吳增生

（浙江省仙居縣教育教學(xué)研究中心）

凝練出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為抓手，落實(shí)數(shù)學(xué)教育的立德樹人，這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）相較于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的重大變革之一.《標(biāo)準(zhǔn)》明確了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，清晰界定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在小學(xué)和初中階段的具體表現(xiàn)，為把數(shù)學(xué)育人落實(shí)到課堂教學(xué)和評價(jià)實(shí)踐提供了可操作的框架.

《標(biāo)準(zhǔn)》對抽象能力的內(nèi)涵與要求的表述如下：抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力.能夠從實(shí)際情境或跨學(xué)科的問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表達(dá)；能夠從具體的問題解決中概括出一般結(jié)論，形成數(shù)學(xué)的方法與策略.感悟數(shù)學(xué)抽象對于數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的作用，感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意義，形成數(shù)學(xué)想象力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

抽象能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的核心行為表現(xiàn)，它往往與空間觀念、幾何直觀等具體表現(xiàn)融合在一起，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，以及反思和總結(jié)自身數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中體現(xiàn)出來.

在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程中，抽象能力體現(xiàn)為：基于現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境，通過抽象引入研究對象，得到概念、性質(zhì)、法則、方法和策略等，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.具體包括：①引入與明確研究對象及其之間的關(guān)系，形成數(shù)學(xué)概念；②建立概念之間的聯(lián)系，得到表達(dá)概念的本質(zhì)屬性及概念之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)原理（包括命題與規(guī)則，如公理、定理、法則、公式等）；③基于數(shù)學(xué)的整體性，在一般觀念引領(lǐng)下逐步構(gòu)建數(shù)學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu).

在應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際情境及跨學(xué)科情境問題過程中，抽象能力體現(xiàn)為：明確研究目標(biāo)，分離出核心要素，抽象出核心變量及其關(guān)聯(lián)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和模型予以表達(dá).

在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的反思與總結(jié)過程中，抽象能力體現(xiàn)為：總結(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，抽象出核心的思想方法和一般觀念（形成研究一類對象的路徑、內(nèi)容、方法，以及組織知識(shí)的頂層架構(gòu)與價(jià)值觀念），學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

數(shù)學(xué)抽象指的是在一定的數(shù)學(xué)觀念導(dǎo)向下，從情境中忽略除數(shù)量關(guān)系和空間形式外的所有其他信息，把對象的信息簡約化，發(fā)現(xiàn)對象的共同屬性并推廣到一般，形成普適理論的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng).數(shù)學(xué)抽象要經(jīng)歷通過分離要素、分析要素間的關(guān)系，把信息簡約化的階段和用符號(hào)表示的符號(hào)化階段，以及建立普適的數(shù)學(xué)理論用于解決問題的普適化階段.在具體的概念、法則和公式等抽象過程中，數(shù)學(xué)抽象需要經(jīng)歷“分離屬性與建構(gòu)模型—概括與一般化—定義與符號(hào)化—系統(tǒng)化”等步驟.

數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)是基于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程，是與課程內(nèi)容相融合的.因此，結(jié)合具體內(nèi)容研究抽象能力的具體表現(xiàn)，不論是對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論發(fā)展，還是對發(fā)展素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐，都具有重要的意義.

一、“幾何圖形初步”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和育人價(jià)值

在小學(xué)階段，學(xué)生通過觀察、操作、測量等直觀方式初步認(rèn)識(shí)了幾何圖形.直觀地認(rèn)識(shí)了實(shí)物與幾何圖形的關(guān)系：通過從不同的方向看，初步認(rèn)識(shí)立體圖形與平面圖形的關(guān)系；基于直觀比較了直線、射線、線段的共性與區(qū)別，學(xué)習(xí)了線段和角的度量及度量單位，直觀地認(rèn)識(shí)了線段及角的大小關(guān)系；用直觀的方法認(rèn)識(shí)了三角形、平行四邊形、圓等平面圖形，會(huì)求它們的周長和面積；用直觀的方法初步認(rèn)識(shí)了圖形的平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)的基本特征.初中階段的幾何圖形初步，是在小學(xué)階段直觀認(rèn)識(shí)幾何圖形的基礎(chǔ)上，逐步從實(shí)驗(yàn)幾何過渡到推理幾何，更加理性、系統(tǒng)地研究幾何圖形.用融合直觀與邏輯的方法研究幾何圖形，需要通過抽象概念體系以明確推理的對象，抽象基本事實(shí)以建立推理的起點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論并抽象為命題以明確推理的目標(biāo)，通過推理實(shí)踐讓學(xué)生基于實(shí)踐操作理解“什么是推理，怎樣的推理是有邏輯的推理”.而這一單元的課程內(nèi)容，其核心任務(wù)是抽象幾何圖形的基本概念與基本事實(shí)，為今后用推理的方法研究幾何圖形奠定基礎(chǔ).在小學(xué)階段直觀地認(rèn)識(shí)簡單的幾何圖形的基礎(chǔ)上，通過分離要素、分析要素關(guān)系，系統(tǒng)地建立點(diǎn)、線、面、體等基本幾何圖形的直觀意義，抽象直線、射線、線段、角等基本概念，以及線段和角的大小及和、差、倍、分等概念，抽象直線、線段的基本事實(shí)，初步接觸基于基本事實(shí)的針對明確的推理對象的推理活動(dòng)（如推導(dǎo)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)），體會(huì)推理的意義與價(jià)值.

