李國偉

一 引言

俞大維先生(David Yule，1897年12月2日—1993年7月8日)(1)俞大維在外文藏書里常于中文簽名旁注記yü ta wei。國際上常用的民國人物傳記辭典(Howard L. Boorman ed.，Biographical Dictionary of Republican China Vol IV，New York：Columbia University Press，1971，p.73.)采用此威妥瑪(Wade—Giles)拼音，且未注記傳主本人所使用的David Yule。在俞氏舊藏舒爾茨(Heinrich Scholz，1884—1956)《邏輯小史》(Geschichte der Logik，Berlin：Junker und Dünnhaupt，1931)中簽名為Davi Yui。上引傳記辭典所載俞大維生年是1899，與一般年表不符。1918年10月8日哈佛文理研究院文科學(xué)位或哲學(xué)學(xué)位候選人入學(xué)申請書，俞大維所填寫的生日為1899年1月13日(參見[1])。[1]有兩篇數(shù)理邏輯的著作，一篇是1922年哈佛大學(xué)哲學(xué)系博士論文《抽象蘊(yùn)涵的理論：一種建構(gòu)性的研究》(TheoriesofAbstractImplication：Aconstructivestudy，以下簡稱《蘊(yùn)涵》)(2)感謝臺灣大學(xué)校史館林前館長光美邀稿，與俞大維先生紀(jì)念學(xué)會提供俞大維哈佛博士論文掃描檔案。，此文未公開發(fā)表；另一篇是“論類演算的基礎(chǔ)”(Zur Grundlegung des Klassenkalküls，以下簡稱《類演算》)發(fā)表在1926年6月的《數(shù)學(xué)年刊》(MathematischeAnnalen)，第95卷，第446—452頁(3)本文作者已于2023年2月1日將Zur Grundlegung des Klassenkalküls譯為中文。。這兩篇著作都有特殊的歷史意義：《蘊(yùn)涵》是中國人第一篇數(shù)理邏輯的論文(4)1918年趙元任(1892—1982)的哈佛大學(xué)博士論文《連續(xù)性：方法論之研究》(Continuity：Study in Methodology)，雖然與邏輯相關(guān)，但不應(yīng)歸屬數(shù)理邏輯領(lǐng)域。，《類演算》則是中國人第一篇發(fā)表在聲望卓著的《數(shù)學(xué)年刊》的論文。

對于俞大維在哈佛學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯的學(xué)術(shù)環(huán)境，特別是所謂的哲學(xué)系黃金時(shí)代，高山杉有較為詳盡的敘述[2]。除了從當(dāng)時(shí)哈佛教授們關(guān)心的研究題材，認(rèn)識俞大維學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯受到的影響之外，還有一個(gè)可做為互補(bǔ)的探索方向，就是從前引兩篇論文的內(nèi)容與參考文獻(xiàn)，分析俞大維是在何種知識場景中孕育出研究成果，這正是本文所采取的研究途徑。

二 奠基于數(shù)學(xué)

俞大維自述：“十八歲，我進(jìn)入復(fù)旦大學(xué)預(yù)科(5)入學(xué)年是1914年。，跟王寵惠先生念名學(xué)?！?[3]，頁10)“名學(xué)”是嚴(yán)復(fù)(1854—1921)翻譯logic(邏輯)這門學(xué)問的名稱，他的譯作《穆勒名學(xué)》(1905)與《名學(xué)淺說》(1909)在晚清頗受士林所重視。王寵惠從1912年到1919年暫別政壇，在復(fù)旦公學(xué)教書并兼任中華書局英文編輯部主任。他曾于1915年編校出版《英文名學(xué)》，所依據(jù)的底本是英國邏輯學(xué)家耶方斯(William S. Jevons，1835—1882)所著《邏輯的基礎(chǔ)教程：演繹與歸納》(ElementaryLessonsinLogic：DeductiveandInductive)，原著在1870年出版后成為暢銷的邏輯教科書。不過王寵惠編校時(shí)省略了屬于數(shù)理邏輯的“謂詞的量化”(The Quantification of the Predicate)與“布爾邏輯體系”(Boole’s System of Logic)兩章，它們是“新近邏輯觀點(diǎn)”(Recent Logical Views)部分里僅有的兩章[4]。其實(shí)王國維(1877—1927)早先曾翻譯過此書，以《辨學(xué)》為名于1908年出版[5]。推測俞大維所念名學(xué)應(yīng)不出耶方斯教本所涵蓋的范圍。

俞大維1915年考進(jìn)南洋公學(xué)電機(jī)系，半年后因病休學(xué)在家，并乘機(jī)與從麻省理工畢業(yè)歸國的表哥曾昭權(quán)(1894—1952)一起演算微積分教科書全部習(xí)題(6)所使用教科書為William Anthony Granville. Elements of the Differential and Integral Calculus[M]. Boston：Ginn &Company，1904.，或許因此打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而在日后攻讀博士學(xué)位時(shí)，選擇需要數(shù)學(xué)觀念清晰的數(shù)理邏輯為研究主題。不僅如此，俞大維其實(shí)終生都保持對數(shù)學(xué)的喜愛。在1984年1月18日他寫給女作家陳荔荔的信中還說：“我平生得益的只有一部半書。半部論語教我處事做人的道理，一部幾何原理給我敏銳的邏輯思考和高度的判斷能力?！?7)幾何原理應(yīng)是指歐幾里得的《幾何原本》，或其衍生的教科書。([3]，頁37)1987年4月28日俞大維對來訪的著名華裔數(shù)理邏輯學(xué)家王浩(Hao Wang，1921—1995)說：“數(shù)理邏輯如刀，愈磨愈利，愈磨愈亮；我一生事業(yè)，腦中都有這把無往不利的刀?！盵6]可見他多么重視由數(shù)學(xué)進(jìn)而到數(shù)理邏輯的訓(xùn)練。

俞大維在休學(xué)之后于1917年插班進(jìn)入上海人稱“東方哈佛”的圣約翰大學(xué)三年級就讀，該校雖然沒有以研究邏輯著稱的教師(8)教師名單與專長可參見[7]。，但校長卜舫濟(jì)(Francis L. H. Pott，1864—1947)講授哲學(xué)相當(dāng)精采受到學(xué)生喜愛，俞大維說因卜舫濟(jì)的影響于1918年赴哈佛大學(xué)專攻哲學(xué)([3]，頁37)。

三 博士學(xué)位論文

哈佛大學(xué)檔案館收藏的《蘊(yùn)涵》為紅色硬皮封面，其背后貼有兩枚藏書票，表示屬于哈佛檔案館。之后，便是三位論文審查委員裁判接受的簽名頁(圖1)。首位為指導(dǎo)教授路易士(Clarence I. Lewis，1883—1964)，接著依次是謝佛(Henry M. Sheffer，1883—1964)與伍茲(James H. Woods，1864—1935)，只有前二位是邏輯學(xué)家。

