劉維慧，李洪亮，張 振，王 娜，苗永平

(山東科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，山東 青島 266590)

傅里葉級(jí)數(shù)理論自1807年提出后，得到廣泛關(guān)注并獲得長(zhǎng)足發(fā)展，被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、數(shù)論、信號(hào)處理、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域。另外，傅里葉級(jí)數(shù)概念較為抽象，學(xué)生難以理解。因此，在高等學(xué)校開展傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)，無論對(duì)培養(yǎng)工科學(xué)生的分析思維能力、專業(yè)技術(shù)能力還是促進(jìn)工科學(xué)生對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)概念的理解，都具有十分重要的意義[1,2]。

傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)儀器功能齊全、操作簡(jiǎn)單，但在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中存在一些問題。比如，開展分解實(shí)驗(yàn)時(shí)方波波形易變形；分解實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果與理論值偏差較大；正弦波波形質(zhì)量不夠穩(wěn)定、故障率高、調(diào)幅調(diào)相時(shí)波形不穩(wěn)定，無法有效開展合成實(shí)驗(yàn)。學(xué)生因?qū)嶒?yàn)儀器質(zhì)量限制而不能有效開展實(shí)驗(yàn)，無法有效提升應(yīng)用理論知識(shí)分析問題、解決問題的能力[3]。

我校物理實(shí)驗(yàn)中心現(xiàn)使用FD-FLY-A型傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)儀開展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)總結(jié)了該儀器在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的不足，并結(jié)合新時(shí)期實(shí)驗(yàn)教學(xué)需求，深入研究和分析，設(shè)計(jì)制作了基于數(shù)字技術(shù)的新型傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)儀，有效提升課程質(zhì)量。

1 實(shí)驗(yàn)原理

根據(jù)數(shù)學(xué)理論，任何具有周期為T的波函數(shù)f(t)都可以表示為三角函數(shù)所構(gòu)成的級(jí)數(shù)之和，即：

(1)

在開展傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，多以方波為典型周期函數(shù)，對(duì)其分解與合成。

方波的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為:

(2)

從表達(dá)式可以看出，對(duì)于頻率為ω0的方波，其三角級(jí)數(shù)有如下特征：

(1)頻率為(2n-1)*ω0；

(3)初相位均為零。

在開展傅里葉級(jí)數(shù)分解與合成實(shí)驗(yàn)時(shí)，通過構(gòu)建物理實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?yàn)證上述特征。

1.1 傅里葉級(jí)數(shù)分解實(shí)驗(yàn)

以RLC串聯(lián)諧振電路作為選頻電路，對(duì)方波信號(hào)進(jìn)行頻譜分解，原理如圖1所示。

圖1 RLC串聯(lián)諧振電路圖

RLC串聯(lián)諧振電路的總阻抗表示為：

(3)

根據(jù)電路原理，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率與電路的諧振頻率相匹配時(shí)，有:

(4)

據(jù)此，可以推導(dǎo)出諧振頻率ω為[4]：

(5)

保持電路中其他參數(shù)不變而僅改變電容值,即改變電路的固有諧振頻率為ω，此時(shí)電路以頻率ω諧振，電阻兩端電壓最大，電壓表達(dá)式為：

UR(t)=bnsinnωt

(6)

因此，在RLC串聯(lián)諧振電路中，輸入頻率為ω0的方波信號(hào)，固定電感值，只要改變電容的值，就可以從方波信號(hào)中選出頻率為(2n-1)ω0的各次諧波。將各諧波信號(hào)在示波器上顯示和測(cè)量，就可以驗(yàn)證傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式。

1.2 傅里葉級(jí)數(shù)合成實(shí)驗(yàn)

同樣的道理，將滿足頻率和幅度特征的正弦波信號(hào)輸入一個(gè)加法器電路，然后通過調(diào)整其相位，就可以得到預(yù)期的合成波形。

具體實(shí)驗(yàn)時(shí)，以頻率為1 KHz的方波為典型周期信號(hào)，分解出頻率為1 KHz、3 KHz、5 KHz正弦波信號(hào)并驗(yàn)證其特征；以1 KHz、3 KHz、5 KHz、7 KHz正弦波輸入加法器開展合成實(shí)驗(yàn)。

