謝 曉 王淑紅

亞伯拉罕·阿德里安·阿爾伯特(Abraham Adrian Albert，1905—1972，以下簡稱“阿爾伯特”，圖1)是美國數(shù)學家。因他的姓和兩個名的開頭字母都是A和數(shù)學家的身份，被人們幽默地稱為A立方(即A3)。他出版了8本代數(shù)學重要書籍，發(fā)表論文140余篇，在結合代數(shù)、非結合代數(shù)、數(shù)學教育、科學組織等方面都貢獻卓著。他是繼埃利亞基姆·穆爾(Eliakim Moore，1862—1932)、奧斯瓦爾德·維布倫(Oswald Veblen，1880—1960)、倫納德·迪克森(Leonard Dickson，1874—1954)和喬治·伯克霍夫(George Birkhoff，1911—1996)之后的美國第二代具有代表性的數(shù)學家之一。他曾獲得美國數(shù)學會頒發(fā)的科爾代數(shù)獎，曾是美國國家科學院、美國藝術與科學院、巴西科學院和阿根廷科學院的院士。他曾任美國數(shù)學會主席和國際數(shù)學聯(lián)盟副主席。他是一位數(shù)學教育家，一位強有力的領導者，推動了數(shù)學的發(fā)展和變革，被內森·雅各布森(Nathan Jacobson，1910—1999)譽為數(shù)學界的政治家[1]。他的數(shù)學成就主要涉及結合代數(shù)和非結合代數(shù)，介紹他有代表性成果和影響，有助于深入了解阿爾伯特及其現(xiàn)代代數(shù)學。

圖1.阿爾伯特

一 16維正規(guī)可除代數(shù)的確定

結合代數(shù)的研究始于19世紀四、五十年代，愛爾蘭數(shù)學家威廉·哈密頓(William Hamilton，1805—1865)提出了四元數(shù)，德國數(shù)學家赫爾曼·格拉斯曼(Hermann Grassmann，1809—1877)給出了外代數(shù)，英國數(shù)學家阿瑟·凱萊(Arthur Cayley，1821—1895)等人討論了矩陣代數(shù)。他們的目的是刻畫各種類型的結合代數(shù)的結構和表示[2]。20世紀初，約瑟夫·韋德玻恩(Joseph Wedderburn，1882—1948)、迪克森以及阿爾伯特等一批數(shù)學家繼續(xù)探索代數(shù)的核心秘密。而所有正規(guī)可除代數(shù)的確定便是阿爾伯特在結合代數(shù)方面的第一項重要成果。

關于正規(guī)可除代數(shù)的確定是結合代數(shù)的一個重要問題，可以追溯到20世紀20年代，是由迪克森提出的。1923年，迪克森整理了他和韋德玻恩在代數(shù)理論方面的所有成果，出版了《代數(shù)及其算術》(AlgebrasandTheirArithmetics)[3]一書，介紹了“中心可除代數(shù)”和“代數(shù)數(shù)”的性質，以及迪克森(循環(huán))代數(shù)。他列舉了代數(shù)中尚未解決的3個問題：所有正規(guī)可除代數(shù)的確定問題，非結合代數(shù)的理論問題以及將代數(shù)擴張到整個代數(shù)數(shù)論的問題。這些問題具有挑戰(zhàn)性，將阿爾伯特的目光吸引到了結合代數(shù)領域。1928年，阿爾伯特開始研究迪克森提出的第一個問題，即所有正規(guī)可除代數(shù)的確定問題。關于這個問題，迪克森已經(jīng)證明了所有4維中心可除代數(shù)都是循環(huán)的，韋德玻恩證明了9維中心可除代數(shù)具有相同的特征。為了確定可除代數(shù)，阿爾伯特首先研究了它們的結構，然后將可除代數(shù)進行分類。阿爾伯特最終確定了16維中心可除代數(shù)的結構。他證明了16維中心可除代數(shù)不一定是循環(huán)代數(shù)，但總是一個叉積代數(shù)。而這一結果是阿爾伯特碩士和博士論文的重要結果。

阿爾伯特在1926年獲得了芝加哥大學學士學位后，繼續(xù)在芝加哥大學讀碩士，師從美國代數(shù)學派創(chuàng)始人之一迪克森。迪克森是一位多產(chǎn)的數(shù)學家，畢生發(fā)表了200多篇數(shù)學論文，出版了近20本書，在有限域、線性群和代數(shù)不變量論中均取得佳績，這使他在數(shù)學界取得了很高的國際聲望。也正是迪克森鼓勵阿爾伯特從事代數(shù)學研究，并在阿爾伯特學術領域的起步階段提供了很多幫助，可謂是阿爾伯特研究工作的靈感之源。在讀碩士期間，阿爾伯特修讀了24門數(shù)學課程，如吉爾伯特·布利斯(Gilbert Bliss，1876—1951)的《變分法》(CalculusofVariations)、穆爾的《一般分析》(GeneralAnalysis)和埃里克·貝爾(Eric Bell，1883—1960)的《模系統(tǒng)》(ModularSystem)課程等。阿爾伯特很快便展露出了創(chuàng)新的天賦，在第1學期末，就提交了畢業(yè)論文“非模域F上具有2、3、4個單位的所有結合代數(shù)的確定”(A Determination of All Associative Algebras in Two，Three，and Four Unit over a Non-Modular FieldF)，于1927年順利獲得芝加哥大學碩士學位。在老師和家人的支持下，他繼續(xù)在芝加哥大學攻讀博士學位，導師依然是迪克森。阿爾伯特僅用了數(shù)月便完成了博士論文“代數(shù)及其根”(AlgebrasandTheirRadical)。迪克森提出讓他繼續(xù)深入研究，希望他解決“確定所有的16維正規(guī)可除代數(shù)”這個問題。他全力以赴，僅用了數(shù)月就解決了這一問題。丹尼爾·澤林斯基(Daniel Zelinsky，1922—2015)給予了阿爾伯特高度評價：“1928年，阿爾伯特的博士論文已經(jīng)證明他是那個時代杰出的代數(shù)學者之一?！盵4]

