高麗娟，李海龍

（北京市昌平區(qū)教師進修學校）

一、問題的提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）指出：課程目標的確定，要立足學生核心素養(yǎng)發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學課程育人價值.“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”是數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)之一，而數(shù)學眼光主要表現(xiàn)為抽象能力.《標準》在教學建議中指出：教學目標的確定要充分考慮核心素養(yǎng)在數(shù)學教學中的達成.因此，教師應該樹立以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為導向的課程觀，體現(xiàn)數(shù)學教育的價值.如何在教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)，一直是教師的困惑.本文就在銳角三角函數(shù)概念的教學過程中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，進而發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)進行了一些實踐和探索.

二、對數(shù)學抽象能力的理解

1.數(shù)學抽象

數(shù)學抽象是數(shù)學中最基本的思維方式.數(shù)學抽象的一個重要表現(xiàn)是數(shù)學概念和規(guī)則的獲得.按照抽象的程度不同，史寧中教授認為可以把數(shù)學抽象分為簡約階段、符號階段、普適階段.徐利治教授認為，數(shù)學研究中的抽象思維過程基本上經(jīng)歷了四個階段，分別為研究數(shù)學現(xiàn)象、分析數(shù)學屬性、確定本質屬性、概念不斷純化.對數(shù)學命題和模型的抽象不僅需要關注抽象的結果，還需要關注數(shù)學抽象的過程.一般地，學生經(jīng)歷完整的數(shù)學命題和模型的抽象過程，需要這樣的路徑：從“辨別”到“抽象”為簡約階段，這個階段主要是抽離事物本質；從“概括”到“形式”為符號階段，這個階段主要是完成符號表達；從“系統(tǒng)”到“運用”為普適階段，這個階段主要是形成理論，并將其運用到具體的情境中.

2.抽象能力

抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念、性質、法則和方法的能力.能夠從實際情境或跨學科的問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關系，并能夠用數(shù)學符號予以表達；能夠從具體的問題解決中概括出一般結論，形成數(shù)學的方法與策略.

3.數(shù)學概念教學中的抽象能力

數(shù)學概念教學中的抽象能力，是指在數(shù)學概念的學習過程中，通過現(xiàn)實世界中數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念的能力，并能夠用數(shù)學符號予以表達，感悟用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界的意義.

本文試圖基于以上對數(shù)學抽象的過程與方法的劃分，以銳角三角函數(shù)的概念教學為例，嘗試對初中數(shù)學概念教學中抽象能力的培養(yǎng)進行探索，以期獲得一些啟發(fā).

三、基于數(shù)學抽象能力培養(yǎng)的銳角三角函數(shù)概念教學活動設計

1.單元內容分析

（1）內容理解.

銳角三角函數(shù)屬于圖形與幾何領域，安排在圖形的相似內容中，突出了對圖形的定量研究.初中階段研究的銳角三角函數(shù)與高中階段的三角函數(shù)不同.初中階段的銳角三角函數(shù)是解直角三角形的基礎，通過研究直角三角形中的銳角三角函數(shù)獲得兩條邊的比值與銳角的大小及關系.而高中階段的任意角三角函數(shù)屬于嚴格意義上的函數(shù)，并以周期性為典型特征，進一步研究它的圖象及性質.本單元內容的研究對象是銳角三角函數(shù)，其研究過程是在已經(jīng)研究過直角三角形中特殊的邊角關系的基礎上，以相似三角形為依據(jù)，對直角三角形中一般的邊角關系進行量化研究，進一步抽象得到銳角三角函數(shù)的概念.銳角三角函數(shù)是對直角三角形的邊角關系的進一步研究，其主要研究內容如圖1所示.

圖1

（2）上下位關系.

