(dá)到理想的教學(xué)效果. 那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，我們應(yīng)該怎樣做才能更為有效呢？

把數(shù)學(xué)對(duì)象圖形化、可視化，正是GeoGebra軟件的強(qiáng)項(xiàng)，其恰好可以填補(bǔ)板書(shū)難以直觀呈現(xiàn)抽象問(wèn)題的缺陷. 利用GeoGebra軟件，我們可以快速進(jìn)行數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)化，可以方便地進(jìn)行動(dòng)態(tài)展現(xiàn)與演示，可以便捷地把抽象的內(nèi)容形象化、具體化. 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，恰當(dāng)使用GeoGebra軟件能有效發(fā)展與提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

二、利用GeoGebra軟件融合教學(xué)培育學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的實(shí)踐

GeoGebra軟件提供了很多便捷和實(shí)用的功能，借助這些功能我們可以快捷、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)幾何對(duì)象間的位置關(guān)系，動(dòng)態(tài)地展示幾何元素間的變化規(guī)律，它為激活學(xué)生的探究熱情、培育與提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)提供了強(qiáng)有力的支撐與保障. 下面介紹以GeoGebra軟件為載體培育學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的一些實(shí)踐.

1. 引導(dǎo)學(xué)生感知幾何形態(tài)變化，發(fā)展空間想象能力

在二維平面上畫(huà)空間圖形，為了讓圖形更具立體感，有些線段長(zhǎng)度和線線夾角會(huì)進(jìn)行轉(zhuǎn)變. 扭曲轉(zhuǎn)變后的圖形往往給學(xué)生學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí)立體幾何圖形制造了視覺(jué)上的障礙. 因此，要提升學(xué)生的空間想象能力，單純依靠粉筆和黑板會(huì)較難達(dá)到應(yīng)有的效果. 而借助GeoGebra軟件在展示立體圖形方面的先天優(yōu)勢(shì)，就可以很好地克服這一困難. GeoGebra軟件可以把立體圖形各元素間的位置關(guān)系和各幾何對(duì)象的形態(tài)變化展現(xiàn)得淋漓盡致，對(duì)豐富與拓展學(xué)生的空間想象能力有極大幫助.

例1? 若正方體的各條棱長(zhǎng)都等于1，且正方體每條棱所在的直線和平面[α]所成的角全部相等，則正方體被平面[α]所截得的截面面積的最大值等于（? ? ）.

（A）[334] （B）[233]

（C）[324] （D）[32]

答案：A.

該題要求學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力. 在求解過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)以下幾個(gè)困惑：第一，平面[α]截正方體后得到的截面到底會(huì)出現(xiàn)哪些形狀？第二，所有可能出現(xiàn)的截面形狀中哪種面積最大？什么時(shí)候達(dá)到最大？

由于傳統(tǒng)教學(xué)不能很好地展現(xiàn)與說(shuō)明這一問(wèn)題，所以我們引入GeoGebra軟件，通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知立體幾何截面形態(tài)的變化，培育學(xué)生的空間想象能力.

（1）探究實(shí)踐，感知幾何形態(tài)變化.

思考1：題目中滿足已知條件的平面[α]截正方體所得的截面形狀可能有哪些？

實(shí)驗(yàn)探究1：在3D繪圖區(qū)內(nèi)用正六面體工具作出正方體[ABCD-A1B1C1D1]，用三點(diǎn)平面工具作平面[BDC1]；在繪圖區(qū)創(chuàng)建滑動(dòng)條b用于控制平面[α]的移動(dòng)，在指令欄內(nèi)輸入點(diǎn)L = （1，-1，b）；用平行平面工具過(guò)點(diǎn)L作平面[BDC1]的平行面[α]；借助相交曲線功能創(chuàng)建平面[α]與正方體的交線；隱藏所有不需要的點(diǎn)和線，然后拖動(dòng)滑動(dòng)條b觀察截面形態(tài)的變化，如圖1所示.