阿爾伯特于1929年發(fā)表了碩士和博士論文結果，題目為“具有16個單位的所有正規(guī)可除代數(shù)的確定”(A Determination of All Normal Division Algebras in Sixteen Units)[5]。該文確定了所有16維的正規(guī)可除代數(shù)，但證明過程冗長而復雜。為了改進上述結果，阿爾伯特1932年發(fā)表了論文“16階可除代數(shù)的一個注記”(A Note on Division Algebras of Order Sixteen)[6]，在證明非循環(huán)正規(guī)可除代數(shù)的存在性問題的基礎上，極大地簡化了證明過程。阿爾伯特在這篇注記中，根據(jù)F上每一個16階正規(guī)可除代數(shù)都包含一個二次子域，簡化了證明方法，進一步解決了正規(guī)可除代數(shù)的確定問題，為這一理論的發(fā)展奠定了基礎。但關于正規(guī)可除代數(shù)的確定問題，上述兩篇論文中還存在一個缺陷，即阿爾伯特在證明過程中沒有考慮特征為2的代數(shù)。于是1934年他在論文“特征為2的F上4次正規(guī)可除代數(shù)”(Normal Division Algebras of Degree 4 overFof Characteristic 2)[7]中進一步完善了證明過程。

對于阿爾伯特1929年發(fā)表的結果，卡普蘭斯基曾評價到：“這是一個曾經(jīng)讓他的前輩棘手的問題。阿爾伯特以頑強的毅力去攻克它，直到完全解決它，難以想象迪克森聽到這個消息是多么高興?！盵8]此后的幾年中，阿爾伯特撰寫了20多篇關于可除代數(shù)的論文，其中1932年與哈塞合作發(fā)表的論文“代數(shù)數(shù)域上所有正規(guī)可除代數(shù)的確定”(A Determination of All Normal Division Algebras over an Algebraic Number Field)[9]，對代數(shù)主定理進行了證明，使得他在這方面的成果達到頂峰。不過，在取得這一成果的同時，卻有一個不大不小的插曲，那就是代數(shù)主定理的命名紛爭。

二 代數(shù)主定理的求證和命名紛爭

代數(shù)主定理指的是代數(shù)數(shù)域上任何有限階中心單代數(shù)都是循環(huán)代數(shù)，所有交叉積都是單代數(shù)。這個定理是1931年末由德國數(shù)學家布饒爾、哈塞和諾特共同給出的，1932年正式發(fā)表。實際上，阿爾伯特對這一定理的貢獻也不可忽視。他和哈塞緊隨其后合作發(fā)表了論文“代數(shù)數(shù)域上所有正規(guī)可除代數(shù)的確定”，給出了代數(shù)主定理的發(fā)展歷史，并包含了該定理的另一種證明方法。

1931年1月13日，哈塞在哥廷根大學的一次學術討論會上提出了一個猜想：代數(shù)數(shù)域上的所有中心可除代數(shù)是否都是循環(huán)的？幾乎在同一時間，哈塞通過迪克森寄給阿爾伯特一封信，隨信附上了他1931年關于p進除環(huán)(可除代數(shù))的成果，并表示對阿爾伯特的工作十分感興趣。自此，他們開啟了一場富有意義的學術對話，通過信件展開了更多的交流。

1931年2月6日，阿爾伯特寄給哈塞第1封信。阿爾伯特在信中說到很高興看到哈塞對他的工作感興趣，并寄給哈塞他文章的重印本，并表示他還將發(fā)表5篇新論文，一旦收到重印本后就立即將其寄給哈塞[10]。哈塞在給阿爾伯特的回信中，向阿爾伯特提出了一個問題：關于16階正規(guī)可除代數(shù)的循環(huán)性問題是否存在更精確的結果？

1931年3月23日，阿爾伯特在給哈塞的第2封信中，建議哈塞閱讀他1930年的論文“正規(guī)可除代數(shù)理論的新成果”(New Results in the Theory of Normal Division Algebras)，其中研究了非循環(huán)可除代數(shù)的存在性問題。然而，在信件末尾，阿爾伯特談到這個問題似乎是數(shù)論問題，看不出能用什么代數(shù)方法來解決。阿爾伯特此時已經(jīng)意識到算術方法的重要性，但由于他一直不了解德國代數(shù)數(shù)論，特別是類域論的重大成果，因此他在算術方法的使用上一直存有障礙。而正是哈塞通過迪克森寄給阿爾伯特的信，才使得阿爾伯特對這些算術方法有所了解。