再次為標(biāo)題頁，下方有字跡“August，1921”(9)因?yàn)榇颂幾舟E與論文中多處增添或修補(bǔ)的字跡相似，推測應(yīng)為俞大維手筆。，應(yīng)該是口試通過時(shí)間。本頁背面有“Harvard College Library”戳印，戳印時(shí)間為1922年6月2日(抑或21日？)。戳印下方手書“Deposited”，應(yīng)是收入圖書館的日期，此處字跡與前頁字跡看似出于不同人的手筆。在《路易士的哲學(xué)》一書第149頁注110處，記載《蘊(yùn)涵》完成于1921年[8]。在袁同禮編輯的目錄中，記載這篇未發(fā)表論文完成于1922年(10)參考文獻(xiàn)[9]，p.216所列俞大維(YU TA-WEI)生年為1899，與Howard L. Boorman ed.，Biographical Dictionary of Republican China Vol IV， New York：Columbia University Press，1971.記載相同。([9]，p.216)。因此推斷俞大維是在1921年8月通過口試，而哈佛大學(xué)是在1922年6月正式接受并登錄收藏。

在整本正文之后，附有標(biāo)示著作權(quán)的一頁，所有借閱者須簽名承諾不得侵權(quán)。1931年第一位借閱的人是路易士指導(dǎo)的學(xué)生派瑞(William T. Parry)，他在6月里借閱了三次。在此之后，1943年有三次借閱紀(jì)錄，1956年有一位推測是華人的C. S. Deng借閱過，1957年與1988年各有一次借閱。當(dāng)然參閱過這本論文的人，應(yīng)該不限于外借簽名者，但是大概不會有太多。

《蘊(yùn)涵》是一本文筆上乘的學(xué)術(shù)著作，它的內(nèi)容綱要在簡短的“序言”里交代得很清楚，翻譯如下：

本論文將原需大量篇幅才能充分討論的題材集中到一個(gè)小區(qū)域，范圍僅局限于抽象蘊(yùn)涵的理論。這種理論是運(yùn)用類似數(shù)學(xué)的抽象方法的邏輯理論，與其做對比的是黑格爾學(xué)派及實(shí)用主義學(xué)派，這兩種學(xué)派雖然存在基本立場的差異，但都認(rèn)為邏輯永遠(yuǎn)不可能是純粹形式的。

我們的目標(biāo)是檢討多種抽象蘊(yùn)涵理論的技術(shù)性困難，所采用的方法包括歷史性的以及批判性的。第一章勾勒了五種希臘抽象蘊(yùn)涵理論，顯示出它們與現(xiàn)代理論的密切邏輯關(guān)聯(lián)，令人費(fèi)解的是現(xiàn)代邏輯學(xué)家卻忽視這些理論。第二章研究了現(xiàn)代理論的困難，從而導(dǎo)引我們在第三章建構(gòu)一個(gè)新的蘊(yùn)涵理論。

四 蘊(yùn)涵

從題目便可知《蘊(yùn)涵》研究的核心概念當(dāng)然就是蘊(yùn)涵(implication)，它是命題之間的一種關(guān)系。如果用拉丁字母表示命題，“A蘊(yùn)涵B”就是由命題A與命題B合起來構(gòu)成的新命題，一般也寫做“若A，則B”，稱其為條件句(conditional)，用符號簡記為A→B。命題A與命題B從蘊(yùn)涵關(guān)系中好似得到一種特殊的關(guān)聯(lián)，使得只要A為真便可推導(dǎo)出B為真。沿著這個(gè)思路去研判如何規(guī)定合成命題“若A，則B”的真假值，自然當(dāng)A與B均為真時(shí)會規(guī)定為真，而A為真與B為假時(shí)會規(guī)定為假。但是當(dāng)A為假時(shí)，就缺乏強(qiáng)烈而自然的理由去規(guī)定條件句的真假值了。最簡單也是在數(shù)學(xué)里使用起來最方便的方式，就是當(dāng)A為假時(shí)，不論B是真是假，條件句的真假值一律規(guī)定為真。在如此規(guī)定下的蘊(yùn)涵關(guān)系稱為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵(material implication)。

實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵應(yīng)用到日常語言里，會產(chǎn)生看上去有點(diǎn)別扭的情況，例如：

(1)若臺北在亞洲，則雪是白色的。

(2)若臺北在日本，則雪是白色的。

(3)若臺北在日本，則雪是紅色的。

在實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的規(guī)定下，(1)(2)(3)均為真，但都不像是平日里會說的話，也好像不能從中得到什么額外有用的訊息。以下的例子里符號表示“非”，它使命題的真假值剛好與原命題相反；符號 ∨ 表示“或”，只有在兩個(gè)命題同時(shí)為假時(shí)，用“或”合成的命題才為假，其他情況下都是真。在實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的規(guī)定下，下列三命題均為真：

(4)A→ (B→A)

(若A為真，則任何B可蘊(yùn)涵A。)

(若A為假，則A可蘊(yùn)涵任何B。)

(6)(A→B)∨ (B→A)

(A蘊(yùn)涵B，B蘊(yùn)涵A，兩者之一必為真。)

換句話說：“任何命題蘊(yùn)涵真命題”并且“假命題蘊(yùn)涵任何命題”?！把┦前咨摹笔钦婷}，但是跟臺北在不在日本有什么關(guān)系呢？如何能接受蘊(yùn)涵命題(2)呢？又根據(jù)(6)兩個(gè)根本不相干的命題，必然其中之一會蘊(yùn)涵另一。類似(4)(5)(6)這些令人感覺不滿意的例子，通常稱為“蘊(yùn)涵怪論”，因而引起20世紀(jì)初熱烈討論蘊(yùn)涵的各種意味與作用，這正是《蘊(yùn)涵》所從事的研究的時(shí)代背景。

五 古代蘊(yùn)涵理論

《蘊(yùn)涵》的正文有108頁，共分為三章。第一章《古代關(guān)于抽象蘊(yùn)涵的理論》，共30頁；第二章《當(dāng)代關(guān)于抽象蘊(yùn)涵的理論》，共40頁；第三章《提議的蘊(yùn)涵理論》，共38頁。

《蘊(yùn)涵》在序言里已經(jīng)聲明檢討蘊(yùn)涵理論難點(diǎn)的方法中，有一種是屬于歷史性的回顧。因此第一章《古代關(guān)于抽象蘊(yùn)涵的理論》的長度幾近全文的1/3，所討論的古希臘哲學(xué)家包括：柏拉圖(Plato，公元前428/427—前348/347)、亞里士多德(Aristotle，公元前384—前322)、泰奧弗拉斯托斯(Theophrastus，約公元前371—前287)、歐德莫斯(Eudemus，約公元前350—約前290)。另外也涉及幾位墨伽拉學(xué)派(Megarians)與斯多噶主義(Stoics)的哲人，例如：菲羅(Philo，約公元前4世紀(jì)—前3世紀(jì))(11)為了與其他的菲羅做區(qū)分，此位菲羅也稱為Philo the Logician或Philo of Megara。、迪歐多拉斯(Diodorus，？—約公元前284)、克律西波斯(Chrysippus，公元前280—前206)。最后還包括羅馬哲學(xué)家波愛修斯(Boethius，480—524)，因?yàn)樗麑懙摹都僭O(shè)的三段論法》(DeSyllogismoHypothetico)是關(guān)于希臘假設(shè)論證的最詳盡論述。本章引用文獻(xiàn)甚多，可見俞大維在古希臘哲學(xué)方面有深厚的學(xué)養(yǎng)，對于希臘文與拉丁文應(yīng)該也不陌生。