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圖1

發(fā)現(xiàn)結(jié)論1：題目中平面[α]截正方體所得的截面形狀可能是三角形和六邊形.

思考2：截面的形狀、大小一直在變化，那么平面[α]運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置時(shí)，其截正方體所得的截面面積才能達(dá)到最大？

實(shí)驗(yàn)探究2：在實(shí)驗(yàn)探究1的基礎(chǔ)上，用面積命令實(shí)時(shí)計(jì)算截面的面積c，在指令欄中輸入[S=b3，c]，利用軌跡跟蹤功能作出動(dòng)點(diǎn)S的軌跡，選中截面右擊創(chuàng)建截面的平面視圖，拖動(dòng)滑動(dòng)條b移動(dòng)平面[α]，在截面平面視圖中觀察截面形狀的實(shí)時(shí)變化，同時(shí)在繪圖區(qū)內(nèi)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡圖象觀察面積的大小變化，如圖1所示.

發(fā)現(xiàn)結(jié)論2：當(dāng)平面[α]截正方體所得截面形狀為正六邊形時(shí)，截面的面積達(dá)到最大.

（2）拓展升華，發(fā)展空間想象能力.

思考3：為了進(jìn)一步加深對(duì)截面的認(rèn)識(shí)，若把題目中對(duì)平面[α]的限定條件去掉，改成用任意一個(gè)平面去截正方體，所得截面形狀可能有哪些？

實(shí)驗(yàn)探究3：點(diǎn)擊工具欄上的創(chuàng)建六面體按鈕作出正方體a，分別創(chuàng)建數(shù)值滑動(dòng)條b，c和角度滑動(dòng)條[α]；在指令欄內(nèi)輸入直線（（b，0，0），（0，c，0））創(chuàng)建直線 f，再輸入旋轉(zhuǎn)（z = 0，[α]，f）命令作出平面P；用相交路徑（P，a）命令得到截面形狀. 分別拉動(dòng)滑動(dòng)條b，c，[α]，讓平面P左右、前后、上下旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，觀察平面P截正方體可能得到的所有截面形狀，如圖2 ～ 圖5所示.

<＼＼10.1.5.160＼g＼中數(shù)高中2023年飛翔＼中數(shù)高中2023年第12期＼高中2023年第12期＼Image＼?chē)?guó)寶image7.png>[圖2]<＼＼10.1.5.160＼g＼中數(shù)高中2023年飛翔＼中數(shù)高中2023年第12期＼高中2023年第12期＼Image＼?chē)?guó)寶image8.png>[圖3]

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圖4

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圖5

發(fā)現(xiàn)結(jié)論3：用任意一個(gè)平面去截正方體，所得截面形狀可能是銳角三角形、等腰三角形或等邊三角形，但不能是鈍角三角形或直角三角形；所得截面形狀可能是梯形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形等四邊形，但不能是直角梯形；所得截面形狀還可能是除正五邊形外的任意五邊形，或者是任意六邊形.

（3）感悟.

利用GeoGebra軟件作圖的優(yōu)勢(shì)是把截面形狀生動(dòng)地呈現(xiàn)出來(lái)，避免了學(xué)生單純依靠紙筆的枯燥和空洞想象，使學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何形態(tài)不再困難. 同時(shí)，GeoGebra軟件直觀動(dòng)感的畫(huà)面為學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何創(chuàng)造了一個(gè)寬松、和諧、形象的學(xué)習(xí)氛圍，這對(duì)激發(fā)學(xué)生探究立體幾何的興趣、建立空間觀念和鍛煉空間想象能力會(huì)起到有益的作用.

