湖北省赤壁市第一中學(xué)(437300)吳幼林

湖北省赤壁市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(437300)李凱歌

1 研究背景

在科技館中看到這樣一個(gè)裝置:平面上,一個(gè)動圓沿著一個(gè)定圓的內(nèi)側(cè)做滾動時(shí),動圓上的一個(gè)定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡固定,且隱藏著規(guī)律.當(dāng)動圓的半徑為定圓半徑的1/2 時(shí),該定點(diǎn)的軌跡是一條線段;當(dāng)動圓的半徑為定圓半徑的1/5 時(shí),該定點(diǎn)的軌跡是一條五角星線.

動圓與定圓的半徑比值為1/2 時(shí),定點(diǎn)的軌跡是一條線段,1/5 時(shí)是一條五角星線,好像其中隱藏著規(guī)律,由此展開合理地猜想,當(dāng)比值為1/3 時(shí),軌跡會不會近似于三角形;1/4時(shí),軌跡會不會近似于四邊形? 我們對此展開了探究.

2.研究目的

探究動圓在定圓內(nèi)側(cè)滾動時(shí),動圓上一定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的規(guī)律,并在此過程中鍛煉自主探究,分析思考,團(tuán)隊(duì)合作的能力.

3.研究內(nèi)容

用觀察法和代數(shù)法來進(jìn)行探究:利用幾何畫板官方自帶的內(nèi)擺線模塊,對觀察到的軌跡圖形化,說明方法的可行性,再設(shè)置半徑的比值不同,來驗(yàn)證我們的猜想;從該實(shí)際問題中提取信息,進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,再通過理論推導(dǎo),得到動圓周上一定點(diǎn)的軌跡方程,代入具體的半徑比值,做出對應(yīng)的圖形,可以得出結(jié)論:當(dāng)動圓的半徑和定圓半徑的比值是1/n時(shí),動圓周上一定點(diǎn)的軌跡為n尖瓣線(近似于n邊形).

4.研究方法

4.1 觀察法

借助幾何畫板官方自帶的內(nèi)擺線模塊,先通過設(shè)置半徑的比值為1/2 和1/5 來對我們的發(fā)現(xiàn)的軌跡進(jìn)行圖形化:

發(fā)現(xiàn)得到了和科技館裝置中相同的軌跡;再設(shè)置半徑的比值為1/3、1/4、1/6 時(shí),軌跡如下:

通過觀察得出的圖形,比值為1/3 時(shí),軌跡是三尖瓣線,1/4 時(shí)是星形線(四尖瓣線),1/5 時(shí)是五角星線(五尖瓣線),1/6 時(shí)是六角星線(六尖瓣線).

隨著我們不斷的該變比值1/n,發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)的軌跡的確是n尖瓣線.

4.2 用代數(shù)法探究

只是能驗(yàn)證半徑的比值為1/2,1/3,1/4,1/5,1/6 時(shí),軌跡符合我們的猜想,那么考慮該結(jié)論的普適性:當(dāng)半徑比值為1/n(n為任意數(shù)值)時(shí),結(jié)論是否依然能成立.這就要求我們能夠從數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性出發(fā),給出一般性的邏輯論證? 首先從該實(shí)際問題中提取信息,進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,我們將問題轉(zhuǎn)化為:已知大圓半徑為a,小圓半徑為b,假設(shè)大圓不動,而小圓在大圓內(nèi)無滑動地滾動,求動圓周上某一定點(diǎn)M的軌跡方程.

5.實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果

針對代數(shù)法得到的圓周上一定點(diǎn)的軌跡方程進(jìn)行實(shí)驗(yàn)作圖和結(jié)果分析.

5.1 實(shí)驗(yàn)作圖

不妨設(shè)當(dāng)b=1,做出不同比值的情況下對應(yīng)的圖形:

圖(1)

圖(2)

圖(3)

圖(4)

圖(5)

5.2 結(jié)果分析

由上述5 副圖形可得:半徑比值為1/2 時(shí),軌跡是一條線段;半徑比值為1/3 時(shí),軌跡是三尖瓣線;1/4 時(shí),軌跡是星形線(四尖瓣線);1/5 時(shí),軌跡是五角星線(五尖瓣線);1/6 時(shí),軌跡是六角星線(六尖瓣線).

隨著我們不斷的該變比值1/n,發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)的軌跡的確是n尖瓣線.綜合上述分析,用理論推導(dǎo)的形式,求出該軌跡方程的一般形式(a,b分別為大圓半徑、小圓半徑):(φ為參數(shù))

同時(shí)取小圓半徑與大圓半徑比值為1/n(n=2,3,4,5,6),和觀察法得出的圖形及結(jié)論相同;推導(dǎo)出當(dāng)半徑比值為 1/n時(shí),該軌跡的方程:(φ為參數(shù))

6.分析和討論

在以上分析中,我們默認(rèn)定圓半徑是動圓半徑的整數(shù)倍這一情況,在思考之后,我們認(rèn)為不夠嚴(yán)謹(jǐn),不是整數(shù)倍時(shí)的情況也需要進(jìn)行分析,針對這一情況進(jìn)行分析和討論:

取半徑為1/3.5,用觀察法和代數(shù)法得到的如上圖形.

當(dāng)a=3.5b時(shí),(φ為參數(shù))

從右圖可以看出,當(dāng)定圓半徑不是動圓半徑的整數(shù)倍時(shí),得到的軌跡圖形不是近似于n邊形(n尖瓣線),和研究目標(biāo)不符,故在此不作深入討論.

7.研究結(jié)論

根據(jù)以上分析,可以得出結(jié)論:當(dāng)動圓的半徑和定圓半徑的比值是1/n(n為正整數(shù))時(shí),動圓周上一定點(diǎn)的軌跡為n尖瓣線(近似于n邊形).

發(fā)現(xiàn)結(jié)論后,我們進(jìn)行思考,科技館中的裝置是按照小圓和大圓的半徑之比為1/2,1/5 時(shí)設(shè)計(jì)的,利用上述結(jié)論,如果按照1/3,1/4,1/6 來進(jìn)行設(shè)計(jì),定圓的內(nèi)切圓上一動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡分別為三尖瓣線、四尖瓣線、六尖瓣線,是比原來還要好玩的裝置.

而且考慮到實(shí)際裝置的局限性,只能展示出幾種半徑比值的情況,為了更好地、更全面地向大家展示我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,還可以在電腦上向大家演示,當(dāng)輸入的半徑比值不同時(shí),直接看到不同的、奇妙的軌跡圖形.