王占軍 馬慶歌

作者簡介：王占軍（1979— ），男，高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程、教材、學(xué)生和考試評價研究；

馬慶歌（2001— ），女，碩士研究生，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)和教法研究.

摘? 要：預(yù)備知識為學(xué)生順利進行高中知識的學(xué)習(xí)提供了語言、方法、思想的工具，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 以“基本不等式”的教學(xué)分析與設(shè)計為例，分析公式教學(xué)的兩條主要線索，闡述如何構(gòu)建知識學(xué)習(xí)明線，如何滲透思想方法暗線，以及如何獲得公式、證明公式、運用公式. 進一步說明準(zhǔn)確定位預(yù)備知識課程價值的重要意義，幫助教師科學(xué)設(shè)置預(yù)備知識的學(xué)習(xí)活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：預(yù)備知識；基本不等式；學(xué)習(xí)活動

一、問題的提出

由于初中和高中數(shù)學(xué)課程在教學(xué)內(nèi)容的邏輯性、抽象性、概括性，以及學(xué)生學(xué)習(xí)方式方面存在明顯差異，為幫助學(xué)生順利完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）設(shè)置了“預(yù)備知識”模塊. 預(yù)備知識是本輪課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的一大亮點，正確理解預(yù)備知識的課程定位，設(shè)置符合高一學(xué)生學(xué)情的教學(xué)活動，是教師使用新教材要解決的首要問題. 2022年12月，第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動通過線上方式進行，組委會將“基本不等式”定為指定課題，提出具體的教學(xué)建議. 建議指出：“要注意在‘相等關(guān)系與不等關(guān)系的整體框架下進行基本不等式的教學(xué)設(shè)計，要注意選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生掌握三種語言的表達與轉(zhuǎn)換、基本不等式及其變式的證明，理解基本不等式模型的結(jié)構(gòu)特征，并能進行簡單應(yīng)用.”認真分析上述建議，有助于教師準(zhǔn)確理解教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，充分發(fā)揮預(yù)備知識的課程功能與價值，以“研究公式的基本套路”為指導(dǎo)，搭建基本不等式的研究路徑. 促使學(xué)生通過基本不等式的學(xué)習(xí)進一步領(lǐng)悟研究數(shù)學(xué)對象的一般方法，積累數(shù)學(xué)探究的活動經(jīng)驗，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好知識、方法和活動經(jīng)驗的基礎(chǔ).

二、預(yù)備知識的課程定位

預(yù)備知識以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體，結(jié)合集合、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，為高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識技能等方面的準(zhǔn)備，幫助學(xué)生完成由初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡. 這個定位高度概括了預(yù)備知識的課程功能及價值.

預(yù)備知識要進一步幫助學(xué)生做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識技能方面的準(zhǔn)備，這是預(yù)備知識教學(xué)的基本任務(wù). 教師要以知識為載體，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，引導(dǎo)學(xué)生形成積極、濃厚的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)動機，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學(xué)精神；引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀自學(xué)、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等多種方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更重要的是要促使學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，積累研究數(shù)學(xué)對象的基本活動經(jīng)驗和基本套路.

預(yù)備知識要幫助學(xué)生完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，這是預(yù)備知識教學(xué)的根本目的. 學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)方式的改變、學(xué)習(xí)方法的積累、學(xué)習(xí)套路的形成，最終是為了學(xué)生更高效地學(xué)習(xí)后續(xù)知識，完成初中和高中數(shù)學(xué)課程在知識、方法、思想等方面的順利銜接.

以“基本不等式”為例，《標(biāo)準(zhǔn)》提出的要求是：掌握基本不等式[ab≤ a+b2 a，b≥ 0]，結(jié)合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題. 從預(yù)備知識的課程價值來看，本節(jié)課中學(xué)生不僅需要知道基本不等式的由來、內(nèi)涵和特征，還要多角度理解和表征公式，運用多種方法進行證明，能在不同的情境問題中運用基本不等式解決簡單的最值問題，領(lǐng)悟研究不等式的基本方法與路徑. 需要強調(diào)的是，“掌握”是階段性目標(biāo)，學(xué)生需要逐步領(lǐng)悟、不斷運用才能達到，教師在新授課時應(yīng)該將重點放在引導(dǎo)學(xué)生探究基本不等式的由來、結(jié)構(gòu)特征、多種方法證明及其簡單運用上，不能一開始就進行大量的變形訓(xùn)練，使得學(xué)生對公式理解不透，停留在生搬硬套、機械模仿的技術(shù)層面.