2. 指引學(xué)生尋覓動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，構(gòu)建直觀模型體系

直觀模型的建立與成熟的經(jīng)驗(yàn)需要時(shí)間的積累. 特別是在學(xué)生剛剛接觸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，由于對(duì)直觀模型缺乏經(jīng)驗(yàn)，會(huì)感到陌生與匱乏，對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題無(wú)法形成有效的求解對(duì)策. 這時(shí)，如果引入GeoGebra軟件，把動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)“動(dòng)”的本質(zhì)和靈魂，不僅可以活躍課堂氣氛，幫助學(xué)生積累實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，更能讓“教”和“學(xué)”有機(jī)融合，取得事半功倍的效果.

例2已知圓[A： x+42+y2=100]，在圓內(nèi)有一定點(diǎn)[B4，0]，點(diǎn)[P]是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若線段[BP]的垂直平分線與直線[AP]交于點(diǎn)[M]，求動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡方程.

答案：[x225+y29=1].

這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題，采用傳統(tǒng)教學(xué)無(wú)法讓學(xué)生感受運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，不利于學(xué)生思維的發(fā)展. 而借助GeoGebra軟件展開(kāi)動(dòng)態(tài)演示實(shí)驗(yàn)，直觀展示圖形的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，可以讓學(xué)生在探究過(guò)程中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提升模型意識(shí).

（1）借助GeoGebra軟件的跟蹤功能，指引學(xué)生尋覓動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

思考1：點(diǎn)[M]的運(yùn)動(dòng)是由點(diǎn)[P]引起的，那么當(dāng)動(dòng)點(diǎn)[P]在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)[M]在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終會(huì)保持哪些數(shù)量關(guān)系？問(wèn)題中剛好出現(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)定點(diǎn)[A]，[B]和動(dòng)點(diǎn)[M]，我們學(xué)過(guò)的哪類(lèi)曲線的定義剛好也用到“兩定加一動(dòng)”？受其啟發(fā)，我們是否需要關(guān)注點(diǎn)[M]到[A]，[B]兩點(diǎn)的距離之和（或差）的數(shù)值特征呢？

實(shí)驗(yàn)探究1：點(diǎn)擊工具欄滑動(dòng)條按鈕創(chuàng)建數(shù)值滑動(dòng)條a，用于控制點(diǎn)P的移動(dòng)；在指令欄中分別輸入以下命令：A = （-4，0），B = （4，0），圓A = 圓周（A， 10），P = 描點(diǎn)（圓A，a），BP = 線段（B，P），AP = 線段（A，P），n = 中垂線（BP），M = 交點(diǎn)（n，AP），右擊點(diǎn)M設(shè)置顯示軌跡；點(diǎn)擊工具欄按鈕工具分別創(chuàng)建4個(gè)按鈕；按開(kāi)始按鈕，或拖動(dòng)滑動(dòng)條觀察點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖6所示.

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圖6

發(fā)現(xiàn)結(jié)論1：[MA+MB=PA=10=2a]，且[AB=][8=2c<10]，故動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡是以[A]，[B]為左、右焦點(diǎn)的橢圓. 因?yàn)閇b2=a2-c2=52-42=9]，所以點(diǎn)[M]的軌跡方程是[x225+y29=1].

（2）利用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生將抽象問(wèn)題直觀化.

思考2：若改變點(diǎn)[B]的位置，讓點(diǎn)[B]從左到右由圓外運(yùn)動(dòng)到圓內(nèi)，再運(yùn)動(dòng)到圓外，則點(diǎn)[M]的軌跡形狀是否會(huì)改變？若會(huì)改變，則可能出現(xiàn)的軌跡類(lèi)型有哪些？

實(shí)驗(yàn)探究2：在實(shí)驗(yàn)探究1的基礎(chǔ)上修改并增添以下幾條命令：新建數(shù)值滑動(dòng)條b，用于控制點(diǎn)B的移動(dòng)；在指令欄內(nèi)輸入B = （b，0），AP = 直線（A，P）. 拖動(dòng)滑動(dòng)條移動(dòng)點(diǎn)B，觀察點(diǎn)B位于圓內(nèi)、圓上、圓外時(shí)，點(diǎn)M的軌跡形狀各是怎樣的，如圖7所示.