僅僅4天后，也就是1931年3月27日，阿爾伯特給哈塞寄了第3封信。他在這封信中更正了他的一些結果。與此同時，哈塞意識到美國數(shù)學家對德國數(shù)學家的研究知之甚少。因此，哈塞在1931年4月向《美國數(shù)學會匯刊》提交了論文“代數(shù)數(shù)域上的循環(huán)代數(shù)理論”(Theory of Cyclic Algebras over an Algebraic Number Field)[11]。哈塞的目標是讓美國人了解德國的代數(shù)數(shù)論、抽象代數(shù)等數(shù)學成果。

在給哈塞寄出第4封信之前，阿爾伯特已經(jīng)將哈塞關于代數(shù)數(shù)域(整體)上的二次型理論與p進數(shù)域(局部)上的二次型理論的關系進行了深化。他于1931年4月17日發(fā)表了論文“代數(shù)域上的可除代數(shù)”(Division Algebras over an Algebraic Field)[12]，阿爾伯特使用“指數(shù)約化因子”定理成功地將問題簡化為素數(shù)冪次的情況。在完成論文寫作之后，發(fā)表之前，他得知了由布饒爾發(fā)展的類似結果在美國幾乎無人知曉。于是阿爾伯特在這篇論文中充分肯定了布饒爾的觀點，同時說明了他自己獨立給出的證明更加簡潔，并且包含了一些新結果。1931年5月11日他在給哈塞的第4封信中提到了這一巧合。特別地，阿爾伯特還提到了最近使用哈塞理論建立的重要結果，即在有限次代數(shù)域上16維正規(guī)可除代數(shù)都是循環(huán)叉積代數(shù)。

1931年6月30日，阿爾伯特在給哈塞的第5封信中糾正了哈塞的一個錯誤印象，即哈塞認為阿爾伯特可以證明代數(shù)數(shù)域上正規(guī)可除代數(shù)的指數(shù)和次數(shù)之間的關系。實際上阿爾伯特只證明了較弱的一種情況。哈塞在回信中立刻詢問阿爾伯特是否可以得到更進一步的結果，如果可以的話，阿爾伯特已經(jīng)非常接近于得到代數(shù)主定理。

間隔數(shù)月，即1931年11月6日，阿爾伯特在給哈塞的第6封信中說到：“今天早上我收到了您非常重要的來信，非常高興看到如此重要的結果。對于在代數(shù)數(shù)域Ω上所有正規(guī)可除代數(shù)的確定問題，我認為它無疑是迄今為止獲得的最重要的定理。特別地，它給出了‘Ω上4次正規(guī)可除代數(shù)是循環(huán)的’一個新的證明?！盵13]哈塞表示他可以證明阿貝爾叉積主定理，即如果叉積代數(shù)是交換的，那么可除代數(shù)就是循環(huán)的。阿爾伯特告知哈塞他能夠根據(jù)哈塞的這個結果立即證明下面的定理：

Ⅰ.所有2e次正規(guī)可除代數(shù)是循環(huán)代數(shù)。

Ⅱ.在代數(shù)數(shù)域Ω上，n次正規(guī)可除代數(shù)的指數(shù)為n。

Ⅲ.若A是代數(shù)數(shù)域Ω上一個pe次正規(guī)可除代數(shù)，p是一個素數(shù)，則Ω上存在一個代數(shù)域Ω′，使得A′=A×Ω′是Ω′上pe次循環(huán)正規(guī)可除代數(shù)。

他認為結論Ⅲ表明，雖然不知道A是否是循環(huán)的，但至少可以得到它的性質，A′仍是可除代數(shù)。[13]

這表明哈塞的結果使阿爾伯特非常接近于證明了代數(shù)主定理。阿爾伯特在這封信的結尾向哈塞表示，若不是參考哈塞的論文，他證明不了自己的定理，并表示希望與哈塞的這一結果在同一個地方發(fā)表。

不過，由于哈塞晚一些才收到阿爾伯特的這封信，而布饒爾很快補上了哈塞與諾特對于代數(shù)主定理證明中的漏洞，所以哈塞于1931年11月9日完成了證明，寫了一篇題為“代數(shù)理論中的一個主定理的證明”(Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren)[14]的論文，署名為布饒爾、哈塞和諾特，并于11月11日將論文進行了投稿。哈塞同時將這些信息和論文內容告知了阿爾伯特。阿爾伯特得知這個消息，立即意識到這篇論文一旦發(fā)表，將對數(shù)學界產(chǎn)生巨大影響，但后人不會知道他自己獨立的研究結果。由于這樣的貢獻對年僅20多歲的阿爾伯特來說是一個里程碑，他爭取使自己的工作得到應有的認可。

1931年11月26日，阿爾伯特發(fā)現(xiàn)了哈塞的證明中存在一個漏洞，他在給哈塞的第7封信中寫道，他祝賀哈塞證明了這個非凡的定理。此外，他對哈塞關于主定理的證明非常感興趣，其中最感興趣的是哈塞對定理1的約化。但是他看不出這種約化是哈塞文章中定理的直接結果，阿爾伯特認為也許存在一個循環(huán)域使得A處處分裂，建議哈塞發(fā)表這個證明時要說清楚。信中阿爾伯特強調了哈塞的重要數(shù)論成果。阿爾伯特承認在他所有關于可除代數(shù)的工作中，最主要的困難是設法找到一個循環(huán)分裂域，而這是借助哈塞的p進方法實現(xiàn)的。隨后，阿爾伯特提到因為自己的定理都已經(jīng)發(fā)表出來了，所以認為在哈塞的那部分證明中，他也許應該具有優(yōu)先權。然而，哈塞只將阿爾伯特提出的“指數(shù)約化因子定理”以“在更正過程中添加的腳注”的形式出現(xiàn)在論文中，并在更正過程中承認阿爾伯特的結果表明阿爾伯特在證明主定理方面有獨立的貢獻。哈塞以這種方式給予阿爾伯特認可，但這不是阿爾伯特真正想要的優(yōu)先權。不過在信末，阿爾伯特對哈塞寄給他這個絕妙的定理表示感激。從而使這種緊張的局面得到緩和[13]。

