廣州市第四中學(xué)(510140)張宏杰

廣州市南武中學(xué)(510240)蔣強(qiáng)軍

1 引言

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),也是數(shù)學(xué)育人價(jià)值的集中體現(xiàn).新課標(biāo)界定的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.其中邏輯推理素養(yǎng)是指從一些事實(shí)和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).在《普通高中》[1]中明確了“邏輯推理素養(yǎng)”與“邏輯推理能力”之間的區(qū)別:邏輯推理素養(yǎng)是指表現(xiàn)在人身上的東西,不僅表明這個(gè)人具有邏輯推理的能力,而且表明這個(gè)人具有較好的思想品質(zhì).邏輯推理素養(yǎng)是比邏輯推理能力更高的要求.衡量一個(gè)學(xué)生邏輯推理的能力,需要設(shè)置特定的問題,觀察學(xué)生在處理問題的過程中的表現(xiàn),從而得出該學(xué)生邏輯推理能力的強(qiáng)弱.而要衡量一個(gè)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),則需要觀察學(xué)生在日常學(xué)習(xí)生活中的言語和行為是否具備一定的邏輯推理能力以及良好的思維品質(zhì).這意味著教師需要從學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)就開始就著手培養(yǎng)及提高學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,“充分條件與必要條件”是直接考察學(xué)生邏輯推理能力的內(nèi)容,因此,教師對(duì)“充分條件與必要條件”內(nèi)容的處理是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要教學(xué)環(huán)節(jié).

2 新舊教材對(duì)“充分條件與必要條件”處理的對(duì)比

舊人教A 版教材將“充分條件與必要條件”作為常用邏輯用語的主要內(nèi)容安排在必修四的第一章當(dāng)中,圍繞“若p則q”命題討論充分條件、必要條件和充要條件.之后第二章則是圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí),第三章是空間向量與立體幾何的學(xué)習(xí).從教材的整體性來看,“充分條件與必要條件”作為一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)板塊出現(xiàn)在必修四當(dāng)中,與后續(xù)學(xué)習(xí)的知識(shí)缺乏一定的聯(lián)系.

新課標(biāo)對(duì)“充分條件、必要條件、充要條件”的要求為:通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系;通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系;通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充要條件的意義,理解定義與充要條件的關(guān)系.根據(jù)新課標(biāo)的要求,新人教A 版教材將“充分條件與必要條件”作為常用邏輯用語的主要內(nèi)容安排在必修第一冊(cè)的第一章的第四節(jié)當(dāng)中,通過典型命題引導(dǎo)學(xué)生理解判定定理、性質(zhì)定理、定義分別與充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系.隨后在后面各章節(jié)的內(nèi)容、例題以及習(xí)題中反復(fù)出現(xiàn)“充分條件與必要條件”,提高學(xué)生使用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象以及推理過程的認(rèn)識(shí),體現(xiàn)了新教材的整體性與科學(xué)性.

3 新教材對(duì)“充分條件與必要條件”處理的原因

通過對(duì)比新舊教材對(duì)“充分條件與必要條件”的處理,可以發(fā)現(xiàn)“充分條件與必要條件”在新教材當(dāng)中的地位之重.根據(jù)新課標(biāo)對(duì)“充分條件、必要條件、充要條件”的要求,可以分析新教材對(duì)“充分條件與必要條件”處理的原因:

(1)新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生要理解判定定理、性質(zhì)定理、定義分別與充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系,這是希望教師在后續(xù)學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)對(duì)象的定義、判定定理以及性質(zhì)定理的過程當(dāng)中讓學(xué)生能從“充分條件與必要條件”的角度去表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象;

(2)學(xué)生在第一章學(xué)習(xí)完“充分條件與必要條件”之后,教師可加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生去思考在解決數(shù)學(xué)問題的過程當(dāng)中遇到的條件與結(jié)論之間的關(guān)系,辨別兩者之間的充分性與必要性,從而加強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力;

(3)在高中數(shù)學(xué)三年的學(xué)習(xí)當(dāng)中,教師不斷引導(dǎo)學(xué)生用“充分條件與必要條件”的視角去看待數(shù)學(xué)對(duì)象與推理過程,從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

4 “充分條件與必要條件”在教學(xué)中的滲透

根據(jù)新課標(biāo)和新教材的要求,教師可在后續(xù)數(shù)學(xué)對(duì)象的學(xué)習(xí)中滲透“充分條件與必要條件”,從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

4.1 “充分條件與必要條件”在不等式教學(xué)中的滲透

在第一章學(xué)習(xí)集合與常用邏輯語言后,緊接著第二章不等式的學(xué)習(xí),運(yùn)用“充分條件與必要條件”可加深對(duì)不等式性質(zhì)的理解.

在第一節(jié)比較兩實(shí)數(shù)的大小中,課本提到一個(gè)基本事實(shí):“如果a-b是正數(shù),那么a＞b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是負(fù)數(shù),那么a ＜b.這個(gè)基礎(chǔ)事實(shí)可以表示為:a＞b ?a-b＞0;a=b ?a-b=0;a ＜b ?a-b ＜0.”在處理該教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí),教師可向?qū)W生說明該事實(shí)“a＞b(a ＜b,a=b)的充要條件是a-b＞0(a-b ＜0,a-b=0)”.教師通過充要條件的滲透使學(xué)生意識(shí)到兩實(shí)數(shù)的大小關(guān)系和它們的差與零的大小關(guān)系是“同一回事”,既復(fù)習(xí)了上一節(jié)所學(xué)習(xí)的充要條件知識(shí),也為以后判斷兩實(shí)數(shù)大小以及證明兩數(shù)之差與零的關(guān)系作鋪墊.