關(guān)于柏拉圖與亞里士多德在蘊(yùn)涵問題上的貢獻(xiàn)，第一章第27頁上總結(jié)說：“雖然柏拉圖與亞里士多德替后繼者清理了場地，但是他們都沒有體認(rèn)蘊(yùn)涵的問題，更不用說提出明確的理論了?！辈粌H如此，他們還對討論相關(guān)問題的人顯露鄙視的態(tài)度。后來，羅馬政治家與哲人西塞羅(Marcus Tullius Cicero，公元前106—前43)甚至說：“我們現(xiàn)在瞧不起他們，認(rèn)為他們毫無價(jià)值?！痹诠蠢樟宋宸N希臘抽象蘊(yùn)涵理論之后，于第30頁列出一張總結(jié)的對照表。值得注意的是：把菲羅意指“‘A與B’為假”的蘊(yùn)涵類比于羅素(Bertrand Russell，1872—1970)的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵；把迪歐多拉斯意指“‘A與B為不可能’”的蘊(yùn)涵類比于路易士的嚴(yán)格蘊(yùn)涵；把克律西波斯意指“‘B蘊(yùn)涵A’”的蘊(yùn)涵類比于羅素與懷特海(Alfred N. Whitehead，1861—1947)《數(shù)學(xué)原理》(PrincipiaMathematica)的某些命題。由此引起下一章關(guān)于現(xiàn)代蘊(yùn)涵理論的討論。

六 羅素與路易士

《蘊(yùn)涵》第二章《當(dāng)代關(guān)于抽象蘊(yùn)涵的理論》討論到的邏輯學(xué)家包括：(A)羅素(第31—60頁)、(B)路易士(第61—66頁)、(C)摩爾(George E. Moore，1873—1958)(第67—70頁)。此三人中摩爾在哲學(xué)里的貢獻(xiàn)主要在倫理學(xué)而非邏輯，他有關(guān)蘊(yùn)涵的論述影響不大，在《蘊(yùn)涵》中只占4頁。與其對比，有關(guān)羅素思想的討論就占了20頁之多。顯然在哈佛攻讀博士期間，羅素是影響俞大維學(xué)術(shù)發(fā)展的重要人物。

第二章(A)中引用羅素的著作主要有：《數(shù)學(xué)原理(初編)》(ThePrinciplesofMathematics)(12)本文作者暫時(shí)在書名中附加“初編”，是為了與《數(shù)學(xué)原理》有所區(qū)別。與《數(shù)學(xué)原理》第一卷。《數(shù)學(xué)原理(初編)》于1903年出版，是一本替數(shù)學(xué)建立穩(wěn)當(dāng)基礎(chǔ)的創(chuàng)新作品，在第5頁上羅素宣稱：“數(shù)學(xué)的全體就是符號邏輯的這件事實(shí)，可說是我們時(shí)代最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。一旦此事實(shí)得以建立，則數(shù)學(xué)原理所余工作便是分析符號邏輯本身。”一般所謂數(shù)學(xué)哲學(xué)的邏輯主義(logicism)，可說從此流傳于學(xué)界。在羅素之前，首先嘗試用邏輯方法為算術(shù)系統(tǒng)奠定基礎(chǔ)的是弗雷格(Gottlob Frege，1848—1952)，他在1893年出版了《算術(shù)的基本法則》(GrundgesetzederArithmetik)第一卷，1902年當(dāng)他準(zhǔn)備出版第二卷時(shí)，接到羅素的來信，指出他書中的邏輯系統(tǒng)潛藏了矛盾。這個(gè)世稱“羅素悖論”(Russell’s paradox)的著名矛盾，首次在《數(shù)學(xué)原理(初編)》里公開，也刺激了羅素研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

所謂“羅素悖論”的意義可簡述如下：通常把滿足給定描述的物件搜集到一處，便可得到一個(gè)集合。如果考慮的是“自己不屬于自己的集合”這個(gè)描述，那么所有滿足這個(gè)描述的物件如果形成一個(gè)集合，它到底屬不屬于自己呢？如果它屬于自己，則根據(jù)定義它就不屬于自己。但是如果它不屬于自己，還是根據(jù)定義它就應(yīng)該屬于自己。于是它屬于自己的充分且必要的條件是它不屬于自己，矛盾因此而誕生。

《數(shù)學(xué)原理》是20世紀(jì)初最具影響力的邏輯巨著，共分三冊，只有第一冊出現(xiàn)在《蘊(yùn)涵》的參考文獻(xiàn)。《數(shù)學(xué)原理》序言里有交代，羅素原本準(zhǔn)備寫《數(shù)學(xué)原理(初編)》的下冊，可是涵蓋的范圍實(shí)在太廣，感覺一人完成力有未逮，從而尋求他的老師懷特海的合作。懷特海在1890年代潛心撰寫《泛代數(shù)及其應(yīng)用專論》(ATreatiseonUniversalAlgebra，withApplications)(13)此書曾出現(xiàn)在《類演算》的注3中。懷特海原準(zhǔn)備出版上、下兩冊，但因付出太多心力在《數(shù)學(xué)原理》，以致下冊始終未能終卷付梓。，與羅素的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)接近，因此兩人合力投入《數(shù)學(xué)原理》內(nèi)容的研究與著述。懷特海較多致力處理技術(shù)性的細(xì)節(jié)，而羅素更多發(fā)揮在哲學(xué)性的議論。所以兩人對于《數(shù)學(xué)原理》的貢獻(xiàn)應(yīng)無分軒輊，甚至懷特海還列名在羅素之前?！短N(yùn)涵》在第二章討論羅素理論時(shí)大量引用《數(shù)學(xué)原理》，但是都只提羅素一人之名，未曾明示懷特海所付出的貢獻(xiàn)。

《蘊(yùn)涵》引用路易士《符號邏輯通覽》(ASurveyofSymbolicLogic)第5章關(guān)于實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的來源說法，認(rèn)為是從布爾(George Boole，1815—1864)的邏輯代數(shù)經(jīng)皮爾士(Charles S. Peirce，1839—1914)發(fā)展而來。并且修飾哈佛大學(xué)亨廷頓(Edward V. Huntington，1874—1952)的論文《有關(guān)邏輯代數(shù)的幾組獨(dú)立公設(shè)》[10]，來說明實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵背后的二值邏輯。但是現(xiàn)代意義的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵，其實(shí)最早由弗雷格明確闡述。在《數(shù)學(xué)原理》序言里有說：“關(guān)于邏輯分析的所有問題上，我們主要的思想來源都是弗雷格?！敝皇歉ダ赘袷褂靡惶讟O具個(gè)人色彩的符號系統(tǒng)，額外制造了別人理解上的阻礙。不過通過羅素等人的推崇，弗雷格已高居古今最偉大的邏輯學(xué)家之一。《蘊(yùn)涵》在第51頁提到過弗雷格，只是說：“羅素告訴我們他的蘊(yùn)涵與弗雷格的蘊(yùn)涵差別所在，他的只用在命題之間，而弗雷格則用在概念之間?！?/p>

