作者簡介：何睦（1988— ），男，博士研究生，中小學(xué)一級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

摘? 要：知識是教育的載體，教育是借助知識進行的. 學(xué)科知識包括知識內(nèi)容、知識形式和知識旨趣三重意蘊. 基于知識三重意蘊視域的教學(xué)設(shè)計首先需要厘清知識的三重意蘊，并明確設(shè)計思路. 以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”一課的教學(xué)為例，具體闡明在教學(xué)實踐過程中通過“提出核心問題，開門見山揭示知識旨趣”“借助問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由知識形式到知識內(nèi)容的創(chuàng)生”“遷移運用，以知識內(nèi)容和知識形式進一步強化知識旨趣”等教學(xué)環(huán)節(jié)加以實施. 知識三重意蘊視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該注重核心問題的提出與解決，以及方法教學(xué)的范式引領(lǐng).

關(guān)鍵詞：三重意蘊；誘導(dǎo)公式；核心問題；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)科學(xué)精神

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用. 數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每個人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng). 作為高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)的指導(dǎo)性文件，《標(biāo)準(zhǔn)》提出了普通高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中需要著力發(fā)展的六種核心素養(yǎng). 可見，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育已然成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)和教學(xué)實踐的方向.

知識是教育的載體，教育是通過知識進行的. 數(shù)學(xué)知識雖然不等同于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但核心素養(yǎng)的培育必須依托數(shù)學(xué)知識才能落實與達成. 教育心理學(xué)家布盧姆將目標(biāo)認知領(lǐng)域的目標(biāo)按知識目標(biāo)與認知過程兩個維度進行了分類. 在知識維度，知識被分為事實性知識、概念性知識、程序性知識和元認知知識. 我國學(xué)者李潤洲聚焦學(xué)科知識，提出了學(xué)科知識的三重意蘊——知識內(nèi)容、知識形式和知識旨趣. 知識內(nèi)容包括概念、命題與理論；知識形式包括方法、思想與思維；知識旨趣包括人文情懷和科學(xué)精神. 就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育而言，數(shù)學(xué)學(xué)科中的概念、定理、公式及基本事實等知識內(nèi)容是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)；知識形式則包含獲得這些數(shù)學(xué)概念、定理、公式及基本事實的方法及思維方式，這些是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的關(guān)鍵. 同時，在創(chuàng)生這些概念、定理、公式及基本事實的過程中，學(xué)生體驗到的人文精神與數(shù)學(xué)科學(xué)精神屬于知識旨趣層次，這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的核心. 由此可見，學(xué)科知識的三重意蘊與學(xué)科核心素養(yǎng)的培育有著緊密的聯(lián)系. 數(shù)學(xué)教師只有洞察學(xué)科知識的三重意蘊，形成包含知識內(nèi)容、知識形式與知識旨趣的三重知識觀，才能為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育奠定扎實的知識基礎(chǔ).

教學(xué)理論研究是為了更好地開展教學(xué)實踐. 下面筆者以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”（第1課時）為例，具體探討如何在“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”課例中洞察知識的三重意蘊及開展數(shù)學(xué)教學(xué)實踐等問題，以期為基于知識三重意蘊視域開展數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計和實踐提供一些有益的思考與建議.

二、基于知識三重意蘊視域的“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”教學(xué)設(shè)計

“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章第三節(jié)的內(nèi)容. 學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前已經(jīng)借助單位圓得出了任意角三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，也獲得了“三角函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)的直接反映”這一基本觀念. 三角函數(shù)的性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)化. 我們知道，圓有著豐富的性質(zhì)，對稱性是其最重要的性質(zhì)之一. 因此，用三角函數(shù)表示單位圓上的點的坐標(biāo)，就可以將對稱性（幾何特征）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系（代數(shù)特征）.教學(xué)中可以體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法，能有效發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法開展數(shù)學(xué)研究的能力，也能有效幫助學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，為學(xué)生后續(xù)進一步研究相關(guān)問題奠定經(jīng)驗基礎(chǔ)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育.

