侯東曉， 陳善平， 方 成， 時培明， 王新剛

(1.東北大學秦皇島分校 控制工程學院，河北 秦皇島 066004； 2.燕山大學 電氣工程學院,河北 秦皇島 066004)

軋制板帶材廣泛應用于眾多工業(yè)生產領域中，隨著對軋制生產效率和產品質量要求的提高，對軋制速度及軋制過程的穩(wěn)定性要求也變得越高，但由此導致的軋機振動問題也隨之暴露。針對軋機振動問題，研究人員在軋機振動新模型與理論探索等方面進行了深入研究。劉浩然等[1]研究了軋件彈塑性滯后非線性變形對軋機垂直系統(tǒng)振動特性的影響。劉飛等[2]研究了液壓缸非線性彈性力和非線性摩擦力約束下的軋機輥系振動行為。高崇一等[3]研究了多間隙存在時對軋機傳動系統(tǒng)扭矩放大系數的影響。Heidari等[4]研究了非定常潤滑對冷軋帶鋼顫振的影響。

隨著研究深入，軋機耦合振動行為也逐漸引起研究人員的關注。Zeng等[5]采用Hopf分岔代數判據分析了非線性摩擦下的軋機垂直-扭轉-水平耦合動力學模型的穩(wěn)定域，并構造相應反饋控制器抑制軋機的不穩(wěn)定振蕩行為。劉彬等[6]建立了水平方向的軋件-軋輥耦合振動模型，研究了該耦合模型的非線性振動特性。

軋機萬向接軸傾角對軋機振動也有著一定的影響。紀志強[7]研究了厚板軋機萬向接軸傾角產生的附加彎矩與軋機剛度和軋制力之間偏差關系。王輝等[8]研究了萬向接軸傾角對熱連軋機工作輥橫向振動的影響。Shi等[9]研究了萬向接軸傾角影響下軋機主傳動系統(tǒng)非線性扭振特性，時培明等[10]在此基礎上進一步研究了萬向接軸傾角對多自由度軋機主傳動系統(tǒng)非線性非主共振扭振特性的影響。閆曉強等[11]根據現場實驗數據指出軋機萬向接軸存在質量偏心和傾角會導致扭轉振動與彎曲振動的耦合。

目前大多數學者的研究中只考慮萬向接軸傾角單獨對軋機傳動系統(tǒng)扭振或水平振動等單一系統(tǒng)振動的影響。實際上萬向接軸隨著轉速變化，接軸兩端會存在隨轉速變化的附加動態(tài)彎矩。軋輥端動態(tài)彎矩既受傳動系統(tǒng)轉速影響，又影響垂直方向的軋輥振動，其與垂直和扭轉方向振動都密切相關，但對該方面尚未見深入研究。

為此，本文考慮軋機萬向接軸傾角產生附加動態(tài)彎矩的影響，建立軋機垂直-扭轉耦合振動模型。運用奇異性理論研究了軋機垂扭耦合模型的分岔特性。并通過仿真分析了垂直和扭轉方向動態(tài)軋制參數、扭轉剛度、擾動力幅值等參數變化對軋機垂直和扭轉方向主共振幅頻曲線的影響，這為進一步抑制或控制軋機振動提供了理論參考。

1 萬向接軸傾角影響下附加動態(tài)彎矩

軋機在軋制過程中，萬向接軸安裝采用“Z”型布置，如圖1所示。此時電機輸入端和軋輥輸出端處于同一平面，且輸入軸和輸出軸平行，前后軸線夾角相等。圖1中，θ1和θ2分別為電機端和軋輥端的扭轉角度；α為萬向接軸傾角，M1為電機端扭矩，M2為萬向接軸扭矩，M3為軋輥端扭矩。ψ1和ψ2分別為萬向接軸的輸入和輸出扭轉角度。

圖1 萬向接軸受力示意圖Fig.1 Schematic diagram of universal joint force model

根據軋機傳動系統(tǒng)中主動軸與從動軸的運動學關系為[12]

tanψi=tanθicosα，i=1,2,…

(1)

電機與輸入軸的關系為

(2)

