金紅江，王紅權(quán)

（浙江省杭州高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)（濱江）教育研究院；浙江省杭州市基礎(chǔ)教育研究室）

“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”，就應(yīng)該讓學(xué)生在真實(shí)的情境中主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系；“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”，就應(yīng)該設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，使學(xué)生沉浸在學(xué)習(xí)的過程中，獲得思考的能力、合作的能力、學(xué)習(xí)的能力和遷移應(yīng)用的能力，在提升能力的過程中獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.主題化拓展教學(xué)以發(fā)展思維為核心，以提升素養(yǎng)為目的，能將課內(nèi)、課外的零散知識(shí)組織起來，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科知識(shí)的融合，是落實(shí)“三會(huì)”的必由之路.本文以黃金分割為例設(shè)計(jì)一則主題化拓展性教學(xué)活動(dòng)案例，供同行參考.

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

教學(xué)內(nèi)容：黃金分割、黃金三角形、黃金矩形、正五邊形、連分?jǐn)?shù)、斐波那契數(shù)列，以及建筑和美術(shù)作品中的黃金比等.本節(jié)課安排在相似三角形、銳角三角函數(shù)等內(nèi)容學(xué)習(xí)之后.

內(nèi)容解析：黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，比值約為0.618.因?yàn)檫@個(gè)比例最能引發(fā)美感，因此稱之為黃金分割.現(xiàn)實(shí)生活中有許多美的事物都與黃金分割有著廣泛的聯(lián)系，它是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的典型素材.此外，黃金比不僅是線段比的延續(xù)，更與代數(shù)中的數(shù)列，幾何中的等腰三角形、矩形、正五邊形等有著密切的聯(lián)系，它能讓學(xué)生感受到知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)無限分割、用有限估計(jì)無限的思想.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：構(gòu)建黃金比與其他知識(shí)的聯(lián)系，挖掘黃金分割背后的育人價(jià)值.

二、教學(xué)問題診斷與設(shè)計(jì)思路分析

學(xué)生已經(jīng)知道了黃金分割的概念和尺規(guī)作圖，但對(duì)黃金比與其他知識(shí)之間的聯(lián)系尚不清晰.例如，連分?jǐn)?shù)、斐波那契數(shù)列與黃金比的聯(lián)系，尚需教師的啟發(fā)和同伴的互助；從建筑、藝術(shù)和生活中有關(guān)黃金比的現(xiàn)實(shí)素材抽象、概括出黃金三角形、黃金矩形、正五邊形等幾何圖形，對(duì)學(xué)生思維要求較高，也需要教師加以引導(dǎo).此外，雖然學(xué)生經(jīng)歷了觀察、抽象、概括和推理這一系列的學(xué)習(xí)，形成了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但讓學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)創(chuàng)作構(gòu)圖，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求仍然較高.這些都是教師教學(xué)過程中需要面對(duì)的難點(diǎn).

為了突破難點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)從實(shí)際情境入手，設(shè)計(jì)了三個(gè)探究活動(dòng)：賞析藝術(shù)作品，在活動(dòng)中構(gòu)建黃金分割模型；應(yīng)用模型創(chuàng)建結(jié)構(gòu)體系，在過程中提升能力；創(chuàng)作中遷移應(yīng)用，在實(shí)踐中發(fā)展素養(yǎng).三個(gè)活動(dòng)的設(shè)計(jì)遵循從局部到整體、從特殊到一般的原則，以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，問題設(shè)置層層深入，情境設(shè)置引人入勝.

三、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

活動(dòng)1：賞析雕塑，在實(shí)踐中構(gòu)建“模型”

教師用PPT投影展示維納斯雕像的圖片（如圖1），學(xué)生欣賞后教師提問.教學(xué)活動(dòng)如下.

圖1

師：維納斯雕像美不美？你是用怎樣的標(biāo)準(zhǔn)判斷的？

生1：美，身材協(xié)調(diào)、勻稱.