1. 厘清知識的三重意蘊，明確設(shè)計思路

厘清三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式知識的三重意蘊是基于知識三重意蘊視域開展教學(xué)設(shè)計的前提與基礎(chǔ). 因此，需要在研讀《標(biāo)準(zhǔn)》與教材的基礎(chǔ)上，明確本節(jié)課知識的三重意蘊.

從知識內(nèi)容上看，在定義了一個數(shù)學(xué)對象（三角函數(shù)）、給出了三角函數(shù)的符號表示后，緊接著就要開展對數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的研究. 三角函數(shù)的周期性使得三角函數(shù)的取值具有一定的規(guī)律，這就是同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式所反映出來的性質(zhì). 因此，教材中“5.3 誘導(dǎo)公式”的內(nèi)容對應(yīng)《標(biāo)準(zhǔn)》三角函數(shù)部分“借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（[α±π2]，[α±π]的正弦、余弦、正切）”的要求. 雖然[α±π2]與[α±π]對應(yīng)的誘導(dǎo)公式采用的研究方法一樣，但不同之處在于前者的對稱軸并不是坐標(biāo)軸與坐標(biāo)原點，推導(dǎo)難度較大. 因此，教材在處理上前置了[α±π]的誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)與研究，這就構(gòu)成了“誘導(dǎo)公式”（第1課時）的教學(xué)內(nèi)容. 綜上分析，本節(jié)課主要借助圓的對稱性聯(lián)想單位圓上的點關(guān)于原點、坐標(biāo)軸的對稱性，進而探究誘導(dǎo)公式二 ～ 四，并能運用誘導(dǎo)公式二 ～ 四進行簡單的三角函數(shù)式的求值、化簡與證明.

從知識形式上看，本節(jié)課讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與三角函數(shù)取值之間的關(guān)系較為抽象，是學(xué)生認知上的難點，因此需要教師從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)（三角函數(shù)周期性的基礎(chǔ)知識；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式一研究方法的認識），不斷引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并能利用數(shù)形結(jié)合等思想方法開展有效探究. 探究過程中教師應(yīng)該及時給予學(xué)生積極、適當(dāng)?shù)难芯糠妒降囊I(lǐng)和指導(dǎo). 因此，本節(jié)課由教師提供研究范式，并引導(dǎo)學(xué)生利用類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，通過歸納概括、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等思維活動自主獲得相關(guān)知識，這些過程都構(gòu)成了本節(jié)課的知識形式.

從知識旨趣上看，本節(jié)課主要借助單位圓的對稱性將角的終邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值的關(guān)系，本質(zhì)上是對幾何特征的代數(shù)翻譯. 誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)與研究具有生長性，這不僅體現(xiàn)在公式結(jié)構(gòu)上，還體現(xiàn)在公式推導(dǎo)的過程之中. 因此，在教學(xué)過程中，教師借助問題鏈?zhǔn)痉墩T導(dǎo)公式二的推導(dǎo)，并在此基礎(chǔ)上與學(xué)生共同歸納誘導(dǎo)公式推導(dǎo)的一般思路與方法. 學(xué)生在深刻理解研究方法的基礎(chǔ)上，便可以將一般方法遷移到其他研究內(nèi)容中去，進而實現(xiàn)知識的生長與遷移. 在遷移的過程中，還有助于學(xué)生進一步深刻理解知識的價值，提高在新情境中運用所學(xué)知識解決問題的能力. 更為重要的是，通過學(xué)生的自主探究與合作交流，還能進一步培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勇于實踐、大膽猜想、小心求證等數(shù)學(xué)科學(xué)精神與合作交流的團隊意識. 這些都構(gòu)成了本節(jié)課的知識旨趣.

基于對本節(jié)課知識三重意蘊的分析與思考，筆者進行了如下教學(xué)設(shè)計.

2. 教學(xué)過程設(shè)計

（1）提出核心問題，開門見山揭示知識旨趣.

