◎陳 城

(南京市百家湖小學(xué)，江蘇 南京 210000)

心理學(xué)家布魯納指出,學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)在于主動(dòng)形成認(rèn)知結(jié)構(gòu).認(rèn)知結(jié)構(gòu)化是指教師整體布局，學(xué)生認(rèn)知經(jīng)歷比較、關(guān)聯(lián)，化零碎認(rèn)識(shí)為整體認(rèn)知結(jié)構(gòu).從布魯納提倡的建立“學(xué)科基本結(jié)構(gòu)”理念，到奧蘇泊爾提出的所學(xué)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的有意義學(xué)習(xí)理論，都與筆者研究的“結(jié)構(gòu)”存在聯(lián)系.比較作為一種學(xué)習(xí)方法，常常用于對(duì)知識(shí)的整體性的認(rèn)識(shí)和建構(gòu)，通過(guò)比較，學(xué)生在“不同”中看到“聯(lián)系”，在“解構(gòu)”中進(jìn)行“建構(gòu)”.概念認(rèn)知是指學(xué)習(xí)主體對(duì)概念形成自己的認(rèn)知與理解.讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，是數(shù)學(xué)教師追求的目標(biāo)，若想達(dá)成這一目標(biāo)，教師有必要根據(jù)概念實(shí)質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行比較.下面，筆者結(jié)合蘇教版五年級(jí)下冊(cè)的“分?jǐn)?shù)的意義”，展開(kāi)結(jié)構(gòu)化研究：

一、比較的緣由

“分?jǐn)?shù)的意義”是蘇教版五年級(jí)下冊(cè)內(nèi)容，在此之前，學(xué)生已經(jīng)在三年級(jí)學(xué)習(xí)了“認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之幾”與“認(rèn)識(shí)一些物體的幾分之幾”，初步了解了分?jǐn)?shù)的意義，并系統(tǒng)學(xué)習(xí)了除法、倍數(shù)等相關(guān)聯(lián)的知識(shí).學(xué)生五年級(jí)學(xué)習(xí)這一課的時(shí)候，已經(jīng)積累了足夠的前概念和生活經(jīng)驗(yàn)，但這些知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)都零散地存放于學(xué)生的腦海里，等待在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中，通過(guò)比較產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)化.這里，需要教師注意以下這幾個(gè)地方：一是對(duì)單位“1”的概念認(rèn)知，“1”是學(xué)生幼兒時(shí)就接觸的數(shù)，概念內(nèi)涵豐富，這里的單位“1”與過(guò)去學(xué)過(guò)的“1”有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？學(xué)生通過(guò)比較后，能夠感悟單位“1”是一種倍比關(guān)系中的比較標(biāo)準(zhǔn)，而不是數(shù)的組成中的計(jì)數(shù)單位.二是對(duì)分?jǐn)?shù)的概念認(rèn)知，分?jǐn)?shù)既可以表示“量”，也可以表示“率”，但核心還是在“率”，理解分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵在于理解分?jǐn)?shù)表示了兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系，與所學(xué)的除法、倍數(shù)存在著很大的關(guān)聯(lián).理解到這一點(diǎn)，學(xué)生才能感悟到分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，有利于他們接下來(lái)學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)等一系列的概念，而這需要教師在課堂教學(xué)中，通過(guò)設(shè)置相應(yīng)的比較環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并理解.

二、具體策略

(一)在沖突處比較，讓“1”的概念認(rèn)知趨于結(jié)構(gòu)化

這里的沖突是指認(rèn)知的沖突，新知識(shí)和學(xué)生原有知識(shí)發(fā)生矛盾，進(jìn)而打破學(xué)生的認(rèn)知平衡，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行調(diào)整、整合，從而建立新的認(rèn)知平衡.在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到知識(shí)的沖突，這時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在沖突處比較，在比較中厘清概念的發(fā)展，讓認(rèn)知趨于結(jié)構(gòu)化.例如以下環(huán)節(jié)：

師:看到“1”你能想到什么？

生：一個(gè)人，一棵樹.

師：你們想到的“1”，都是指數(shù)量.如果把○看作1，那○○○○是？

生：4.

師：如果把○○看作1，那這里的○○○○是？

生：是2.因?yàn)榘选稹鹂醋?組，○○○○就有2組，所以是2.