第二章(A)主要討論了羅素關(guān)于蘊(yùn)涵的外延型理論引起的三大難點(diǎn)：(1)實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的二值邏輯；(2)描述理論(theory of descriptions)所涉及的存在性；(3)包含變元的形式蘊(yùn)涵(formal implication)。第二章(B)中路易士所推出的嚴(yán)格蘊(yùn)涵觀念，便是針對羅素的一種修正或改善。

路易士認(rèn)為實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵雖然可以成為自圓其說的系統(tǒng)，但是并沒有正確反映日常推論所遵循的規(guī)律，所以才產(chǎn)生諸如先前提過的(4)(5)(6)等讓人感覺怪異的結(jié)果。他認(rèn)為蘊(yùn)涵其實(shí)是命題涉及內(nèi)涵的一種功能，是意義而非真假值決定命題能蘊(yùn)涵或不能蘊(yùn)涵什么。他把一個(gè)命題P的賦值擴(kuò)充為五種：P為真；P為假；P為不可能；P為可能；P為必然?！稊?shù)學(xué)原理》里的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵P→Q等價(jià)于“非(P且(非Q))”，而路易士的嚴(yán)格蘊(yùn)涵則定義“P嚴(yán)格蘊(yùn)涵Q”為“不可能(P且(非Q))”。第二章(B)指出嚴(yán)格蘊(yùn)涵雖然可以消除實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵的那些令路易士不安的例子，但是它會產(chǎn)生別的看來有些奇怪的結(jié)果。路易士的努力也許不算完善，但是在真假值之外，討論可能、不可能、必然等所謂的模態(tài)(modality)，開啟了數(shù)理邏輯的另外一條發(fā)展道路。時(shí)至今日模態(tài)邏輯(modal logic)，特別是它的模型論(model theory)，在計(jì)算機(jī)理論上產(chǎn)生有意義的應(yīng)用。

七 外延的嚴(yán)格蘊(yùn)涵

《蘊(yùn)涵》第三章《提議的蘊(yùn)涵理論》(第71—108頁)，包括以下小節(jié)：

(1)問題的敘述(第71—72頁)

(2)初步的解說(第73—80頁)

(3)我們系統(tǒng)的基礎(chǔ)概念(第81—85頁)

(4)本定義與其他定義的差異(第86—96頁)

(5)在數(shù)學(xué)里的應(yīng)用(第97—101頁)

(6)技術(shù)性與哲學(xué)性的困難(第102—108頁)

第三章起始處便表示羅素的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵，從常識角度看來怪異，從數(shù)學(xué)角度看來無用。而路易士的消除困難的方法，是采取一種關(guān)于蘊(yùn)涵的內(nèi)涵型理論。但是從純粹數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，外延型的蘊(yùn)涵理論應(yīng)該比內(nèi)涵型更為有用。本章中建立外延型蘊(yùn)涵理論的方法，是從改良所謂的形式蘊(yùn)涵，就是更動羅素關(guān)于描述理論的某些哲學(xué)主張，使得形式蘊(yùn)涵對于變元的非存在值有意義。俞大維認(rèn)為自己建立的蘊(yùn)涵理論是類比路易士嚴(yán)格蘊(yùn)涵理論的外延版本，而且從應(yīng)用以及數(shù)學(xué)的角度來看，比羅素及路易士的定義都更加優(yōu)越。但是他同時(shí)也坦率的指出，自己的系統(tǒng)并非完善無缺。

八 《數(shù)學(xué)年刊》第95卷

《數(shù)學(xué)年刊》創(chuàng)辦于1868年，據(jù)說《類演算》是第一篇東方學(xué)者在該刊發(fā)表的論文([6]，頁21)。經(jīng)查在俞大維之前，《數(shù)學(xué)年刊》曾刊登過兩篇東方學(xué)者的論文，分別是日本東京帝大吉江琢兒的《變分法在雙獨(dú)立變數(shù)偏微分方程的應(yīng)用》[12]以及東北帝大藤原松三郎的《以數(shù)的幾何研究不定二次型的極值型》[13]。1926年第95卷的《數(shù)學(xué)年刊》發(fā)表了40篇論文，絕大多數(shù)的作者在當(dāng)時(shí)便是知名數(shù)學(xué)家，其中頗有人至今仍經(jīng)常出現(xiàn)在教科書中。除了《類演算》之外，還有兩篇涉及數(shù)理邏輯的論文。從1902至1939年擔(dān)任《數(shù)學(xué)年刊》編輯的數(shù)學(xué)泰斗希爾伯特(David Hilbert，1862—1943)發(fā)表了《論無窮》(14)此一重要論文的英譯本收錄于Paul Benacerraf，Hilary Putnam，eds.. Philosophy of Mathematics，Selected Readings，2nd Edition[C]. Cambridge：Cambridge University Press，1983. 183—201. 也可參見https：//math.dartmouth.edu/～matc/Readers/HowManyAngels/Philosophy/Philosophy.html，但都省略有關(guān)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的證明。[14]，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾(L. E. J. Brouwer，1881—1966)發(fā)表了《論直覺數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)II》[15]，它的第I、III部分分別發(fā)表在第93與96卷。這個(gè)階段的布勞威爾，也積極參與了《數(shù)學(xué)年刊》的編輯工作。

希爾伯特在文章中分析了“無窮”這個(gè)看似會引來矛盾的概念，贊揚(yáng)了康托爾(Georg Cantor，1845—1918)因?yàn)樯钊胝J(rèn)識無窮而建立的集合論，最后他認(rèn)為自己證明了關(guān)于無窮的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)(Continuum Hypothesis)(15)康托爾提出的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)宣稱：比自然數(shù)集合的基數(shù)更大的基數(shù)里，最小的是實(shí)數(shù)集合的基數(shù)。此假設(shè)成為1900年希爾伯特提出著名的23條待解問題的第一條。，可惜的是數(shù)學(xué)界最終認(rèn)為他的論證有不可彌補(bǔ)的漏洞。其實(shí)，數(shù)學(xué)界至今也沒能判定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真假。倒是希爾伯特在文中說了一句有名而經(jīng)常被引用的話：“康托爾為我們創(chuàng)造了樂園，沒有人能把我們趕出去。”布勞威爾在他的系列文章中，開展了一套與希爾伯特可說是對立的數(shù)學(xué)哲學(xué)，闡釋所謂的“直覺主義”(intuitionism)的數(shù)學(xué)。他認(rèn)為能替經(jīng)典數(shù)學(xué)“清洗門風(fēng)”，從而保留下可靠的知識。但他使用的基本概念與論證方法，讓一般數(shù)學(xué)家感覺生澀、難懂、非常不習(xí)慣，并沒有得到數(shù)學(xué)界主流的認(rèn)同，也就沒有造成任何重大的數(shù)學(xué)革命。希爾伯特與布勞威爾在數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)上的巨大分歧，導(dǎo)致當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界興起令人矚目的論爭，促使布勞威爾于1928年從《數(shù)學(xué)年刊》的編輯群中除名，而在1935年自立門戶創(chuàng)辦了《數(shù)學(xué)文集》(CompositioMathematica)期刊。

