郝玉良

（閩南理工學院 光電與機電工程學院，福建 泉州 362700）

光子晶體（photonic crystal）是指介電常數(shù)（折射率）在空間呈周期性排列構(gòu)成的晶體結(jié)構(gòu)［1］. 光子晶體的主要特征在于具有帶隙結(jié)構(gòu)，在帶隙中的光波是無法傳播的，主要是結(jié)構(gòu)中沒有任何態(tài)存在［2］. 然而，光子晶體中的光波可以在波導與諧振腔中傳播，尤其是在波導彎曲處能夠?qū)崿F(xiàn)零損耗傳播［3］，基于此在制作光子器件方面得到了廣泛的應用，如光開關(guān)［4］、濾波器［5］、波分復用器［6］等方面. 因此，當下深入研究光子晶體中波導與微腔的耦合是十分必要的. 錢琛江等人通過調(diào)整幾何參數(shù)控制微腔與波導之間的耦合，構(gòu)建了二維平板光電子晶體的開關(guān)［7］. 吳立恒等人通過改變微諧振器中心缺陷柱半徑大小，增加了諧振器與波導之間耦合工作特性［8］. 高永鋒等人通過改變輸出波導和耦合區(qū)結(jié)構(gòu)，設計了高透射率的分束器［9］.

筆者基于時域有限差分法分析光子晶體中線缺陷和點缺陷的性質(zhì)，在改變耦合腔中點缺陷介質(zhì)柱參數(shù)的條件下，通過光子晶體耦合的透過譜，基于二維光子晶體結(jié)構(gòu)的多端濾波器，分析了微腔壁厚、微腔大小、微腔位置、微腔形狀和微腔折射率對耦合效率的影響，并進行了光子晶體濾波器的設計與模擬.

1 時域有限差分法概述

時域有限差分法是由有限差分法發(fā)展出來的直接由麥克斯韋旋度方程組對電磁場進行計算機模擬的數(shù)值分析方法［10］. 麥克斯韋旋度方程為：

其中，E為電場強度，V/m；D為電通量密度，C/m2；H為磁場強度，A/m；B為磁通量密度，Wb/m2；J為電流密度，A/m2；Jm為磁流密度，V/m2. 各向同性線性介質(zhì)中本構(gòu)關(guān)系為［11］：

其中，∈表示介質(zhì)介電系數(shù)，F(xiàn)/m；μ表示磁導系數(shù)，H/m；σ為電導率，S/m；σm為磁導率，Ω/m.σ和σm分別表示介質(zhì)的電損耗和磁損耗. 真空中σ=0，σm=0，以及∈=∈0=8.85×1012F/m，μ=μ0=4π×10-7H/m. 在直角坐標系中，式（1）和式（2）分別寫為式（3）和式（4）.

令f（x，y，z，t）代表E或H在直角坐標系中的某一分量，在時間和空間域中的離散表示為：

2 結(jié)果分析

2.1 光子晶體介質(zhì)柱半徑與晶格常數(shù)的確定

筆者研究的是TM波［12］，光子晶體介質(zhì)為Si（相對介電常數(shù)為11.56），方形格，柱子在空氣中，半徑為0.2a，格子的周期是13×16，晶格常數(shù)為a=516.02 nm. 通過計算光子晶體介質(zhì)柱的半徑分別為1.3a、1.7a、2.0a、2.3a、2.5a、2.7a、3.0a時光子晶體相對帶寬. 利用每個透過譜的帶隙寬度除以中心頻率得到相對帶寬，比較這7組數(shù)據(jù)的相對帶寬，最終得到最大的相對帶寬，此時的半徑r即光子晶體的最佳半徑，結(jié)果如圖1所示. 由圖1可知，當r=2.3a，其帶隙最寬，故r=2.3a是最佳半徑.

圖1 相對帶寬與介質(zhì)柱半徑r關(guān)系圖

2.2 二維光子晶體波導與微腔耦合的關(guān)系

2.2.1 微腔最佳壁厚對耦合效率的影響

為了分析微腔與波導之間的距離（即改變微腔的壁厚）對耦合效率的影響，比較了微腔壁厚為2層和3層時的探測器在x方向和y方向的響應透過譜及其耦合效率（格子的周期是21×27，晶格常數(shù)仍為a=516.02 nm）. 其中實線表示x方向探測器，虛線表示y方向探測器. 耦合效率是指將y方向探測器的最大透過率除以x方向探測器在該點的透過率. 由圖2可知，波導與微腔在波長為1 362 nm處發(fā)生耦合，且耦合效率為9.1%. 當壁厚增加至3層是耦合效率非常低. 所以，微腔壁厚為2層時耦合效率最大，故微腔最佳壁厚為2層.

圖2 微腔壁厚對透過譜圖的影響

2.2.2 微腔大小對耦合效率的影響

改變微腔大小，分別算出微腔兩邊寬度和高度增加0.10a、0.18a、0.30a、0.4a、0.5a時的耦合效率，見圖3.

