鮑建生，章建躍

（華東師范大學(xué)；人民教育出版社 課程教材研究所）

一、概述

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，研究結(jié)果常常表現(xiàn)為具有一般意義的模式.將這些模式應(yīng)用到其他學(xué)科或日常生活，就得到了各種各樣的數(shù)學(xué)模型.因此，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式.

一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程包括：在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題，可以用如圖1所示的流程圖表示.

圖1 數(shù)學(xué)建模的一般流程

上述流程表明，數(shù)學(xué)建模過(guò)程比較充分地反映了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)表達(dá).正因?yàn)槿绱?，許多國(guó)家與組織（包括PISA）提煉數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的依據(jù)就是數(shù)學(xué)建模過(guò)程.

關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)建模，國(guó)際上主要有兩種觀點(diǎn)：一是把數(shù)學(xué)建?？醋饕环N特殊的數(shù)學(xué)應(yīng)用活動(dòng)，側(cè)重于構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題；二是把數(shù)學(xué)建?？醋饕环N學(xué)習(xí)與理解數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)活動(dòng)，側(cè)重于用模型思想去理解數(shù)學(xué)的各種抽象模式，包括概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu).因?yàn)橹行W(xué)數(shù)學(xué)中的研究對(duì)象一般都有明確的現(xiàn)實(shí)背景，學(xué)生的學(xué)習(xí)通常都要經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境到數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，所以在課程設(shè)置中可以同時(shí)反映這兩種觀點(diǎn).在義務(wù)教育階段主要是滲透數(shù)學(xué)模型的思想，通過(guò)簡(jiǎn)單實(shí)例體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程；高中階段則要安排完整的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的全過(guò)程，包括整理資料，撰寫(xiě)研究報(bào)告或小論文，并進(jìn)行報(bào)告、交流等.

下面先討論初中階段模型觀念的主要表現(xiàn)，再結(jié)合課程內(nèi)容對(duì)如何在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的模型觀念提出一些建議.

二、模型觀念的主要表現(xiàn)形式

與小學(xué)階段相比，初中階段的數(shù)學(xué)課程可以提供更多的構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的“模具”，如方程、不等式、函數(shù)，反映分布特征的統(tǒng)計(jì)圖表等.因此，初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面，可以開(kāi)展一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)；另一方面，初中代數(shù)與統(tǒng)計(jì)的許多應(yīng)用問(wèn)題具備了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的部分特征，有助于學(xué)生形成與發(fā)展模型觀念.

新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)初中階段模型觀念的內(nèi)涵界定如下：“模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)識(shí).知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.模型觀念有助于開(kāi)展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性.”

具體而言，初中階段模型觀念的主要表現(xiàn)包含如下幾個(gè)方面.

1.通過(guò)數(shù)學(xué)模型，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界交流的基本方式

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間互動(dòng)的主要媒介.一方面，在數(shù)學(xué)的研究中，人們往往通過(guò)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，抽象出現(xiàn)實(shí)世界事物中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系與空間形式，生成具體的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)符號(hào)化、形式化的過(guò)程形成具有一般意義的數(shù)學(xué)模式，構(gòu)建數(shù)學(xué)的理論體系；另一方面，各種數(shù)學(xué)理論也可以通過(guò)其實(shí)際意義，構(gòu)建具體的數(shù)學(xué)模型，回到現(xiàn)實(shí)世界解決問(wèn)題.因此，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界交流的基本語(yǔ)言.在初中階段，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)此提出了如下幾點(diǎn)要求.

（1）經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、關(guān)系的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的各種聯(lián)系.例如，正數(shù)與負(fù)數(shù)可以表示現(xiàn)實(shí)世界中各種具有相反意義的量，如果從某個(gè)確定的點(diǎn)出發(fā)，向東走5米記為5米，那么向西走4米就可以記為-4米，由此可以通過(guò)數(shù)軸模型描述與分析向東向西走的數(shù)量關(guān)系與空間形式.