在哈塞把布饒爾-哈塞-諾特論文的原稿寄給阿爾伯特后，1931年12月9日阿爾伯特在給哈塞的第8封信中作了簡短的回應，他再次試圖強調對于定理1他有更簡單的證明方法。哈塞在回信中同意與阿爾伯特共同合作發(fā)表一篇論文。在合作論文中，他們得出結論：“對主定理的證明是由哈塞的算術結果和阿爾伯特的代數(shù)結果直接得出的?！盵15]這篇論文一經(jīng)發(fā)表，使得數(shù)學界的一些人對此事件有了新的理解，而后很多人便將這一發(fā)現(xiàn)稱為“阿爾伯特-布饒爾-哈塞-諾特定理”。

不過，目前的一些文獻資料中對這個定理的描述尚不統(tǒng)一，比如胡作玄先生在《近代數(shù)學史》中描述道：“關于可除代數(shù)的研究有許多算術上的困難，為此諾特引進交叉積的概念，由此諾特等人證明了‘主定理’?！盵16]李文林先生在《數(shù)學史概論》中描述道：“諾特1932年與布饒爾、哈塞合作證明的所謂‘代數(shù)主定理’，被外爾稱為是代數(shù)發(fā)展史上的一個重大轉折?！盵17]由彼得·羅凱特(Peter Roquette，1927—)在著作《歷史視角下的布饒爾-哈塞-諾特定理》(TheBrauer-Hasse-NoetherTheoreminHistoricalPerspective)中描述道：阿爾伯特在主定理的證明中也有獨立的貢獻，所以將其命名為阿爾伯特-布饒爾-哈塞-諾特定理也許是合理的[18]。南?！ぐ柌?Nancy E. Albert)為父親阿爾伯特所作傳記中說道：在阿爾伯特與哈塞的合作論文中，他們得出結論：主定理的證明是由哈塞和阿爾伯特的結果直接得出的。數(shù)學界將這一定理稱為阿爾伯特-布饒爾-哈塞-諾特定理[10]。綜合以上內容，“代數(shù)主定理”命名為“阿爾伯特-布饒爾-哈塞-諾特定理”更為合適。

阿爾伯特與哈塞的通信記錄了阿爾伯特職業(yè)生涯中緊張的一年，從中，我們可以看到阿爾伯特的論文是如何誕生的。這一成果也立即將阿爾伯特帶到了當時代數(shù)的中心舞臺。韋德玻恩、迪克森、哈塞、布饒爾、諾特等數(shù)學家研究的一個中心問題是可除代數(shù)，他們追求同樣的問題以及每個人都非?？释玫綉械脑u價，他們之間有合作努力，也有競爭的高度緊迫感。這不是一個數(shù)學家證明單個定理的歷史，而是由一個不斷擴大的數(shù)學共同體在各種聯(lián)系的基礎上建立的一段歷史，在這個情況下，這個數(shù)學共同體橫跨海岸，緊密聯(lián)系。

這一成就是阿爾伯特在結合代數(shù)領域作出的最偉大的貢獻之一。阿爾伯特隨后發(fā)表的許多論文以及出版的著作《代數(shù)結構》(StructureofAlgebras)[19]都以此為基礎。此外，阿爾伯特與哈塞的國際通信展現(xiàn)出了他的社交才能，這也為他后續(xù)蓬勃發(fā)展的數(shù)學事業(yè)奠定了基礎。

三 攻克長期未決問題

數(shù)學中存在著一個長期未決的問題：證明有理數(shù)域上的可除代數(shù)是黎曼矩陣的乘法代數(shù)的充分必要條件。這個問題是由19世紀的數(shù)學家喬治·黎曼(Georg Riemann，1826—1866)提出的。數(shù)學家所羅門·萊夫謝茨(Solomon Lefschetz，1884—1972)試圖從代數(shù)幾何的角度去解決該問題，他在1919年提出了當時最為完整的黎曼矩陣乘法代數(shù)的分類理論，還在黎曼矩陣和黎曼曲面方面取得了一些重大進展，但并未完全解決這一問題。阿爾伯特于1928年獲得芝加哥大學博士學位后，到普林斯頓大學作了一年博士后研究，期間在1928年普林斯頓大學的一次交流會中，阿爾伯特報告了他關于結合代數(shù)的成果。坐在聽眾席的萊夫謝茨立即意識到阿爾伯特的工作與這一問題存在著密切的聯(lián)系，便將該問題介紹給了阿爾伯特。