圖3 微腔大小與耦合效率的關(guān)系圖

圖3 中增加寬度表示微腔左右兩側(cè)向外擴張的距離. 隨著微腔寬度的增加，耦合效率先是增加，當微腔左右寬度增加0.4a時，此時的耦合效率最高，當增加寬度超過0.4a時，耦合效率又開始減小. 故可得：微腔寬度增加0.4a時，此時耦合效率最大為50.8%. 隨著微腔高度的增加，耦合效率出現(xiàn)兩處峰值，高度從0到0.1a時，耦合效率逐漸增大，在0.1a處耦合效率達到最大，當超過0.1a時，耦合效率又開始減小. 從0.2a到0.3a之間，耦合效率又開始增大，在0.3a處耦合效率達到最大值，當超過0.3a后耦合效率開始逐漸減小. 但0.3a處的耦合效率比0.1處耦合效率更大. 故可得：當微腔高度增加0.3a時耦合效率最高為48.8%.

2.2.3 微腔位置對耦合效率的影響

將微腔分別左移1a、2a，再分別右移1a、2a，比較微腔不同位置處的耦合效率. 由圖4可知，當改變微腔位置，使其偏離x方向波導，則耦合效率逐漸降低. 故改變微腔位置不利于提高耦合效率.

圖4 微腔位置與耦合效率關(guān)系圖

2.2.4 微腔形狀對耦合效率的影響

改變微腔形狀，將微腔形狀改為正方形，分別計算邊長為0.05a、0.06a、0.08a 的耦合效率；將微腔形狀改為橢圓形，改變橢圓微腔的半長軸與半短軸長度（長軸是短軸的2倍），長軸分別為0.05a、0.08a、0.1a、0.12a、0.14a、0.16a、0.18a；將微腔形狀改為圓形，分別計算微腔半徑為0.05a、0.08a、0.1a、0.12a、0.15a時的耦合效率，結(jié)果見圖5.

圖5 微腔形狀與耦合效率的關(guān)系圖

由圖5可看出，當微腔改為正方形時耦合效率很低，并隨著正方形微腔邊長的增加耦合效率逐漸減小. 故當微腔為正方形時不利于提高耦合效率. 隨著橢圓微腔半長軸的增加，耦合效率趨勢成鋸齒形變化，但隨著半長軸的增加，每個峰值也在相應的減小. 在橢圓微腔半長軸為0.05a時耦合效率最大為28.5%. 隨著圓形微腔半徑的增加，耦合效率逐漸增加，在0.08a處出現(xiàn)最大值，當半徑超過0.08a時耦合效率逐漸減小. 故在圓形微腔半徑為0.08a時耦合效率最大為46.7%.

2.2.5 微腔折射率對耦合效率的影響

分別計算半徑為2.3a的微腔折射率為1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7時的耦合效率，結(jié)果見圖6. 由圖6可看出，隨著折射率的增加，耦合效率成鋸齒形變化，出現(xiàn)多個峰值，但隨著折射率的增加，耦合效率的峰值逐漸減小. 在折射率為1.2時耦合效率峰值最大. 故可得，微腔折射率為1.2時的耦合效率最大，為30.7%.

圖6 微腔折射率與耦合效率的關(guān)系圖

2.3 光子晶體濾波器的設計與模擬

可見光子晶體點缺陷形成的微腔存在共振頻率，在共振頻率處，微腔和附近的波導耦合最強，波導中頻率在微腔共振頻率附近的光波能量將被加載到微腔里面. 由于微腔可以實現(xiàn)單波長的選擇能力，不同微腔可以通過耦合從而加載不同波長的信號. 故以此為基礎，設計了4個端口的光子晶體濾波器，相應的共振頻率為2.015×1014、2.166×1014、2.045×1014、2.180×1014Hz. 其結(jié)構(gòu)圖與透過譜圖見圖7.

圖7 四端口光子晶體濾波器結(jié)構(gòu)圖與透過譜圖

圖7 （a）中0、1、2、3、4分別對應直波導、圓形微腔、橢圓微腔、增加微腔高度、1.2折射率微腔處的端口. 由圖7（b）可看出波導與微腔分別在頻率為2.015×1014、2.166×1014、2.045×1014、2.180×1014Hz處發(fā)生耦合，實現(xiàn)了單波長的選擇，不同微腔通過耦合從而加載不同波長的信號. 當光波頻率滿足上述共振頻率中任意一個時，光波將從相應端口通過，當光波頻率不在上述共振頻率之列，則將從端口0通過. 當然，光源不同，射出的光的強度也不相同，這與光源的強度及其頻率有關(guān)，但無論其通過的光是強是弱，都實現(xiàn)了濾波的功能.

3 結(jié)語

本文主要使用時域有限差分方法分析了介質(zhì)柱半徑與帶隙的關(guān)系，r=2.3a是光子晶體最佳半徑，此時晶格常數(shù)a=516.02 nm. 微腔最佳壁厚為2層，當壁厚增加至3層是耦合效率非常低；當微腔左右寬度增加0.4a時，此時的耦合效率最高，為50.8%，且可得透射光波長隨微腔寬度的增加而增加. 當微腔高度增加0.3a時耦合效率最高，為48.8%，透射光波長隨微腔高度的增加而增加. 當改變微腔位置，使其錯開x方向波導，則耦合效率逐漸降低. 當微腔改為正方形時耦合效率很低，透射光波長隨正方形邊長增加而增加. 當微腔折射率為1.2時的耦合效率最大，耦合效率為30.7%，透射光的波長隨著微腔折射率的增加而增加.