二、抽象能力在“幾何圖形初步”中的具體體現(xiàn)

要用推理的方法研究幾何圖形，分析構(gòu)成幾何圖形的基本要素并給出定義，建立反映這些基本要素之間的關(guān)系的公理（基本事實(shí)）是奠基性的.在《幾何原本》中，歐幾里得通過23個(gè)定義、5條公設(shè)、5條公理來建立《幾何原本》的邏輯基礎(chǔ).而希爾伯特則用5組公理建立三類不加定義的“寬泛”對象（點(diǎn)、直線、平面）之間的關(guān)系，從而在更加形式化的抽象水平上建構(gòu)形式化、公理化的幾何邏輯體系.盡管當(dāng)前的幾何課程內(nèi)容已經(jīng)比《幾何原本》更加簡化和直觀化，但同樣需要先建立共同的邏輯基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上用推理的方法得到幾何課程內(nèi)容的邏輯體系.在本單元中，抽象能力主要體現(xiàn)如下.

1.能在直觀的基礎(chǔ)上，通過對物體的形狀、大小和位置關(guān)系等空間結(jié)構(gòu)的抽象，系統(tǒng)建立點(diǎn)、線、面、體等基本幾何圖形的概念體系

首先，進(jìn)一步建立實(shí)物與幾何圖形之間的聯(lián)系，體會(huì)幾何圖形的抽象性和一般性，明確幾何學(xué)的研究內(nèi)容，即物體和圖形的形狀、大小、位置關(guān)系；其次，經(jīng)歷幾何圖形要素的分析過程，初步感受組成圖形的基本要素（點(diǎn)、線、面），并通過這些基本要素的組合和運(yùn)動(dòng)操作及想象，建立點(diǎn)、線、面、體之間的聯(lián)系；能通過直觀觀察和分類，抽象出立體圖形和平面圖形的概念，并通過從不同的方向看，將圖形展開和折疊，建立立體圖形和平面圖形之間的聯(lián)系.雖然這些概念還是直觀描述的，但卻是成體系的，這就有了公理化幾何的基因.實(shí)際上，歐幾里得《幾何原本》中對點(diǎn)、線、面等基本幾何圖形的“定義”是直觀描述的.例如，“點(diǎn)是沒有部分的”“線只有長度而沒有寬度”“直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線”“面的邊緣是線”，等等.但這些定義是成體系的，連同公理和公設(shè)，奠定了初步公理化的幾何學(xué)體系.希爾伯特則洞察了幾何學(xué)是研究基本要素的“關(guān)系”這一本質(zhì)特征，舍棄了歐幾里得《幾何原本》中關(guān)于點(diǎn)、線、面的一切內(nèi)涵，而是聚焦這些要素之間的關(guān)系，抽象出公理體系.《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》中直接給出了用大寫字母A，B，C，…表示“點(diǎn)”，用小寫字母a，b，c，…表示“直線”，以及用α，β，γ，…表示“平面”，不對每類對象的意義做任何解釋，而是用“關(guān)聯(lián)公理”“順序公理”“合同公理”“平行公理”“連續(xù)公理”這5組公理建立這些對象的關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是研究對象關(guān)系的抽象思想，把幾何學(xué)推向了形式化、公理化的邏輯高峰.