本單元中的銳角三角函數(shù)主要研究的是直角三角形中銳角與邊之間的關系，是解直角三角形的工具.前面學生已經(jīng)研究了三角形的定義、邊的關系和角的關系，以及兩個三角形之間的全等關系和相似關系.全等可以看作相似比為1的特殊情況，相似也可以看作全等的推廣.特例圖形的研究很重要，研究了等腰三角形和直角三角形后，在直角三角形中的三邊關系、兩個銳角之間關系的基礎上，進一步研究其邊角關系.通過本單元的學習，一方面，使學生掌握直角三角形的邊角關系；另一方面，也為學生在高中階段學習任意角三角函數(shù)等知識做鋪墊.

（3）蘊含的數(shù)學思想和方法.

由從特殊角與邊的關系產(chǎn)生猜想到經(jīng)歷歸納與演繹獲得結論，根據(jù)以往學習函數(shù)的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)兩個變量間存在函數(shù)關系，進而發(fā)現(xiàn)引出正弦概念的必要性，在此過程中體現(xiàn)了從特殊到一般思想和函數(shù)思想.銳角三角函數(shù)概念的學習是從實際問題引入，從中抽象出數(shù)學問題，通過對一系列特殊數(shù)學問題的探究歸納出一般結論，并抽象出銳角三角函數(shù)概念，然后用新概念解決數(shù)學問題，最后回歸到實際問題.在這一過程中，能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，使學生進一步體驗數(shù)學模型思想.通過特殊角的三角函數(shù)值和利用計算器求非特殊角的函數(shù)值，已知銳角三角函數(shù)值求銳角度數(shù)，使學生體會對應思想.本章的內容與圖形有著密切的聯(lián)系，所以數(shù)形結合思想貫穿始終.

（4）育人價值.

本單元內容的探究以實際問題貫穿始終，以大量典型、具體、實際的例子獲得猜想和結論，發(fā)展學生的抽象能力和概括能力.通過實際問題建立函數(shù)模型，并用數(shù)學模型解決實際問題，整個過程發(fā)展了學生的歸納推理能力、演繹推理能力及模型思想，課堂中通過不斷讓學生將文字語言轉化為符號語言，培養(yǎng)學生的符號意識，通過邊角關系的相互轉化，培養(yǎng)學生的運算能力.

（5）單元內容及教學目標.

本單元主要研究銳角三角函數(shù)的概念及三角函數(shù)值的運算.課時安排如下.

第1課時：正弦的概念.

第2課時：余弦和正切的概念.

第3課時：利用計算器求非特殊角的三角函數(shù)值；已知特殊的銳角三角函數(shù)值求銳角的度數(shù).

第4課時：銳角三角函數(shù)的應用.

單元教學目標：①經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)學問題的過程，探究發(fā)現(xiàn)“在直角三角形中，一個銳角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比都是一個定值”，借助相似直角三角形的判定與性質，探索并認識銳角三角函數(shù)，知道30°，45°，60°角對應的三角函數(shù)值，提高抽象能力.

②通過用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值，以及由特殊的三角函數(shù)值求與它對應的銳角的過程，進一步理解銳角三角函數(shù)的概念，并體會銳角與三角函數(shù)值之間的對應關系.

③經(jīng)歷用銳角三角函數(shù)解直角三角形和解決簡單的實際問題的過程，體會銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的作用，滲透數(shù)學模型思想.

2.學情分析

（1）具備的基礎.

九年級學生已經(jīng)具備直角三角形的邊的關系（勾股定理）、角的關系（互余）、全等三角形、相似三角形、函數(shù)概念、一次函數(shù)和二次函數(shù)等知識基礎.通過課前測試了解到，學生對于“直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊一半”結論的應用，正確率為84.6%；對于勾股定理的應用，正確率為80.1%；對于相似的性質和判定的應用，正確率為73.0%.對于九年級學生而言，他們可以通過觀察、實驗、操作、猜想、驗證與證明獲得結論的成立，經(jīng)歷過從特殊到一般的學習過程，具備歸納和演繹推理的能力，這些是學習本單元知識的基礎.

（2）教學問題診斷分析.

