盧芳芳

（浙江省寧波外國語學(xué)校）

分類在生活中有著廣泛的應(yīng)用，如垃圾分類、圖書分類等.在數(shù)學(xué)學(xué)科中，分類思想因其具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，在培養(yǎng)學(xué)生思維能力上備受重視.教學(xué)中，復(fù)習課作為重要的課型，卻常常落入題目堆積的俗套.若復(fù)習課能精于設(shè)計、高于立意，則可以達到意想不到的效果和高度.現(xiàn)將一節(jié)市級公開課——“基于分類討論的相似三角形復(fù)習課”整理成文，與各位同仁分享.

一、教學(xué)背景

“相似三角形”是浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊第四章的內(nèi)容，是繼全等三角形后研究的兩個三角形之間的關(guān)系.從全等三角形到相似三角形，從等角又等距到只等角的變換，充分體現(xiàn)了從特殊到一般的思想.從兩條線段的等量關(guān)系到四條線段的比例關(guān)系，相似三角形的學(xué)習對于學(xué)生思維的訓(xùn)練和推理能力的培養(yǎng)提出了更高的要求.作為中考第一輪復(fù)習課，需要通過對相似三角形判定和性質(zhì)的復(fù)習，彰顯相似三角形的知識結(jié)構(gòu).由于對應(yīng)關(guān)系的不確定性，分類討論在相似三角形的各類問題中有著廣泛的應(yīng)用，本節(jié)課的教學(xué)就是在這樣的背景下形成的.

二、教學(xué)過程

1.引入情境

師：同學(xué)們，家里產(chǎn)生的果皮、舊報紙、餐巾紙及礦泉水瓶這些垃圾，應(yīng)該怎樣分類投放呢？

生1：果皮是廚余垃圾，舊報紙、礦泉水瓶是可回收垃圾，餐巾紙是其他垃圾.

師：很好！我們都要學(xué)會垃圾分類.其實生活中還有很多需要分類的例子.例如，圖書館的圖書要進行分類；商店里的商品要進行分類；同樣地，我們學(xué)習的知識也要進行分類.

【評析】每名學(xué)生在日常生活中都應(yīng)用過一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類、垃圾的分類等，利用學(xué)生的這一認知基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，使學(xué)生感受分類思想的重要性.同時，從學(xué)生身邊的實例出發(fā)，可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習的主動性及學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

2.復(fù)習舊知

用分類的方式復(fù)習相似三角形的基礎(chǔ)知識和基本圖形，具體用框架圖表示（圖略）.

【評析】在中考第一輪復(fù)習中，往往需要對知識進行整理，在這一過程中經(jīng)常會用到分類思想.因為通過分類，可以梳理知識間的關(guān)系，幫助學(xué)生更好地復(fù)習.本節(jié)相似三角形的復(fù)習課以分類引入，運用分類思想對知識進行梳理，思路清晰自然，既突出了分類的必要性，又對基礎(chǔ)知識和基本圖形做了有效的復(fù)習整理.

3.設(shè)計“問題串”

問題1：若在一塊三角形材料△ABC中，AD是BC邊上的高，并且，BD=3，DC=1，你能告訴我這塊三角形材料的形狀嗎？

教師展示如圖1所示的含30°角的直角三角形材料，并問：是這個三角形嗎？有沒有不同意見？

圖1

生2：還有可能是等腰三角形（如圖2）.

圖2

師：你是怎么想到的？

生2：因為三角形的高可以在形內(nèi)也可以在形外.高在形外的時候就是為底角為30°的等腰三角形.

師：說得好！遇到三角形高的問題，又沒有給出圖形的情況下，經(jīng)常要涉及分類討論.我們將高的位置分成三類——形內(nèi)、形上和形外，然后對各種情況進行討論得出結(jié)果，這就是分類討論.高在形上這種情況是不存在的，故最后有以上兩種情況.

師：將問題1的條件改為：如圖1，在△ABC中，AD是BC邊上的高，并且AD2=BD·CD，你能說出這個三角形的形狀嗎？

生3：直角三角形.

師：你是怎么得到的？

生3：利用三角形相似的判定定理.

以此復(fù)習三角形相似的判定定理：兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似.

師：將上面變式中的，將“如圖1”這個條件去掉，還能得到此結(jié)論嗎？

【評析】相似三角形中最典型的分類討論就是由于相似的對應(yīng)關(guān)系不明確造成的.問題1中的對應(yīng)邊不確定，故將其放在首位.從特殊的三角形引入，讓學(xué)生明白以下幾個問題.