2.聚焦平面圖形的研究，能抽象直線、射線、線段的概念體系

（1）要建立直線、射線、線段的概念體系，不應(yīng)該只停留在小學(xué)階段從線段到射線和直線的直觀認(rèn)識(shí)水平上，應(yīng)該基于直觀經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷用基本事實(shí)刻畫直線的本質(zhì)屬性：點(diǎn)動(dòng)成線—點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中方向不變，形成直的線—方向由兩點(diǎn)確定—通過作圖操作和運(yùn)動(dòng)想象—抽象基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”—解釋用兩個(gè)大寫字母表示直線的合理性—抽象點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，以及兩條直線相交的概念.在歐氏幾何中，直線的概念是原始概念，是基于畫圖用點(diǎn)的特征表述直線的直觀內(nèi)涵（直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線）的，其最重要的內(nèi)涵是直線的方向性.對直線方向的直觀隱隱地體現(xiàn)在歐幾里得《幾何原本》定義系統(tǒng)中：平面角是在一平面內(nèi)但不在同一直線上的兩條相交線相互的傾斜度；圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個(gè)方向被圓周截得的線段，且把圓二等分.

在這里，點(diǎn)是最基本的幾何圖形，是構(gòu)成空間的最基本的要素，用集合論的觀點(diǎn)看，三維空間可以看成點(diǎn)集，三維空間中的直線、平面是空間點(diǎn)集的子集.“點(diǎn)”是由現(xiàn)實(shí)中物體的位置抽象出的幾何概念.當(dāng)只關(guān)注物體在空間的位置而忽略其他所有因素時(shí)，就得到了空間中“點(diǎn)”的概念.在研究空間結(jié)構(gòu)時(shí)，往往通過低維空間來定義高維空間，用點(diǎn)來描述直線，用直線描述平面，用平面描述三維空間的結(jié)構(gòu)，等等.通常，如果我們認(rèn)識(shí)了一維空間R，則可以通過笛卡兒直積Rn={( x1，x2，x3，…，xn)|xi∈R} 來定義高維空間，而研究高維空間中的對象，則往往通過投影（限制）進(jìn)行降維，如把平面圖形投影到坐標(biāo)軸上，通過投影把三維圖形降維到平面（二維）圖形.這種用低維空間描述高維空間的方法符合人類認(rèn)識(shí)事物的基本規(guī)律——重組已有經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)新的對象.

進(jìn)一步地，以直線和點(diǎn)為屬概念通過“屬+種差”的方式抽象射線和線段的概念體系：直線—直線上一點(diǎn)的一側(cè)部分（直線上的一個(gè)方向）及現(xiàn)實(shí)情境中的方向—射線—射線的確定條件（端點(diǎn)和方向，或另一點(diǎn)）—射線的表示方法；直線—直線上兩點(diǎn)之間的部分—線段—線段的確定條件（兩個(gè)端點(diǎn)）—線段的表示方法.

（2）通過作圖和運(yùn)動(dòng)，在直觀的基礎(chǔ)上抽象線段的度量屬性：研究直線上兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系—線段的大小比較與運(yùn)算—線段的移動(dòng)作圖（作一條線段等于已知線段）—線段相等的定義—線段大小的定義—線段和、差、倍、分的定義.

基于直觀，抽象線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間所有的連線中，線段最短.

3.能基于方向與方向差，基于射線的組合和運(yùn)動(dòng)直觀，抽象角的概念體系

用射線刻畫方向，基于方向差異引入角.通過靜態(tài)射線組合和小學(xué)經(jīng)驗(yàn)抽象角的概念、角的表示、角的度量、角的分類；通過射線的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)，理解角的本質(zhì)——角是轉(zhuǎn)出來的，用來表達(dá)方向的變化.

類比線段的度量相關(guān)概念的抽象經(jīng)驗(yàn)，抽象出角的度量的相關(guān)概念：角的移動(dòng)—角相等的定義—角大小的定義—角的和、差、倍、分的定義.通過對角的特殊化，抽象互余角和互補(bǔ)角的概念，基于共頂點(diǎn)的兩個(gè)直角（平角）形成公共分割線，基于直觀和角的和、差運(yùn)算，用推理的方法得到“等角（或同角）的余角（補(bǔ)角）相等”.