①學生對于直角三角形中的邊和邊的關系，以及角和角的關系比較清楚，但是從認知角度快速建立起邊和角的關系還比較困難.教學過程中從學生熟悉的邊角結論入手，幫助學生突破已有認知結構的盲點，克服認知障礙.

②學生對于三種數(shù)學語言的轉化能力和概括總結能力有所欠缺.教學中及時引導并鼓勵學生采用小組合作學習的方式進行交流總結.

③學生對正弦概念的得出比較困惑.教學中，采用對比以往學習過的函數(shù)特征的方式，引入用含有幾個字母的符號sin A表示函數(shù)，使學生認識到知識的產(chǎn)生源于數(shù)學內部的需要.

因此，銳角三角函數(shù)概念的獲得是本單元的教學難點.

3.“正弦的概念”的教學設計

（1）課時教學目標.

①在直角三角形中，認識銳角的正弦，并初步體會概念的合理性，理解sin A的意義，會求銳角的正弦值.

②經(jīng)歷在直角三角形中探究邊與角關系的過程，發(fā)現(xiàn)當銳角的大小確定時，其對邊與斜邊的比值是固定的，進而抽象出正弦的概念，體會從特殊到一般的研究方法，發(fā)展學生的抽象能力.

③通過銳角的正弦的探究過程，感受數(shù)學學科的嚴謹性，體會獲得成功的喜悅.

（2）教學重點與難點.

教學重點：直角三角形中的正弦概念的獲得及理解.

教學難點：研究正弦概念的基本思路，正弦概念的合理性.

（3）教學過程設計.

環(huán)節(jié)1：回顧體系，確定路徑.

教師引導學生回顧三角形的研究內容，總結出如圖2所示的框架體系.

圖2

【設計意圖】通過梳理已學過的三角形的內容，從知識體系上理解本節(jié)課的內容在三角形體系中的地位，體會研究問題的合理性，感受研究數(shù)學問題的路徑.

環(huán)節(jié)2：設置情境，認識特征.

問題1：如圖3，小莉和同學一起去戶外放風箏，風箏線某一時刻是直的且與水平方向所成的角為30°，如果此時放出風箏線的長度為100米，那么風箏和小莉右手的高度差是多少？

圖3

將問題1用符號語言表達為：如圖4，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB的長為100米，求BC的長.

圖4

追問1：當AB的長分別為120米、140米、a米時，BC的長分別為多少？

追問2：你判斷的依據(jù)是什么？

追問3：通過問題1，你能發(fā)現(xiàn)30°角的對邊與斜邊之間有怎樣的數(shù)量關系？你可以用一個式子表示嗎？這個結論對于任意一個含30°角的直角三角形都成立嗎？

教師把30°角和其對邊與斜邊的比值填入表1中，并引導學生發(fā)現(xiàn)角和邊的比對解決問題1起到了重要的作用，從而有必要去研究一下角和邊的比（對邊與斜邊）的關系.

表1

問題2：在直角三角形中，如果這個銳角不是30°，其對邊與斜邊的比值還是嗎？你還想研究哪些角的對邊與斜邊的比？你能得出什么結論？

師生活動：教師引出問題，學生小組合作、分組討論，共同完成探究過程，并交流展示.

有學生想到研究45°角，研究過程如下.

如圖5，在Rt△ABC 中，∠C=90°，

圖5

因為∠A=45°，

所以Rt△ABC是等腰直角三角形.

所以AB2=AC2+BC2=2BC2.

有學生想到研究60°角，研究過程如下.

如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，

圖6

因為∠A=60°，所以∠B=30°.

并把結果填入表2.