（1）為什么要分類？因為問題的分析到達某一地方時出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，會產(chǎn)生多種結(jié)果，如果不停下腳步分類討論，難以繼續(xù)下去或直接導(dǎo)致錯誤信息的出現(xiàn).

（2）怎么分類？用分類討論的思想解答數(shù)學(xué)問題，一般進行如下操作：先明確討論的對象，再確定分類標準，正確進行分類，后逐類進行討論，最后歸納小結(jié)，得出結(jié)論.

（3）分類的注意事項是什么？不重復(fù)、不遺漏.

此題在復(fù)習相似三角形的判定定理的同時，也給出了相似三角形中最為常見的基本圖形之一.更重要的是，問題中的三角形材料也將成為整節(jié)課的主角，貫穿始終.

問題2：要在圖1這塊直角三角形的材料中剪出一個內(nèi)接正方形（頂點在三角形邊上），求這個正方形的邊長（教師展示問題1中的三角形材料）.

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論，并提示如何進行分類，分類的標準是什么.

學(xué)生板演（過程略），教師闡述這個問題應(yīng)該如何分類.

師：正方形的四個頂點落在三角形的三條邊上，則有兩個頂點落在同一條邊上，得到如下分類.

（1）當兩個頂點落在三角形斜邊BC上時，如圖3所示；

圖3

（2）當兩個頂點落在三角形直角邊AC上時，易得正方形的一個頂點與點A重合，如圖4所示；

圖4

（3）當兩個頂點落在三角形直角邊AB上時，同（2）.

【評析】在原有的三角形材料基礎(chǔ)上設(shè)計此題，自然流暢.此題同樣是一道典型題.因為方案的不確定性，所以需要分類討論.通過分析得到分類，進一步強化如何分類討論.另外，兩種結(jié)果的圖形恰好是經(jīng)常涉及的相似三角形的基本圖形，其中也用到了性質(zhì)——相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，以達到復(fù)習基礎(chǔ)知識的目的.當然，學(xué)生若是用30°角的三角函數(shù)值來解決問題，也應(yīng)給予贊同，因為三角函數(shù)的本質(zhì)也是相似三角形.

問題3：如圖5，將這個含30°角的Rt△ABC和等腰直角三角形DEF各剪一刀，把△ABC和△DEF分別分成兩個三角形，使△ABC分成的兩個三角形和△DEF分成的兩個三角形分別相似.（教師再給出一個等腰直角三角形材料.）

圖5

師生活動：每四人為一組進行合作探究，確定如何分類，探討分類的依據(jù)，最終請小組代表進行匯報.

將兩個三角形各剪一刀，分別分成兩個三角形，則分割線必須經(jīng)過三角形的頂點.將△ABC分割，可以分為從頂點出發(fā)的三種情況；由于△DEF為等腰直角三角形，頂點E和點F等同，不妨分為兩種情況.故以兩個三角形的分割線過頂點為標準分為如表1所示的6種情況.

表1

【評析】在原有的含30°角的直角三角形材料的基礎(chǔ)上另給出一個等腰直角三角形材料（恰好構(gòu)成一副三角板），構(gòu)成一道典型例題.關(guān)于這道題的變式有很多，此題中由于角度的特殊性，對學(xué)生思維的要求相對低一些.此題之所以分類討論同樣是因為方案的不確定性，可以根據(jù)對應(yīng)角的不同解決問題，但要完整地解決問題，還需要嚴格的分類討論.同時，此題也復(fù)習了相似三角形最為常見的判定定理——兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

圖6

若過點D剪得的三角形與△ABC相似，則應(yīng)確定過點D的直線與原三角形的哪條邊相交，從而得到兩種情況，再根據(jù)相似的對應(yīng)關(guān)系進行分類，如圖7所示，具體分類如表2所示.

圖7

表2

問題5：問題4中，若點D是三角形邊上（不包括頂點）任意一點，過點D剪得的三角形與△ABC相似，則這樣的剪法有幾種？

師生活動：給學(xué)生充足的時間思考，并給予個別指導(dǎo)，結(jié)合學(xué)生的回答及PPT的動畫演示進行解析.

（1）如圖8，當點D在AC邊上時，剪法有4種.

圖8

（2）如圖9，當點D在BC邊上時，剪法有3種.

圖9

（3）當點D在AB邊上時.