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圖7

發(fā)現(xiàn)結(jié)論2：如果點(diǎn)[B]在圓內(nèi)（點(diǎn)[B]，[A]不重合），那么動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡是橢圓，[A]，[B]是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)；如果點(diǎn)[B]在圓內(nèi)（且點(diǎn)[B]，[A]重合），那么動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡是圓，點(diǎn)[A]是其圓心；如果點(diǎn)[B]在圓上，那么動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡是定點(diǎn)[A]；如果點(diǎn)[B]在圓外，那么動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡是雙曲線，點(diǎn)[A]，[B]是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).

（3）追根溯源，挖掘橢圓背后蘊(yùn)藏的光學(xué)特性.

思考3：再次回到例2，我們已經(jīng)確定點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)M的軌跡是以[A]，[B]為左、右焦點(diǎn)的橢圓. 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，判斷線段BP的中垂線n與這個(gè)橢圓的位置關(guān)系. 圖中的兩個(gè)焦半徑MA和MB分別與中垂線n的夾角[α]和[β]具有什么數(shù)量關(guān)系？

實(shí)驗(yàn)探究3：在實(shí)驗(yàn)探究1的基礎(chǔ)上新增實(shí)時(shí)計(jì)算角度[α]和[β]的命令、新建數(shù)值滑動(dòng)條. 通過(guò)拖動(dòng)滑動(dòng)條跟蹤線段BP的中垂線n的運(yùn)動(dòng)，觀察線段BP的中垂線與這個(gè)橢圓的位置關(guān)系，以及角[α]和[β]的數(shù)量關(guān)系，如圖8所示.

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圖8

發(fā)現(xiàn)結(jié)論3：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BP的中垂線與這個(gè)橢圓始終保持相切，角[α]始終等于角[β]. 因此，通過(guò)驗(yàn)證可以得到橢圓在光學(xué)上的一個(gè)特性，即從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，在受到橢圓反射后，它的反射光線一定過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

（4）感悟.

借用GeoGebra軟件描述動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，可以讓我們“紙上談兵”，為乏力無(wú)味的課堂增添靈氣，可以讓學(xué)生面對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)不再感到畏懼和束手無(wú)策. GeoGebra軟件為學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的邏輯與規(guī)律、構(gòu)建直觀模型體系奠定了基礎(chǔ)和保障，也激發(fā)了學(xué)生的好奇心，提升了課堂教學(xué)效率，有助于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用直觀模型.

3. 啟迪學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的聯(lián)系，樹(shù)立數(shù)形結(jié)合思想

利用GeoGebra軟件作圖，再通過(guò)滑動(dòng)條改變參數(shù)大小，可以快速暴露和展現(xiàn)圖形的變化過(guò)程及特征. 借助GeoGebra軟件在“形”中探究數(shù)的關(guān)系，在“數(shù)”中發(fā)現(xiàn)形的特征，可以把“數(shù)”和“形”十分和諧、有效地融合到一起. 在這方面，傳統(tǒng)的黑板教學(xué)無(wú)法與之相比. 通過(guò)GeoGebra軟件鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探究和實(shí)驗(yàn)，啟迪學(xué)生發(fā)現(xiàn)和挖掘“數(shù)”與“形”的聯(lián)系，可以有效提升學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力.

例3 （1）已知[M]是圓O：[x2+y2=9]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，圓O的直徑為[AB]，且點(diǎn)[M]不與點(diǎn)[A]，[B]重合，直線[MA，MB]的斜率分別為非零的[k1，k2]，求[k1k2]的值.

（2）已知[M]為橢圓[x24+y23=1]上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為[A，B]，且點(diǎn)[M]不與點(diǎn)[A，B]重合，直線[MA，MB]的斜率分別為非零的[k1，k2]，求[k1k2]的值.

經(jīng)過(guò)計(jì)算，容易得到第（1）小題的答案為k1k2 =[-1]，第（2）小題的答案為k1k2 =[-34]. 具體過(guò)程省略，但解題過(guò)程引發(fā)我們產(chǎn)生如下思考.