在第一節(jié)介紹課本不等式性質(zhì)4“如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc”中,從“充分條件與必要條件”的角度,教師可結(jié)合例子強(qiáng)調(diào)“a＞b,c＞0”是“ac＞bc”的充分不必要條件,“ac＞bc”無法得到“a＞b,c＞0”,但在“c＞0”的前提下,“a＞b”是“ac＞bc”的充要條件.通過上述充分條件與必要條件與不等式性質(zhì)的滲透,可增加學(xué)生對(duì)充分條件與必要條件的掌握以及對(duì)不等式性質(zhì)的理解.

4.2 “充分條件與必要條件”在函數(shù)教學(xué)中的滲透

在第三章函數(shù)的教學(xué)當(dāng)中,教師可從“充分條件與必要條件”的角度加深學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的認(rèn)識(shí),并且適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行知識(shí)延伸.

(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的定義:“設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D ?I:如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1＜x2時(shí)都有f(x1)＜f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.”在講授的單調(diào)性的定義當(dāng)中,教師根據(jù)充要條件和定義之間的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生把握“?x1,x2∈D,當(dāng)x1＜x2時(shí)都有f(x1)＜f(x2)”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增”的充要條件,從而能根據(jù)“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增”得到“當(dāng)x1,x2∈D,x1＜x2時(shí),有f(x1)＜f(x2).”通過以上“充分條件與必要條件”的滲透,能讓學(xué)生學(xué)習(xí)單調(diào)性定義的同時(shí)牢牢把握單調(diào)性的性質(zhì),進(jìn)而為以后解決根據(jù)單調(diào)性判定大小的問題作出鋪墊.

當(dāng)學(xué)生把握函數(shù)單調(diào)性的定義之后,教師可從從“充分條件與必要條件”的角度給學(xué)生添加變式,從而加深學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解:

其中變式1.與變式2.是不等式充要性的運(yùn)用,變式3.則能讓學(xué)生充分理解單調(diào)性的定義中先有“x1＜x2”再有“f(x1)＜f(x2)”的邏輯先后性.教師在教學(xué)過程中可適當(dāng)給出反例,證明“?x1,x2∈D,f(x1)＜f(x2)時(shí),有x1＜x2”并不能得到“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增”.

(2)在奇偶性的學(xué)習(xí)當(dāng)中,新教材人教A 版必修第一冊(cè)第85 頁(yè)的課后練習(xí)有一題新增題目:“從偶函數(shù)的定義出發(fā),證明y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;從奇函數(shù)的定義出發(fā),證明y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.”該題目的出發(fā)點(diǎn)是:作為高中剛學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì),該題目能讓學(xué)生從“充分條件與必要條件”的角度經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的過程,從而逐漸培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.通過該課后習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)的奇偶性與函數(shù)圖象的對(duì)稱性建立起充要性后,教師可根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性,對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行拓展:

①函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,即關(guān)于直線x=0 對(duì)稱,從而延伸到問題:“y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是什么? ”

②函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,從而延伸到問題:“y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱的充要條件是什么? ”(新教材人教A 版必修第一冊(cè)第87 頁(yè)第13 題)

由上述拓展,教師通過“充分條件與必要條件”在函數(shù)奇偶性中的滲透,可引導(dǎo)學(xué)生得到函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱或者關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱的性質(zhì).

4.3 “充分條件與必要條件”在立體幾何教學(xué)中的滲透

在文獻(xiàn)[2]中介紹了通過“充分條件與必要條件”在直線與線面垂直的定義中滲透,可逆向使用定義,得到線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化的路徑.

4.4 “充分條件與必要條件”在數(shù)列教學(xué)中的滲透

數(shù)列的學(xué)習(xí)通常圍繞著通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn展開學(xué)習(xí),其中通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是數(shù)列學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的一個(gè)重要教學(xué)環(huán)節(jié).由2021 年高考全國(guó)甲卷第7 題:等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)甲:q＞0,乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

啟示在進(jìn)行完等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn后,可從“充分條件與必要條件”角度滲透公差或公比與通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的邏輯關(guān)系.上題等比數(shù)列{an}中,有邏輯關(guān)系:{Sn}是遞增數(shù)列?an＞0(?n＞2),an＞0(?n＞2)?q＞0.

由于缺少a1的信息,因此無法得到“an＞0”與“q＞0”的充要關(guān)系.類似的,在等差數(shù)列中,有邏輯關(guān)系:{Sn}是遞增數(shù)列?an＞0(?n＞2),an＞0(?n＞2)?d＞0.

通過以上引導(dǎo),加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公差或公比與通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的邏輯關(guān)系的認(rèn)識(shí),發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

5 小結(jié)

綜上所述,在高中數(shù)學(xué)的概念與性質(zhì)教學(xué)中通過“充分條件與必要條件”的角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同命題的思考和探索新命題,能提高學(xué)生的邏輯推理能力,從而令學(xué)生在高中多個(gè)概念與性質(zhì)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).