（2）通過(guò)尋找數(shù)學(xué)研究對(duì)象（概念、性質(zhì)、關(guān)系）的實(shí)際意義，感悟數(shù)學(xué)對(duì)象的一般性.例如，一次函數(shù)可以表示兩個(gè)變量之間的各種線性關(guān)系，其中包括勻速直線運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，彈簧拉伸長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)模型等.

（3）在現(xiàn)實(shí)情境中，能夠發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系與空間形式，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性.知道現(xiàn)實(shí)世界中的許多問(wèn)題都蘊(yùn)含著數(shù)量關(guān)系與空間形式，可以通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型予以解決.例如，面對(duì)一座古老的拱橋，既可以從審美的、歷史的、物理的、人文的角度提出問(wèn)題，也可以從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題.而數(shù)學(xué)的問(wèn)題都與數(shù)量關(guān)系和空間形式有關(guān)，可以綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、關(guān)系予以解決.

除了數(shù)學(xué)模型以外，數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界交流的基本語(yǔ)言.在各種數(shù)據(jù)處理過(guò)程中，同樣需要構(gòu)建合理的統(tǒng)計(jì)模型來(lái)描述、分析、預(yù)測(cè)各種不確定現(xiàn)象.雖然數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)均屬一級(jí)學(xué)科，但由于統(tǒng)計(jì)模型都具有數(shù)學(xué)原理，而且在中小學(xué)課程體系中，統(tǒng)計(jì)內(nèi)容隸屬于數(shù)學(xué)課程.因此，我們常說(shuō)的中小學(xué)數(shù)學(xué)模型包括統(tǒng)計(jì)模型.

2.能運(yùn)用方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)量、分布、概率等工具構(gòu)建模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

數(shù)學(xué)也被稱(chēng)為關(guān)于模式的科學(xué).所謂模式（pattern），通常是指具有一般意義的數(shù)量關(guān)系與空間形式.在初中階段，方程、不等式、函數(shù)、平均數(shù)、方差等都可以看作是一種模式，當(dāng)模式被運(yùn)用于具體情境并獲得具體的相關(guān)數(shù)值（模型參數(shù)）后，模式就成為具體的數(shù)學(xué)模型.因此，在初中階段的各種數(shù)學(xué)應(yīng)用活動(dòng)中，都一定程度地蘊(yùn)含著模型思想.這方面的具體表現(xiàn)包括如下幾個(gè)方面.

（1）在方程、不等式、函數(shù)等概念的形成過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)模型思想.知道方程、不等式與函數(shù)是解決問(wèn)題的基本模式，具有一般化的意義.例如，正比例函數(shù)是對(duì)各種正比例關(guān)系的抽象結(jié)果，可以反映兩個(gè)具有正比例關(guān)系的變量的變化規(guī)律.

（2）能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的條件，選擇合適的方程、不等式或函數(shù)類(lèi)型，構(gòu)建具體的模型并解決問(wèn)題.例如，知道勻速直線運(yùn)動(dòng)可以用一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）來(lái)描述，如果已知飛機(jī)起飛8分鐘后離機(jī)場(chǎng)50 km時(shí)可以達(dá)到巡航高度，并以每分鐘145 km的速度巡航飛行，那么就可以構(gòu)建飛機(jī)飛行距離y與時(shí)間t的數(shù)學(xué)模型

（3）能夠制作統(tǒng)計(jì)圖表表示數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征與分布.統(tǒng)計(jì)分析的主要方式就是利用各種統(tǒng)計(jì)模型對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行定量處理.在初中階段，一些能夠反映數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征的統(tǒng)計(jì)量（如平均數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)、方差等）及直觀反映分布規(guī)律的統(tǒng)計(jì)圖（如餅圖、折線圖、頻數(shù)分布直方圖、箱線圖等）可以看作是初步的統(tǒng)計(jì)模型.通過(guò)各種統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，可以初步感悟統(tǒng)計(jì)模型在數(shù)據(jù)分析中的意義.