表2

【設計意圖】環(huán)節(jié)2對應數(shù)學抽象過程中最初的“辨別”和“分化”兩個步驟.學生通過將一個實際問題抽象為數(shù)學問題，依據(jù)已有經(jīng)驗獲得直角三角形中30°角和其對邊與斜邊比的關系，使研究邊角關系的方向更加明確，為后續(xù)探究角與邊比關系奠定基礎.通過問題2，強化學生對“對邊與斜邊的比”的關注，研究45°角和60°角的邊比關系，分別根據(jù)勾股定理和30°角的邊比，得到45°角和60°角的對邊與斜邊的比值，讓學生進一步感知“角固定，邊的比值也固定”.

環(huán)節(jié)3：對比分析，總結共性.

問題3：觀察表2，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動：學生觀察表2，進一步交流、思考，很容易發(fā)現(xiàn)，在Rt△ABC中，當銳角A的度數(shù)為特殊角30°，45°，60°時，無論這個直角三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個定值.并進一步猜想，當∠A不是特殊角時，結論也成立.

問題4：在Rt△ABC中，∠C=90°，當∠A不是一個特殊角，∠A的度數(shù)只要確定，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值，這個猜想對嗎？我們可以借助幾何畫板軟件驗證一下.

師生活動：教師借助幾何畫板軟件演示（如圖7、圖8），使學生直觀感受驗證猜想的過程.

圖7

圖8

教師把對應值填入表3.

表3

追問：你能證明這個猜想嗎？

師生活動：教師引導學生證明猜想，學生分組討論，并進行交流、展示.

結論：在Rt△ABC中，當銳角A的度數(shù)一定時，無論這個直角三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值.

【設計意圖】在環(huán)節(jié)3中，學生經(jīng)歷了數(shù)學抽象過程中的“類比”和“抽象”兩個步驟.學生在探究了特殊角30°，45°和60°的對邊與斜邊的比都是一個固定值后，提出問題：直角三角形中的任意一個銳角度數(shù)確定了，其對邊與斜邊的比是一個固定值嗎？對于問題4，要如何去驗證呢？教師利用幾何畫板軟件演示，驗證角的一般性，讓學生初步確認猜想的正確性.有了這樣的驗證后，還要讓學生體驗合理的猜想是數(shù)學學習中研究問題的方法之一，為后面學習做進一步鋪墊.但是猜想是否正確，還需要推理論證.通過追問，引導學生進行推理論證，最終得到正確的結論.

通過讓學生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、證明的過程，加深學生對結論的認識與理解，為后續(xù)引出正弦概念做鋪墊.同時，培養(yǎng)學生推理論證的意識.

環(huán)節(jié)4：歸納概念，符號表達.

問題5：觀察表3，通過以上內容的研究學習，我們知道“在Rt△ABC中，銳角A的對邊與斜邊的比是一個固定值.這個固定值隨∠A度數(shù)的變化而變化”.由此，你能聯(lián)想到以前我們學過的什么內容？

師生活動：教師讓學生觀察表3，引導學生關注角度和比值的對應和變化關系，學生根據(jù)問題中的關鍵信息，尋找新、舊知識之間的聯(lián)系.教師及時引導學生關注其中蘊含的“變化與對應”思想.

追問：這個函數(shù)是我們以前學習過的函數(shù)嗎？

師生活動：學生先獨立思考回顧以往的知識，然后合作交流，對新的函數(shù)形成認知沖突，教師及時正確引導下定義.

【設計意圖】在環(huán)節(jié)4中，學生經(jīng)歷了數(shù)學抽象過程中的“概括”和“形式”兩個步驟.教師通過問題5及其追問，幫助學生建立知識之間的聯(lián)系，引出函數(shù)的本質和“變化與對應”思想，從而合理引入正弦概念.

環(huán)節(jié)5：理解概念，辨析應用.

問題6：如何理解sin 30°？其值為多少？sin 45°呢？sin 60°呢？

教師進一步強調正弦的三種表示方式：①sin A（此時要省略角的符號）；②sin 30°；③sin∠BAC.

問題7：判斷下列結論是否正確.

圖9

（2）在Rt△ABC中，銳角B的對邊和斜邊同時擴大10倍，sin B的值也隨之擴大10倍.