教師首先提出回顧性問題：誘導(dǎo)公式一的內(nèi)容是什么？誘導(dǎo)公式一是如何開展研究的？誘導(dǎo)公式一有什么價值和意義？

教師進一步提出核心問題：周期性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，由三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)的直接反映，我們利用單位圓定義了任意角的三角函數(shù)，而圓具有很好的對稱性，能否利用圓的對稱性進一步研究三角函數(shù)的其他性質(zhì)？兩個角的終邊除了重合關(guān)系外，還具有其他特殊的關(guān)系嗎？

【設(shè)計說明】課題的導(dǎo)入必須表明課題引入的理由，如此才能使新知的探究更具指向性. 弄清楚課題的來源，并且從理論認識的角度指出研究的必要性. 在課題導(dǎo)入階段，筆者組織了一個回顧性問題和一個核心問題，回顧性問題引導(dǎo)學(xué)生在鞏固原有知識結(jié)構(gòu)的同時喚醒已有的研究經(jīng)驗，以學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗作為探究新知的重要生長點. 學(xué)生通過回顧性問題明晰誘導(dǎo)公式一的研究線路，即“角的終邊關(guān)系（終邊相同）—角間關(guān)系（[α]與[α+2kπ]）—坐標(biāo)關(guān)系（兩角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)相同）—三角函數(shù)值的關(guān)系[sinα+2kπ=sinα]，[cosα+2kπ=cosα]，[tanα+2kπ=tanα]，[k∈Z]”，并明確誘導(dǎo)公式一的價值在于可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為在[0，2π]內(nèi)的角的三角函數(shù)值. 核心問題的提出開門見山地表明本節(jié)課將要解決的本質(zhì)問題，為學(xué)生制造新的認知沖突，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，在揭示本節(jié)課知識旨趣的同時進一步增強學(xué)生的學(xué)習(xí)動機.

（2）借助問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由知識形式到知識內(nèi)容的創(chuàng)生.

環(huán)節(jié)1：搭建腳手架，示范誘導(dǎo)公式二的探究過程.

教師搭建腳手架，圍繞誘導(dǎo)公式二的探究，按誘導(dǎo)公式的研究思路設(shè)置問題鏈.

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角[α]的終邊與單位圓交于點[P1]. 作[P1]關(guān)于原點的對稱點[P2]，以[OP2]為終邊的角記為[β].

問題1：角[α]與角[β]的終邊有怎樣的對稱關(guān)系？

問題2：能否寫出角[β]與角[α]之間滿足的等量關(guān)系？

問題3：能否寫出角[α]的終邊與角[β]的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，并說明坐標(biāo)之間的關(guān)系？

問題4：根據(jù)點坐標(biāo)的關(guān)系，能否得出角[β]與角[α]的三角函數(shù)值之間的關(guān)系？

問題5：這組公式有何價值與意義？

【設(shè)計說明】環(huán)節(jié)1具有示范性，承載著建立研究方法、培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點看問題的習(xí)慣與方式的作用. 因此，可以適當(dāng)放慢教學(xué)節(jié)奏，引導(dǎo)學(xué)生在問題鏈和教師的示范引領(lǐng)下，在逐步領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想方法的同時，讓學(xué)生進一步感悟誘導(dǎo)公式研究遵循的一般套路：角的特殊終邊關(guān)系—角間關(guān)系—坐標(biāo)關(guān)系—三角函數(shù)值的關(guān)系. 這對學(xué)生后續(xù)類比研究方法獨立開展誘導(dǎo)公式三和誘導(dǎo)公式四的研究，為知識形式到知識內(nèi)容的創(chuàng)生奠定了方法論的基礎(chǔ). 問題5進一步闡述該公式研究的意義與價值在于可以將第三象限內(nèi)的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)加以解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，目的在于加強學(xué)生對研究問題的理解與認識，進一步認同知識旨趣.

環(huán)節(jié)2：類比探究，學(xué)生在建構(gòu)的方法體系中持續(xù)攀升.

