鄒 偉

(邳州市建設(shè)路小學(xué)， 江蘇 邳州 221300)

康德曾經(jīng)說過，每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進(jìn)[1]。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出要能運用歸納或類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想[2]?？梢婎惐仁侨藗冋J(rèn)識新事物、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的有效途徑，是分析問題、解決問題的重要思維方法。在中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可以把新知識、新問題與學(xué)生已有的相似經(jīng)驗進(jìn)行類比，找到解決問題的方法，實現(xiàn)知識和方法的遷移，進(jìn)而提高解決問題能力。但在實際運用中發(fā)現(xiàn)，由于有些知識之間的相似性比較隱蔽，學(xué)生不易找到兩類知識之間的關(guān)聯(lián)；有時因?qū)W生對目標(biāo)域概念的體驗較少，認(rèn)知不清晰，無法在源域概念與目標(biāo)域概念間建立完全映射；有時先給出類比對象要素之間的對應(yīng)關(guān)系，而忽視學(xué)生類比源的檢索過程，致使學(xué)生類比方法遷移能力發(fā)展滯后，概念認(rèn)知淺層化現(xiàn)象凸顯。把類比思維與隱喻這兩種運行機制相似的思維相結(jié)合，提出基于具身體驗的隱喻類比是對類比思維在實踐中的有益補充，可以給中小學(xué)數(shù)學(xué)類比學(xué)習(xí)一定的啟示。

一、隱喻類比的內(nèi)涵及特點

類比(analogy)一詞源于古希臘語，本義為比例，類比的目的在于指出兩個不同對象或不同領(lǐng)域之間關(guān)系的相似性，具體來說就是，A與B之間的關(guān)系正如C與D之間的關(guān)系[3]。與類比功能相似，隱喻也是在兩類不同的事物(本體和喻體)之間進(jìn)行含蓄地比較以表明相似或類似的關(guān)系，是一種類比思維的語言表現(xiàn)形式[4]。霍利約克(Holyoak)認(rèn)為隱喻是一種特殊的類比，其始源域與目標(biāo)域在語義上的距離非常遠(yuǎn)[5]。由于隱喻和類比都基于概念系統(tǒng)的映射關(guān)系，因此我們在研究問題求解時可以采用“大隱喻觀”的立場，更多地關(guān)注語義距離較遠(yuǎn)的案例，并兼顧語義距離較近的典型類比[6]。據(jù)此提出隱喻類比的概念，隱喻類比是指在對目標(biāo)域概念的多維體驗與整體把握中激發(fā)學(xué)生的具身經(jīng)驗，提取熟悉的源域概念，通過把兩個對象并置映射，尋找相似性，推出它們的其他屬性也相同，從而找到解決問題的方法。顯然，隱喻類比是一種蘊含數(shù)學(xué)創(chuàng)造的高階思維，它具有四大特點：一是具身性，由于隱喻類比既需要激發(fā)已有的具身經(jīng)驗(源域概念)，提取相關(guān)的知識和方法，又需要對新事物有深刻體驗與整體把握，因此具有較強的具身性。二是相似性，隱喻類比是基于事物之間的相似性，這種相似性可能是不同事物或領(lǐng)域之間業(yè)已存在的，通過一種直覺的洞察所把握，也可能是依據(jù)某種明確指向性被創(chuàng)造出來的相似性，使得科學(xué)理論的整體性建構(gòu)和關(guān)聯(lián)成為可能[7]。三是創(chuàng)新性，隱喻類比作為一種思維形式，把概念、知識進(jìn)行創(chuàng)造性聯(lián)結(jié)和解釋，由此及彼進(jìn)行思考、聯(lián)想，可以獲得新穎獨特的思維方式和問題解決方法。四是或然性，由于隱喻類比是一種基于具身經(jīng)驗和體驗的假設(shè)、推測，是一種合情推理，并未得到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)證明，所以結(jié)論不一定為真。

二、隱喻類比的作用

(一)從表層到實質(zhì)：縱向?qū)哟蔚恼J(rèn)知推進(jìn)