圖10

圖11

師生活動：學生先獨立思考，然后小組討論，學生代表交流，并且說明理由.接著，教師給出以下例題.

例1 如圖12，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求sin A和sin B的值.

圖12

練習：直接寫出圖13、圖14中∠A和∠B的正弦值.

圖13

圖14

【設計意圖】為幫助學生更準確地把握概念的內涵，可以通過具體的例子進行概念的辨析，使學生理解概念.因此，在環(huán)節(jié)5中，問題6、問題7的設置既是對正弦概念的辨析，同時也能夠幫助學生理解正弦的概念.例題和練習題的設置對應數(shù)學抽象過程中的“運用”這一步驟，幫助學生把握正弦概念的本質，學會應用正弦概念解決問題，并通過應用概念進一步理解概念.環(huán)節(jié)5也是一個從抽象到具體的過程，實現(xiàn)了抽象的第三個階段——從“系統(tǒng)”到“運用”的普適階段.

環(huán)節(jié)6：課堂小結，歸納提升.

教師讓學生回顧本節(jié)課的內容，思考以下問題.

（1）本節(jié)課學習了什么內容？

（2）我們是如何研究這個內容的？

（3）你還想研究什么？

師生活動：引導學生思考、表達.最后教師小結，師生完善出如圖15所示的知識結構圖.

圖15

【設計意圖】引導學生梳理本節(jié)課學習的內容，提煉運用的數(shù)學思想方法，完善知識體系，為下節(jié)課的學習做鋪墊.

以上教學過程中，以實際情境為基礎，以問題為引導，使學生在原有知識的基礎上，引出對“在直角三角形中，銳角所對的邊與斜邊的比值”的探究，從特殊的30°，45°，60°角，到任意銳角的探究，逐步完善猜想，并推理論證猜想，進而歸納概念，并用符號表示概念.學生經(jīng)歷了觀察、猜想、驗證、證明一個命題的完整過程，也經(jīng)歷了從事實到概念、從實際問題中抽象出數(shù)學問題、從數(shù)學問題的解決過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而提出數(shù)學命題的過程.接著對于數(shù)學命題進行驗證和證明，進而得到正確結論，最終抽象出正弦概念，使學生對于正弦概念的認識經(jīng)歷了從感性認識到理性認識的過程.在實際教學過程中，教師能夠給學生比較充分的時間，讓學生思考、表達、書寫，及時鼓勵學生積極參與數(shù)學探究活動，使學生通過嘗試對比分析、歸納、概括定義，提高數(shù)學抽象能力.

四、教學反思

1.整體把握課程內容，構建前后邏輯連貫的知識體系

數(shù)學之間有很強的邏輯性，開展教學前，加強對數(shù)學教學內容的結構化梳理，可以幫助學生形成良好的認知結構.通過課前知識結構梳理，明確本節(jié)課的研究對象和研究問題，把研究問題置于大單元知識體系中，呈現(xiàn)一個大的知識結構，便于學生同化知識.小結時把新的研究問題納入到原有的知識結構中，通過本節(jié)課學習后形成新的結構，整個過程既有利于明確學習目標和學習要求，又有利于激發(fā)學生進一步探究學習的興趣和保持學生持續(xù)學習的動機.

2.讓學生經(jīng)歷概念的抽象過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力

本節(jié)課圍繞研究“在直角三角形中，銳角的對邊與斜邊的比值”這一主題，從學生可算的特殊角30°，45°，60°，到用幾何畫板軟件驗證非特殊角50°，70°，…，到用相似三角形的知識進行證明，進而得出命題.接著通過對命題的本質的分析，抽象出正弦的概念，并給出符號表示.最后對概念進行辨析及初步應用，不斷加強學生對概念的理解.學生經(jīng)歷了觀察、猜想、證明，獲得命題，通過分析，獲得概念的本質屬性，進一步進行概念抽象，明確概念的過程，抽象能力、幾何直觀能力等均得到了提升.