問題1：我們是如何開展誘導(dǎo)公式二的研究的？在研究過程中，你還有哪些體會？

問題2：兩個角的終邊除了關(guān)于原點對稱之外，還有其他特殊的對稱關(guān)系嗎？在單位圓中作出這些終邊具有特殊關(guān)系的角.

問題3：類比剛才研究誘導(dǎo)公式二的過程與方法，借助前面問題鏈中五個問題的引導(dǎo)，先自主研究，再通過小組合作的方式研究終邊關(guān)于[x]軸或[y]軸對稱的角[α]與[β]的三角函數(shù)值滿足的關(guān)系.

【設(shè)計說明】根據(jù)環(huán)節(jié)1的示范，問題1試圖引導(dǎo)學(xué)生將研究過程中形成的研究套路用線路圖的形式表示出來，這樣的追問有利于知識與方法的進一步生長. 環(huán)節(jié)2的設(shè)置要給足學(xué)生充分的自主探究的空間，從兩個角的終邊關(guān)于原點對稱的情況進行自然過渡，引導(dǎo)學(xué)生再次經(jīng)歷公式的研究過程，自主建構(gòu)誘導(dǎo)公式三和誘導(dǎo)公式四，加深學(xué)生對研究方法的再認識. 教師要將課堂還給學(xué)生，利用環(huán)節(jié)1總結(jié)歸納的研究線路圖，組織學(xué)生以個人與小組相結(jié)合的方式開展數(shù)學(xué)探究. 教師在其間不斷巡視研究進展，不過分干預(yù)學(xué)生的自主建構(gòu)與合作學(xué)習(xí)，要將精力放在引起、維持和促進學(xué)生的學(xué)習(xí)活動之中，積極引導(dǎo)學(xué)生暴露自己的思維，挖掘公式產(chǎn)生背后完整的思維過程.

（3）遷移應(yīng)用，以知識內(nèi)容與知識形式進一步強化知識旨趣.

環(huán)節(jié)1：例題剖析，以知識內(nèi)容強化知識旨趣.

教師給出圍繞知識內(nèi)容的兩個例題.

例1? 化簡下列各式.

（1）[sinπ+αcos-α+sin2π-αcosπ-α]；

（2）[cosπ+αcosαtanπ-αtan-αcos2π+α].

例2? 求下列各三角函數(shù)值.

（1）[cos225°]；

（2）[sin83π]；

（3）[sin-163π]；

（4）[tan-2 040°].

【設(shè)計說明】通過兩道例題，讓學(xué)生初步熟悉誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，感悟在具體問題中如何合理選擇誘導(dǎo)公式，引導(dǎo)學(xué)生體會解法的多樣性，啟發(fā)學(xué)生關(guān)注誘導(dǎo)公式間的內(nèi)在聯(lián)系. 在學(xué)生完成例2后，教師進一步追問：通過例2的研究，能否歸納利用誘導(dǎo)公式一 ～ 四求任意角三角函數(shù)的步驟. 師生共同歸納概括求值的一般步驟，進一步明確本節(jié)課知識內(nèi)容的價值在于通過誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)這一基本觀念，進一步以知識內(nèi)容強化知識旨趣.

環(huán)節(jié)2：反思與小結(jié)，以知識形式強化知識旨趣.

在教學(xué)過程的最后，以反思性問題的提出代替常態(tài)的公式規(guī)律的總結(jié)和記憶，教師拋出如下反思性問題.