知識的表層結(jié)構(gòu)是看得見、摸得著的顯性的經(jīng)驗現(xiàn)象，深層結(jié)構(gòu)則是隱藏在文本中的深刻內(nèi)涵和思想，是在更深層次上反映現(xiàn)象本質(zhì)。人們需要借助隱喻類比實現(xiàn)知識從表層到深層實質(zhì)的認(rèn)知推進(jìn)。比如教學(xué)“用數(shù)對確定位置”，很多教師把教學(xué)重心放在練習(xí)描述位置，用數(shù)對表示給定的點、根據(jù)數(shù)對找對應(yīng)的點上。如果把此知識與中學(xué)的平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行隱喻類比，我們會發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，把現(xiàn)實情境抽象成帶有數(shù)字的網(wǎng)格圖，用數(shù)對確定平面上的點，其實質(zhì)就是對坐標(biāo)幾何的初步學(xué)習(xí)，其價值并不僅僅在于能夠描述位置，更重要的是為以后學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系提供直觀認(rèn)識。由此可見，這部分內(nèi)容的深層實質(zhì)是初步認(rèn)識坐標(biāo)系和有序數(shù)對，重點應(yīng)該是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷選取參照點、在方格紙上標(biāo)注兩個方向的刻度、規(guī)定數(shù)對中兩個數(shù)的順序等過程，體會可以把平面上的點和一對實數(shù)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，從而把空間形式的研究轉(zhuǎn)化為容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究。這樣的系統(tǒng)認(rèn)知可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層到實質(zhì)，實現(xiàn)對概念的深度理解。

(二)從形似到神似：橫向領(lǐng)域的知識轉(zhuǎn)移

(三)從低階到高階：學(xué)科系統(tǒng)的整體建構(gòu)

在隱喻的觀點下，數(shù)學(xué)就是一個由數(shù)學(xué)的概念或意義同數(shù)學(xué)之外的實物或經(jīng)驗之間、數(shù)學(xué)概念或意義之間形成的復(fù)雜的隱喻網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[9]。皮亞杰認(rèn)為，全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而且這種建構(gòu)始終是開放的，可以由更強的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化[10]。而隱喻類比可以幫助學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力和數(shù)學(xué)直覺，以知識間的關(guān)聯(lián)相似性切入，通過與已有屬性相似的數(shù)學(xué)概念、定理、方法的類比，從而解決新問題，并在新知與舊知之間架起橋梁，合縱連橫，形成結(jié)構(gòu)功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展高階思維，實現(xiàn)學(xué)科系統(tǒng)的整體建構(gòu)。比如，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)運算，可以引導(dǎo)學(xué)生運用隱喻類比，進(jìn)行計算方法遷移，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運算都要在相同計數(shù)單位下進(jìn)行，是相同計數(shù)單位的累加或遞減，從而感悟數(shù)的運算的一致性，實現(xiàn)數(shù)與運算的法理融通與整體建構(gòu)。

三、隱喻類比的實施策略

(一)先行組織，搭建隱喻類比橋梁

豐富的具身經(jīng)驗是學(xué)生隱喻類比的源泉，學(xué)生進(jìn)行隱喻類比學(xué)習(xí)的前提是其原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備了同化新知識的適當(dāng)?shù)纳衔桓拍罨蛳嗨聘拍?。面對新問題，學(xué)生與之相關(guān)的具身經(jīng)驗如果沒有及時提取出來，那么相應(yīng)的隱喻類比學(xué)習(xí)就難以順利展開，新知識、新方法就無法與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的類似觀念產(chǎn)生關(guān)聯(lián)及“化學(xué)反應(yīng)”?？梢哉f，學(xué)生個體隱喻類比能力與他經(jīng)驗中的有關(guān)知識的多少及其組織結(jié)構(gòu)有極大的關(guān)系。據(jù)此，教學(xué)中教師要合理組織教材，對要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念、公式的原發(fā)現(xiàn)過程進(jìn)行教學(xué)法加工，于新知學(xué)習(xí)前呈現(xiàn)給學(xué)生一種密切相關(guān)、極具包容的引導(dǎo)性材料，使學(xué)生以此為框架或線索，迅速、準(zhǔn)確地從大腦中檢索、提取與任務(wù)相關(guān)的知識方法，從而在已知與未知間搭建橋梁。

例如教學(xué)“反比例的意義”，可以用正比例學(xué)習(xí)經(jīng)驗作為先行組織者，搭建正反比例意義類比學(xué)習(xí)的橋梁。課始通過“學(xué)習(xí)正比例研究了哪些內(nèi)容？采用了哪些方法？經(jīng)歷了哪幾個步驟”等問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶正比例意義的研究框架和具身學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從正比例的定義、圖像與判定等角度或言語描述，或畫圖表征，或舉例表達(dá)。在此基礎(chǔ)上，引出核心問題“類比正比例的研究，你認(rèn)為可以怎樣研究反比例？”在正、反比例隱喻類比的指引下，學(xué)生運用提取的具身經(jīng)驗和方法，對反比例大膽推測、舉例驗證、畫圖研究，自主類比構(gòu)建出研究反比例的內(nèi)容、方法和步驟。而對正、反比例的定義、圖像與判定的表征與對比，將真正促進(jìn)學(xué)生對新舊知識的深刻理解和相似關(guān)聯(lián)認(rèn)知，并形成一種穩(wěn)定而又有活力的知識結(jié)構(gòu)。