2 實(shí)驗(yàn)儀設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

2.1 系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)原理和實(shí)驗(yàn)需求，以數(shù)字頻率合成技術(shù)為信號(hào)發(fā)生電路、以STM32系列單片機(jī)為控制核心構(gòu)建傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)儀，主要包含信號(hào)發(fā)生器模塊、放大器模塊、調(diào)幅模塊、移相模塊、方波合成模塊等，系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案框圖

單片機(jī)控制信號(hào)發(fā)生模塊產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)所需的正弦波和方波。方波經(jīng)放大后進(jìn)入RLC串聯(lián)諧振電路開展分解實(shí)驗(yàn)；四路正弦波信號(hào)則經(jīng)調(diào)幅和相位調(diào)節(jié)模塊后輸入合成模塊開展傅里葉級(jí)數(shù)合成實(shí)驗(yàn)。

2.2 硬件設(shè)計(jì)

2.2.1 控制電路

系統(tǒng)選用STM32F103RET6集成微處理器作為控制波形發(fā)生的核心控制單元，其72 MHz的處理速度和SPI的通訊方式滿足了系統(tǒng)設(shè)計(jì)的需要，并且64路引腳也完全滿足對(duì)多路信號(hào)的控制需求，性價(jià)比高于同類其他芯片。為保證處理器正常運(yùn)行，晶振選取8 MHz的高速外部時(shí)鐘，通過PLL倍頻為處理器提供穩(wěn)定的72 MHz時(shí)鐘源；選取32.768 KHz的外部低速時(shí)鐘，經(jīng)15次分頻后得到1 Hz頻率實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)定時(shí)。

2.2.2 信號(hào)發(fā)生電路

為了解決模擬選頻技術(shù)所帶來的波形質(zhì)量和穩(wěn)定性差等缺陷，本項(xiàng)目采用DDS(Direct Digital Frequency Synthesis，直接數(shù)字頻率合成)技術(shù)產(chǎn)生方波和正弦波信號(hào)[5,6]。綜合考慮波形頻率、系統(tǒng)功耗等因素，選取AD9834作為信號(hào)發(fā)生芯片。該芯片最大輸出頻率為37.5 M，輸出頻率低，功耗也相對(duì)較小，僅有20 mW，并且，可同時(shí)輸出方波和正弦波，滿足設(shè)計(jì)需求。

實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)了四片AD9834，其中一片產(chǎn)生1 KHz方波和1 KHz正弦波信號(hào)，另外三片分別產(chǎn)生3、5、7 KHz正弦波信號(hào)。圖3以1 KHz方波信號(hào)和1 KHz正弦波信號(hào)為說明電路設(shè)計(jì)方案。晶振使用75 M的有源晶振，NC腳懸空，通過外部時(shí)鐘源為AD9834提供工作頻率。

圖3 方波發(fā)生電路圖

AD9834通過IOUT引腳輸出正弦波，另外，將芯片的VIN腳與IOUT輸出相連，通過內(nèi)部比較器，SBO(即SIGN BIT OUT)引腳輸出方波。除此之外，設(shè)計(jì)LC低通濾波器，濾除高頻干擾，使輸出波形更穩(wěn)定，提高波形質(zhì)量。

2.2.3 方波放大電路

AD9834能夠產(chǎn)生頻率十分精準(zhǔn)且波形穩(wěn)定的方波信號(hào)，但其帶負(fù)載能力較弱，表現(xiàn)為在開展分解實(shí)驗(yàn)時(shí)方波信號(hào)會(huì)發(fā)生變形，影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果。該信號(hào)變形問題在現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)儀器中同樣存在。

另外，AD9834輸出波形的幅度最大為500 mV，不能滿足實(shí)驗(yàn)要求。因此，設(shè)計(jì)放大電路提高方波帶負(fù)載能力以及信號(hào)幅度。經(jīng)綜合考慮，選用功率放大芯片LF353搭建電路，以1 KHz方波為例展示如圖4。