上述兩個(gè)問(wèn)題具備如下共同特征：計(jì)算出來(lái)的兩條直線的斜率之積都為定值，且點(diǎn)[A]，[B]都是曲線上關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M都是曲線上除[A]，[B]外的動(dòng)點(diǎn). 因此，讓我們產(chǎn)生如下疑問(wèn).

（1）對(duì)于任意的橢圓，如果滿足上述特征，那么直線MA，MB的斜率之積是不是都為定值？

（2）如果關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)A，B也在曲線上運(yùn)動(dòng)，那么直線MA，MB的斜率之積是不是一定為定值？

（3）若直線MA，MB的斜率之積都為定值，點(diǎn)A，B及點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)是否會(huì)改變其定值的大??？橢圓的形狀是否會(huì)影響其定值的大??？能夠影響這一定值大小的因素是什么？

帶著這些疑問(wèn)，我們提出如下問(wèn)題，同時(shí)借助GeoGebra軟件展開(kāi)實(shí)驗(yàn)探究，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí).

問(wèn)題：已知點(diǎn)[M，A，B]是橢圓[x2a2+y2b2=1 a>b>0]上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且點(diǎn)[M]不與點(diǎn)A，B重合，直線[MA，MB]的斜率分別是非零的[k1，k2]，判斷[k1k2]是否為定值？如是，予以證明.

（1）實(shí)驗(yàn)探究，用“形”探尋規(guī)律.

實(shí)驗(yàn)操作：利用滑動(dòng)條工具作數(shù)值滑動(dòng)條a，b，c，分別用于控制參數(shù)a，b的大小和點(diǎn)M的移動(dòng). 作角度滑動(dòng)條[α]，用于控制點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng). 在指令欄內(nèi)分別輸入橢圓m：x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1，直線n：y = （tan[α]）x，A = 交點(diǎn)（橢圓m，直線n，2），B = 交點(diǎn)（橢圓m，直線n，1），M = 描點(diǎn)（橢圓m，c），直線MA：直線（M，A），直線MB：直線（M，B）. 用斜率運(yùn)算指令分別算出直線MA和直線MB的實(shí)時(shí)斜率. 接下來(lái)，我們分別展開(kāi)下列探究，并分析、觀察圖象中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，如圖9所示.

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圖9

學(xué)生探究1：保持其他參數(shù)值不變，拖動(dòng)滑動(dòng)條改變點(diǎn)A，B的位置，觀察直線MA，MB的斜率之積，看是否發(fā)生改變.

探究結(jié)論1：點(diǎn)A，B的位置變化并沒(méi)有引起斜率乘積[kMAkMB]的變化，說(shuō)明[kMAkMB]的值與點(diǎn)A，B的位置無(wú)關(guān).

學(xué)生探究2：保持其他參數(shù)不變，拖動(dòng)滑動(dòng)條改變點(diǎn)M的位置，觀察直線MA，MB的斜率之積[kMAkMB]，看是否有變.

發(fā)現(xiàn)結(jié)論2：移動(dòng)點(diǎn)M改變不了斜率之積[kMAkMB]的大小，說(shuō)明[kMAkMB]的值與點(diǎn)M的位置無(wú)關(guān).

學(xué)生探究3：保持A，B，M三點(diǎn)的位置不動(dòng)，利用鼠標(biāo)拖動(dòng)滑動(dòng)條改變參數(shù)a的大小，看[kMAkMB]的值是否變化. 再保持其他參數(shù)不變，只改變參數(shù)b的大小，觀察[kMAkMB]的值是否變化.

發(fā)現(xiàn)結(jié)論3：參數(shù)a，b中任何一個(gè)值的改變都會(huì)引起直線MA，MB的斜率之積發(fā)生變化，說(shuō)明[kMAkMB]的值是由參數(shù)a，b的值來(lái)共同確定的. 參數(shù)a，b的值一旦確定，直線MA，MB的斜率之積[kMAkMB]的值就必為定值.