師：從數(shù)學(xué)的角度看，你覺得如何刻畫“勻稱”？能把“勻稱”量化嗎？

……

師：從美學(xué)的角度來看，當(dāng)一個(gè)人的上半身（肚臍以上部分）和下半身（肚臍以下部分）的比例協(xié)調(diào)，就會(huì)被認(rèn)為是美的.用數(shù)學(xué)的眼光看這個(gè)人是否美，就是用數(shù)學(xué)的方法定義“比例協(xié)調(diào)”的數(shù)量關(guān)系.因此，我們首先把人抽象為一條線段，將肚臍抽象為一個(gè)點(diǎn)，協(xié)調(diào)的比例關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為兩條線段的比.

如圖2，把維納斯雕像抽象成線段AC≈1.76 m，把她的肚臍抽象成點(diǎn)B，上半身BC≈0.672m，下半身AB≈1.088m，學(xué)生計(jì)算線段之間的比.

圖2

師：這些比值有規(guī)律嗎？

師：你能用語言表述這個(gè)規(guī)律嗎？

生2：較短線段與較長線段之比等于較長線段與整段線段之比，或者“較長線段與較短線段之比等于整段線段與較長線段之比”.

追問：如圖2，設(shè)AC=1，點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，求黃金比.

【設(shè)計(jì)意圖】通過欣賞維納斯雕像，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察“人之美”，以及用數(shù)學(xué)語言刻畫美的方法.通過運(yùn)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種線段的分割蘊(yùn)含著規(guī)律，體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律，并獲得本節(jié)課的研究對(duì)象“黃金分割”“黃金比”及研究的基本方法，為進(jìn)一步研究提供了知識(shí)和文化基礎(chǔ).

活動(dòng)2：創(chuàng)建結(jié)構(gòu)，在過程中提升能力

環(huán)節(jié)1：構(gòu)建黃金比與連分?jǐn)?shù)的聯(lián)系.

師：如果寫成假分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：我算了幾個(gè)分?jǐn)?shù)的近似值，依次是1，2，1.5，1.67，1.6，1.625.

師：很好，大家可以再算幾個(gè)，看看是否蘊(yùn)含規(guī)律.

生6：1.615，1.619，1.618，….

生7：這些數(shù)在逐漸接近1.62，即黃金比的倒數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題1和φ的迭代運(yùn)算，獲得了關(guān)于φ的連分?jǐn)?shù)表示.通過計(jì)算連分?jǐn)?shù)的前若干項(xiàng)的數(shù)值，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的變化規(guī)律，進(jìn)一步理解黃金分割的意義，幫助學(xué)生建立起黃金比、連分?jǐn)?shù)，以及斐波那契數(shù)列之間的聯(lián)系，同時(shí)也提升了學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力，體會(huì)用有限估計(jì)無限和用有限刻畫無限的思想.

環(huán)節(jié)2：作正方形，得到黃金矩形，體會(huì)無限分割思想.

由圖2可知，點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，分別以AB，BC為邊向外作正方形ABFE和正方形BCHG，得到矩形ACME（如圖3）.

圖3

問題2：若將寬與長的比等于黃金比的矩形稱之為黃金矩形，通過計(jì)算，找出圖3中的黃金矩形.

追問1：你能在矩形HMFG中，再得到一個(gè)黃金矩形嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】環(huán)節(jié)2中，將一維的線段，通過作正方形，得到黃金矩形，實(shí)現(xiàn)一維向二維的跨越.通過之前的鋪墊，學(xué)生能快速判定四邊形HMFG也為黃金矩形，重復(fù)同樣的操作，能得到無窮多個(gè)黃金矩形，從而感受無限分割的思想，為學(xué)習(xí)黃金螺線做鋪墊.

環(huán)節(jié)3：關(guān)聯(lián)中考試題，體會(huì)黃金比的圖形結(jié)構(gòu).

追問2：如圖3，計(jì)算矩形EFGN和正方形BCHG的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？（面積相等.）

中考鏈接：（2019年浙江·杭州卷第21題）如圖4，已知正方形ABCD的邊長為1，正方形CEFG的面積為S1，點(diǎn)E在DC邊上，點(diǎn)G在BC的延長線上.設(shè)以線段AD和DE為鄰邊的矩形的面積為S2，且S1=S2.

