王帥坤，吉曉瑞，呂柳杏，?？∠?，王興云，祁遇時

(1.沈陽工程學院 自動化學院，遼寧 沈陽 110136；2.沈陽工程學院 基礎部/美育中心，遼寧 沈陽 110136；3.沈陽工程學院 電力學院，遼寧 沈陽 110136)

三線擺測剛體的轉動慣量是大學物理實驗室常見的力學實驗，啟動盤與懸盤之間用三根擺線連接，旋轉啟動盤，由擺線帶動懸盤做周期性的小角度擺動。三線擺實驗儀有不同的型號和樣式，周期測量方式用多功能毫秒儀，起初為霍爾效應方式記周期，后來換成光感方式記周期。就儀器本身而言，無論哪種型號，機械和電子設備精度都很高，物體的質量和相關長度的測量誤差也非常小。誤差產生的主要原因是操作方法和擺線問題而引起的。擺角的大小[1,2]、擺線的長度[3,4]、懸盤半徑與擺線長度比等問題[5,6]，都會引起實驗誤差。為三線擺儀器加裝角度控制裝置，會減小實驗誤差[7]，擺線的材質和伸長也會對實驗誤差產生影響。用魚線和尼龍線作為擺線，測量不同物體在質量不斷增加過程中擺線的拉伸情況和結果誤差的大小。

1 實驗公式

實驗原理、操作過程及儀器如文獻[7]所示，懸盤擺角控制在15°～20°之間，懸盤的轉動慣量公式為

(1)

懸盤上放置物體后，物體轉動慣量為

(2)

式中H為啟動盤到懸盤的垂直距離，J0為懸盤的轉動慣量，J物為物體的轉動慣量，m0為懸盤的質量，m物為物體的質量，g為重力加速度，r0為懸盤懸線到盤中心的距離，r0為啟動盤懸線到盤中心的距離，T0為懸盤的空載振動周期平均值，T物為物體的振動周期平均值。公式中周期T的測量誤差對實驗結果的影響最大。百分誤差計算公式為

(3)

2 實驗數(shù)據測量及作圖

2.1 實驗數(shù)據測量與計算

分別用魚線和尼龍線作為擺線進行對比實驗。圖1為被測懸盤、圓環(huán)和電木盤，用測直徑D代替測半徑對上述物體各項數(shù)據進行測量，列在表1中。用多功能毫秒儀時間累積法測周期，表2為懸盤周期的5次測量值，每次測量20個周期算出平均值，根據(1)和(3)式以及懸盤轉動慣量理論值計算公式算出懸盤的百分誤差。

圖1 被測懸盤、圓環(huán)和電木盤

表1 各物體幾何參數(shù)測量

表2 魚線擺懸盤的周期測量和百分誤差

按照表2的方式以及(2)式，測量和計算圓環(huán)和電木盤從1個增加到6個時的周期，忽略擺線伸長，計算ERA。魚線擺增加到6個物體時，用游標卡尺量出放置圓環(huán)，懸盤共下降2.40 mm，設懸盤均勻下降，即放置1個圓環(huán)懸盤下降0.40 mm，放置電木盤，懸盤下降1.80 mm，即放置1個電木盤懸盤下降0.30 mm。尼龍擺懸盤放置6個圓環(huán)下降1 140.00 mm，平均放置1個下降1.90 mm，放置6個電木盤下降100.00 mm，平均放置1個下降1.67 mm，再次計算ERB，將上述結果列于表3中。

表3 圓環(huán)和電木盤質量增加過程周期平均值及百分誤差

2.2 繪制圖形

分別繪制出魚線擺線和尼龍擺線的物體數(shù)量增加與周期和百分誤差之間的關系曲線，如圖2和圖3所示。

物體數(shù)量/個

物體數(shù)量/個

3 結果分析

從剛體轉動慣量實驗公式可知，周期的測量對實驗結果的影響最為明顯[8]。從圖2可見，無論是那種擺線，隨著圓環(huán)數(shù)量的增加，擺動周期逐漸增大，隨著電木盤數(shù)量的增加，擺動周期逐漸減小。這是因為根據物體的質量分布情況，可以將任何物體都等效成一個細棒繞一端軸轉動，細棒的等效質心距離轉軸的距離即為回轉半徑。圓環(huán)的回轉半徑大于懸盤的回轉半徑，所以擺動周期T環(huán)>T0，電木盤的回轉半徑小于懸盤的回轉半徑，所以擺動周期T木

從圖3(a)中可見，尼龍擺的誤差要遠大于魚線擺的誤差，原因是魚線的楊氏模量大于尼龍線的樣式模量，也就是魚線更硬一些，張力傳遞更好[12]。尼龍擺放置1個圓環(huán)擺線就已經被拉緊，周期測量此時最準確，但放置2個圓環(huán)，擺線迅速失去彈性，測量誤差迅速增加。魚線擺放置3個圓環(huán)時，誤差在不加絕對值時出現(xiàn)了負值，這并不是實驗誤差在減小。只要操作規(guī)范儀器測量的周期一定要比理論周期大，實測轉動慣量一定比理論值大，誤差不應該出現(xiàn)負數(shù)值。出現(xiàn)負值的原因是懸盤在多次上下運動過程中出現(xiàn)了擺線共振[13,14]，在懸盤改變運動方向時擺線恢復力較大，加速了懸盤的運動，致使周期明顯變小，結果出現(xiàn)錯誤。圖3(b)中魚線擺在放2個電木盤時也出現(xiàn)了此種情況。隨著電木盤質量都增加，誤差迅速增大，表現(xiàn)為曲線下降，魚線擺后半段曲線表現(xiàn)明顯。尼龍擺曲線如果繼續(xù)延長，趨勢會和魚線走勢相似。整體而言，楊氏模量大的擺線可以保持在更大的被測質量范圍內有較小的誤差。

4 結 語

擺線的材質對測量結果影響非常明顯，選擇楊氏模量較大的擺線實驗結果更準確。在擺線伸長較小的情況下，可以忽略擺線伸長，但擺線伸長超過2 mm后，會引入較大的實驗誤差。擺線在拉緊狀態(tài)下，由于張力傳遞順暢，實驗誤差小。在物體質量增加時，會出現(xiàn)擺線共振情況，致使周期測量偏小，誤差增大?；剞D半徑越大的物體，周期越大。