戴經(jīng)國，彭新東

（韶關(guān)學(xué)院 信息工程學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

作為直覺模糊集［1］的一種有效拓展，由于q階序?qū)δ：?］能通過調(diào)節(jié)參數(shù)q更加靈活地描述客觀世界，因此其受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注.目前，q階序?qū)δ：诒姸囝I(lǐng)域取得了較為豐富的研究成果［3］，諸如拓展模型［4］、整合算子、信息測度、多屬性決策.

q階序?qū)δ：畔y度作為一個整體概念，其包含距離、相似度、熵、包含度和知識度. Pinar等提出了具有可調(diào)節(jié)參數(shù)的q階序?qū)δ：嚯x，并將其應(yīng)用于供應(yīng)鏈選擇［5］. Kham等設(shè)計(jì)了基于余弦與余切的q階序?qū)δ：嗨贫龋?］.Verma構(gòu)建了兩種基于序a形式的q階序?qū)δ：匾源_定客觀權(quán)重，并將其應(yīng)用于ERP軟件選擇［7］. Peng給出了q階序?qū)δ：鹊墓硇远x，探討了7種基本q階序?qū)δ：燃捌潢P(guān)系，并將其應(yīng)用于醫(yī)療診斷［8］. Khan等人分析了知識度的定義，引出了q階序?qū)δ：R度［9］.

現(xiàn)有文獻(xiàn)［5］僅針對距離、相似度、熵和包含度建立了統(tǒng)一的轉(zhuǎn)換框架，并沒有將知識度納入，極大地限制了q階序?qū)δ：畔y度的統(tǒng)一范圍.此外，現(xiàn)存有關(guān)q階序?qū)δ：畔y度諸如相似度、距離存在違反公理［8-12］、不能有效比較［13］等不合理現(xiàn)象，進(jìn)一步削弱了其使用場景.筆者通過定義新的q階序?qū)δ：畔y度公式，融入知識度，構(gòu)建全面的q階序?qū)δ：畔y度轉(zhuǎn)換公式解決信息測度不全問題.

1 基本概念

1.1 q階序?qū)δ：?/p>

定義 1 設(shè)X為給定的論域，則稱：

為X上的q階序?qū)δ：?］.其中，μQ（x）與vQ（ x）分別表示X上元素x屬于Q的隸屬度與非隸屬度，并且滿足0≤μQ（x），vQ（x）≤1，0≤μqQ（x）+vqQ（x）≤1.此外，為X上元素x屬于Q的猶豫度.為表述方便，稱=（μ，v）為q階序?qū)δ：龜?shù).當(dāng)所有的為（1，0），則記為Ψ；當(dāng)所有的為（1，0），則記為Q.

定義2 對任意2個定義在X上的q階序?qū)δ：疩1和Q2，則：

（1）Q13Q2+6x∈X，μ1（x）≤μ2（x）和v1（x）≥v2（x）；

（2）Q1=Q2+Q13Q2和Q14Q2［2］.

定義 3設(shè)Q1和Q2為2個q階序?qū)δ：?，且k＞0，則有定義：

（1）Q1c=｛〈x，v1（x），μ1（x）〉| x∈X｝；

（2）Q1,Q2=｛〈x，μ1（x）0μ2（x），v1（x）/v2（x）〉| x∈X｝；

（3）Q1+Q2=｛〈x，μ1（x）/μ2（x），v1（x）0v2（x）〉| x∈X｝；

2 新的q階序?qū)δ：畔y度

定義了q階序?qū)δ：h(huán)境下的信息測度，其包含距離、相似度、熵、包度和知識度，并且討論了它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.為此，假設(shè)q-ROFS（X）是定義在論域X上的一系列q階序?qū)δ：?

2.1 q階序?qū)δ：嚯x

引理1設(shè)（mtnmnt-mt+1-nt+1+xty+xyt-xt+1-yt+1） （x，y，x+y∈［0，1］，t≥1）是 一 個 當(dāng)m≤x≤1，y≤n，y≤x和0≤x≤m，y≥n，y≥x時，分 別 相 對 于x，y的單調(diào)遞增函數(shù)；也是一個當(dāng)0≤x≤m，y≥n，y≥x和m≤x≤1，y≤n，y≤x時，分于x，y的單調(diào)遞減 函數(shù)［15］.