師：如果把○○○○○○○○看作1，那○○○○是多少？

生1：因?yàn)槊拷M下面的那個(gè)“1”都是不一樣的.

生2：第一組的“1”表示1個(gè)，第二組的“1”表示1份，2個(gè)，第三組的“1”表示一份，8個(gè).

生3：1可以看作一個(gè)整體.

師：看來(lái)，“1”不再是我們以前單純認(rèn)為的數(shù)量1，可以說(shuō)它表示1份、一個(gè)整體，那從剛才比較的過(guò)程來(lái)看，這里的“1”相當(dāng)于？

生：比較的標(biāo)準(zhǔn).

學(xué)生在一年級(jí)時(shí)就認(rèn)識(shí)了“1”，建立了無(wú)論1棵數(shù)，還是1個(gè)人，只要在數(shù)量是1，都可以用1表示.二年級(jí)的時(shí)候，學(xué)生學(xué)習(xí)了乘法，初步感知1份、1組的概念，但對(duì)“1”的認(rèn)識(shí)更多地停留在指數(shù)量1上.本環(huán)節(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在沖突處進(jìn)行比較，學(xué)生的目光聚焦到“1”上，在比較中關(guān)注到“1”的不同，對(duì)“1”的概念的認(rèn)知也從數(shù)量1，上升到更概括的認(rèn)知——1份或1組，由此可見(jiàn)，這里的“1”實(shí)際上相當(dāng)于一種比較的標(biāo)準(zhǔn).至此，學(xué)生對(duì)“1”的概念認(rèn)知愈加趨于結(jié)構(gòu)化，也為后面理解分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、倍率與分率的關(guān)系打下基礎(chǔ).

(二)在回顧處比較，讓單位“1”的概念趨于結(jié)構(gòu)化

學(xué)生是帶著自己原有的理解與認(rèn)識(shí)來(lái)到課堂的，因此，教師一定要充分了解學(xué)生原有的舊知與經(jīng)驗(yàn)，充分利用學(xué)生的舊知，以舊知為生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)行新舊知的比較，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的同化或順應(yīng)，促使新舊認(rèn)知結(jié)合，讓知識(shí)趨于結(jié)構(gòu)化.例如，單位“1”的概念，很多教師只是告知學(xué)生什么是單位“1”，這樣簡(jiǎn)單的告知，剝奪了學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)，不利于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，筆者在教學(xué)中是這樣處理的：

師：我們知道“1”代表一種比較的標(biāo)準(zhǔn)，在以往學(xué)過(guò)的知識(shí)里，你覺(jué)得有哪些知識(shí)也表示比較的標(biāo)準(zhǔn)？

生1：長(zhǎng)度單位，比如1 cm，1 dm，1 m.

生2：面積單位，比如1 cm2.

師：我們把1 cm請(qǐng)出來(lái)，這是1 cm，那這條線段的長(zhǎng)度是？

生：將它和1 cm比較，有幾個(gè)1 cm就是幾厘米.

師：如果這個(gè)圖形的面積是1 cm2，那右邊圖形的面積怎么求？

生：將其和1 cm2比，我發(fā)現(xiàn)幾個(gè)1 cm2合起來(lái)就是幾平方厘米.

師：長(zhǎng)度單位、面積單位，它們都是計(jì)量單位.看來(lái)，剛剛我們說(shuō)的這個(gè)比較的標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)是單位，那么我們之前說(shuō)的1，可以叫作單位“1”.

師：回顧剛才講的關(guān)于○的題，每組是把什么看作了單位“1”？

生：先是把一個(gè)○看作了單位“1”，然后是把一些○，相當(dāng)于一個(gè)整體看作了單位“1”.

師：是的，現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)，可以把什么看作單位“1”？

生：一個(gè)物體、一個(gè)整體，還有計(jì)量單位，它們都可以看作單位“1”.

師：比較一下原來(lái)學(xué)過(guò)的“單位”，和今天學(xué)的“1”和單位“1”，你們有什么想說(shuō)的？

生1：把單位，還有“1”合起來(lái)，就是我們學(xué)的單位“1”.

生2：?jiǎn)挝弧?”和單位類似是一種比較的標(biāo)準(zhǔn).