輸出軸與軋輥的關系為

(3)

當萬向接軸兩端節(jié)叉平面處于同一平面時，電機軸轉過θ1角度，由式(2)得到萬向接軸上扭矩為

(4)

套筒軸上面的附加彎矩為

(5)

由圖1可知，萬向接軸A叉和B叉在同一平面，A叉比B叉超前90°，即：

θ2-90°=θ1

(6)

所以式(5)可以寫成

(7)

結合式(2)式(3)將式(7)分解得套筒上面垂直附加動態(tài)彎矩為

M1sinαcosαsinθ1cosθ1

(8)

2 板帶軋機垂直-扭轉耦合振動動力學模型

考慮軋機傾角產生的附加動態(tài)彎矩影響，可得到板帶軋機垂直-扭轉耦合振動模型，如圖2所示。圖2中，ω為電機的角頻率；m為上部輥系的等效質量；K為接軸的扭轉剛度，K1為上輥系與上橫梁間的等效剛度；C為萬向接軸的結構阻尼，C1為上輥系與上橫梁間的等效阻尼；J1和J2分別為電機和軋輥的等效轉動慣量；F為動態(tài)軋制力；T為上輥系動態(tài)軋制力矩；y為工作輥垂直位移。

圖2 板帶軋機垂直-扭轉耦合振動模型Fig.2 Vertical torsion-coupled vibration model of strip rolling mill

由圖2可得到板帶軋機垂直-扭轉耦合振動方程

(9)

式中：M′為接軸的彈性力矩;P為外部擾動;L為工作輥軸承座中心間的距離。

式(9)中動態(tài)軋制力F采用如下形式[13]

F=F11+ΔF

(10)

式中:F11為穩(wěn)態(tài)軋制力;ΔF為軋制力動態(tài)變化量。

(11)

動態(tài)軋制力矩T：

T=T11+ΔT

(12)

式中:T11為穩(wěn)態(tài)軋制力矩;ΔT為軋制力矩動態(tài)變化量。

(13)

其中

M′=K·λ2(θ2)(ψ2-ψ1)=KF(θ2,t)

(14)

將式(1)、式(2)和式(3)代入(14)得

(15)

由于轉角差Δθ較小，因此可假設：1-sin2αsin2(ωt-Δθ)=1-sin2αsin2(ωt),tan Δθ=Δθ,tan(ψ1-ψ2)=tan(ψ1-ψ2)。

所以式(15)可簡化成

(16)

此時式(9)可以寫成

(17)

(18)

3 板帶軋機垂直-扭轉耦合振動方程主共振響應求解

假設軋機在軋制過程中受到周期性的外部擾動即P=F0cosωt，令：

ω1=[(K1+a9)/m]1/2，ω2=(SK)1/2，γ1=1/m，γ2=-1/J2，η1=M/2L，η2=M1/J1，ζ1=(C1+a17)/m，ζ2=(CSJ2+b2)/J2。

所以式(18)可寫成

(19)

設式(19)為弱非線性系統(tǒng)，引入小參數ε，式(19)可寫成

(20)

采用多尺度法，令T0=t，T1=εT0，假設系統(tǒng)具有如下的一次近似解

(21)

將式(21)代入式(20)中，通過比較ε0的系數可得

(22)

比較ε1的系數可得：

(23)

式中，Di=?/?Ti(i=0,1)，Di為偏微分算子。

設式(22)的解為

(24)

式(24)中cc表示前一項的共軛項，將式(24)代入式(23)，考慮主共振情況，令ω=ω1+εσ，σ為調諧參數，消除永期項得

(25)

引入A1和A2的極坐標形式

(26)

將式(26)代入式(25)，分離虛部和實部，令τ=σT1-β1：

(27)

(28)

4 板帶軋機耦合振動系統(tǒng)奇異性分析

軋機在實際軋制過程中，或多或少會存在某些未知因素會使軋機振動參數和結構參數出現偏差，因此可采用奇異性討論參數變化對軋機振動形態(tài)的規(guī)律。

將式(28)合并化簡，并在穩(wěn)態(tài)點ρ2=ρ0處展開，略去高次項可得系統(tǒng)的分岔方程

(29)