定理 1設(shè)Q1和Q2為兩個在論域X上的q階序?qū)δ：?，則D（Q1，Q2）是一個距離，即：

證 易證距離D（Q1，Q2）滿足定義中的（D1）~（D4），故只證明（D5）.

若Q13Q23Q3，則對任意的x∈X有μ1（x）≤μ2（x）≤μ3（x）和v1（x）≥ν2（x）≥ν3（x）.

設(shè)m=μ1（x），n=v1（x）和序?qū)Γé?（x），v2（x）），（μ3（x），v3（x））滿足m=μ1（x）≤μ2（x）≤μ3（x）和v3（x）≤v2（x）≤v1（x）=n.

通過引理1中f（x，y）的單調(diào)性定義，可得出f（μ3（x），v3（x））≤f（μ2（x），v3（x））≤f（μ2（x），v2（x））.

進(jìn)而可得：

因此，D（Q1，Q3）≥D（Q1，Q2）；類似地，可得D（Q1，Q3）≥D（Q2，Q3）.證畢.

命題1 設(shè)Q1，Q2和Q3為3個在論域X上的q階序?qū)δ：?，滿足對任意的x∈X有Q1Q2或Q1Q2，則：

2.2 q階序?qū)δ：嗨贫?/h3>

定理2 設(shè)Q1和Q2為兩個在論域X上的q階序?qū)δ：?，則S（Q1，Q2）是一個距離，即：

2.3 q階序?qū)δ：?/h3>

定理3 設(shè)Q為論域X上的q階序?qū)δ：?，則E（Q）是一個熵，即：

證 易證E（Q）滿足定義中的（E1）~（E4），故只證明（E5）.

為證明E（Q）滿足（E5），只需證明函數(shù)（5）成立，即：

其中a，b∈［0，1］.當(dāng)a≥b時，相對于a來說是單調(diào)遞增函數(shù)，相對于b來說是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)a≤b時，相對于a來說是單調(diào)遞減函數(shù)，相對于b來說是單調(diào)遞增函數(shù).

對函數(shù)f中的a，b分別取偏導(dǎo)可得：

根據(jù)方程（6）到（8）可得，對于任意的a，b∈［0，1］，當(dāng)a≤b時當(dāng)a≥b時，

類似地，對于任意的a，b∈［0，1］，當(dāng)a≤b時當(dāng)a≥b時

此外，E（Q）能重寫為

進(jìn) 而，對μ1（x）≤μ2（x）≤ν2（x）≤ν1（x），可 導(dǎo) 出 對 任 意 的x∈X有f（μ1q（x），v1q（x））≤f（μ2q（x），））≤f（μ2q（x），v2q（x））.很明顯，E（Q1）≤E（Q2）.

類似地，當(dāng)v1（x）≤v2（x）≤μ2（x）≤μ1（x）時，E（Q1）≤E（Q2）.證畢.

命題2 設(shè)Q1和Q2為兩個在論域X上的q階序?qū)δ：?，滿足對任意的x∈X有Q13Q2或Q14Q2，則：

2.4 q階序?qū)δ：R度

定理 4 設(shè)Q為論域X上的q階序?qū)δ：?，則K（Q）是一個知識度，即：

證 易證K（Q）滿足定義中的（K1）~（K4），故只證明（K5）.而證明其成立，只需證明函數(shù)（10）成立，即：

其中a，b∈［0，1］，0≤aq+bq≤1.當(dāng)a≥b時，相對于a來說是單調(diào)遞增函數(shù)，相對于b來說是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)a≤b時，相對于a來說是單調(diào)遞減函數(shù)，相對于b來說是單調(diào)遞增函數(shù).

若a≤b和a，b∈［0，1］，0≤aq+bq≤1，則0≤a≤

進(jìn)而，函數(shù)（10）可重寫為f（a，b）=1-（1+aq-bq）（2-aq-bq）.

對函數(shù)f中的a，b分別取偏導(dǎo)可得和故當(dāng)a≤b時，相對于a來說是單調(diào)遞減函數(shù)，相對于b來說是單調(diào)遞增函數(shù).

類似地，當(dāng)a≥b時，相對于a來說是單調(diào)遞增函數(shù)，相對于b來說是單調(diào)遞減函數(shù).