上述數(shù)學(xué)應(yīng)用可以看作是結(jié)構(gòu)良好的、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模活動(dòng).在這種活動(dòng)中，一般只要求學(xué)生依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)型特征，找到已有的、常規(guī)的數(shù)學(xué)方法和工具，利用題設(shè)或測(cè)量獲得相關(guān)的數(shù)值，進(jìn)而解決問(wèn)題.

3.經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中提出問(wèn)題，構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)建模的思想方法

狹義的數(shù)學(xué)建模一般針對(duì)真實(shí)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，經(jīng)歷提出問(wèn)題、建立模型、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、修正模型、解決問(wèn)題等多循環(huán)過(guò)程，可以綜合地反映一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.對(duì)于大多數(shù)初中生來(lái)說(shuō)，對(duì)這種意義上的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)有一些初步的感受即可.具體要求包括如下幾個(gè)方面.

（1）通過(guò)閱讀材料、觀摩案例，了解數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過(guò)程，感悟運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決真實(shí)問(wèn)題的方法與意義.

（2）在一些真實(shí)的、開(kāi)放的問(wèn)題中，能夠用已掌握的方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)去模擬具體情境，構(gòu)建近似模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.例如，可以把拱橋的輪廓看作拋物線，通過(guò)收集實(shí)際數(shù)據(jù)，構(gòu)建二次函數(shù)模型，解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

（3）通過(guò)各種具體的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)案例，理解解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一般流程，感悟統(tǒng)計(jì)模型在處理不確定現(xiàn)象時(shí)的作用與意義.

（4）能針對(duì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程的某個(gè)環(huán)節(jié)提出或解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.例如，能在實(shí)際情境中提出有意義的問(wèn)題，能依據(jù)實(shí)際情境評(píng)價(jià)所建立模型的合理性，能理解和解釋所得建模結(jié)果的實(shí)際意義等.

上述形式的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是高中階段數(shù)學(xué)課程的基本要求.在初中階段，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況適度開(kāi)展相應(yīng)的建?；顒?dòng)（包括撰寫(xiě)數(shù)學(xué)建模報(bào)告），為高中階段的學(xué)習(xí)奠定一定的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).

4.在跨學(xué)科綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，感悟數(shù)學(xué)模型的普遍性與簡(jiǎn)潔美

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)跨學(xué)科的綜合實(shí)踐活動(dòng)提出了明確要求（占各學(xué)科10%的課時(shí)），從而為學(xué)生感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用、形成模型觀念提供了更多的機(jī)會(huì).具體要求包括如下幾個(gè)方面.

（1）能夠建立已知的數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系.例如，知道幾何中的角度與斜坡的坡度之間的關(guān)系，知道物質(zhì)的密度、液體的濃度等都可以用百分?jǐn)?shù)表示，知道三角形的重心與物理中的重心之間的關(guān)聯(lián)和區(qū)別，等等.

（3）知道將數(shù)學(xué)模型運(yùn)用于跨學(xué)科情境時(shí)都需要經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單化、形式化等抽象過(guò)程；初步感悟數(shù)學(xué)的高度抽象性帶來(lái)的廣泛應(yīng)用性及數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)潔性，欣賞數(shù)學(xué)的審美價(jià)值.

事實(shí)上，大多數(shù)應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型的命名，都依賴(lài)于所描述的學(xué)科背景.例如，生物學(xué)中的種群增長(zhǎng)模型，氣象學(xué)中的大氣環(huán)流模型，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的組合投資模型，社會(huì)學(xué)中的人口發(fā)展模型，等等.因此，通過(guò)跨學(xué)科的建?；顒?dòng)，可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型作為一種普適性的語(yǔ)言在其他學(xué)科中的實(shí)際作用.