圖4 方波信號(hào)放大電路圖

2.2.4 正弦波調(diào)幅、調(diào)相電路

為了滿足傅里葉級(jí)數(shù)合成實(shí)驗(yàn)的需求，該實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)了正弦波幅值和相位調(diào)節(jié)電路，并在前面板上設(shè)計(jì)了調(diào)節(jié)電位器，通過其旋鈕調(diào)節(jié)四路正弦波的幅度和相位。

系統(tǒng)選用NE5532芯片配置外圍電路實(shí)實(shí)現(xiàn)調(diào)幅和調(diào)相功能。該芯片是一款內(nèi)含兩組運(yùn)算放大器的集成芯片。相較于普通的標(biāo)準(zhǔn)放大芯片，NE5532具有性能好、噪聲低等優(yōu)勢(shì)[7-9]，更適合應(yīng)用于各種電子產(chǎn)品設(shè)計(jì)、控制電路和放大電路中。NE5532的兩組運(yùn)放分別用于正弦波幅度調(diào)節(jié)電路和相位調(diào)節(jié)電路。圖5以1 KHz正弦波信號(hào)為例展示了電路設(shè)計(jì)方案。

圖5 正弦波調(diào)幅調(diào)相電路圖

根據(jù)實(shí)驗(yàn)需求，設(shè)定幅度調(diào)節(jié)范圍為0～5 V，阻值為10 KΩ的電位器可連續(xù)調(diào)節(jié)正弦波信號(hào)的幅度。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)需求，設(shè)定相位調(diào)節(jié)范圍為0～180°。以NE5532第二級(jí)運(yùn)放搭配RC移相網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成移相電路，通過阻值為10 KΩ的電位器連接至前面板，實(shí)現(xiàn)相位連續(xù)調(diào)節(jié)。

2.2.4 方波合成電路

選用芯片LF353作為合成器件，4路正弦波信號(hào)經(jīng)100 KΩ匹配電阻接入LF353的輸入引腳，合成信號(hào)經(jīng)輸出引腳連接至示波器顯示。

通過調(diào)節(jié)四路正弦波形的幅度和相位，可改變波形的形狀直至接近理論波形。信號(hào)合成的工作原理是基于基本運(yùn)算電路中的加法電路。圖6所示電路的輸出信號(hào)為：

圖6 張力測(cè)量模塊框圖

(7)

2.3 軟件設(shè)計(jì)

在Keil uVision5中用C語言編寫相關(guān)軟件代碼，系統(tǒng)軟件的主要功能是實(shí)現(xiàn)處理器同時(shí)控制四個(gè)AD9834芯片分別產(chǎn)生不同的波形，具體流程如圖7所示。

圖7 信號(hào)流程圖

2.4 布局設(shè)計(jì)

為減少信號(hào)干擾，并提高產(chǎn)品組裝效率和可維修性，實(shí)驗(yàn)儀的硬件電路分為電源板、信號(hào)板和前面板三部分，按照信號(hào)從左到右、從上到下的流向和板間最短路徑接駁的原則，合理設(shè)計(jì)核心芯片和外接插座的布局，實(shí)現(xiàn)信號(hào)就近傳輸，最大限度減少信號(hào)干擾；另外，將兩款電路板安裝于同一個(gè)鋁合金支架上，成為一個(gè)組件后再整體安裝到實(shí)驗(yàn)儀內(nèi)部，以模塊化理念提升產(chǎn)品可維修性和組裝效率。如圖8所示。

圖8 電路布局圖

2.5 樣機(jī)調(diào)試和產(chǎn)品組裝

使用電子產(chǎn)品開發(fā)工具立創(chuàng)EDA完成電路原理圖、印制板圖設(shè)計(jì)，加工、焊接、調(diào)試電路板，燒寫程序到信號(hào)板存儲(chǔ)芯片中。使用機(jī)械繪圖工具Auto CAD完成實(shí)驗(yàn)儀機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并委外加工。樣機(jī)調(diào)試合格后組裝15臺(tái)產(chǎn)品用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