第95卷的《數(shù)學(xué)年刊》有了這兩篇份量極重的論文，做為唯一的第三篇數(shù)理邏輯論文，《類演算》的篇幅簡短許多，討論題材的影響范圍也有限，最特殊的是“引言”一節(jié)里說：“本文僅展示完整研究所涉及的主要概念，細(xì)節(jié)將于短期內(nèi)另行公布。”所以這是一篇研究成果的大綱，而非包含完整證明的論文，事實(shí)上所預(yù)告的細(xì)節(jié)從未正式發(fā)表?！额愌菟恪烦鲎砸晃粬|方數(shù)理邏輯新鮮博士之手，卻能獲取希爾伯特的青睞而刊出，作者理應(yīng)感受到相當(dāng)大的肯定。

九 以“部分包含于”為基礎(chǔ)

《類演算》開宗明義就指出施洛德(Ernst Schr?der，1841—1902)以“完全包含”這種關(guān)系，開創(chuàng)了有關(guān)“類”(德文Klasse，英文class)的演算系統(tǒng)。施洛德在他的邏輯演算的著作里，使用符號代表“類”。如果用文字表述則代表一種思考范圍的概念。哈佛大學(xué)亨廷頓的論文《有關(guān)邏輯代數(shù)的幾組獨(dú)立公設(shè)》在給“類”下注解時(shí)，有如下的描述性定義：

針對提出的某項(xiàng)條件，論域中的每個(gè)物件要么滿足、要么不滿足該條件，那些滿足條件的物件就決定了它們所屬于的類。(如果沒有任何物件滿足該條件，所形成的類就稱為空類。)每個(gè)屬于所形成的類的物件，就稱為一個(gè)元素。

“類”現(xiàn)在通常稱為“集合”(德文Menge，英文set)，如上述就是在給定的論域中，針對某些條件，把滿足條件的元素搜羅在一處，便構(gòu)成一個(gè)“類”。20世紀(jì)初期，為了處理著名的羅素悖論，有一段時(shí)期某些邏輯學(xué)家刻意區(qū)分“類”與“集合”的差別。但是《類演算》并沒有特別涉及無窮類的討論，所以這種區(qū)分并無必要。《類演算》說“我們的系統(tǒng)能用來提供集合論初等部分的基礎(chǔ)”，也可見在以下討論中，使用現(xiàn)在較為習(xí)慣的“集合”語言與運(yùn)算來操作“類”，應(yīng)該沒有違和之處。

施洛德的“完全包含”關(guān)系用集合論的語言來說，集合A完全包含在集合B之內(nèi)(或說集合B完全包含集合A)，就是說A是B的子集合，記做A?B。所以由“?”這個(gè)關(guān)系出發(fā)，施洛德能夠定義或推導(dǎo)出有關(guān)“類”的性質(zhì)。亨廷頓用一組相互獨(dú)立的公設(shè)(也就是說每一條公設(shè)都無法從其他公設(shè)推導(dǎo)出來)，寫出與施洛德類演算等價(jià)的公設(shè)系統(tǒng)。因?yàn)橛泄O(shè)的獨(dú)立性，亨廷頓的系統(tǒng)是精簡的，一條公設(shè)也不能少。它與施洛德的系統(tǒng)會導(dǎo)出同樣的定理，只是表達(dá)的符號或許有不同之處，實(shí)質(zhì)上兩者建立了同樣的類演算系統(tǒng)?！额愌菟恪返淖谥荚谟谩安糠职凇币约啊巴耆懦凇边@兩種關(guān)系，分別建立兩個(gè)類演算的公設(shè)系統(tǒng)，第二個(gè)系統(tǒng)其實(shí)是第一個(gè)系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)，所以實(shí)質(zhì)上論文的研究焦點(diǎn)著重在“部分包含于”這個(gè)關(guān)系，記號是“！”。

既然已經(jīng)有亨廷頓相對精簡的類演算系統(tǒng)，為什么還值得再尋求其他等價(jià)系統(tǒng)呢？這類研究的動機(jī)可能包括以下兩方面：(一)展示類演算內(nèi)在的豐富性；(二)因?yàn)槭钱?dāng)時(shí)流行的研究題材。

對于(一)可以說明如下：某個(gè)數(shù)學(xué)的知識領(lǐng)域，通常會使用若干基本概念，再推導(dǎo)出內(nèi)容豐富、形式多樣的結(jié)論。數(shù)學(xué)家喜好尋找盡量少的起始概念，做為該領(lǐng)域的基礎(chǔ)。選擇不同的出發(fā)點(diǎn)概念以及界定它們性質(zhì)的公設(shè)，會影響到是否方便證明后續(xù)的重要命題。這種選擇性愈多愈顯示該領(lǐng)域的內(nèi)涵非常豐富，可以從面貌差異相當(dāng)大的角度來描述，也給數(shù)學(xué)家挑選自己喜好方式的自由度。

對于(二)可從原注4包含三篇文獻(xiàn)得到佐證。在20世紀(jì)初期尋找各種公設(shè)系統(tǒng)重新界定多類數(shù)學(xué)系統(tǒng)，曾經(jīng)受到許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注。亨廷頓其實(shí)是此中的高手，他所建立的公設(shè)系統(tǒng)包括：群、阿貝爾群、布爾代數(shù)、幾何、實(shí)數(shù)體、復(fù)數(shù)。對于“類”這么基本的概念，而且可廣泛做為一般數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本語言，多一種公設(shè)法刻畫似乎也不為過。

一般而言，當(dāng)對象之間可能有某種關(guān)系R時(shí)，需要檢視是否滿足三種基本性質(zhì)：

(1)自反性(reflexivity)：對于任何對象a而言，aRa；就是自己跟自己有關(guān)系。

(2)對稱性(symmetry)：對于任何對象a與b而言，如果aRb，則bRa；就是a與b有關(guān)系，反過來b與a就有關(guān)系。

(3)遞移性(transitivity，或譯為傳遞性)：對于任何對象a，b，c而言，如果aRb且bRc，則aRc；就是說關(guān)系是可以經(jīng)由中介而遷移下去。

選擇“部分包含于”取代亨廷頓的“完全包含于”，發(fā)生一項(xiàng)明顯的對比：亨廷頓的系統(tǒng)滿足自反性與遞移性，卻不一定滿足對稱性，除非兩類其實(shí)是同樣的一類。建立在“！”的系統(tǒng)恰好只滿足對稱性，而有可能違背自反性與遞移性。違反遞移性的例子唾手可得，違反對稱性的例子只舉出了空類Z(通?？占嫌涀??)。這個(gè)例子提醒純粹從文字上理解“部分包含于”是有曖昧之虞。從文字的直觀看來，如果“完全包含于”當(dāng)然會“部分包含于”。因?yàn)?? ?S對于任何集合S都成立，則 ? ? ?。由此空集合“完全包含于”空集合，是不是就該“部分包含于”空集合呢？從《類演算》第二節(jié)的命題XVII可知，在此系統(tǒng)中兩個(gè)集合會發(fā)生關(guān)系“！”當(dāng)且僅當(dāng)它們的交集不空。因?yàn)?? ∩ ?=?，所以“！”不滿足自反性。這個(gè)現(xiàn)象可理解做空集合沒有元素可包含在空集合之內(nèi)，所以空集合不滿足“部分包含于”空集合之內(nèi)。與空集合做對照，其他非空集合都會滿足自反性。

十 兩組公設(shè)(postulate)系統(tǒng)