解決該問題需要對黎曼曲面(復曲線的自同構)的代數(shù)對應關系進行分類，可以將其簡化為：找到與黎曼曲面上基本阿貝爾積分周期的某一黎曼矩陣相交換的矩陣，這些交換矩陣形成了一個代數(shù)，并且在一般情況下，該代數(shù)是有理數(shù)域上的中心單代數(shù)。阿爾伯特不負所望，將黎曼矩陣乘法代數(shù)問題與可除代數(shù)理論聯(lián)系起來，于1934—1935年在《數(shù)學年刊》(AnnalsofMathematics)陸續(xù)發(fā)表了3篇論文，分別是“關于黎曼矩陣的構造I”(On the Construction of Riemann Matrices I)[20]、“黎曼矩陣理論中主要問題的解法”(A Solution of the Principal Problem in the Theory of Riemann Matrices)[21]和“關于黎曼矩陣的構造II”(On the Construction of Riemann Matrices II)[22]，提出了對合代數(shù)理論，并將其作為基本原理對黎曼矩陣進行了分類，最終確定了純黎曼矩陣乘法代數(shù)的精確結構，徹底解決了這一長期未解決的問題。美國數(shù)學會1939年授予他久負盛名的科爾代數(shù)獎。

阿爾伯特的這幾篇文章推動了黎曼矩陣的發(fā)展，對后來的數(shù)學家同樣產(chǎn)生了深遠的影響。比如，在阿爾伯特將對合用于研究黎曼矩陣之后，對合就演變成了代數(shù)理論的一個獨立分支。這一主題的巨著《對合之書》(TheBookofInvolutions)指出，阿爾伯特奠定了對合單代數(shù)理論的基礎[23]。阿爾伯特是第1個系統(tǒng)研究中心單代數(shù)的數(shù)學家，《對合之書》中大量引用了他早期的成果，比如阿爾伯特型(Albert Forms)、阿爾伯特二次空間(Albert Quadratic Space)和阿爾伯特代數(shù)(Albert Algebras)等。馬克斯·克努斯(Max Knus，1942—)認為在研究黎曼矩陣理論的過程中，阿爾伯特確定了乘法代數(shù)的結構。

阿爾伯特在黎曼矩陣上的工作也為黎曼矩陣本身的發(fā)展開辟了道路。岡薩雷斯·多明格斯(Alberto Domínguez，1904—1982)于1968年寫信，詢問阿爾伯特是否聽過卡爾·西格爾(Carl Siegel，1896—1981)的講座。在談到西格爾的黎曼矩陣理論工作時，多明格斯說到阿爾伯特的名字在其中出現(xiàn)了很多次，西格爾非常重視阿爾伯特的結果，這些結果對西格爾的進一步研究至關重要。在阿爾伯特去世10年后，他的妻子收到了幾何學家路易斯·奧斯蘭德(Louis Auslander，1928—1997)的來信，并附有一篇文章，是關于阿爾伯特系統(tǒng)解決黎曼矩陣的乘法代數(shù)理論的影響。其中他談到阿爾伯特在黎曼矩陣上的工作具有巨大創(chuàng)新性，并相信后人將一次又一次地研究阿爾伯特所作的貢獻并為之折服。

此外，阿爾伯特還在中心單代數(shù)結構理論中發(fā)展了p代數(shù)理論等數(shù)學成果。隨著所有有理可除代數(shù)的確定問題得到解決，線性結合代數(shù)理論的發(fā)展達到了一個階段性高潮。自那時起，阿爾伯特一直希望能為這一問題以及它所依賴的代數(shù)理論撰寫出一本完整的、自成體系的著作。阿爾伯特先是在1937年出版了著作《近世高等代數(shù)》(ModernHigherAlgebra)，這為進一步闡述現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論、類域論和線性結合代數(shù)理論奠定了基礎。這部著作完成后不久，阿爾伯特應美國數(shù)學會的邀請完成了著作《代數(shù)結構》，并于1939年出版。《代數(shù)結構》一書循序漸進地介紹了自20世紀初發(fā)展起來直到1939年的結合代數(shù)理論的大部分成果?！洞鷶?shù)結構》內容豐富，表達清晰，除基本概念外，還包括理想與冪零代數(shù)、韋德玻恩結構定理、單代數(shù)、叉積與方指數(shù)、循環(huán)代數(shù)與p代數(shù)、表示論與黎曼矩陣、有理可除代數(shù)、對合代數(shù)以及一些特殊的結果等。它的問世標志著代數(shù)理論邁進了新的發(fā)展階段。

阿爾伯特關于結合代數(shù)的工作對后來的數(shù)學家們產(chǎn)生了深遠的影響。例如，1972年，以色列數(shù)學家阿米蘇爾(Shimshon Amitsur，1921—1994)發(fā)表論文“關于中心可除代數(shù)”(On Central Division Algebra)，進一步研究了阿爾伯特在“非循環(huán)正規(guī)可除代數(shù)的構造”(A Construction of Non-Cyclic Normal Division Algebras)中的一個證明。該文最初于1971年11月提交給《以色列數(shù)學雜志》(IsraelJournalofMathematics)，但由于阿爾伯特1972年6月去世，而論文發(fā)表得遲了一些，所以阿爾伯特生前并未看到這篇論文。南希認為如果阿爾伯特知道這件事，會感到自豪，因為他把阿米蘇爾視為世界領先的代數(shù)學家之一。再比如，1973年，以色列·赫斯坦(Israel Herstein，1923—1988)為紀念阿爾伯特，寫了一篇論文“關于阿爾伯特定理”(On a Theorem of Albert)[24]，發(fā)表在《數(shù)學快報》(ScriptaMathematica)上，赫斯坦在論文中給出了阿爾伯特定理的一個新證明。阿爾伯特除了對結合代數(shù)作出重要工作之外，對非結合代數(shù)的研究也名留史冊，創(chuàng)建了美國非結合代數(shù)學派。