4.能綜合應(yīng)用線段和角，表達(dá)平面上兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系，抽象出用方位角和距離表達(dá)平面上點(diǎn)的位置關(guān)系的方法

點(diǎn)是對空間位置的抽象，空間中不同的點(diǎn)集組成圖形.無論是圖形的性質(zhì)，還是圖形的變化、圖形與坐標(biāo)，本質(zhì)上研究的都是空間上點(diǎn)及點(diǎn)集的位置關(guān)系及其變化.因此，對空間中的點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行量化刻畫是幾何研究的核心內(nèi)容，如向量幾何就是用既有大小又有方向的向量及其運(yùn)算來量化表達(dá)空間位置，研究幾何圖形的性質(zhì).在小學(xué)階段，學(xué)生就分別學(xué)習(xí)過物體的方位，如東、南、西、北，以及兩點(diǎn)之間的距離，進(jìn)行點(diǎn)的位置關(guān)系的初步表達(dá).在幾何圖形初步中，從現(xiàn)實(shí)情境中提出表達(dá)直線和平面上點(diǎn)的位置關(guān)系的量化表達(dá)，抽象出距離和角度兩個(gè)基本幾何量，選擇適當(dāng)?shù)幕鶞?zhǔn)，量化表達(dá)直線和平面上點(diǎn)的位置關(guān)系，是今后學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)內(nèi)容的基礎(chǔ).

事實(shí)上，可以從直線概念出發(fā)，以描述直線上任意兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生提出研究線段的大小及線性運(yùn)算的學(xué)習(xí)課題，這本質(zhì)上是在研究直線上點(diǎn)的分隔與順序，與《希爾伯特幾何基礎(chǔ)》中所說的“順序公理”相關(guān).直線上點(diǎn)的共性用“兩點(diǎn)確定一條直線”的基本事實(shí)來刻畫；直線上任意兩點(diǎn)的位置區(qū)別依賴于方向和距離，從方向中可以抽象出射線的概念，而距離來自于對線段長度（兩點(diǎn)之間的最短路徑）的抽象.類似地，可以用如何量化表達(dá)平面上兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系引入射線來表示方向，從方向差中抽象出角的概念，建立角的度量關(guān)系.在學(xué)習(xí)線段和角的度量屬性后，借助現(xiàn)實(shí)情境引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用距離和角度量化刻畫平面上點(diǎn)的位置關(guān)系，這既是“學(xué)以致用”的需要，也是發(fā)展學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽象核心變量和模型（幾何中為核心要素和圖形）能力的需要.通過對用距離和角度表達(dá)直線和平面上點(diǎn)的位置關(guān)系活動(dòng)的反思和總結(jié)，形成借助方位角和距離表示平面上點(diǎn)的位置關(guān)系的方法：選擇基準(zhǔn)點(diǎn)和基準(zhǔn)方向—用角度表示目標(biāo)點(diǎn)方向與基準(zhǔn)方向的方向差—用線段的長度表示目標(biāo)點(diǎn)到基準(zhǔn)點(diǎn)的距離.這是結(jié)合具體內(nèi)容發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略抽象能力的需要.

5.能通過幾何圖形的解構(gòu)和重構(gòu)，抽象出本單元的研究框架及知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

抽象單元知識(shí)結(jié)構(gòu)體系是發(fā)展數(shù)學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)抽象能力的需要，這需要引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)歷程，從研究內(nèi)容、研究思路、研究方法等角度抽象研究的基本框架，構(gòu)建適當(dāng)?shù)闹R(shí)結(jié)構(gòu)體系.

“幾何圖形初步”的研究框架和知識(shí)結(jié)構(gòu)體系如下.

研究的內(nèi)容：分離幾何圖形的基本要素，研究基本要素之間的關(guān)系，抽象幾何基本要素的概念體系和基本事實(shí)，奠定用推理的方法研究幾何圖形的邏輯基礎(chǔ).

研究的方法：通過觀察和作圖獲得直觀的圖形，通過抽象獲得概念，明確推理的對象；通過抽象獲得基本事實(shí)，建立推理的起點(diǎn)；通過推理獲得和確認(rèn)性質(zhì)，建立推理的邏輯.按照從一般到特殊的順序，用“屬+種差”的方法，從基本概念出發(fā)抽象出派生概念，建立概念的邏輯體系.

本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1

三、本單元中的概念、基本事實(shí)、性質(zhì)、方法策略抽象案例分析

案例1：直線、射線、線段概念的抽象.