《類演算》的第一節(jié)正式引入第一組公設(shè)系統(tǒng)，是一個(gè)不純粹的“形式系統(tǒng)”，就是說系統(tǒng)雖然架構(gòu)在兩個(gè)無定義的符號“K”與“！”之上，但是還需使用系統(tǒng)外的自然語言及邏輯符號來敘述。如果要完全的形式化，整個(gè)系統(tǒng)的建立就會變得非常冗長而不方便解讀，所以才采取這種能夠傳達(dá)形式化精神的半形式化方法。

形式系統(tǒng)的符號按照邏輯規(guī)則進(jìn)行推理，從約定好的公設(shè)導(dǎo)出各種形式化的命題，可說是無意義的符號游戲。當(dāng)然數(shù)學(xué)家的職責(zé)不會是在玩游戲，有意思的形式化系統(tǒng)通常有其自然的解釋，把符號對應(yīng)到日常的數(shù)學(xué)物件，然后希望經(jīng)過解釋的公設(shè)會是真命題。日常的數(shù)學(xué)系統(tǒng)可能潛藏曖昧或混淆的概念與推論，形式化可說是一個(gè)明晰的“肖像”。研究如此干凈的形式系統(tǒng)，有可能深入解析日常數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)。

第一組公設(shè)系統(tǒng)的自然解釋會把K看成某個(gè)做為論域的集合，而每個(gè)變元解釋成K的子集合并且a！b解釋成a∩b≠ ?。第一節(jié)開端就提醒“其實(shí)類演算也可應(yīng)用到有別于類的對象上”，所以形式系統(tǒng)除了自然的解釋外，也可以有別樣的解釋。正是這種自由度，才使得后面證明公設(shè)的相容性與獨(dú)立性變得方便。第一組公設(shè)系統(tǒng)共有五條公設(shè)：公設(shè)0規(guī)定K至少有兩個(gè)相異元素；公設(shè)I斷言從關(guān)系“！”的角度來看，什么時(shí)候K里的兩個(gè)元素會相等；公設(shè)II支持空集合的存在；公設(shè)III保障補(bǔ)元素的存在；公設(shè)IV保障兩元素的“交集”存在。

在第二節(jié)中列出了編號V到XVII的13條重要命題，但只提供一個(gè)完整證明，其他需要讀者自己驗(yàn)證。這些重要命題給出關(guān)系“！”的對稱性、補(bǔ)元素與交集的唯一性、補(bǔ)元素與關(guān)系“！”的交互作用性質(zhì)、補(bǔ)元素與交集的冪等(idempotent)性質(zhì)、以及空類的唯一性。從這些命題已經(jīng)可以看出五條公設(shè)有能力推導(dǎo)出關(guān)于類的初等性質(zhì)。

第三節(jié)要揭示第一組公設(shè)系統(tǒng)的相容性(consistency，或譯為自恰性)，就是說各條公設(shè)之間不可能推導(dǎo)出矛盾。所使用的方法是先找出一個(gè)適當(dāng)?shù)募蟻斫忉孠，然后在其中解釋元素間的關(guān)系“！”，最后宣稱在這種解釋下五條公理都為真。這樣的方式就建立了形式系統(tǒng)所謂的“模型”，而模型的存在保證了原來公設(shè)系統(tǒng)滿足相容性。這是因?yàn)槿绻到y(tǒng)會導(dǎo)出矛盾，也就是會導(dǎo)出某個(gè)命題P以及它的否定命題P，則在模型里會得到P的解釋既要為真又要為假，因而導(dǎo)出矛盾結(jié)果。《類演算》所給的模型里K僅包含8個(gè)元素，再利用圖表展示關(guān)系“！”，驗(yàn)證的細(xì)節(jié)可能因?yàn)槭菣C(jī)械化的呆板步驟而省略。

第四節(jié)專注于揭示第一組公設(shè)系統(tǒng)的獨(dú)立性(independence)，就是說每一條公設(shè)都不能從其他四條公設(shè)推導(dǎo)出來。所使用的方法與前節(jié)相同，針對每一條公設(shè)專門設(shè)計(jì)一個(gè)模型，規(guī)定好K的元素，再利用圖表展示關(guān)系“！”。在此模型的解釋下，除了這條目標(biāo)公設(shè)為假，其他四條都為真，由此可見目標(biāo)公設(shè)無法由其他四條按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)而出。

第五節(jié)引入了第二組公設(shè)系統(tǒng)，使用的是操作關(guān)系“！”的對偶關(guān)系。前面說明過“！”的自然解釋就是a∩b≠ ?，所謂對偶就是用它的否定關(guān)系做為出發(fā)點(diǎn)，而a∩b=? 意思是a與b都“完全排除于”彼此之外。把第一組系統(tǒng)的公設(shè)加以否定性的代換，便得出第二組系統(tǒng)的公設(shè)。兩套系統(tǒng)的所有命題都有相互翻轉(zhuǎn)的一一對應(yīng)。第六節(jié)只用了兩行就交代了第二組公設(shè)系統(tǒng)的相容性與獨(dú)立性，所使用的圖表也正好是前一節(jié)圖表的互補(bǔ)圖表。

第七節(jié)用以表明無論第一或第二組公設(shè)系統(tǒng)，都足以表述類演算。證明的方法是間接法，就是仰仗亨廷頓藉助“完全包含于”關(guān)系已經(jīng)架構(gòu)了類演算，那么在第一組公設(shè)系統(tǒng)與亨廷頓系統(tǒng)之間建立一個(gè)概念對照表，類演算的命題都逐一可在兩系統(tǒng)間相互翻譯，從而證明第一組公設(shè)系統(tǒng)足夠表述類演算。第二組公設(shè)系統(tǒng)可用對偶方式如法炮制。

最終第八節(jié)則引入“部分排除于”的關(guān)系，如此四種關(guān)系“完全包含于”“部分包含于”“完全排除于”“部分排除于”就形成一個(gè)類似而不全然雷同于亞里士多德的邏輯對立方陣。在注腳中特別聲明提出此方陣者是謝佛。其實(shí)亞里士多德的邏輯方陣在20世紀(jì)數(shù)理邏輯開展之初就飽受批評，到現(xiàn)在已經(jīng)不是教科書中必講的題材了。

十一 亨廷頓

俞大維在博士論文中討論羅素實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵理論處，已經(jīng)應(yīng)用了亨廷頓的公設(shè)，《類演算》的寫作仍然依循亨廷頓論文的框架。從建立公設(shè)系統(tǒng)到闡釋系統(tǒng)的相容性與獨(dú)立性，以及使用圖表法達(dá)成任務(wù)，都高度參照亨廷頓的示范?？梢哉f在《類演算》的研究過程中，俞大維受亨廷頓的著作影響最顯著。他在1919—1921兩學(xué)年曾修過亨廷頓的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念》(TheFundamentalConceptsofMathematics)課程[1]。