3 實(shí)驗(yàn)方案

該實(shí)驗(yàn)裝置能夠提供方波分解和方波合成兩項(xiàng)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，實(shí)驗(yàn)方案如下。

3.1 方波分解

分解實(shí)驗(yàn)的原理是利用RLC諧振原理從1 KHz方波中分解出(2n-1)*1 KHz的正弦波，然后驗(yàn)證其頻率和幅度值是否滿足方波的傅里葉級(jí)數(shù)原理。

首先，根據(jù)式(4)計(jì)算RLC諧振電路在1 KHz、3 KHz、5 KHz諧振時(shí)的電容值，記入表格。

然后，按照?qǐng)D1連接電路，并設(shè)置電容值，在示波器上得到相應(yīng)頻率的正弦波信號(hào)，測(cè)試正弦波信號(hào)的頻率和幅度(峰峰值)。

再次，分析所測(cè)正弦波信號(hào)頻率與理論值的差異，計(jì)算正弦波信號(hào)的幅度比值并分析結(jié)果。

3.2 方波合成

合成實(shí)驗(yàn)的原理是將頻率為(2n-1)*1 KHz的多路正弦波信號(hào)輸入到加法器中，調(diào)節(jié)正弦波的幅度和相位，得到1 KHz的合成方波。在具體實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)實(shí)驗(yàn)儀的功能，首先將頻率為1 KHz、3 KHz、5 KHz、7 KHz的四路正弦波信號(hào)連接入加法器，然后按照如下三種方案開展實(shí)驗(yàn)。

方案1：定頻率、調(diào)幅度、調(diào)相位。即正弦波信號(hào)頻率是固定的，以遞加法調(diào)節(jié)4個(gè)幅度和4個(gè)相位旋鈕得到合成波形；

方案2：定頻率、定幅度、調(diào)相位。首先將四路正弦波信號(hào)的幅度按照理論比例設(shè)定好，然后調(diào)節(jié)4個(gè)相位旋鈕得到合成波形；

方案3：定頻率、定幅度、定相位。在方式2的基礎(chǔ)上，將四路正弦波信號(hào)的相位也按照理論要求預(yù)先調(diào)試好，然后在示波器上可直接觀測(cè)到合成波形。

按照上述三種方案得到合成波形后觀察其與理論波形的一致性，測(cè)量其頻率，評(píng)價(jià)并分析與理論值的差異。

4 實(shí)驗(yàn)儀器性能評(píng)價(jià)

4.1 輸出信號(hào)質(zhì)量測(cè)評(píng)

為了客觀評(píng)價(jià)效果，各取15臺(tái)新實(shí)驗(yàn)儀器和現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)儀器，在相同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，使用同一組連接線和相同的實(shí)驗(yàn)方法，使用同一臺(tái)DS1052E型數(shù)字示波器對(duì)儀器的輸出信號(hào)進(jìn)行顯示并對(duì)比測(cè)評(píng)。測(cè)評(píng)對(duì)象是儀器輸出的1 KHz方波以及1、3、5、7 KHz正弦波信號(hào)，測(cè)評(píng)內(nèi)容主要是信號(hào)的頻率值以及信號(hào)波形的穩(wěn)定性。

4.1.1 信號(hào)頻率離散性

借鑒標(biāo)準(zhǔn)偏差的概念，定義反映各測(cè)量值偏離真實(shí)值離散程度的參數(shù)S，其計(jì)算公式為：

(8)

其中，fi為測(cè)量值，n取15，f0為信號(hào)頻率標(biāo)準(zhǔn)值。

根據(jù)式(8)計(jì)算兩種儀器四種信號(hào)的頻率偏差，如表1所示。從表中可以看出，新儀器各種信號(hào)的頻率偏差明顯小于現(xiàn)有儀器，更加接近理論值。

