李小珍, 王渝文, 胡啟凱, 王黨雄

(1.西南交通大學 土木工程學院，成都 610031； 2.西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院，西安 710072)

中低速磁浮列車作為極具競爭力的交通工具，其具有安全性高、經(jīng)濟性好、噪聲低、爬坡能力強、轉(zhuǎn)彎半徑小等優(yōu)點[1-2]，在未來城市交通中具有良好的發(fā)展前景[3]。

中低速磁浮列車通過主動調(diào)節(jié)電磁懸浮力使車體保持在額定懸浮間隙(8～10 mm)附近，從而實現(xiàn)平穩(wěn)運行[4]。當磁浮列車在橋梁上運行時，橋梁會產(chǎn)生形變，從而改變懸浮間隙，影響電磁懸浮力，導致磁浮列車-橋梁系統(tǒng)耦合振動，影響磁浮列車的平穩(wěn)運行[5-6]。國內(nèi)外學者針對磁浮列車-橋梁系統(tǒng)耦合振動進行了諸多研究。文獻[7]建立了5自由度磁浮車輛模型，探討了考慮與不考慮耦合振動時，車體及橋梁結(jié)構(gòu)動力響應的差異。文獻[8]建立了10自由度的TR06磁浮列車模型，將懸浮控制系統(tǒng)簡化為線性彈簧阻尼系統(tǒng)，討論了在隨機不平順激勵下磁浮列車-高架橋系統(tǒng)豎向耦合振動。文獻[9-10]研究分別在中低速和高速磁浮列車作用下，橋梁和車輛的動力響應，并通過現(xiàn)場試驗進行驗證。文獻[11]建立了高速磁浮車輛-橋梁系統(tǒng)的空間耦合振動模型，橋梁采用有限元模型，探討了在有無隨機不平順激擾時系統(tǒng)各動力響應的頻譜分布規(guī)律。文獻[12-14]建立了磁浮列車-橋梁系統(tǒng)耦合振動模型，分析了橋梁剛度、材料和結(jié)構(gòu)形式對磁浮列車-橋梁系統(tǒng)動力響應的影響。文獻[15-16]探究了風荷載對磁浮列車-橋梁系統(tǒng)耦合振動的影響。

簡支梁作為磁浮線路中不可或缺的結(jié)構(gòu)，其跨度會隨著地形和外界影響因素而改變。磁浮列車在不同跨徑的橋梁結(jié)構(gòu)上運行時，會改變橋梁結(jié)構(gòu)變形的波長和幅值，從而使磁浮車橋耦合振動特征產(chǎn)生差異，但目前磁浮線路中多采用25 m簡支梁，而對其它跨徑下的磁浮車橋系統(tǒng)耦合振動特性的研究較少，使得目前工程中不能靈活地根據(jù)實際情況而選擇簡支梁的跨徑。本文基于前人研究的基礎，考慮PID(proportion intergration differentiation)主動懸浮控制系統(tǒng)，基于模態(tài)疊加法，建立中低速磁浮列車-簡支梁系統(tǒng)豎向耦合振動分析模型，對不同跨徑下中低速磁浮列車簡支梁系統(tǒng)耦合振動特性及機理進行深入研究。本文的研究以期為后續(xù)在保證磁浮列車安全平穩(wěn)運行前提下，靈活選擇不同跨徑的磁浮線路簡支梁提供理論支撐和借鑒。

1 中低速磁浮列車-橋梁耦合系統(tǒng)理論模型

1.1 中低速磁浮車輛模型

本文以EMS 5模塊中低速磁浮列車為研究對象。磁浮列車主要由車體、空氣彈簧、懸浮架和電磁鐵組成，車體通過空氣彈簧與懸浮架連接。由于建立精細的磁浮列車模型較困難，因此，需要對磁浮列車模型進行一定簡化：車體和懸浮架簡化為剛體，空氣彈簧采用線性彈簧阻尼單元，電磁鐵產(chǎn)生的懸浮力簡化為集中力，EMS 5模塊中低速磁浮列車簡化示意圖，如圖1所示。

圖1 5模塊中低速磁浮列車簡化示意圖Fig.1 Simplified schematic diagram of five-module low and medium speed maglev train