俞大維的哈佛博士論文歸屬于哲學(xué)系，三位簽署接受論文的教師并不包括頭銜是力學(xué)教授的亨廷頓。亨廷頓在哈佛接受本科與碩士教育，1901年于斯特拉斯堡(Strasbourg)大學(xué)獲得博士學(xué)位后回哈佛任教。他的主要研究工作在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域，但是他在教學(xué)方面卻特別關(guān)注工學(xué)院的數(shù)學(xué)課程，因此在1919年晉升為力學(xué)教授，他保有此職稱直至1941年退休。從納迪斯與丘成桐合寫的哈佛數(shù)學(xué)一百五十年史中[16]，可知在俞大維留學(xué)哈佛的時(shí)代，該校最有影響力的數(shù)學(xué)家是奧斯古德(William Fogg Osgood，1864—1943)、博謝(Maxime Bcher，1867—1918)(16)中國的第一位數(shù)學(xué)博士胡達(dá)(明復(fù)，1891—1927)便是在博謝的指導(dǎo)下于1917年獲得學(xué)位。、伯克霍夫(George D. Birkhoff，1884—1944)，而亨廷頓的名字在書中甚至不曾出現(xiàn)，也許因?yàn)樗辉鴵碛袛?shù)學(xué)教授的頭銜。

亨廷頓是當(dāng)時(shí)一批被后人稱為“美國公設(shè)法理論家”[17]的活躍份子，他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)毓O(shè)化大量的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。亨廷頓在《有關(guān)邏輯代數(shù)的幾組獨(dú)立公設(shè)》起首，扼要而具代表性地說明了這種研究的宗旨：

由萊布尼茲(Gottfried W. Leibniz，1646—1716)、布爾、皮爾士、施洛德以及其他人所發(fā)展的符號邏輯的代數(shù)，依照懷特海的說法是“泛代數(shù)中非數(shù)值類別里的唯一成員”。這種代數(shù)原來只是為處理某些類的邏輯以及命題的邏輯而加以研究，最近卻因成為獨(dú)立的演算才提高重要性。因此從純粹數(shù)學(xué)或抽象的觀點(diǎn)來研究此代數(shù)，便非無謂之舉了。整個(gè)以抽象形式表示的代數(shù)，可以從一組精選的基礎(chǔ)命題，或稱為公設(shè)，逐次發(fā)展開來。公設(shè)相互之間是獨(dú)立的，但是從它們經(jīng)由純粹形式的過程，能夠演繹出此代數(shù)里所有的命題。

換句話說，我們考慮建構(gòu)一個(gè)純粹的演繹理論，而不去管它可能的應(yīng)用。

十二 邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向

傳統(tǒng)邏輯由亞里士多德創(chuàng)立后沿用到19世紀(jì)，幾乎沒有受到嚴(yán)重挑戰(zhàn)。在中世紀(jì)時(shí)期甚至奉為金科玉律，絲毫不得更動。但是到19世紀(jì)這種信念開始松動，因?yàn)閭鹘y(tǒng)邏輯有以下的缺點(diǎn)[11]：

(1)傳統(tǒng)邏輯的討論侷限在主賓式語句，但是日常使用的語句卻遠(yuǎn)超出這個(gè)范圍。

(2)傳統(tǒng)邏輯的推理方式侷限在三段論(syllogism)，規(guī)定只使用三條語句，但是日常的各種推理不會受限于此。

(3)傳統(tǒng)邏輯缺乏關(guān)于量詞(quantifier)的研究，這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)邏輯沒有變元(variable)概念，以致量詞的使用受到極大的限制，特別不方便表達(dá)數(shù)學(xué)的陳述與結(jié)果。

數(shù)理邏輯的興起是對傳統(tǒng)邏輯缺失的重大修正，一般都認(rèn)為肇始于萊布尼茲，他建議使用普遍語言(characteristica universalis)以及推理演算(calculus ratiocinator)。在這種符號簡潔與語言規(guī)則明晰合理的系統(tǒng)中，就可以執(zhí)行計(jì)算而獲得邏輯的分析?？上У氖侨R布尼茲的思想散落在他的著作或通信中，雖然對后世邏輯發(fā)展有影響，但始終沒有集結(jié)成冊以便學(xué)者系統(tǒng)性深入研究。

自亞里士多德之后，將邏輯數(shù)學(xué)化而產(chǎn)生根本革新的是布爾。這位出身平凡純靠自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，在邏輯方面完成一本劃時(shí)代的作品，就是1854年出版的《思想法則的探討》(17)完整書名為《思想法則的探討，并且以其建立邏輯與機(jī)率的數(shù)學(xué)理論》(An Investigation of the Laws of Thought，on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities)。。布爾盡力模仿中學(xué)數(shù)學(xué)的代數(shù)符號系統(tǒng)，使得推理也會像解方程一樣。從而擴(kuò)大了亞里士多德邏輯的范圍。布爾不僅基本上實(shí)現(xiàn)了萊布尼茲的理想，為數(shù)理邏輯開啟了大門，更通過20世紀(jì)香農(nóng)(Claude Shannon，1916—2001)的工作，可用電路具體操作邏輯運(yùn)算，成為日后電腦的硬體架構(gòu)基礎(chǔ)。但是布爾超前的見解，并不容易為人理解與吸收。耶方斯描述當(dāng)時(shí)的情形就說：“布爾博士的擬數(shù)學(xué)方法是如此魔幻與深奧，看來已經(jīng)超越大多學(xué)者的理解，既然無力批評，就只好忽視了?！?[18]，p.6)

傳統(tǒng)上亞里士多德的邏輯歸屬于哲學(xué)領(lǐng)域，布爾的成就把邏輯轉(zhuǎn)化成一門數(shù)學(xué)。在《類演算》注腳中所引用到的邏輯學(xué)家，包括施洛德、皮爾士、萊德—富蘭克林女士(皮爾士的學(xué)生)、懷特海、亨廷頓都是繼續(xù)深化布爾開創(chuàng)的代數(shù)邏輯發(fā)展方向的主要人士。

十三 希爾伯特

康托爾在19世紀(jì)70年代開創(chuàng)的超限數(shù)(trasfinite nunmber)研究，導(dǎo)致集合論的建立，并且逐漸引起對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的論爭，因此促進(jìn)了另一條數(shù)理邏輯發(fā)展的脈絡(luò)。希爾伯特與阿克曼(Wilhelm Ackermann，1896—1962)在《理論邏輯原理》的引言中，簡要勾勒出此種探索的沿革：

符號邏輯還有獨(dú)立于布爾—施洛德的發(fā)展部分，動機(jī)來自數(shù)學(xué)需求精確的基礎(chǔ)以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓O(shè)化處理。弗雷格分別在1879年及1893—1903年出版了《概念文字》(Begriffsschrift)、《算術(shù)基本定律》(GrundgesetzederArithmetik)。皮亞諾(Giuseppe Peano，1858—1932)及其合作者從1894年起出版《數(shù)學(xué)公式》(FormulairedesMathématiques)，準(zhǔn)備將數(shù)學(xué)里所有領(lǐng)域都用邏輯演算表示出來。這條研究路線的高峰出現(xiàn)在懷特海與羅素的《數(shù)學(xué)原理》(1910—1913)。最近希爾伯特在一系列的論文與大學(xué)講義中，應(yīng)用邏輯演算找出一條建構(gòu)數(shù)學(xué)的新途徑，使得有可能辨識所采取的公設(shè)的相容性。這種研究的廣泛總結(jié)首次發(fā)表在希爾伯特與伯奈斯(Paul Bernays，1888—1977)的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(GrundlagenderMathematik，1934—1939)(18)此書是希爾伯特1917到1922年的講義，由學(xué)生阿克曼編輯后出版。。([19]，p.2)