問題1：本節(jié)課你學(xué)會了哪些基礎(chǔ)知識？

問題2：本節(jié)課你掌握了什么樣的基本技能？

問題3：我們是怎樣開展對誘導(dǎo)公式的研究的？

問題4：本節(jié)課使用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

問題5：你還想繼續(xù)研究哪些問題？

【設(shè)計說明】問題1和問題2是對本節(jié)課知識內(nèi)容的回顧，側(cè)重于公式規(guī)律的總結(jié)和記憶；問題3和問題4則是學(xué)生對誘導(dǎo)公式研究方法的回顧與反思，側(cè)重于學(xué)生個體情感、態(tài)度和價值觀的分享與表達；問題5的設(shè)置可以實現(xiàn)知識的進一步生長. 研究思想與方法的追問，不僅有利于學(xué)生進一步理解“為何創(chuàng)生這樣的知識內(nèi)容”“如何創(chuàng)生這樣的知識內(nèi)容（即知識形式）”，也有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法和生長數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗. 更為重要的是，學(xué)生在整個探究過程中的探究體驗及表現(xiàn)出來的勤于思考、勇于實踐、大膽猜想、小心求證、合作交流等理性的科學(xué)探究精神一定會在很長一段時間內(nèi)影響著學(xué)生，進一步強化了知識旨趣.

三、知識三重意蘊視域下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的思考與建議

基于以上對“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”的教學(xué)設(shè)計的實踐，筆者認為基于知識三重意蘊視域開展數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計應(yīng)該關(guān)注以下兩個關(guān)鍵行為.

1. 知識三重意蘊視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)需要注重核心問題的提出與解決

《現(xiàn)代漢語詞典》中關(guān)于“核心”的解釋為：核心即中心，它是就各個問題之間的關(guān)系而言的. 因此，核心問題就是能啟發(fā)學(xué)生思維的關(guān)鍵問題. 就數(shù)學(xué)學(xué)科的核心問題而言，它至少應(yīng)該具有以下三個特征：首先，數(shù)學(xué)核心問題具有指向性，它是貫穿整節(jié)課的“主線”，推動著整節(jié)課的“劇情發(fā)展”，它直接指向知識的本質(zhì)；其次，數(shù)學(xué)核心問題具有思維性，核心問題的設(shè)置必須按“最近發(fā)展區(qū)”的要求進行設(shè)計，是學(xué)生在教師的指引下通過思維活動才能建構(gòu)出來的，具有挑戰(zhàn)性；最后，數(shù)學(xué)核心問題有關(guān)聯(lián)性，它應(yīng)該能整合整節(jié)課教學(xué)的重點與難點，其他各個教學(xué)環(huán)節(jié)中的問題鏈都應(yīng)該是它的衍生物，與它有著內(nèi)在的緊密的邏輯關(guān)系，學(xué)生可以通過它來整體建構(gòu)知識. 數(shù)學(xué)教學(xué)的每個活動的設(shè)計都應(yīng)該緊緊圍繞核心問題展開，每個問題的設(shè)計都應(yīng)該是核心問題的子問題. 在核心問題提出與解決的過程中，學(xué)生將會利用適當(dāng)?shù)难芯糠椒ǎㄖR形式）圍繞核心問題進行探究與建構(gòu)，進而得出知識內(nèi)容. 在此過程中，知識旨趣也會不斷得到強化與鞏固.

2. 知識三重意蘊視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)需要有方法教學(xué)的范式引領(lǐng)

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂. 數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué). 讓學(xué)生在課堂上像數(shù)學(xué)家那樣發(fā)現(xiàn)定理，這當(dāng)然是好的學(xué)習(xí)方式. 但是這種課不能上太多，因為學(xué)生的學(xué)習(xí)時間是有限的，所以從實際出發(fā)，方法上的“模仿”仍然是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種主要方式. 著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也曾提出“行動的范例”的概念，他指出一種行動作為另一種行動的范例，它可能會引起類似的行動. 作為知識三重意蘊的重要組成部分，知識形式是聯(lián)系知識內(nèi)容與知識旨趣的關(guān)鍵要素. 知識形式勢必會影響知識內(nèi)容與知識旨趣的達成與強化. 因此，教師在開展方法教學(xué)時要進行教學(xué)示范，學(xué)生通過教師的教學(xué)示范可以不斷建構(gòu)對研究方法的理解，積累應(yīng)用研究方法解決問題的基本活動經(jīng)驗. 方法的理解與經(jīng)驗的積累都有利于學(xué)生后續(xù)的知識遷移與生長. 在達成知識內(nèi)容與知識形式的同時，進一步強化知識旨趣，真正發(fā)揮知識的教育價值.

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