三、預(yù)備知識的教學(xué)實踐——以“基本不等式”為例

1. 構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑，發(fā)現(xiàn)公式

問題1：我們在初中學(xué)習(xí)過平方差公式和完全平方公式. 以完全平方公式為例，你能回憶起與它相關(guān)的哪些知識？這些知識是怎樣獲得的？

教學(xué)活動：學(xué)生交流發(fā)言，教師在學(xué)生討論、交流的基礎(chǔ)上梳理完全平方公式的學(xué)習(xí)路徑，如圖1所示.

【設(shè)計意圖】完全平方公式是關(guān)于等式的典型公式，基本不等式是關(guān)于不等式的典型公式，兩個公式的學(xué)習(xí)路徑具有高度的一致性. 通過梳理完全平方公式的學(xué)習(xí)過程，進一步明確研究對象，構(gòu)建研究路徑.

問題2：上一節(jié)課，我們利用完全平方公式獲得了重要不等式：[?a，b∈R，有a2+b2≥ 2ab]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時，等號成立. 在代數(shù)研究中，通過對已知代數(shù)式變形可以獲得新的數(shù)學(xué)公式，如果用[a， b]分別代替上式中的[a，b]，會得到怎樣的不等式呢？

教學(xué)活動：教師引導(dǎo)學(xué)生通過代數(shù)運算發(fā)現(xiàn)基本不等式，即對任意[a>0，b>0]，[ab≤ a+b2]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時，等號成立.

【設(shè)計意圖】通過代數(shù)變換，由重要不等式得到基本不等式，讓學(xué)生感受代數(shù)運算在邏輯推理過程中的重要作用. 代數(shù)變換是今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要數(shù)學(xué)方法.

問題3：我們通常將上式稱為基本不等式，類比完全平方公式的學(xué)習(xí)路徑，接下來我們要研究什么呢？

教學(xué)活動：學(xué)生交流后教師梳理研究路徑（背景—表示—證明—運用）.

【設(shè)計意圖】對比新舊知識的異同，獲得新知識的研究路徑，為進一步學(xué)習(xí)奠定方法基礎(chǔ).

2. 多種形式表達，證明公式

問題4：你能用自然語言描述上述公式嗎？

教學(xué)活動：學(xué)生描述，教師總結(jié). 通常稱[ab≤][a+b2]為基本不等式，其中，[a+b2]叫做正數(shù)[a，b]的算術(shù)平均數(shù)，[ab]叫做正數(shù)[a，b]的幾何平均數(shù). 基本不等式可以描述為“兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)”.

【設(shè)計意圖】通過分析基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征得到基本不等式的代數(shù)解釋，從符號語言、自然語言等不同角度加深學(xué)生對基本不等式的認識.

問題5：通過對[a2+b2≥ 2ab]進行代數(shù)變換，可以獲得基本不等式. 你還能通過其他方法證明基本不等式嗎？

追問：證明兩個代數(shù)式大小關(guān)系的一般方法有哪些？可以用它證明基本不等式嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：教師恰當(dāng)引導(dǎo). 如果學(xué)生提出用“作差法”，教師引導(dǎo)學(xué)生說出具體過程；如果沒有，教師提出追問，引導(dǎo)學(xué)生用“作差法”進行證明.

證明1：因為對任意[a>0，b>0]，[a+b2-ab=][12a+b-2ab=12a-b2≥ 0]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時等號成立. 所以對任意[a>0，b>0]，必有[a+b2≥ab]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時等號成立.

【設(shè)計意圖】充分根據(jù)學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)，從兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實出發(fā)，用“作差法”證明基本不等式，體會新舊知識之間的聯(lián)系.