圖4

（1）求線段CE的長.

（2）若H為邊BC中點(diǎn)，連接HD.求證：HD=HG.

【設(shè)計(jì)意圖】挖掘中考試題蘊(yùn)含的文化元素，揭示試題的命題背景，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.同時(shí)，把問題從一維圖形推廣到二維圖形，拓寬了學(xué)生的視野.這也讓學(xué)生掌握了如何用作圖方法得到黃金矩形，探尋產(chǎn)生黃金比的圖形結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)黃金分割在幾何圖形中的廣泛存在.

活動(dòng)3：遷移創(chuàng)新，在實(shí)踐中發(fā)展素養(yǎng)

作為課后拓展，教師事先布置如下任務(wù)：（1）收集與黃金分割有關(guān)的藝術(shù)作品資料；（2）從藝術(shù)作品中提煉數(shù)學(xué)問題；（3）創(chuàng)作設(shè)計(jì)與黃金比元素有關(guān)的圖片或logo.要求完成任務(wù)后在課堂中展示、分享.

分享1：展示黃金螺旋線，培養(yǎng)欣賞美的能力.

學(xué)生根據(jù)斐波那契數(shù)列得到斐波那契螺旋線（如圖5）；將黃金矩形進(jìn)行無限分割，得到黃金螺旋線（如圖6）.

圖5

圖6

同時(shí)，展示欣賞如圖7所示的斐波那契螺旋線圖片.

圖7

問題3：比較圖5、圖6與圖7中的這些圖片，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：學(xué)生從幾何圖形以及自然界、建筑物、美術(shù)作品中發(fā)現(xiàn)斐波那契螺旋線、黃金螺旋線是同一種螺旋線，體會(huì)黃金比與自然的和諧共存，以及自然所蘊(yùn)含的規(guī)律、和諧之美可以用數(shù)學(xué)語言刻畫.

【設(shè)計(jì)意圖】一方面，通過斐波那契螺旋線、黃金螺旋線建立連分?jǐn)?shù)、斐波那契數(shù)列與黃金矩形之間的廣泛聯(lián)系；另一方面，讓學(xué)生感知黃金分割普遍存在于美術(shù)作品、建筑物之中，感知數(shù)學(xué)與自然的和諧美，數(shù)學(xué)是自然的語言，自然是數(shù)學(xué)的搖籃，培養(yǎng)學(xué)生欣賞美的能力.

分享2：展示人馬圖，體會(huì)研究圖形的方法.

如圖8（a），將人馬圖抽象成正五邊形（如圖8（b）），發(fā)現(xiàn)其中無處不在的黃金比例.如果說黃金比是自然美的代言，人馬圖便是自然和藝術(shù)的完美結(jié)合.因此，黃金比被歐幾里得稱為“最大程度平凡的比例”.

圖8

問題4：那么我們可以按照怎樣的方式來研究正五邊形呢？

一般地，我們知道研究一個(gè)幾何對(duì)象從研究對(duì)象的要素、要素和要素、要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系入手，即研究組成正五邊形的要素——角、邊以及線段之間的關(guān)系.

學(xué)生研究成果展示如下.

（1）正五邊形的性質(zhì)可以歸結(jié)為研究如圖9和如圖10所示的兩個(gè)三角形的性質(zhì).其中點(diǎn)F為線段BJ的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)J為線段BE的黃金分割點(diǎn).因此，在圖8（b）中，點(diǎn)F和點(diǎn)J是對(duì)角線BE的一對(duì)黃金分割點(diǎn).因此，可以把點(diǎn)F和點(diǎn)J叫做線段BE的一對(duì)“共軛黃金分割點(diǎn)”.有學(xué)生建議命名正五邊形MFJKL為正五邊形ABCDE的“伴隨黃金正五邊形”，而且可以不斷構(gòu)造下去.

圖9

圖10

（2）研究發(fā)現(xiàn)，圖10中的△ABJ是一個(gè)頂角為36°的等腰三角形，可以求出36°角的余弦值和18°角的正弦值.