圖10

圖11

【評析】此題是中考中常見的以某三個點為頂點的三角形與原三角形相似的問題.由于對學(xué)生思維要求很高，故采用了階梯式設(shè)計.問題4較為基礎(chǔ)，多數(shù)學(xué)生都能輕松解決；但問題5要求學(xué)生先分三邊進行討論，再對邊AB找到臨界狀態(tài)，并加以分類討論，難度較大，是本節(jié)課的高潮.考慮到學(xué)生在這個環(huán)節(jié)上解題會存在困難，教師講評時應(yīng)注重啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生充分感受到分類討論的必要性.

4.梳理小結(jié)

在復(fù)習相似三角形的同時，總結(jié)“分類討論”的有關(guān)內(nèi)容.

【評析】完成知識復(fù)習的同時，對思想方法進行梳理、小結(jié)可謂水到渠成.

三、教學(xué)反思

中考第一輪復(fù)習課必須立足基礎(chǔ)，但又不僅僅是簡單地“炒冷飯”，而是要把學(xué)生學(xué)過的知識和方法進行歸納、整理、深化和升華，讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的同時，在解題能力、數(shù)學(xué)思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng)上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍.

相似三角形復(fù)習課的設(shè)計有很多種，可以先進行基礎(chǔ)知識的復(fù)習，再進行例題解析，并對例題進行拓展演練.而在設(shè)計過程中，教師也會注意到“分類討論”是相似三角形復(fù)習的一大難點，會在課堂中加以強調(diào)，以實現(xiàn)知識的突破.不過，以大量的、不同種類的例題或練習題的堆積來達到復(fù)習的目的，會讓學(xué)生倍感壓力，其呈現(xiàn)方式很容易程序化，毫無懸念.好的課堂教學(xué)，就應(yīng)該像一段引人入勝的故事，情節(jié)緊湊，環(huán)環(huán)相扣，高潮迭起.本節(jié)課從以下兩個方面入手，讓課堂精彩紛呈的同時，使教學(xué)設(shè)計有了可操作性和可推廣性.

1.以問題為基礎(chǔ)，從生長到升華，線索清晰可操作

本節(jié)課中，通過問題串的設(shè)計突出基本圖形的重要作用，使學(xué)生在問題解決的過程中感受圖形的變化、延伸過程，體會分類討論的重要性.教學(xué)設(shè)計中兩條線索并行.

線索1：以含30°角的直角三角形材料貫穿始終.

由問題引出含30°角的直角三角形材料，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計各類問題，將豐富的相似三角形復(fù)習題，以及“分類討論”題型串在一起，在分類思想的引導(dǎo)下，解決問題的同時完成相似三角形的各個判定與性質(zhì)的復(fù)習，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，巧妙高效.問題的呈現(xiàn)以活動為主，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，使課堂氣氛活躍，并使學(xué)生在不知不覺中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

線索2：由淺入深地呈現(xiàn)不同形式的分類討論.

初中階段的分類討論問題大多出現(xiàn)在幾何問題中，而相似三角形又是很好的媒介，所以抓住機會，從無圖到有圖，從一個對象到兩個對象，從靜態(tài)到動態(tài)，將各種方式的分類一一展現(xiàn)給學(xué)生.授課過程中引導(dǎo)學(xué)生注重分類的必要性、分類的方法以及注意事項等，讓學(xué)生對“分類討論”有了準確的理解和掌握.

2.以知識為載體，以思想為指導(dǎo)，單元設(shè)計可推廣

本節(jié)課將知識和思想方法融合組合成具有教學(xué)主線的小單元，進行思維深化和能力提升.這種單元教學(xué)既有助于學(xué)生建構(gòu)牢固的知識結(jié)構(gòu)，又能突出核心知識、普適方法和基本數(shù)學(xué)思想的內(nèi)化與遷移.

無論是章節(jié)復(fù)習課還是中考總復(fù)習課，都需要用思想方法指引基礎(chǔ)知識與基本技能的單元教學(xué).例如，在等腰三角形復(fù)習課上實踐分類討論，在圓復(fù)習課上的實踐分類討論，在幾何動態(tài)問題中應(yīng)用分類討論，等等.這樣的教學(xué)倡導(dǎo)關(guān)注教學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想的滲透，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).同時，這樣的教學(xué)對教師也提出了更高的要求，需要教師對數(shù)學(xué)知識和結(jié)構(gòu)有較深的認識，并具備一定的教學(xué)實踐能力和反思意識.

著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出，學(xué)生對作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘記了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益.基于分類討論的相似三角形復(fù)習課，在落實基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上，更加注重基本思想、基本活動經(jīng)驗的獲得.而通過數(shù)學(xué)學(xué)習，學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決現(xiàn)實生活中的實際問題，則是教育的根本意義所在.