問題6：從邏輯的角度來看，基本不等式成立的條件是什么？結(jié)論是什么？根據(jù)不等式的性質(zhì)，你能從條件直接得到結(jié)論嗎？從結(jié)論出發(fā)，你能獲得怎樣的結(jié)論？

【設(shè)計意圖】基本不等式的條件是“如果[a>0，b>0]”，結(jié)論是“[a+b2≥ab]”. 條件與結(jié)論之間缺乏必然的聯(lián)系，由條件較難直接得出結(jié)論. 此時，教師要引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出一個顯然成立的結(jié)論. 在此基礎(chǔ)上，教師介紹分析法的適用條件，給出正確、規(guī)范的書寫格式.

證明2：要證[a+b2≥ab]，只需證[a+b≥ 2ab]，只需證[a+b-2ab≥0]，只需證[a-b2≥0]. 該式顯然成立，所以對任意[a≥ 0，b≥ 0]，都有[ab≤ a+b2]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時等號成立.

問題7：如圖2，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，[AC=a，BC=b]. 過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD. 你能從中找到[ab和a+b2]所表示的線段嗎？你能利用這個圖形得到基本不等式的幾何解釋嗎？

[圖2][O][A][B][D][C][E]

教學(xué)活動：教師用幾何畫板軟件進行演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察幾何元素在變化中表現(xiàn)出的大小關(guān)系規(guī)律，利用圓的弦長不大于直徑的幾何事實，得到基本不等式的幾何解釋.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，嘗試借助幾何圖形對基本不等式進行幾何解釋，體會數(shù)形結(jié)合的思想. 借助幾何畫板軟件，引導(dǎo)學(xué)生體會基本不等式中蘊含的“變”與“不變”的內(nèi)在聯(lián)系.

3. 分析公式特征，運用公式

問題8：已知[x>0]，求[x+1x]的最小值.

追問1：從數(shù)學(xué)的角度來看，“求[x+1x]的最小值”的含義是什么？

教學(xué)活動：學(xué)生討論交流后，教師總結(jié). 求[x+1x]的最小值，就是要求出一個[y0y0=x0+1x0]，使對[?x>0]，都有[x+1x]≥[y0]. 這里的[y0]就是要求的最小值. 由題意，得[x+1x≥2]. 所以[x+1x]的最小值是2.

追問2：從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征分析，[x+1x]與基本不等式有怎樣的聯(lián)系？能直接運用基本不等式求[x+1x]的最小值嗎？代數(shù)式滿足什么特征時，能夠運用基本不等式求最值？

教學(xué)活動：引導(dǎo)學(xué)生明確運用基本不等式求最值時[ab]與[a+b2]必須有一個為定值，且等號能夠取到. 可以形象地總結(jié)為“一正、二定、三相等”.

【設(shè)計意圖】通過分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征判斷其是否能用基本不等式求最值. 教師要特別強調(diào)代數(shù)式的最值必須是代數(shù)式能取到的值，為學(xué)生求解代數(shù)式的最值問題提供示范.

問題9：已知[x，y]都是正數(shù).

（1）若積[xy]等于定值[P]，你能求出和[x+y]的最小值嗎？

（2）若和[x+y]等于定值[S]，你能求出積[xy]的最大值嗎？

追問1：第（1）小題中，[xy]與[x+y]滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征嗎？能直接運用基本不等式求解嗎？在運用時需要滿足哪些條件？

追問2：第（2）小題與第（1）小題有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？由此，你認為運用基本不等式可以解決哪類求最值的問題？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生理解運用基本不等式求最值為什么要滿足“一正、二定、三相等”的條件. 熟悉運用基本不等式的一般步驟，初步感受用基本不等式可以求解兩類基本的最值問題——積定求和的最小值、和定求積的最大值，為后續(xù)解決實際問題奠定思想基礎(chǔ).