四 創(chuàng)建美國非結合代數(shù)學派

非結合代數(shù)的研究方法與結合代數(shù)相似，內容也與結合代數(shù)緊密相關。阿爾伯特幾乎研究了當時非結合代數(shù)的所有問題，他設法用結合代數(shù)來證明非結合代數(shù)中的定理，從而彌合結合代數(shù)和非結合代數(shù)之間的溝壑。

阿爾伯特與非結合代數(shù)的緣分始于帕斯庫爾·若爾當(Pascual Jordan，1902—1980)。20世紀30年代，若爾當在研究量子力學的過程中，發(fā)現(xiàn)當時所使用的方法依賴于繁瑣的矩陣乘法，他嘗試著去尋找一種新的代數(shù)來避免現(xiàn)有方法的缺陷。1932年，若爾當在實數(shù)域上發(fā)展了一種“r階數(shù)字系統(tǒng)”，開始研究代數(shù)的分類問題。后來“r階數(shù)字系統(tǒng)”被稱為“若爾當代數(shù)”。下面為論述方便起見，我們稱之為若爾當代數(shù)。

1942年，阿爾伯特又重新回到了非結合代數(shù)領域，開始了系統(tǒng)的研究。這一年他發(fā)表了兩篇關于非結合代數(shù)的論文“非結合代數(shù)I：基本概念和同痕”(Non-Associative Algebras I. Fundamental Concepts and Isotopy)和“非結合代數(shù)II：新單代數(shù)”(Non-Associative Algebras II. New Simple Algebras)，他通過探索所有非結合代數(shù)的一般理論，幾乎涉獵當時非結合代數(shù)的各個領域。

阿爾伯特在1946—1950年間陸續(xù)發(fā)表了3篇論文，分別是“關于線性變換的若爾當代數(shù)”(On Jordan algebras of Linear Transformations)[26]、“若爾當代數(shù)的結構理論”(A Structure Theory for Jordan Algebras)[27]、“冪結合交換代數(shù)理論”(A Theory of Power-associative Commutative Algebras)[28]。他在特征不為2的域上發(fā)展了有限維若爾當代數(shù)的基本結構理論。他還發(fā)現(xiàn)了一類特別有趣的若爾當代數(shù)，即有限維例外中心若爾當代數(shù)，后人稱之為阿爾伯特代數(shù)。此外，阿爾伯特還在非結合代數(shù)的其他領域作了大量的工作，如定義了同痕和有限維非結合代數(shù)的根的概念、給出了冪結合環(huán)的條件以及研究了幾類新的單李代數(shù)等。他為這一新的數(shù)學思想流派奠定了基礎，創(chuàng)立了美國非結合代數(shù)學派。

阿爾伯特將一大批年輕學者引入這個新興領域，他的30名博士生中，至少有一半的人選擇研究非結合代數(shù)。澤林斯基認為：“阿爾伯特想到用結合代數(shù)理論來證明任意非結合代數(shù)的韋德玻恩定理(甚至非結合代數(shù)也有結合的正則表示代數(shù))。他提出了一個合理的理論，并對特殊代數(shù)的理論和應用產(chǎn)生了重大影響，這是他作為天才的標志之一。”[4]阿爾伯特去世后，芝加哥大學數(shù)學系設立了阿德里安·阿爾伯特紀念講座，每年都邀請著名的數(shù)學家來此演講。第1年邀請了耶魯大學的雅各布森，他專門討論了李代數(shù)和若爾當結構這兩個非結合代數(shù)的領域。不僅如此，在20世紀90年代，科學家們還設計了一個交互式計算機系統(tǒng)來構建非結合代數(shù)，該程序可以讓數(shù)學家提出假設和檢驗假設。為了紀念阿爾伯特，他們把它命名為阿爾伯特程序。歐文·亨策爾(Irvin Hentzel)認為，該程序是為了研究非結合代數(shù)而設計的，而阿爾伯特是首個認真對待非結合代數(shù)的人。阿爾伯特程序是非常高效的，它可以在一個小時內完成以前需要幾個月才能完成的工作。

阿爾伯特除了在結合代數(shù)與非結合代數(shù)領域作出了重要工作之外，他還培養(yǎng)了大批代數(shù)學人才，并力所能及地為數(shù)學工作者創(chuàng)造良好的學習和研究環(huán)境。