(二)原型啟發(fā)，助力隱喻類比抽象

原型啟發(fā)是指從生活中的事物本質(zhì)特征受到啟發(fā)，產(chǎn)生新的設(shè)想和創(chuàng)意。認(rèn)知心理學(xué)研究表明，小學(xué)階段學(xué)生處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段，初中階段主要是以經(jīng)驗型為主的抽象邏輯思維，而數(shù)學(xué)知識的抽象過程是從事物的相似性開始，在分析事物之間某些相似特點的基礎(chǔ)上，再以它們?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)對事物進(jìn)行分類，從而獲得對一類事物的認(rèn)識。基于中小學(xué)生長于具身經(jīng)驗和直觀思維的認(rèn)知心理特點，教學(xué)中教師應(yīng)重視向?qū)W生提供熟悉的實物原型，引發(fā)隱喻類比和“數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)”，促進(jìn)學(xué)生實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的抽象與概括。

比如，教學(xué)“認(rèn)識射線”。生活中并不存在嚴(yán)格意義上的射線，學(xué)生僅僅依靠想象，很難建立概念的準(zhǔn)確表象。運用學(xué)生熟悉的激光筆發(fā)出的光線進(jìn)行原型啟發(fā)、隱喻類比，則能產(chǎn)生意想不到的效果。先用激光筆向身邊物體上投射一條光線。此時，這條光線可以看作一條線段。線段一端在光源，另一端在物體上。接著，再將激光筆的光線射向無邊無際的天空，引導(dǎo)學(xué)生比較這條光線和之前射出的光線，有什么相同和不同？學(xué)生在具身體驗、啟發(fā)想象中，與線段隱喻類比，感受到這條光線與線段的不同之處：它只有一個端點，是無限長的。學(xué)生畫圖表征時，有的將線段向一端延長到紙的邊緣，直至無法再畫表示；有的在畫出的線段一端點上方用省略號表達(dá)……雖然方法多樣，但其相似性或共同點是不約而同地都在圖中強調(diào)了射線“一個端點、無限長”的特點。這樣射線的概念及特點于“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造”中逐漸抽象出來，在學(xué)生頭腦中建立了清晰、深刻的表象。當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行創(chuàng)造性想象時，往往會從生活中事物原型得到啟發(fā)，從而找到解決問題的方法和途徑。所以教學(xué)中教師要善于尋找與新知教學(xué)有相似聯(lián)系的“生活原型”，引發(fā)學(xué)生隱喻類比，形成一定的經(jīng)驗性認(rèn)知，并加以數(shù)學(xué)抽象，經(jīng)歷簡化的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、反思、創(chuàng)造等高階思維能力。

(三)相似聯(lián)想，提出隱喻類比猜測

隱喻類比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性，這種相似性在很多現(xiàn)象和理論中都存在。能夠發(fā)現(xiàn)兩個或兩個以上研究對象之間的關(guān)聯(lián)或相似，進(jìn)而進(jìn)行直覺聯(lián)想、隱喻類比發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)屬性，對于個體而言，就是一種創(chuàng)造。人們正是由于成功地運用了隱喻類比的思維方法，從具身經(jīng)驗中找到了事物間被隱藏起來的相似性，或者創(chuàng)造相似性，才對客觀事物的認(rèn)識不斷走向深入。中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中存在許多具有內(nèi)在聯(lián)系的知識，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)聯(lián)相似性，有利于引發(fā)隱喻類比，跨過錯綜復(fù)雜的現(xiàn)象和盤根錯節(jié)的關(guān)系，直接領(lǐng)悟到現(xiàn)象的本質(zhì)，從而提出猜想，找到解決問題的“捷徑”，起到化繁為簡、重整知識結(jié)構(gòu)的效果。