其中

z5+d1z3+d2z2+d3z+λ=0

(30)

其中

討論不同參數空間在投影面上轉遷集以及靜態(tài)分岔行為的3種情況。

(1) 當d1=0時，z5+d2z2+d3z+λ=0，

根據轉遷集定義，可得如下轉遷集：

分岔點集B=?；

雙極限點集D=?；

系統(tǒng)的轉遷集∑=B∪H∪D。

此時系統(tǒng)的轉遷集及其劃分的不同區(qū)域中分岔拓撲結構圖，如圖3所示。

圖3 d1=0系統(tǒng)轉遷集和分岔拓撲結構圖Fig.3 Transition set and bifurcation topology diagram of parametric system when d1=0

(2) 當d2=0時，z5+d1z3+d3z+λ=0，轉遷集為：

分岔點集B=?；

雙極限點集D=?；

系統(tǒng)的轉遷集∑=B∪H∪D。

系統(tǒng)的轉遷集及分岔如圖4所示。

圖4 d2=0系統(tǒng)轉遷集和分岔拓撲結構圖Fig.4 Transition set and bifurcation topology diagram of parametric system when d2=0

(3) 當d3=0時，z5+d1z3+d2z2+λ=0，轉遷集為：

分岔點集B=?；

雙極限點集D=?；

系統(tǒng)的轉遷集∑=B∪H∪D。

系統(tǒng)的轉遷集及分岔如圖5所示。

圖5 d3=0系統(tǒng)轉遷集和分岔拓撲結構圖Fig.5 Transition set and bifurcation topology diagram of parametric system when d3=0

由圖3、圖4、圖5可知，轉遷集將整個平面劃分成4個區(qū)域，在不同的區(qū)域中系統(tǒng)具有不同的分岔曲線，其中圖3中區(qū)域(1)、圖4中區(qū)域(2)、圖5中區(qū)域(1)是穩(wěn)定的，其他區(qū)域振動幅值都出現了跳躍現象，因此可以通過調節(jié)d1、d2、d3的參數，來抑制軋機振動。

5 數值仿真分析

采用某廠1 780四輥板帶軋機實際參數：m1=1.44×105kg,K=2.41×108N·m/rad,K1=2.25×1010N/m,J1=13 170 kg·m2,J1=983 kg·m2,C=339 N·s/m,C1=1.04·105N·s/m,a0=8.282×109,a1=406.309,a2=6.265×105,a3=-2.001×104,a4=3.833×106,a5=-394.080,a6=-1.982×108,a7=1.511×104,a8=129.047,a9=-3.842×106,a10=-7.993×109,a11=-2.721×1013,a12=3.254×1011,a13=9.776×107,a14=8.721×105,a15=-2 870.228,a16=-14.277,a17=-2.335×105,a18=1.011×1010,b0=7.233×108,b1=6.748,b2=1.494×104,b3=-377.393,b4=9.397×104,b5=-6.584,b6=-6.879×106,b7=285.587,b8=2.170,b9=-8.562×104,b10=-3.375×108,b11=1.454×1012,b12=2.949×1010,b13=2.689×106,b14=1.847×104,b15=-54.249,b16=-0.242,b17=-5 061.281,b18=-3.370×108。

軋機傾角α變化時軋機垂直扭轉方向的幅頻曲線,如圖6所示。

(a) 垂直方向

(b) 扭轉方向圖6 α變化時垂直和扭轉方向主共振幅頻曲線Fig.6 The curve of primary resonance amplitude-frequency in vertical and torsional directions with different α

由圖6(a)可知，軋機傾角α的變大會造成垂直方向主共振幅值的增大且幅頻曲線跳躍現象越來越明顯。同時由圖6(b)可知，在考慮軋機接軸條件下的軋機垂扭主共振幅頻曲線是兩條永不相交的曲線，當接軸傾角逐漸增大，兩條曲線的間距也在增大。