師：數(shù)學(xué)上把平均分的對(duì)象，比如一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或由許多物體組成的一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)1來(lái)表示，通常，我們把它叫作單位“1”.

師：(指著圖中橢圈內(nèi)的一個(gè)實(shí)心圓)這個(gè)實(shí)心圓可以用自然數(shù)1表示嗎？(生：能！)那在這里它能表示單位“1”嗎？為什么？

生：不能，因?yàn)檫@里分的并不是它，分的是這6個(gè)圓，單位“1”是6個(gè)圓組成的整體.

生：要把平均分的對(duì)象看作單位“1”.

師：現(xiàn)在，你們感受到自然數(shù)1和單位“1”的區(qū)別了嗎？

單位“1”的本質(zhì)還是單位，是一種比較的標(biāo)準(zhǔn).但學(xué)生在理解與歸納的過(guò)程中，更多的時(shí)候只關(guān)注了“1”，而忽略了其中的“單位”二字.什么是單位？單位是測(cè)量比較中的標(biāo)準(zhǔn)量，沒(méi)有比較，也就沒(méi)有單位，確立的單位，必然被視為“1”.教師讓學(xué)生回顧舊知：還有哪些學(xué)過(guò)的知識(shí)，也是一種比較的標(biāo)準(zhǔn)？學(xué)生的認(rèn)知一下子被打開(kāi)，能夠自主激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的舊知，原有的長(zhǎng)度單位、面積單位、重量單位等舊知迅速被提取出來(lái).這里，教師注重引導(dǎo)學(xué)生將新舊知進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生對(duì)單位“1”不再陌生，有了舊知“單位”和新知“1”的支撐，教師在揭示單位“1”的概念后，又出示一幅圖，讓學(xué)生感受一個(gè)實(shí)心圓可以用數(shù)1來(lái)表示，但是不可以用單位“1”表示，單位“1”是在比較中產(chǎn)生的，而這幅圖是將整體進(jìn)行平均分，因而要把6個(gè)圓組成的一個(gè)整體看作單位“1”，讓學(xué)生徹底弄清數(shù)“1”和單位“1”的聯(lián)系與區(qū)別，從而形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí).

(三)在遷移處比較，讓分?jǐn)?shù)的概念認(rèn)知趨于結(jié)構(gòu)化

遷移是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響.學(xué)習(xí)之所以能發(fā)生遷移是因?yàn)橹R(shí)間存在某些共同的元素，這些共同的元素恰恰是知識(shí)的本質(zhì)與關(guān)鍵所在.教師不僅要?jiǎng)?chuàng)設(shè)條件促使學(xué)生的遷移得以發(fā)生，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生在遷移的過(guò)程中進(jìn)行比較，從而淡化外在形式，抓住關(guān)鍵本質(zhì).在概念教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷在遷移中比較后，更容易概括出概念的本質(zhì)，在大腦中逐步形成一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu).例如以下分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)：

師：如果把6個(gè)梨看作單位“1”，這2個(gè)梨怎么表示？

師：如果把這3段線段看作單位“1”，這一段是？

生：把單位“1”平均分成n份，取m份.

師：數(shù)學(xué)上，我們可以說(shuō)是平均分成若干份.

師：那你覺(jué)得，到底什么是分?jǐn)?shù)？

生：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫分?jǐn)?shù).

師：沒(méi)錯(cuò)，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，就叫分?jǐn)?shù)，表示其中一份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)單位.比較單位“1”和分?jǐn)?shù)單位，它們的意思一樣嗎？

生：不一樣，雖然都有單位兩個(gè)字，把誰(shuí)平均分，誰(shuí)就是單位“1”.分?jǐn)?shù)單位只是其中的一份.

師：是的，分?jǐn)?shù)單位就如同過(guò)去學(xué)的計(jì)數(shù)單位，通過(guò)累積，得到對(duì)應(yīng)的幾分之幾.而單位“1”是比較的標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)把單位“1”平均分，得到對(duì)應(yīng)的幾分之幾.