四、教學(xué)反思——預(yù)備知識如何教？

1. 發(fā)揮預(yù)備知識的課程價值，通過預(yù)備知識逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)對象的方法與路徑

學(xué)生在初中不僅學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而且積累了研究數(shù)學(xué)對象的基本活動經(jīng)驗. 在預(yù)備知識的教學(xué)中，教師應(yīng)該充分挖掘?qū)W生已學(xué)知識中蘊含的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生逐步梳理在初中階段研究數(shù)學(xué)對象的一般方法與路徑，著重指導(dǎo)學(xué)生在“如何想到，怎樣探究”上下功夫，構(gòu)建以“事實—概念—性質(zhì)（關(guān)系）—結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）—應(yīng)用”為明線、以“事實—方法—方法論—數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為暗線的課堂教學(xué)進程，發(fā)揮預(yù)備知識的預(yù)備功能，促使學(xué)生在初中已有認知的基礎(chǔ)上感受初中所學(xué)知識、方法、經(jīng)驗對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奠基作用，體會數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的整體性和學(xué)習(xí)方法的一致性.

以“基本不等式”為例，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第二冊在小節(jié)引言中指出：“我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個問題.”這段話簡潔、清楚地說明：基本不等式與初中所學(xué)乘法公式類似，有著相同的研究路徑與重要作用，需要學(xué)生通過回憶乘法公式的學(xué)習(xí)過程構(gòu)建不等式的研究路徑.

學(xué)生在初中通過對多項式乘法法則進行代數(shù)變換，得到兩類基本的乘法公式——平方差公式和完全平方公式. 從多項式乘法運算法則到乘法公式，遵循了從一般到特殊的認識規(guī)律，為了促進學(xué)生進一步直觀地理解公式，需要對公式進行幾何解釋，使學(xué)生從符號語言、自然語言、圖形語言三個角度全面理解公式，然后運用公式解決簡單的整式運算問題. 這里蘊含了公式學(xué)習(xí)的一條明線，即教學(xué)應(yīng)該遵循“背景—表達—證明—運用”的路徑展開. 而這一路徑同樣適合不等式的學(xué)習(xí)與探究.

2. 滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般觀念，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)

一般觀念是對內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進一步提煉和概括，是對數(shù)學(xué)對象的定義方式、幾何性質(zhì)指什么、函數(shù)性質(zhì)指什么、概率性質(zhì)指什么等問題的一般性回答，是研究數(shù)學(xué)對象的方法論. 數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該是知識的堆疊，數(shù)學(xué)的魅力在于它有內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和思想方法. 在預(yù)備知識的學(xué)習(xí)過程中，教師要逐步向?qū)W生滲透運用一般觀念研究數(shù)學(xué)對象的學(xué)習(xí)意識. 要讓學(xué)生在“代數(shù)性質(zhì)指什么？如何研究代數(shù)性質(zhì)？幾何性質(zhì)指什么？如何研究幾何性質(zhì)？”等研究數(shù)學(xué)對象的根本性問題上進行長時間的思考，進而獲得公式學(xué)習(xí)的另一條線索——方法的暗線. 方法的暗線主要涉及：如何發(fā)現(xiàn)公式？如何證明公式？如何運用公式？下面以“基本不等式”為例進行具體分析，以幫助教師更好地把握預(yù)備知識的課程價值，理解教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).

（1）如何發(fā)現(xiàn)公式？

發(fā)現(xiàn)基本不等式的方法有很多. 綜合來看，大體分為兩種. 一種是通過具體真實的問題情境發(fā)現(xiàn)基本不等式. 例如，通過比較“周長相等的矩形、正方形的面積及邊長的大小”發(fā)現(xiàn)兩數(shù)和與積的變化規(guī)律，并運用公式進行表征. 另一種是直接從重要不等式[a2+b2≥ 2ab]出發(fā)，通過代數(shù)運算進行邏輯推理獲得公式. 兩類方法各有側(cè)重，從數(shù)學(xué)知識的整體性視角來看，第二種方法遵循了數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯順序，從數(shù)學(xué)內(nèi)部自然地提出問題，使得基本不等式與初中乘法公式的研究路徑一脈相承，幫助學(xué)生將在初中階段學(xué)習(xí)到的知識內(nèi)容、思想方法與高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進行有機銜接，體會研究對象在變、研究套路不變、思想方法不變，逐步掌握解決數(shù)學(xué)問題的“相似的方法”，進而形成數(shù)學(xué)的思維方式，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)潛移默化、潤物無聲地得到落實.