作用在車體和懸浮架上的荷載分布示意圖，如圖2所示?？紤]磁浮車體和懸浮架的豎向和俯仰自由度，分別用Zc、βc、Zs和βs表示，其中Fij(i=1～5，j=1,2)表示第i架第j次彈簧阻尼力；fin(i=1～5，n=1～4)表示第i個懸架上的第n個懸架力。

圖2 荷載示意圖Fig.2 Load diagram

根據(jù)D’Alembert原理，建立車輛運動方程，如式(1)所示

(1)

1.2 基于PID懸浮控制系統(tǒng)模型

Shi等提出了基于位移-速度-加速度反饋的主動懸浮控制模型，其主動懸浮控制系統(tǒng)的電流方程為

(2)

根據(jù)電磁懸浮力與懸浮間隙和電流的關(guān)系，最終輸出電磁懸浮力f(t)如式(3)所示

f(t)=

(3)

式中：Kf為電磁比例因子；i0和c0為額定電流和額定懸浮間隙。

1.3 不同跨度橋梁模型

橋梁模型采用模態(tài)疊加法求解[17]。在外荷載的作用下，橋梁的運動微分方程為

(4)

式中：m為橋梁的質(zhì)量矩陣;c為阻尼矩陣；k為剛度矩陣;f為作用于橋梁的外荷載列向量，即電磁懸浮力列向量。

利用模態(tài)疊加法，橋梁的位移表示為

(5)

式中：φn為橋梁的第n階振型;qn為橋梁的第n階廣義坐標。

將式(5)代入式(4)中，根據(jù)振型的正交性，可將橋梁的運動微分方程解耦成

(6)

從式(6)可知，只需求得橋梁的自振頻率以及作用于橋梁上的廣義外荷載值，就可求解橋梁的運動微分方程，使橋梁廣義動力方程的求解變得簡單，然后通過振型疊加法，求得橋梁的各動力響應。

1.4 耦合振動模型求解

將式(1)與式(6)聯(lián)立，可構(gòu)成磁浮列車-橋梁耦合系統(tǒng)動力方程，如式(5)所示。電磁力作為聯(lián)系車輛系統(tǒng)和橋梁系統(tǒng)的媒介，可通過式(7)求解。

(7)

式(7)為大型非線性時變系統(tǒng)的動力方程，利用解析法難以求解，需要采用基于Newmark-β積分的分離迭代法求解，具體可參考文獻[18]中的求解流程。

2 計算參數(shù)與模型驗證

2.1 計算參數(shù)

選取某中低速磁浮試驗線中的25 m、30 m和35 m跨徑預應力混凝土簡支梁為研究對象，其跨中截面尺寸如圖3所示。各個簡支梁均采用雙線箱梁，線間距4.4 m，兩個箱梁之間通過橫隔板連接，采用C50混凝土，單線二期恒載為22 kN/m。計算參數(shù)如表1所示。

圖3 不同跨徑簡支梁跨中截面尺寸(cm)Fig.3 Cross section of the simply supported beam of different spans at midspan(cm)

表1 計算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters

目前有關(guān)中低速磁浮線路不平順的理論與實測研究較少。本文采用以往文獻中推薦的軌道不平順模型，功率譜密度函數(shù)如下

(8)

式中：Ω為空間波數(shù)；n為頻率特征參數(shù)(取值為1.5～4.5)；Ar為表面粗糙度系數(shù)。本文中，n=2，對于豎向不平順，Ar=1.5×10-7m。采取三角級數(shù)法將功率譜函數(shù)變換為軌道不平順時域樣本，如圖4所示。從圖4可知，左側(cè)和右側(cè)軌道不平順的幅值約為±2 mm，波長為0.1～100 mm。

(b) 右側(cè)軌道圖4 軌道不平順譜Fig.4 Random irregularity of track

2.2 模型驗證

為驗證中低速磁浮列車-橋梁耦合理論模型的可靠性，以長沙磁浮線路中典型的25 m簡支梁作為驗證對象。圖5所示為25 t+25 t+25 t磁浮列車以速度80 km/h在25 m簡支梁上運行時的仿真與實測曲線對比圖。