三、在數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中感悟模型思想

與小學(xué)階段相同，數(shù)學(xué)化的過(guò)程也是初中階段形成和發(fā)展模型觀念的有效途徑.特別地，初中階段的數(shù)學(xué)概念一般都給出了明確的定義，而在形成概念定義的過(guò)程中，既涉及數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，也常常含有數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)的核心概念中往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)基本思想.要充分重視數(shù)學(xué)核心概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程.

下面，我們通過(guò)一次函數(shù)的引入設(shè)計(jì)，考查核心概念的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程在培養(yǎng)學(xué)生模型觀念中的作用.

問(wèn)題情境：《伊索寓言》中有這樣一個(gè)寓言故事.如圖2，一只烏鴉口渴了，到處找水喝.烏鴉看見(jiàn)一個(gè)瓶子，瓶子里面有水.可是，瓶子里的水不多，瓶口又小，烏鴉喝不著水.怎么辦呢？烏鴉看見(jiàn)旁邊有許多小石子，想出辦法來(lái)了.烏鴉把小石子一個(gè)一個(gè)地放進(jìn)瓶子里，瓶子里的水漸漸升高，烏鴉就喝著水了.

圖2

如果把故事改為烏鴉將小石子投進(jìn)一口深井中使得水面上升，直到能喝到水為止.你覺(jué)得這可能嗎？

模擬實(shí)驗(yàn)：如圖3，把水井近似地看作圓柱形，可以用一個(gè)圓柱形的玻璃水杯（設(shè)直徑為60 mm）做一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn).先在一個(gè)玻璃水杯中倒入一定量的水，然后在容器中投入相同大小的玻璃珠（設(shè)直徑為16 mm），每投入一顆，測(cè)量水面增加的高度，于是可以得到一組關(guān)于玻璃珠數(shù)與水面高度的數(shù)據(jù)，如表1所示.

圖3

表1

猜想規(guī)律：由表格中的數(shù)據(jù)可以猜測(cè)出規(guī)律為y=0.76x+40.5.

驗(yàn)證規(guī)律：假設(shè)再投入4顆玻璃珠，那么x=9，代入上式計(jì)算可得y=0.76×9+40.5=47.34.與測(cè)量值進(jìn)行比對(duì)，如果相等那么說(shuō)明上述猜想正確.經(jīng)過(guò)多次驗(yàn)證后確認(rèn)猜想無(wú)誤，說(shuō)明y=0.76x+40.5即為所求的數(shù)學(xué)模型.在這個(gè)模型中，y隨x的變化而變化，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).依據(jù)變量與函數(shù)的定義，判斷y與x之間具有函數(shù)關(guān)系，再依據(jù)其表達(dá)式的形式特征，可以稱(chēng)為一次函數(shù).

模型解釋?zhuān)涸谝淮魏瘮?shù)y=0.76x+40.5中，x表示向玻璃杯丟進(jìn)玻璃珠的顆數(shù)，y是玻璃杯中水面的高度，40.5是玻璃杯中原有的水面高度，而0.76是每投入一顆玻璃珠后水面上升的高度，反映了水面升高的快慢程度.水杯的口徑越小，或者玻璃珠的直徑越大，水面升高的幅度就越大.

解決原始問(wèn)題：依據(jù)上述實(shí)驗(yàn)與推導(dǎo)過(guò)程可知，原始問(wèn)題也可歸結(jié)為一次函數(shù)模型.假設(shè)這口井的直徑是80 cm，小石子平均大小為8 cm3，水面離烏鴉的距離為100 cm.我們來(lái)考查，烏鴉需要丟入多少顆小石子才能讓井水上升100 cm？因?yàn)榫诘闹睆綖?0 cm，所以井口的橫截面面積為π×402≈5 024cm2，而小石子的體積為8 cm3，所以每丟進(jìn)一顆小石子可以使水面上升8÷5 024≈0.001 59cm，可取近似值0.001 6 cm.要使得井水升高100 cm，就是求滿足0.001 6x≥100的x的最小整數(shù)值，約為62 500顆小石子.假設(shè)烏鴉每分鐘可以投10顆小石子，那么要使得水面升高100 cm，所需時(shí)間要超過(guò)100小時(shí).看起來(lái)不太現(xiàn)實(shí)！