圖11

【設(shè)計(jì)意圖】研究人馬圖、五角星，預(yù)設(shè)目的在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)五角星中存在黃金比，使學(xué)生學(xué)會(huì)遷移，加深對(duì)研究幾何圖形的一般方法的體驗(yàn)與認(rèn)識(shí).教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的創(chuàng)造力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過預(yù)設(shè)，其中的成果（1）事實(shí)上是一種研究方法，從要素分析的“格物”走向基于結(jié)構(gòu)的整體分析；成果（3）也震撼到了學(xué)生，這樣的一個(gè)三角恒等式，其幾何背景居然如此簡單；成果（4）距古希臘學(xué)者發(fā)現(xiàn)和證明無理數(shù)僅一步之遙.通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生沉浸在學(xué)習(xí)過程中，創(chuàng)造力得到了充分的提升，已經(jīng)學(xué)會(huì)自己創(chuàng)新如何研究一個(gè)幾何對(duì)象，充分挖掘圖形規(guī)律，提升了推理能力和幾何直觀能力.

分享3：作品展示，彰顯學(xué)習(xí)的樂趣.

展示部分學(xué)生的作品，如圖12和圖13所示.

圖12

圖13

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生設(shè)計(jì)作品并非考查學(xué)生的“藝術(shù)天賦”，而是讓學(xué)生在自主繪畫的過程中，體驗(yàn)黃金分割生成圖形的美感.

四、小結(jié)與思考

1.把握本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“三個(gè)統(tǒng)一”

如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有所得是教學(xué)設(shè)計(jì)過程中首先要考慮的問題.抓住黃金分割在一維線段、二維矩形中的表征，通過欣賞斷臂的維納斯、鸚鵡螺、帕特農(nóng)神廟、畫作《蒙娜麗莎》，將數(shù)學(xué)與自然、生活緊密結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的統(tǒng)一.通過研究黃金比與連分?jǐn)?shù)、斐波那契數(shù)列以及斐波那契螺旋線，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一.由連分?jǐn)?shù)得到數(shù)列，學(xué)生通過運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列收斂于黃金比，體會(huì)用有限估計(jì)無限的方法.通過無限分割黃金矩形得到美麗的黃金螺旋線，實(shí)現(xiàn)了有限與無限的統(tǒng)一.

2.加強(qiáng)聯(lián)系，突出“兩條主線”

基于研究內(nèi)容的特點(diǎn)，本節(jié)課的學(xué)習(xí)素材是跨單元甚至是跨學(xué)科分布的.因此，建立它們之間的聯(lián)系，形成一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題是教學(xué)設(shè)計(jì)的抓手.利用黃金比串聯(lián)起從連分?jǐn)?shù)、斐波那契數(shù)列、黃金三角形、黃金矩形到正五邊形的知識(shí)主線.通過欣賞雕塑、圖片和藝術(shù)作品，開啟了黃金之旅；通過自主探究黃金矩形的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)黃金分割理解的跨越；通過分享正五邊形性質(zhì)的研究，體驗(yàn)了研究創(chuàng)新的快樂；最后通過繪畫作品的展示，串聯(lián)起師生活動(dòng)主線.

3.設(shè)計(jì)活動(dòng)，發(fā)展創(chuàng)新能力

讓學(xué)生有“活動(dòng)”的機(jī)會(huì)，有“親身經(jīng)歷”的機(jī)會(huì)，都是實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移、發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力的有效做法.教學(xué)設(shè)計(jì)中由人馬圖到探索正五邊形的性質(zhì)，給學(xué)生創(chuàng)造了研究一個(gè)幾何圖形的機(jī)會(huì).學(xué)生創(chuàng)新了研究方法，獲得了比預(yù)設(shè)更多、更有質(zhì)量的結(jié)果.

人文、建筑、藝術(shù)中蘊(yùn)含的“黃金”之美，若僅靠視覺“欣賞”，感受到的美可能是美的表象，通過數(shù)學(xué)的方式揭示美的背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，用數(shù)學(xué)之美講述自然之美，把自然之美和人類理性之美融合才是真的美.