20世紀(jì)初期數(shù)理邏輯的發(fā)展重心，因?yàn)橄柌厣頌槭澜鐢?shù)學(xué)泰斗產(chǎn)生的影響，自然逐漸匯集到他任教的哥廷根大學(xué)(Georg-August-Universit?t G?ttingen)。

俞大維在自述中說拿到哈佛大學(xué)博士之后，于1921至1929年留學(xué)德國的柏林大學(xué)，仍然攻讀德國哲學(xué)及數(shù)學(xué)。在哲學(xué)方面跟隨Dr. Riehl(19)參見[2]，高山杉認(rèn)為應(yīng)是實(shí)在論者李耳(Alois Riehl，1844—1924)。讀康德的《純粹理性批判》。并沒有提及跟隨哪位哲學(xué)教授研習(xí)數(shù)理邏輯，也沒有敘述跟什么人研習(xí)數(shù)學(xué)，以及研習(xí)什么課題。

柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)在19世紀(jì)后半曾經(jīng)輝煌過一個(gè)時(shí)期，但是到了19世紀(jì)末與20世紀(jì)初，在克萊因(Felix Klein，1849—1925)的領(lǐng)導(dǎo)與經(jīng)營下，哥廷根大學(xué)聲譽(yù)逐漸超越柏林大學(xué)。當(dāng)俞大維在1921從哈佛轉(zhuǎn)移到柏林時(shí)，那里的數(shù)學(xué)教授包括：專長在積分方程的施密特(Erhard Schmidt，1876—1959)、專長在群表示論的舒爾(Issai Schur，1875—1941)、專長在函數(shù)論的畢伯巴赫(Ludwig Bieberbach，1886—1982)、以及專長在應(yīng)用數(shù)學(xué)的馮·米塞斯(Richard von Mises，1883—1953)(20)另一位著名的馮·米塞斯是理查的兄長經(jīng)濟(jì)學(xué)家路德維?！ゑT·米塞斯(Ludwig von Mises，1881—1973)。，數(shù)理邏輯并不屬于柏林?jǐn)?shù)學(xué)教授有所貢獻(xiàn)的范圍。俞大維在《類演算》的注5引用過希爾伯特闡述自己思想的論文，可見對于希爾伯特的學(xué)術(shù)成就并無隔閡，然而是什么原因使研習(xí)數(shù)理邏輯的俞大維選擇柏林，而非奔向哥廷根，成為令人好奇的疑問。

十四 孤立的先鋒

20世紀(jì)上半葉，研究數(shù)理邏輯的人幾乎無法避開羅素的影響，俞大維自然不會例外。他最遲在1918年留學(xué)哈佛時(shí)，就接觸到懷特海與羅素的巨著《數(shù)學(xué)原理》。依據(jù)徐義保的研判，趙元任似乎是最早研讀《數(shù)學(xué)原理》的中國人[20]。他于1915至1918年間在哈佛師從謝佛攻讀哲學(xué)，1920年羅素首次訪問中國公開演講時(shí)，雖然是由趙元任擔(dān)任十分稱職的翻譯，不過他并非把數(shù)理邏輯引介入中國的主力。

1920年羅素來華講學(xué)是數(shù)理邏輯傳進(jìn)中國的主要契機(jī)，而在羅素抵華之前，張申府(1893—1986)寫了不少文章宣傳羅素及其學(xué)說，是羅素在中國知名度大漲的因素之一。1914年張申府在北京大學(xué)藏書樓廣泛閱讀架上書籍，因而接觸到羅素的《我們的外界知識》(OurKnowledgeoftheExternalWorld)并且愛不釋手。他在1916至1919年間搜盡羅素出版品研讀，又因?yàn)樗M(jìn)北大哲學(xué)系兩個(gè)月后就轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)系，推測他能相當(dāng)程度理解羅素作品背后的數(shù)學(xué)知識。羅素來華期間與張申府也多所交流，他逐漸成為中國最早最深入研究羅素的專家，就連“羅素”這個(gè)漢譯名也由他首用而延續(xù)至今。張申府因?yàn)槭芰_素的影響，相當(dāng)關(guān)心數(shù)學(xué)與哲學(xué)間的互動。當(dāng)他1922年旅德期間，還不時(shí)抽空去哥廷根向希爾伯特請教。不過張申府在鉆研冰涼理性的數(shù)學(xué)邏輯之際，同時(shí)也是一位熱血的政治與社會活動家。他是中國共產(chǎn)黨的創(chuàng)始人之一，在巴黎及柏林分別介紹周恩來及朱德入黨。正因?yàn)閺埳旮d趣與活動蕪雜，雖然在中國是鼓吹數(shù)理邏輯的先鋒，但是缺乏持久的影響力(21)參見[21]，頁12。該文獻(xiàn)把劉易斯(即路易士)的英文名字錯置為英國邏輯學(xué)家道奇森(Charles L. Dodgson，1832—1898)的筆名路易斯·卡羅(Lewis Carroll)。。在中國傳授數(shù)理邏輯且產(chǎn)生較深遠(yuǎn)影響的首要人物應(yīng)屬金岳霖(1895—1984)。1925年他從歐洲游學(xué)返國，于清華大學(xué)講授邏輯并創(chuàng)辦哲學(xué)系，1936年出版《邏輯》一書推廣羅素的理論[20]。此書在1961年與1978年兩次再版，對于培養(yǎng)中國數(shù)理邏輯學(xué)者產(chǎn)生不容小覷的作用。

俞大維研習(xí)數(shù)理邏輯的時(shí)期約略與趙元任及張申府相當(dāng)，但是他在學(xué)術(shù)創(chuàng)作上明顯超越趙、張二人。他不像張申府那樣讓興趣從數(shù)理邏輯延伸到數(shù)學(xué)哲學(xué)，因此邏輯專門知識雖然以羅素為師，但是并沒有明確呼應(yīng)羅素在數(shù)學(xué)哲學(xué)上的邏輯主義。《類演算》雖然展現(xiàn)了公設(shè)法的風(fēng)格與力量，他也沒有呼應(yīng)希爾伯特在數(shù)學(xué)哲學(xué)上以公設(shè)法為根基的形式主義(formalism)。俞大維在1929年6月返國后，曾任國立中山大學(xué)教授及國立中央研究院歷史語言研究所專任研究員[22]，正是有能力在中國開展數(shù)理邏輯事業(yè)的最佳人選。不過從1930年5月到1932年6月，他再次留學(xué)德國時(shí)，就放棄了純學(xué)術(shù)的學(xué)習(xí)與研究，卻走上投筆從戎報(bào)效國家的道路。俞大維概括自己一生的話是：“前半生打鐵，后半生打仗?！盵23]雖然他終生誦讀不輟，但是早年學(xué)術(shù)生活的軌跡已經(jīng)淡去。于今平心而論，這位“經(jīng)文緯武奇男子，特立獨(dú)行大丈夫”(22)毛子水(1893—1988)于俞大維80大壽時(shí)致贈的對聯(lián)。，在中國數(shù)理邏輯的發(fā)展史上，確實(shí)應(yīng)保有永不該磨滅的先鋒位置。