(四)在變式中比較，讓概念的關(guān)系認(rèn)知趨于結(jié)構(gòu)化

變式是認(rèn)識(shí)概念本質(zhì)的一種教學(xué)手段，教師可以在教學(xué)過(guò)程中保留概念的本質(zhì)特征，改變非本質(zhì)特征，讓學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)特征形成更深刻的認(rèn)識(shí).在教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生感受到變式，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在變式中進(jìn)行比較，感受變中的“不變”，從而抓住關(guān)鍵與本質(zhì).在“分?jǐn)?shù)意義”這一課的教學(xué)中，很多教師沒(méi)有幫助學(xué)生厘清分?jǐn)?shù)的概念實(shí)質(zhì)，沒(méi)有溝通分?jǐn)?shù)與倍數(shù)的關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法將分?jǐn)?shù)與之前的知識(shí)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，無(wú)法形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知.以下的做法值得借鑒：

(師出示下圖)

師：如果把第一排的1個(gè)圓看作單位“1”，下面兩排分別用什么數(shù)表示？

生：兩個(gè)單位“1”，用2表示，最后一排用4表示，因?yàn)槭?個(gè)單位“1”，相當(dāng)于第一排的4倍.

師：為什么都用了整數(shù)來(lái)表示？

生：下面兩排都相當(dāng)于幾個(gè)單位“1”.

師：如果把第三排4個(gè)黑圓看作單位“1”，上面第一、第二排用什么數(shù)表示？

師：這次為什么都用分?jǐn)?shù)表示？

生：因?yàn)?個(gè)黑圓是單位“1”，上面的兩排表示把單位“1”平均分.

師：如果把第二排兩個(gè)○看作單位“1”，第一、第三排分別用什么數(shù)表示？

師：為什么第一排用分?jǐn)?shù)表示，第三排用整數(shù)表示呢？

生：2個(gè)○是單位“1”時(shí)，上面一排表示平均分，把單位“1”平均分成2份，取其中一份.而下面4個(gè)黑圓相當(dāng)于2個(gè)單位“1”，用2表示.

(師出示下圖)

師：下面分析一下上述我們解決的問(wèn)題中，有什么不同點(diǎn)和相同點(diǎn)？先獨(dú)立思考，再小組討論.

生：有的是把1個(gè)○看作單位“1”，有的是把2個(gè)○或4個(gè)○看作單位“1”.

生：同一排，比如第二排，表示的形式不一樣.

師：是的，將同一個(gè)量和不同的單位“1”進(jìn)行比較，會(huì)有不同的表示形式.

師：那有什么相同點(diǎn)呢？

生：有的用整數(shù)表示幾倍，不是整倍數(shù)的就用分?jǐn)?shù)表示.

師：是的，這里不管是用整數(shù)還是用分?jǐn)?shù)，都表示了它與單位“1”的倍比關(guān)系.

教師出示三組富有變式的問(wèn)題，即每次改變單位“1”的對(duì)象，但不變的是分?jǐn)?shù)、整數(shù)與單位“1”之間的關(guān)系，從而突出本質(zhì).第一問(wèn)把第一排看作單位“1”，求下面兩排，學(xué)生在比較中意識(shí)到幾個(gè)單位“1”用整數(shù)幾來(lái)表示；第二問(wèn)把第三排4個(gè)黑圓看作單位“1”，求上面兩排，學(xué)生在比較中意識(shí)到把單位“1”平均分，表示這樣的幾份用分?jǐn)?shù).最后，把第二排的2個(gè)圓看作單位“1”，求其余兩排.通過(guò)變式的比較，學(xué)生能夠清晰地建立分?jǐn)?shù)、整數(shù)倍、單位“1”三者的關(guān)系，當(dāng)教師拋出問(wèn)題“比較一下上述我們解決的問(wèn)題，有什么不同點(diǎn)和相同點(diǎn)？”時(shí)，學(xué)生能在比較中得出，不管用整數(shù)還是用分?jǐn)?shù)，都表示它與單位“1”的倍比關(guān)系，從而認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，并與已經(jīng)學(xué)過(guò)的倍數(shù)關(guān)系產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)，構(gòu)建了完整的倍比關(guān)系知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成了完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).另外，這里的以圓進(jìn)行比較，不再是部分與整體的比較，而是兩個(gè)獨(dú)立量之間的比較，這樣的比較有利于學(xué)生在接下來(lái)的學(xué)習(xí)中再一次突破自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更好地理解并接納假分?jǐn)?shù)的概念.