模型拓展：好的數(shù)學(xué)模型不只是解決一個(gè)特殊的問(wèn)題，而是可以解決一類(lèi)相關(guān)的問(wèn)題.本案例中的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以從多個(gè)角度進(jìn)行拓展.例如，將自變量從x顆玻璃珠改成xmL的水，從而將離散變量變成連續(xù)變量；通過(guò)改變玻璃杯已有水的高度，使學(xué)生明白初始數(shù)值對(duì)函數(shù)表達(dá)式的影響；通過(guò)改變玻璃杯的口徑大小，理解其對(duì)一次函數(shù)中一次項(xiàng)系數(shù)的影響，感悟函數(shù)的變化快慢程度；通過(guò)改變玻璃杯的形狀，使學(xué)生直觀了解函數(shù)的變化規(guī)律；等等.

雖然上述原始問(wèn)題實(shí)際上不用構(gòu)建一次函數(shù)模型也能解決，但此問(wèn)題情境的教學(xué)目的是引入一次函數(shù).通過(guò)這種建模過(guò)程，可以更好地幫助學(xué)生理解一次函數(shù)的特征及意義，其中包括函數(shù)表達(dá)式中兩個(gè)變量及系數(shù)的實(shí)際意義，從而感悟函數(shù)的模型思想.

四、解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題有助于發(fā)展模型觀念

在小學(xué)階段主要研究的是具體的數(shù)量關(guān)系，到了初中，有了含字母的代數(shù)式后，就可以通過(guò)方程、不等式、函數(shù)研究具有一般意義的數(shù)量關(guān)系.將方程、不等式、函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際情境，可以得到各種具體的數(shù)學(xué)模型.因此，初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題是培養(yǎng)模型觀念的有效途徑.

下面我們來(lái)看一個(gè)二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題.

例 圖4是一座拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2 m時(shí)，水面寬4 m.當(dāng)水面下降1 m后，水面寬度增加多少？

圖4

從上述原始問(wèn)題出發(fā)，可以設(shè)計(jì)不同層次的數(shù)學(xué)建模活動(dòng).

層次1：在已知模型類(lèi)型特征的條件下，根據(jù)給定數(shù)據(jù)，利用數(shù)學(xué)工具求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決常規(guī)問(wèn)題.

在已知拱橋輪廓是拋物線的情況下，學(xué)生的工作主要是根據(jù)實(shí)際情況建立平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)平面直角坐標(biāo)系中確定拋物線位置的幾何要素，確定二次函數(shù)的表達(dá)式，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)模型，然后通過(guò)運(yùn)算獲得所求結(jié)果.

在解題過(guò)程中，學(xué)生需要根據(jù)實(shí)際情況選取合適的平面直角坐標(biāo)系.從理論上看，可以建立如圖5所示的各種不同的平面直角坐標(biāo)系.

圖5

但考慮到水面高度的不確定性，圖5（a）中的方法更符合實(shí)際情況.

層次2：根據(jù)給定的問(wèn)題情境，自己提出有意義的問(wèn)題，構(gòu)建常規(guī)模型，解決問(wèn)題.

在拱橋情境中，學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)提出各種常規(guī)的應(yīng)用問(wèn)題.例如，要想讓一條游船順利通過(guò)拱橋，那么對(duì)游船的大小規(guī)格有什么要求？（學(xué)生可以把游船的大小規(guī)格簡(jiǎn)化為游船橫截面的大小，并進(jìn)一步抽象為平面圖形，如長(zhǎng)方形，或長(zhǎng)方形與三角形的組合，然后利用二次函數(shù)計(jì)算相關(guān)的數(shù)據(jù)）；如果想讓兩條相同規(guī)格的游船在拱橋下交會(huì)，那么對(duì)拱橋的尺寸有什么要求？

在實(shí)際情境中提出有意義的問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的第一步，也是培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑.