當軋機接軸傾角α一定，動態(tài)軋制力系數a11改變時耦合系統(tǒng)垂直扭轉方向的幅頻曲線,如圖7所示。

(a) 垂直方向

(b) 扭轉方向圖7 a11變化時垂直和扭轉方向主共振幅頻曲線Fig.7 The curve of primary resonance amplitude-frequency in vertical and torsional directions with different a11

由圖7(a)可知，動態(tài)軋制力系數a11變化會引起軋輥在垂直方向的幅頻曲線出現跳躍。由圖7(b)可知，通過對比扭轉方向的幅頻曲線a11數值可看出a11為負時，軋輥的振動扭轉角偏小；a11為正時，a11值越小系統(tǒng)振動扭轉角越小。

當軋機傾角α一定，扭轉方向動態(tài)軋制力矩系數b0數值變化時，軋機垂直扭轉方向的幅頻特性曲線,如圖8所示。

(a) 垂直方向

(b) 扭轉方向圖8 b0變化時垂直和扭轉方向主共振幅頻曲線Fig.8 The curve of primary resonance amplitude-frequency in vertical and torsional directions with different b0

由圖8(a)可知，隨著b0值增大，軋機垂直方向幅頻曲線的幅值將會減小。由圖8(b)可知，隨著b0增大，軋機扭轉方向兩條永不相交的幅頻曲線間距不斷縮小。

當軋機接軸傾角α一定，接軸扭轉剛度分別為0.3K,0.6K,K時，軋機垂直扭轉方向的幅頻特性曲線,如圖9所示。

(a) 垂直方向

(b) 扭轉方向圖9 K變化時垂直和扭轉方向主共振幅頻曲線Fig.9 The curve of primary resonance amplitude-frequency in vertical and torsional directions with different K

由圖9(a)可知,接軸扭轉剛度減小，系統(tǒng)垂直方向幅頻曲線的幅值將會減小。由圖9(b)可知，扭轉剛度從0.3K～K變化時，幅頻曲線寬度變窄，且曲線右移，使得系統(tǒng)由軟式非線性系統(tǒng)向硬式非線性系統(tǒng)發(fā)生轉變。

軋機接軸傾角α一定時，外擾力幅值F0變化時，軋機垂直扭轉方向的幅頻特性曲線，如圖10所示。

(a) 垂直方向

(b) 扭轉方向圖10 F0變化時垂直和扭轉方向主共振幅頻曲線Fig.10 The curve of primary resonance amplitude-frequency in vertical and torsional directions with different F0

由圖10(a)可知，隨著外擾力幅值F0減小，軋機垂直方向主共振幅頻曲線幅值減小，且幅頻曲線跳躍現象愈發(fā)不明顯。由圖10(b)可知，外擾力幅值變化對系統(tǒng)扭轉方向的幅頻曲線幅值影響不大，三條曲線幾乎重合，但放大后仍可看出扭轉方向幅頻曲線幅值隨外擾力幅值F0降低而減小。

6 結 論

(1) 考慮軋機主傳動系統(tǒng)萬向接軸傾角產生的附加動態(tài)彎矩影響，建立了板帶軋機垂直—扭轉非線性耦合振動模型。并利用多尺度法求解該耦合振動系統(tǒng)的幅頻特性方程。

(2) 采用奇異性理論分析了板帶軋機在不同因素影響下的轉遷集及在轉遷集不同區(qū)域的分岔結構。當分岔臨界點的兩側解的數目變化越大，軋機垂扭耦合系統(tǒng)振動越劇烈，因此實際軋制生產中可調節(jié)d1、d2、d3的參數，避開臨界點。

(3) 采用仿真發(fā)現軋機主傳動系統(tǒng)接軸傾角α由2°增大到8°時，將會導致軋機垂直方向和扭轉方向振動變強；而扭轉方向動態(tài)軋制力矩參數b0增大和扭轉剛度K增大，可以降低軋機的垂直方向和扭轉方向的振動強度。此外垂直方向動態(tài)軋制力參數a11擾動力幅值F0變化均會影響軋機耦合振動的動力學行為，這為實際生產中軋機振動的控制和抑制提供了理論依據。