例如，要找出一個均勻四面體的重心，這是一道相對復(fù)雜的問題，我們能直覺聯(lián)想到一個平面幾何的相對簡單的題目：找出一個均勻三角形的重心。這兩個問題具有內(nèi)在的相似性：讓四面體的一條高趨于0可以把四面體“壓”成平面圖形三角形。進(jìn)一步地，再設(shè)想讓三角形的一條高趨于0而把三角形“壓”成一條線段，從而把三角形的重心問題直覺類比為線段的重心問題。這時問題化繁為簡，線段的重心就是它的中心。而線段“壘”成的三角形，因為每一條線段的重心都在中心，那么三角形的重心一定在中線上，于是三角形的重心就是三條中線的交點。三角形“壘”成四面體，于是它的重心在頂點與對面三角形重心的連線上，因此四面體的重心就是這些連線的交點。這樣一道復(fù)雜問題通過相似聯(lián)想，直覺猜測，一步步簡化，運用隱喻類比輕松解決。一般來說，數(shù)學(xué)研究的對象越陌生、越抽象，就越需要拿熟悉的東西和經(jīng)驗進(jìn)行隱喻類比，許多在質(zhì)上雖然不同的現(xiàn)象，只要它們符合相似的規(guī)律，運用隱喻類比的方法進(jìn)行研究，可以激發(fā)學(xué)生的直覺猜想、頓悟遷移與數(shù)學(xué)創(chuàng)造，找到一條解決問題的簡捷路徑，提升解決問題的能力。

(四)演繹修正，證實隱喻類比猜想

隱喻類比是依據(jù)兩個對象之間具有屬性相似性，從而推出它們其他屬性也相同的一種合情推理，這種相似性可能是現(xiàn)象的相似，也可能是本質(zhì)的類同；可能是偶然的巧合，也可能是必然的聯(lián)系。正因為此，隱喻類比推出的結(jié)論具有或然性，需要通過演繹證明或者實踐檢驗，進(jìn)一步規(guī)避失誤。在中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運用隱喻類比拓展解決問題思路，運用歸納和演繹推理進(jìn)行證明、檢驗，修正研究思路，這種敏銳直覺與嚴(yán)格推理的巧妙結(jié)合，能夠培養(yǎng)學(xué)生迅速把握事物主要關(guān)系的能力，養(yǎng)成客觀公正而又堅定不移的品格，形成洞察事物本質(zhì)、把握問題全局、明辨是非的高階思維。

例如，學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”，學(xué)生自然會隱喻類比已有長方形的具身經(jīng)驗：長方形的面積=長×寬，把平行四邊形的底當(dāng)成長方形的長，把平行四邊形的鄰邊當(dāng)成長方形的寬，錯誤地類推出平行四邊形面積=底×鄰邊。面對學(xué)生的錯誤思路，教師大可不必失措，可以順著學(xué)生的思路，通過實驗驗證，演繹推理，來糾正探索的方向。引導(dǎo)學(xué)生做平行四邊形框架，動手拉一拉，感受拉的過程中平行四邊形底邊和鄰邊有沒有發(fā)生變化？面積有沒有變化？繼而發(fā)現(xiàn)無論如何拉伸，平行四邊形的底邊和鄰邊的長度不變，底與鄰邊的乘積是一個定值，但面積卻在發(fā)生變化，由此推理出平行四邊形的面積不等于底×鄰邊。接著因勢利導(dǎo)，“平行四邊形的面積到底和什么有關(guān)呢？”讓學(xué)生的思路再出發(fā)，引向通過割、補、拼的方法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，利用長方形的面積公式推出平行四邊形的面積公式。這里運用演繹推理既糾正了錯誤的隱喻類比思路，又重新瞄準(zhǔn)正確方向，尋找到探索解決問題的有效路徑。當(dāng)然，從錯誤中學(xué)習(xí)和不斷修正自己的認(rèn)識正是通往成功的必經(jīng)之路。教學(xué)中我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、演繹推理及反例揭示猜想中的不合理成分，讓學(xué)生充分經(jīng)歷驗證過程，對推理結(jié)論進(jìn)行修正和完善，逐步養(yǎng)成不盲從，不人云亦云的獨立思維，發(fā)揮隱喻類比在數(shù)學(xué)探索過程中的最大價值。

正是由于隱喻類比注重具身經(jīng)驗和多維體驗的結(jié)構(gòu)與特征，使它成為一種在真實數(shù)學(xué)情境中富于創(chuàng)新的方法，在科學(xué)認(rèn)知中起著十分重要的作用。中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生循此繼進(jìn)、隱喻類比，抓住知識間相似性關(guān)聯(lián)，大膽猜想，勇于探索，達(dá)到對數(shù)學(xué)世界準(zhǔn)確、深刻、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，從而發(fā)展指向數(shù)學(xué)創(chuàng)造的高階思維?！?/p>