（1）回顧“點(diǎn)動(dòng)成線”.學(xué)生手繪畫線，直觀感知線有曲直之分.進(jìn)一步，學(xué)生經(jīng)歷畫“直”的線的活動(dòng)，總結(jié)畫圖的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)：若筆尖運(yùn)動(dòng)時(shí)方向保持不變，則畫出“直”的線；若筆尖運(yùn)動(dòng)時(shí)方向有變化，則畫出“曲”的線或“折線”，這樣就有了“直”的線的直觀模型.

（2）回顧小學(xué)階段的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).直線是向兩個(gè)方向無限延伸的，如果已知直線上一個(gè)點(diǎn)A，研究直線位置是否被確定.通過對過點(diǎn)A的直線旋轉(zhuǎn)的想象，發(fā)現(xiàn)直線的位置不確定（因?yàn)榉较虿淮_定），進(jìn)一步通過想象發(fā)現(xiàn)，要確定這條直線的位置，必須而且只需確定直線的方向或直線上的另外一點(diǎn)B，再通過作圖確認(rèn)，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的直線有一條而且只有一條，并通過與同伴交流，推廣到一般，用圖形和符號(hào)表示.在此基礎(chǔ)上，給出點(diǎn)與直線的位置關(guān)系和相交直線的定義，并用語言和符號(hào)表達(dá).

（3）對“直”的線進(jìn)行分類.以直線和點(diǎn)為屬概念，通過想象把直線沿著一點(diǎn)“剪斷”成兩部分、過兩點(diǎn)“剪斷”成三部分的過程，抽象射線、線段的概念，給出明確的定義，討論其確定條件和符號(hào)表示，其確定條件和符號(hào)表示可以類比直線進(jìn)行抽象.

（4）在概念水平上建立直線、射線、線段之間的聯(lián)系，得到“直”的線的概念體系，并解釋小學(xué)學(xué)過的直線、射線、線段的直觀意義，理解其聯(lián)系與區(qū)別.

在上述概念抽象過程中，經(jīng)歷了“分離屬性與建構(gòu)模型—概括與一般化—定義與符號(hào)化—系統(tǒng)化”等步驟.

案例2：線段的大小及和差倍分關(guān)系的抽象.

從數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的邏輯來看，線段的長度是刻畫兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系、研究直線上的點(diǎn)的分隔與順序的重要幾何量.以量化刻畫直線上兩點(diǎn)之間的位置關(guān)系為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生提出比較線段長短的問題，抽象線段的大小及線性運(yùn)算關(guān)系.線段大小概念的抽象也是基于直觀經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行的.先基于生活經(jīng)驗(yàn)，把比較個(gè)子高矮的問題抽象為比較線段大小的問題，從而認(rèn)識(shí)到線段是有長度、可以比較大小的.在此基礎(chǔ)上，作出線段移動(dòng)的圖形（如圖2），通過與同伴交流，把從直觀圖形上得到的度量屬性推廣到一般.基于圖形，先給出線段相等的定義（移動(dòng)后能重合的線段叫做相等的線段），并用符號(hào)表示.接著基于圖2中線段AB的端點(diǎn)B與線段CD的位置（在C，D之間或在CD的延長線上）給出線段大小的定義.進(jìn)一步地，給出線段的和、差運(yùn)算的定義，最后給出線段中點(diǎn)的定義.

圖2

在線段的度量關(guān)系——和、差、倍、分關(guān)系的抽象中，同樣需要經(jīng)歷“分離屬性與建構(gòu)模型—概括與一般化—定義與符號(hào)化—系統(tǒng)化”等步驟.

案例3：互余角和互補(bǔ)角性質(zhì)的抽象.

互余角和互補(bǔ)角的概念來源于對直角和平角的分割；進(jìn)一步，通過共頂點(diǎn)的直角和平角交疊組合而成的圖形抽象出余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，如圖3所示.

圖3

線段的和、差定義基于線段的分割.類似地，角的和、差基于角的分割（過頂點(diǎn)作分割射線）.以此為出發(fā)點(diǎn)，通過角的特殊化構(gòu)建互余角和互補(bǔ)角的直觀圖形，分離這種關(guān)系的基本要素——角及角的分割線，把這種角的數(shù)量關(guān)系推廣到一般，并用語言和符號(hào)表達(dá)，抽象出互余角和互補(bǔ)角的概念.要抽象余角的性質(zhì)，需要借助共頂點(diǎn)的兩個(gè)直角交疊成的公共角，應(yīng)用角的互余關(guān)系和等式的性質(zhì)推理得出“同角（等角）的余角相等”.通過類似的步驟推理出“同角（等角）的補(bǔ)角相等”.最后，類比兩者，得到余角和補(bǔ)角性質(zhì)的體系.在這一余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)的抽象過程中，再次經(jīng)歷了“分離屬性與建構(gòu)模型—概括與一般化—定義與符號(hào)化—系統(tǒng)化”等步驟.