此外，將K（Q）重寫為

進(jìn)而，對μ1（x）≤μ2（x）≤ν2（x）≤ν1（x），可導(dǎo)出對任意的x∈X有f（μ1（x），v1（x））≥f（μ2（x），v1（x））≥f（μ2（x），v2（x））.易知，K（Q1）≥K（Q2）成立.

類似地，當(dāng)v1（x）≤v2（x）≤μ2（x）≤μ1（x）時，K（Q1）≥K（Q2）.證畢.

2.5 q階序?qū)δ：?/h3>

定理 5 設(shè)Q1和Q2論域X上的q階序?qū)δ：瑒tI（Q1，Q2）是一個包含度，則：

證 易證I（Q1，Q2）滿足定義中的（I1）~（I3），故只證明（I4）.

如果Q1=Q2=ψ，結(jié)論很明顯.

如果Q1≠ψ，Q2≠ψ，Q13Q23Q3，則對任意的x∈X有μ1（x）≤μ2（x）≤μ3（x）和v1（x）≥ν2（x）≥ν3（x）.

進(jìn)而可得，1+v22（x）-μ22（x）≤1+v32（x）-μ32（x）.

根據(jù)包含度的公式可得，I（Q2，Q1）≥I（Q3，Q1）.證畢.

命題 3 設(shè)Q1和Q2為兩個在論域X上的q階序?qū)δ：?，則：

2.6 q階序?qū)δ：畔y度轉(zhuǎn)換框架

根據(jù)上述討論，發(fā)現(xiàn)信息測度的函數(shù)，包括距離、相似度、熵、包含度和知識度并沒有統(tǒng)一. 因此，下面將詳細(xì)地探討q階模糊信息測度的關(guān)系.

定理 6 設(shè)D是一個q階序?qū)δ：嚯x，對任意的Q∈q-ROFS（X），若f是一個在［0，1］上的單調(diào)函數(shù)，則是q階序?qū)δ：疩的熵.

證 僅需證明其滿足熵的5條公理成立.

易證E（Q）滿足定義中的（E1）~（E4），故只證明（E5）.

如果Q1比Q2比模糊性少，定義成Q13Q2，則μ1（x）≤μ2（x）≤ν2（x）≤ν1（x）.

進(jìn)而，根據(jù)距離的公理性定義，可得D（Q1，Q1c）≥D（Q2，Q1c）≥D（Q2，Q2c）.

類似地，當(dāng)v1（x）≤v2（x）≤μ2（x）≤μ1（x）時，D（Q1，Q1c）≥D（Q2，Q1c）≥D（Q2，Q2c）.

定理 7 設(shè)S是一個q階序?qū)δ：嗨贫?，對任意的Q∈q-ROFS（X），則S（μ，v）是q階序?qū)δ：疩的熵，其中-μ，1-v.

證 僅需證明其滿足熵的5條公理成立.

易證E（Q）滿足定義中的（E1）~（E4），故只證明（E5）.

由于Q1模糊性比Q2少，對任意的μ1（x）≤μ2（x）≤ν2（x）≤ν1（x），則對任意的μ1（x）≥μ2（x）≥ν2（x）≥ν1（x），則

定理 8 設(shè)I是一個q階序?qū)δ：?，則S（Q1，Q2）=I（Q1，Q2）/I（Q2，Q1）是q階序?qū)δ：嗨贫?

定理 9 設(shè)K是一個q階序?qū)δ：R度，則E（Q）=1-K（Q）是q階序?qū)δ：?

同理可證定理8、9，筆者不再贅述.

3 結(jié)語

q階序?qū)δ：畔y度是不確定領(lǐng)域研究的一個重要課題，能夠有效地解決醫(yī)療診斷問題.筆者針對q階序?qū)δ：嚯x、相似度、熵、包含度和知識度尚未建立統(tǒng)一的轉(zhuǎn)換框架，構(gòu)建了五位一體的轉(zhuǎn)換模式.此外，定義了q階序?qū)δ：畔y度的5類計(jì)算公式，并構(gòu)造了基于q階序?qū)δ：阕拥牡仁脚c不等式關(guān)系，豐富了不等式理論.在以后的研究中，希望可以將提出的q階序?qū)δ：畔y度理論應(yīng)用于醫(yī)療診斷中，或者把更多的具有測度諸如聯(lián)系度，納入到q階序?qū)δ：畔y度.