五 培養(yǎng)代數(shù)學人才，創(chuàng)造良好科研環(huán)境

1931年，在布利斯的推薦下，阿爾伯特重返母校芝加哥大學。芝加哥大學賦予了阿爾伯特無可比擬的華彩，阿爾伯特也為母校殫精竭慮近40年。他在芝加哥大學擔任了近6年的數(shù)學助理教授，1937年被提升為副教授。鑒于阿爾伯特極高的數(shù)學造詣，1941年他被破格提升為教授。同年，阿爾伯特接替數(shù)學系主任布利斯的職位，擔任了多年的代理主任，直至1958年正式就任。因其貢獻卓越，阿爾伯特當選為1960年的穆爾杰出奉獻教授，這是芝加哥大學授予教師的最高榮譽。1962年，芝加哥大學任命阿爾伯特為物理科學院院長，兼管天文學系、化學系、地球物理科學系、物理和統(tǒng)計系以及數(shù)學系。他在這一職位上忙碌了近9年，貢獻數(shù)不勝數(shù)。除此之外，阿爾伯特還在里約熱內盧、布宜諾斯艾利斯、南加州大學、耶魯大學和加州大學洛杉磯分校等擔任了客座教授。1971年，阿爾伯特卸任物理科學院院長，被芝加哥大學高薪返聘為數(shù)學系全職教師。阿爾伯特培養(yǎng)了澤林斯基、格麗特·弗蘭克(Marguerite Frank，1927— )和默里·格斯滕哈伯(Murray Gerstenhaber，1927— )等30位優(yōu)秀代數(shù)學博士生。

阿爾伯特奉行授課方式上詼諧幽默、教學風格上詳細而有條理、學術上嚴師出高徒、生活上愛生如子的教育理念。在課堂上，有人曾問阿爾伯特：數(shù)學是什么？他隨即在黑板上寫下兩列五位數(shù)，然后用雙手同時將左邊和右邊的列相加。阿爾伯特自小學就會用雙手寫字，阿爾伯特經(jīng)常通過在黑板上快速書寫公式來說明他的演講。他用左手拿著粉筆在黑板的左半部分寫上數(shù)字和公式開頭，然后把粉筆換到右手，一字不差地繼續(xù)書寫。他的教學風格是詳細而有條理的，保羅·薩利(Paul Sally，1933—2013)認為，如果人們有阿爾伯特一門課程的課堂筆記，就掌握了這門課。阿爾伯特在學術研究上致力于消除高等院校中的平庸現(xiàn)象，他認為培養(yǎng)一個一流的科學家將比培養(yǎng)50個平庸的博士更有用。他鼓勵學生獨立思考，對于在論文中遇到阻礙的學生，他采取了一種硬漢的方法，在學生證明某個定理之前，不讓學生打擾他。這是殘酷的，但從長遠來看，獨立解決問題會讓他們成為更好的數(shù)學家，這一點在他的博士生身上得到了驗證。

阿爾伯特是一位父親般的博士生導師。他通過游說資助機構為學生爭取充足的津貼，以及通過自己的影響力幫助學生找到工作等。有一些學生因阿爾伯特的幫助走上人生的坦途。比如女數(shù)學家弗蘭克，1947年她曾在哈佛大學攻讀碩士學位，師從代數(shù)幾何學家奧斯卡·扎里斯基(Oscar Zariski，1899—1986)，但因與導師關系處理不當，數(shù)學生涯一度中斷數(shù)年。1952年她跟隨丈夫前往芝加哥大學，結識了阿爾伯特，開始了她的數(shù)學新生。阿爾伯特和她以前的老師形成了鮮明的對比。阿爾伯特教授給她的印象是平易近人、溫文爾雅、不咄咄逼人，一點也不專制。阿爾伯特給她的論文提出了一個問題：找出他定義的一個非交換代數(shù)的導子代數(shù)。弗蘭克幾周內就解決了她的論文問題。她發(fā)現(xiàn)了一類全新的單李代數(shù)。阿爾伯特對她的發(fā)現(xiàn)印象深刻，1954年將她的論文“一類新的單李代數(shù)”(A New Class of Simple Lie Algebras)發(fā)表在著名的《美國國家科學院院刊》(ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences)上。弗蘭克又進一步發(fā)現(xiàn)了一類無限單李代數(shù)，并與阿爾伯特合作發(fā)表了論文“特征為p的單李代數(shù)”(Simple Lie Algebras of Characteristicp)。阿爾伯特把弗蘭克推薦給阿爾伯特·塔克(Albert Tucker，1905—1995)，讓她加入普林斯頓大學塔克領導的最優(yōu)化小組。再比如，第二次世界大戰(zhàn)期間，阿爾伯特訪問哥倫比亞大學的科學研究發(fā)展局(The Office of Scientific Research and Development)，指導了年輕有為的澤林斯基。1943年，芝加哥大學聘任澤林斯基為講師。1946年在阿爾伯特的指導下獲得了芝加哥大學博士學位，博士論文為“擬四元數(shù)代數(shù)的整數(shù)集”(Integral Sets of Quasiquaternion Algebras)。在阿爾伯特逝世后，澤林斯基為其寫了一篇傳記以作紀念。他說：“阿爾伯特十分熱愛數(shù)學，具有獨特的代數(shù)風格。他對恒等式變換的處理很有天賦，許多數(shù)學家都只見樹木不見森林，并不能完全參透其結構。但阿爾伯特能夠看穿錯綜復雜的符號，準確描述具有多個變量的多項式或復雜代數(shù)的乘法表的內部結構?！薄白鳛閷?，阿爾伯特對待他的博士生像家人一樣?！盵4]