（2）如何證明公式？

首先，對重要不等式[a2+b2≥ 2ab]進行代數(shù)變換，用[a， b]分別代替式中的[a，b]，是獲得基本不等式的基本方法. 這種通過代數(shù)運算進行邏輯推理證明命題的方法是學(xué)生今后學(xué)習(xí)的重點.

其次，基本不等式是一種特殊的不等關(guān)系，應(yīng)該在“相等關(guān)系與不等關(guān)系”的整體框架下，利用不等式的性質(zhì)進行證明. 從學(xué)生的認知基礎(chǔ)來看，學(xué)生最容易想到的是運用“作差法”，這是因為“作差法”是比較兩個代數(shù)式大小的基本方法，具有很強的適用性和操作性. 教學(xué)的關(guān)鍵點在于如何讓學(xué)生運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式. 基本不等式可以表述為“如果[a>0，b>0]，那么[ab≤ a+b2]”. 顯然，從條件“如果[a>0，b>0]”出發(fā)，很難找到證明的方向. 反過來，如果從命題的結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理能夠得到一個正確的、唯一的結(jié)論，那么命題就是正確的，因為推理過程的每一步都是上一步結(jié)論成立的充分條件. 這種“執(zhí)果索因”的方法就是分析法，它可以幫助學(xué)生更好地探尋證明思路，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感受分析法在尋求解題思路中的重要價值.

最后，對基本不等式的幾何解釋是對公式的一種直觀證明，有利于學(xué)生更加直觀形象地理解基本不等式. 這里需要強調(diào)的是，讓學(xué)生獨立探究基本不等式的幾何解釋相對比較困難，主要是因為學(xué)生缺乏用幾何圖形表征代數(shù)符號的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，這是一個循序漸進、慢慢滲透的過程，不能一蹴而就. 從課堂的整體效益衡量，基本不等式的幾何解釋應(yīng)該側(cè)重于讓學(xué)生看懂圖形，將[ab和a+b2]與圖形中的幾何元素有機地建立聯(lián)系，而不是獨立構(gòu)建圖形，在如何用幾何圖形獨立地表示[ab和a+b2]上花費過多的時間.

（3）如何運用公式？

運用公式的前提是理解公式. 具體地講，要理解公式的結(jié)構(gòu)特征、適用條件、操作程序. 單從公式本身來看，基本不等式的結(jié)構(gòu)特征簡潔、明確，但在具體解題時，學(xué)生往往想不到運用基本不等式求最值，不能將基本不等式與問題有機地聯(lián)系在一起. 究其原因：一方面，學(xué)生習(xí)慣于用二次函數(shù)求最值，缺少用其他方法求最值的活動經(jīng)驗；另一方面，學(xué)生對基本不等式的結(jié)構(gòu)特征、適用條件缺乏必要的分析與體驗，沒有形成運用基本不等式求最值的思考路徑. 在證明基本不等式后，教師應(yīng)該著力引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)，探究運用公式的前提條件，分析待求最值的代數(shù)式與基本不等式間的聯(lián)系，幫助學(xué)生逐步掌握運用基本不等式的操作程序.

總之，高中預(yù)備知識的學(xué)習(xí)不僅為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)表達、邏輯推理的數(shù)學(xué)工具，而且為學(xué)生提供了學(xué)什么、怎樣學(xué)習(xí)的方法路徑. 高中數(shù)學(xué)教師要在熟悉初中數(shù)學(xué)教材體系的基礎(chǔ)上，剖析學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)，找到初中和高中數(shù)學(xué)知識的融合點和銜接處，不斷加強一般觀念對學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)作用，促使學(xué)生真正學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地有道，實施有術(shù)，真正實現(xiàn)預(yù)備知識的課程功能和育人價值.

參考文獻：

［1］章建躍. 強化思維教學(xué)? 落實核心素養(yǎng)（一）：“第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動”總結(jié)［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2023（4）：4-10，32.

［2］章建躍. 強化思維教學(xué)? 落實核心素養(yǎng)（二）：“第十一屆高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示活動”指定課題的設(shè)計意圖［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2023（5）：4-10.

［3］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］章建躍. 核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2021.