發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律后，我們能否通過(guò)邏輯推理來(lái)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)馗爬ㄅc證明？

（2）推理驗(yàn)證，用“數(shù)”證實(shí)規(guī)律.

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)探究結(jié)果可知：變動(dòng)點(diǎn)A，B，M的位置，改變不了直線MA，MB斜率之積的值，斜率之積[kMAkMB]的大小只取決于參數(shù)a，b的值. 所以可以利用特殊值法，先找到定值，再證明其為定值. 我們把點(diǎn)A，B分別移動(dòng)到橢圓的左、右頂點(diǎn)的位置，把點(diǎn)M移動(dòng)到橢圓的上頂點(diǎn)的位置. 此時(shí)，有[A-a，0]，[Ba，0]，[M0，b]，利用斜率公式計(jì)算，易得[kMAkMB=][-b2a2]．由此，可以得到橢圓的如下性質(zhì).

橢圓性質(zhì)：如果[M，A，B]是橢圓[x2a2+y2b2=1 a>b>0]上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[A，B]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且點(diǎn)[M]不與點(diǎn)[A，][B]重合，直線[MA，MB]的斜率分別是非零的[k1，k2]，那么[k1k2]為定值，且[k1k2=-b2a2]．

證明：根據(jù)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，

設(shè)[Ax1，y1，Mx，y]，則[B-x1，-y1].

由點(diǎn)[A，M]在橢圓上，可得[x12a2+y12b2=1]，[x2a2+y2b2=1].

兩式相減，得[x+x1x-x1a2+y+y1y-y1b2=0]，

即[y-y1x-x1 ? y+y1x+x1=-b2a2].

因?yàn)閇kMA=y-y1x-x1]，[kMB=y--y1x--x1=y+y1x+x1]，

所以[kMAkMB=-b2a2].

（3）數(shù)形結(jié)合，用類(lèi)比推廣規(guī)律.

接下來(lái)，用數(shù)形結(jié)合類(lèi)比上述橢圓性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)思路和證明方法（探究實(shí)驗(yàn)如圖10所示），我們可以很容易驗(yàn)證此性質(zhì)推廣到雙曲線中亦成立，證明過(guò)程略，性質(zhì)內(nèi)容如下.

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圖10

雙曲線性質(zhì)：如果[M，A，B]是雙曲線[x2a2-y2b2=1][a>0，b>0]上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)[A，B]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且點(diǎn)[M]不與點(diǎn)[A，B]重合，直線[MA，MB]的斜率分別是非零的[k1，k2]，那么[k1k2]為定值，且[k1k2=b2a2].

（4）感悟.

借助GeoGebra軟件，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了探尋規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、證實(shí)規(guī)律、推廣規(guī)律的整個(gè)流程，讓學(xué)生親身體驗(yàn)并感悟到真理與結(jié)論的探索與發(fā)現(xiàn)路徑，這有助于激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探索欲和求知欲，便于幫助學(xué)生樹(shù)立正確的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí). 同時(shí)，在探究實(shí)驗(yàn)的整個(gè)過(guò)程中，充分借用了GeoGebra軟件進(jìn)行直觀展現(xiàn)，結(jié)合動(dòng)手參與和獨(dú)立思考，學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力得到了有效鍛煉和提升，學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)得到了有效培育.

三、結(jié)語(yǔ)

GeoGebra軟件能把幾何圖形由枯燥、生澀和冰冷變得動(dòng)感、富有生命力和便于理解. 合理利用GeoGebra軟件，可以為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)“數(shù)”與“形”完美融合的、易于接受和理解的學(xué)習(xí)空間，使學(xué)生的幾何感知、空間想象能力的提升更有著力點(diǎn)，讓學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)能更快、更有效地發(fā)育、成長(zhǎng)和開(kāi)花結(jié)果.

參考文獻(xiàn)：

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