除了在校園里進行研究、授課、指導博士生和在領導崗位任職外，阿爾伯特還兼任了一些社會職務。他是一位強有力的領導者，雅各布森稱他為數(shù)學界的政治家。1950年他任美國國家科學基金會(The National Science Foundation)的數(shù)學預算編制委員會主席。該基金會成立于1950年，主要是為科學項目的發(fā)展提供專項資金。阿爾伯特利用其在國家科學基金會的地位為數(shù)學學科爭取良好的財政基礎，擴大了數(shù)學的影響力，并鼓勵許多初出茅廬的學者加入到數(shù)學研究領域。20世紀50年代，純數(shù)學在美國處于失寵狀態(tài)，阿爾伯特承擔了說服美國政府支持數(shù)學基礎研究的主要責任。在1952年國家科學基金會的一次演講中，阿爾伯特認為數(shù)學是一門核心學科，它必須爭取到應有的支持，但在大多數(shù)美國大學中，找到數(shù)學系的方法是詢問校園中最古老、最破舊的建筑的位置。特別地，他強烈反對國家科學基金會只支持應用數(shù)學而不支持純數(shù)學的觀點。

1952—1955年阿爾伯特任美國國家科學研究委員會(The National Research Council)數(shù)學部主席，在一次會議上，阿爾伯特試圖拒絕擔任美國數(shù)學會數(shù)學科學培訓和研究潛力調查委員會的主席，他本想讓其他人擔任這一職務，但卻被告知，如果他不全權負責，那么美國國家科學基金會不會支持這件事。1955—1957年，阿爾伯特擔任了這一職務，進行了一項關于數(shù)學科學培訓和研究潛力調查的工作，這項調查通常被稱為阿爾伯特調查(Albert Survey)，得出了美國需要更多數(shù)學家的結論[16]。調查期間，他擔任了美國數(shù)學會副主席。

1957年，阿爾伯特任鮑登學院(Bowdoin College)夏季數(shù)學會議主任和劍橋空軍研究項目主任。1958年，他擔任芝加哥大學數(shù)學系主任。任職期間，他力促大學與投資者合作建筑了一座公寓樓供訪客居住，這座樸素的建筑被入住的訪問者們親切地稱為“那個大院”(The Compound)。大院里誕生了許多優(yōu)秀的定理，如沃爾特·費特(Walter Feit，1930—2004)和約翰·湯普森(John Thompson，1932—)1960—1961年間訪問了一年之久，在有限群論中獲得了重大突破，即證明了所有奇數(shù)階群都是可解的。馬歇爾·斯通(Marshall Stone，1903—1989)認為，阿爾伯特是數(shù)學系強有力的領導者，在他的帶領下，數(shù)學系蓬勃發(fā)展，并被美國數(shù)學界公認處于頂尖水平。

1961—1962年阿爾伯特任國防分析所的新通信研究部主任。1964年，當空軍科學研究所以戰(zhàn)爭為由要切斷對純數(shù)學研究的財政支持時，阿爾伯特試圖改變領導者的態(tài)度，直言飛機和導彈的通信和防干擾制導系統(tǒng)從根本上取決于代數(shù)工作。1965年，阿爾伯特在一次演講中向國家科學基金會的科學家們提出了一個更加樂觀的觀點：“在過去的10年里，博士生的數(shù)量大大增長，他們的質量也有了顯著提高。美國現(xiàn)在可以說是培養(yǎng)出了一批年輕人，他們解決了一些長期存在的突出問題。這在一定程度上無疑是由于目前這個職業(yè)的聲望，以及學術和非學術領域對數(shù)學家的需求吸引了一些最優(yōu)秀的年輕人。這也是因為那些進入這個行業(yè)的人不再承受早期存在的經(jīng)濟壓力，他們現(xiàn)在可以全身心投入到研究中去。”([10]，p.252)他的演講達到了預期效果，引起了在場科學家的共鳴，國家科學基金會也因此開始支持純數(shù)學的研究。

在國際層面上，阿爾伯特曾于1971年任國際數(shù)學聯(lián)盟副主席，是當時國際數(shù)學聯(lián)盟中唯一的美國人，這也是一項巨大的榮譽。

六 結語

1972年6月6日阿爾伯特因病與世長辭。但他對后繼數(shù)學家的影響卻不會止步。阿爾伯特廣泛涉獵結合代數(shù)、非結合代數(shù)等領域，并產(chǎn)生了深遠影響。阿爾伯特具有高度個人研究特色，他對數(shù)學有著驚人的洞察力、堅持不懈的毅力和直擊問題核心的能力。美國數(shù)學會邀請雅各布森與其他4位數(shù)學家合作來整理阿爾伯特的工作，他們花費近20年時間完成了這項巨大的工程，1993年出版了《亞伯拉罕·阿德里安·阿爾伯特數(shù)學論文集》(A.AdrianAlbert，CollectedMathematicalPapers)，其中包括阿爾伯特最重要的66篇數(shù)學論文以及4篇回憶錄。他擁有獨特的教育理念，遵循敞開大門的政策，培養(yǎng)學生獨立思考的能力。他是一位父親般的人生導師，培養(yǎng)了弗蘭克、澤林斯基等一批優(yōu)秀數(shù)學家。他亦是一位敢于推動數(shù)學變革的領導者，為數(shù)學爭取到了它應有的社會地位以及財政支持，擴大了數(shù)學學科的影響力，并鼓勵更多初出茅廬的學者加入了數(shù)學領域。他曾在多個國際數(shù)學組織任職，促進了國際間的學術交流。數(shù)學家阿爾伯特多維的人生給世界留下了寶貴的精神財富。一些數(shù)學家正是以他的數(shù)學工作為起點繼續(xù)探索，并取得成果。

致謝衷心感謝中國科學院大學孫小淳教授和匿名審稿人提出的寶貴意見！