表1 儀器的信號(hào)頻率偏差對(duì)照表

將上述兩種儀器的1 KHz方波以及1、3、5、7 KHz正弦波信號(hào)的頻率值繪制散點(diǎn)圖，如圖9所示。從圖中可明顯看出，新儀器產(chǎn)生的信號(hào)頻率更接近理論值，而且各臺(tái)儀器信號(hào)頻率的一致性也明顯優(yōu)于現(xiàn)有儀器。

儀器編號(hào)

4.1.2 信號(hào)穩(wěn)定性

在進(jìn)行信號(hào)測(cè)量時(shí)，觀察各種信號(hào)波形的穩(wěn)定性。現(xiàn)有儀器中有3臺(tái)的7 KHz正弦波波形存在明顯的抖動(dòng)；新儀器的所有信號(hào)波形均穩(wěn)定，無閃爍抖動(dòng)等不良表現(xiàn)。

4.2 方波分解實(shí)驗(yàn)

同樣使用新儀器與現(xiàn)有儀器對(duì)比測(cè)評(píng)。將新實(shí)驗(yàn)儀產(chǎn)生的1 KHz方波信號(hào)接入RLC串聯(lián)諧振電路，電感值取0.1 H，電阻值為27 Ω，按照3.1所述實(shí)驗(yàn)方案開展傅里葉級(jí)數(shù)分解實(shí)驗(yàn)。在相同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，使用同一組連接線和同樣的實(shí)驗(yàn)方法，使用同一臺(tái)DS1052E型數(shù)字示波器，得到分解信號(hào)波形、測(cè)量并計(jì)算。

為了方便比較，定義k13為1 KHz正弦波與3 KHz正弦波的峰峰值之比，k15為1 KHz正弦波與5 KHz正弦波的峰峰值之比。

根據(jù)3.1所述實(shí)驗(yàn)方案計(jì)算同一組實(shí)驗(yàn)中k13和k15的值，并將全部30臺(tái)儀器的計(jì)算結(jié)果繪制散點(diǎn)分布圖，如圖10所示。

儀器編號(hào)

從圖10可以明顯看出，使用新儀器分解1 KHz方波所得正弦波信號(hào)的幅度比值，無論是k13還是k15，相比現(xiàn)有儀器更接近理論值，且收斂性更好。

分解1 KHz方波所得正弦波信號(hào)的頻率值也顯示出同樣的改進(jìn)效果，不再贅述。

4.3 合成實(shí)驗(yàn)

以新實(shí)驗(yàn)儀器輸出的1 KHz、3 KHz、5 KHz、7 KHz正弦波作為信號(hào)源，按照3.2所述3種實(shí)驗(yàn)方案開展合成實(shí)驗(yàn)，均可得到比較理想的合成波形。典型的合成波形如圖11所示。

圖11 合成圖

另外，四種頻率正弦波的相位調(diào)節(jié)范圍為0～180°，滿足設(shè)計(jì)要求，圖12以7 KHz正弦波為例展示了源波形和相位調(diào)節(jié)后的波形，兩者相位相差180°；在進(jìn)行相位調(diào)節(jié)時(shí)，波形的幅度沒有發(fā)生連帶變化，表現(xiàn)出較高的穩(wěn)定性。

圖12 相位調(diào)節(jié)圖

5 結(jié) 語

本文基于數(shù)字技術(shù)研制了一款傅里葉分解合成儀，組裝樣機(jī)測(cè)評(píng)并生產(chǎn)了15臺(tái)用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)。將新儀器與現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)儀器按照同樣的條件展開對(duì)比實(shí)驗(yàn)，從輸出信號(hào)質(zhì)量以及分解與合成實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性等方面測(cè)評(píng)。結(jié)果表明新儀器各項(xiàng)性能滿足設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)要求，有效改善了現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)存在的問題，并表現(xiàn)出較好的一致性、穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性。通過此儀器學(xué)生可以更便捷、高效的完成實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，加深了學(xué)生對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)概念的理解，培養(yǎng)鍛煉了實(shí)踐和創(chuàng)新能力。