案例4：用方位角和距離表達(dá)平面上點(diǎn)的位置的方法抽象.

在空間中，點(diǎn)的位置關(guān)系是最為基本的研究問題，所有的幾何圖形無非是一些具有特殊位置的點(diǎn)的集合，研究圖形的性質(zhì)本質(zhì)上還是為了研究空間中點(diǎn)的位置關(guān)系，從而理解和表達(dá)空間的結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性.用方位角和距離描述平面上點(diǎn)的位置，來源于小學(xué)學(xué)習(xí)的方位的認(rèn)識(shí).我們知道，在一維空間（直線）上，為了量化描述直線上的點(diǎn)的位置，需要確定基準(zhǔn)點(diǎn)，確定一個(gè)點(diǎn)相對于基準(zhǔn)點(diǎn)的方向和距離，這個(gè)距離就是連接基準(zhǔn)點(diǎn)的線段長度與單位長度的比.因此，如圖4，量化描述直線上的點(diǎn)的位置，需要依賴于線段的長度（兩點(diǎn)之間的距離）和方向.類似地，量化描述平面上的點(diǎn)的位置關(guān)系，要確定基準(zhǔn)點(diǎn)，任意一點(diǎn)的位置就可以用它相對于基準(zhǔn)點(diǎn)（參照點(diǎn)）的方向和距離來描述（如圖5）.刻畫方向的度量工具是角度（描述從基準(zhǔn)點(diǎn)到一點(diǎn)的方向與基準(zhǔn)方向的差異）.因此，距離（線段的長度）和角度是量化描述點(diǎn)的位置關(guān)系的基本幾何量.通過對上述操作的思考和總結(jié)，抽象出量化描述平面上的點(diǎn)的位置的基本方法：借助“方位角+距離”刻畫點(diǎn)的位置（如圖6）.其操作步驟是：（1）確定基準(zhǔn)點(diǎn)O；（2）確定基準(zhǔn)方向OA；（3）確定目標(biāo)點(diǎn)B相對于基準(zhǔn)點(diǎn)O的方向，并用角α量化表示其偏離基準(zhǔn)方向的程度；（4）確定目標(biāo)點(diǎn)到基準(zhǔn)點(diǎn)O的距離，用線段OB的長度進(jìn)行量化表達(dá).

圖4

圖5

圖6

四、結(jié)束語

“幾何圖形初步”內(nèi)容在初中推理幾何學(xué)習(xí)中起到奠基作用.通過抽象點(diǎn)、線、面、角等基本幾何概念明確推理的對象，得到構(gòu)成其余圖形的基本要素；通過抽象基本事實(shí)明確推理的邏輯起點(diǎn)；通過抽象命題表達(dá)幾何圖形的本質(zhì)屬性和關(guān)系；通過抽象距離和角度得到兩個(gè)基本幾何量，形成量化刻畫平面上的點(diǎn)的位置關(guān)系的基本方法.因此，抽象是本單元的主要活動(dòng).本文通過分析抽象能力的行為表現(xiàn)，明確抽象能力的主要行為指標(biāo)（抽象概念、抽象命題、抽象關(guān)鍵要素和圖形結(jié)構(gòu)、抽象方法與策略、抽象系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)），給出了相應(yīng)的教學(xué)建議及典型內(nèi)容的教學(xué)思路，從而指導(dǎo)教師結(jié)合具體內(nèi)容設(shè)計(jì)有針對性的教學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的抽象能力.

當(dāng)然，本單元內(nèi)容中除了抽象能力外，還蘊(yùn)含著發(fā)展學(xué)生空間觀念、幾何直觀、推理能力等育人價(jià)值.例如，推導(dǎo)“等角的余角（補(bǔ)角）相等”時(shí)就需要演繹推理，抽象概念過程中把對象推廣到一般時(shí)還需要?dú)w納推理，等等.如何結(jié)合單元具體內(nèi)容的教學(xué)，平衡、協(xié)調(diào)且有側(cè)重地發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力、模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等，把發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的育人目標(biāo)落實(shí)到教學(xué)過程中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人，這是今后一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要方向.