層次3：根據(jù)實(shí)際情境，適當(dāng)改變所設(shè)條件，提出開(kāi)放性的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題.例如，實(shí)地考察或者觀察各種橋梁的造型（如圖6），構(gòu)建恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型模擬橋拱的輪廓曲線.

圖6

如圖7，考慮橋拱的各種建筑設(shè)計(jì)，從各種角度（成本、橋面的平穩(wěn)性、橋拱的通過(guò)率、兩岸的跨度等）進(jìn)行建模與比較.

圖7 橋拱的設(shè)計(jì)

根據(jù)橋拱的具體建造過(guò)程考查相關(guān)的數(shù)學(xué)或跨學(xué)科問(wèn)題.例如，對(duì)于傳統(tǒng)磚石結(jié)構(gòu)的橋拱，需要考慮重心的位置（如圖8（a））與壓力的分解（如圖8（b））等跨學(xué)科問(wèn)題.

圖8

事實(shí)上，在各種數(shù)學(xué)應(yīng)用活動(dòng)中都多少包含數(shù)學(xué)建模的成分，從提出有意義的實(shí)際問(wèn)題到實(shí)際情境與數(shù)學(xué)表征之間的轉(zhuǎn)變，從原始問(wèn)題的分析、假設(shè)、抽象到數(shù)學(xué)工具、方法的選擇，從模型的構(gòu)建到數(shù)學(xué)結(jié)果的分析、驗(yàn)證，等等.因此，初中階段培養(yǎng)學(xué)生模型觀念的主要途徑就是加強(qiáng)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用.

五、改進(jìn)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的評(píng)價(jià)方式

從數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)評(píng)價(jià)的行為指標(biāo)來(lái)看，國(guó)際上有兩種主要途徑：一是通過(guò)完整的數(shù)學(xué)建模任務(wù)，考查學(xué)生可以到達(dá)建模過(guò)程的哪個(gè)環(huán)節(jié)，以及相關(guān)的行為特征與水平；二是依據(jù)數(shù)學(xué)建模各個(gè)環(huán)節(jié)的表現(xiàn)特征，分別設(shè)置片段式的數(shù)學(xué)任務(wù)，側(cè)重考查學(xué)生在某個(gè)建模環(huán)節(jié)中的表現(xiàn).

上述第一種途徑可以更好地反映數(shù)學(xué)建模的整體性，在多數(shù)國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽或相關(guān)研究中，一般都采用這種形式，并根據(jù)數(shù)學(xué)建模的一般流程開(kāi)發(fā)出了各種過(guò)程性評(píng)價(jià)指標(biāo).例如，表2是美國(guó)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)、美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)聯(lián)合構(gòu)建的數(shù)學(xué)建模評(píng)估表.

表2 數(shù)學(xué)建模評(píng)估表

從上述評(píng)估表可以看到，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的評(píng)價(jià)主要采取的是形成性評(píng)價(jià)方式，重點(diǎn)是學(xué)生自己對(duì)建模過(guò)程的感悟與反省.教師可以通過(guò)學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的反饋，了解其在建?；顒?dòng)中的心路歷程，進(jìn)而對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)表現(xiàn)特征與水平做出評(píng)估，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出改進(jìn)建議.

由于初中階段不要求所有學(xué)生都能進(jìn)行完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.因此，可以通過(guò)第二種途徑將數(shù)學(xué)建模的思想融入日常的數(shù)學(xué)教學(xué)與評(píng)價(jià)，通過(guò)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容細(xì)化模型觀念的行為指標(biāo)，再依據(jù)行為指標(biāo)設(shè)計(jì)反映數(shù)學(xué)建模某個(gè)環(huán)節(jié)的片段式樣例，考查學(xué)生的模型觀念的行為特征與水平.