(a) 簡支梁跨中動撓度

(b) 簡支梁跨中豎向加速度圖5 25 m簡支梁跨中試驗與仿真對比圖Fig.5 Experimental and simulation comparison diagram of 25 m simply supported beam at midspan

可以看出，磁浮列車在25 m簡支梁上運行，橋梁跨中動力響應的仿真值與實測值均較吻和，這充分證明了本文建立的磁浮車橋耦合振動理論模型的正確性。

2.3 模態(tài)分析

采用有限元軟件ANSYS分別建立25 m、30 m和35 m跨徑簡支梁有限元模型，25 m簡支梁有限元模型如圖6所示。不同跨徑簡支梁的一階豎彎模態(tài)圖如圖7所示。從圖7可知，簡支梁的一階正對稱豎彎頻率隨著跨徑的增大逐漸減小。

圖6 25 m簡支梁有限元模型Fig.6 FEA model of 25 m simply supported beam

(a) 25 m, f=4.83 Hz

(b) 30 m, f=4.19 Hz

(c) 35 m,f=3.52 Hz圖7 橋梁一階正對稱豎彎模態(tài)Fig.7 First-order positive symmetric vertical bending modes of the bridges

3 不同跨度下耦合系統(tǒng)動力響應分析

3.1 簡支梁動力響應時頻域分析

35 t+35 t+35 t磁浮列車在不同跨徑的簡支梁上以速度160 km/h運行時(下同)，簡支梁跨中豎向動撓度和加速度的對比曲線，如圖8和圖9所示。

圖8 不同跨徑簡支梁跨中豎向動撓度對比圖Fig.8 Comparison diagram of vertical dynamic deflection of simple supported beams at midspan with different spans

(a) 時域

(b) 頻域圖9 不同跨徑簡支梁跨中豎向加速度對比圖Fig.9 Comparison diagram of vertical acceleration of simply supported beams at midspan with different spans

從圖8可知，當簡支梁的跨徑從25 m增加到35 m時，橋梁跨中動撓度最大值依次為3.32 mm、3.96 mm和4.60 mm。

從圖9(a)可知，當簡支梁的跨度逐漸增加，橋梁跨中豎向加速度最大值依次為0.28 m/s2、0.21 m/s2、0.15 m/s2，簡支梁的豎向加速度隨著橋梁跨徑的增加而明顯減小；從圖9(b)可知，各橋梁豎向加速度最大峰值對應的頻率點分別為4.8 Hz、4.2 Hz、3.6 Hz，這與簡支梁的一階豎彎頻率相對應。

3.2 磁浮車輛動力響應時頻域分析

磁浮列車在不同跨徑的簡支梁上運行時磁浮車體的豎向動位移和加速度的對比曲線,如圖10和圖11所示。

圖10 不同跨徑下車體豎向動位移對比圖Fig.10 Comparison diagram of vertical dynamic displacement of different span vehicle body

(a) 時域

(b) 頻域圖11 不同跨徑下車體豎向加速度對比圖Fig.11 Comparison diagram of vertical acceleration of simply supported beams with different spans

從圖10可知，當懸浮車輛在不同跨徑簡支梁上運行時，車體豎向動位移的最大值依次為3.28 mm、3.89 mm、4.52 mm，車體豎向動位移隨著橋梁跨徑的增加而增大。同時可以發(fā)現(xiàn)，磁浮車輛的豎向動位移與橋梁的豎向動撓度基本一致。

從圖11(a)可知，隨著簡支梁跨徑的增加，車體豎向加速度的最大值依次為0.19 m/s2、0.17 m/s2、0.16 m/s2，車體豎向加速度逐漸減小；從圖11(b)可知，車體豎向加速度的優(yōu)勢頻段均集中在0～15 Hz，為低頻振動，峰值頻率均為1.0 Hz。在不同跨徑下，車體加速度頻譜圖的分布規(guī)律基本一致，僅幅值大小有所差異，這表明車體加速度頻譜分布受簡支梁跨徑的影響較小。

3.3 懸浮架動力響應時頻域分析

磁浮列車在不同跨徑的簡支梁上運行時懸浮架的豎向動位移和加速度的對比曲線,如圖12和圖13所示。

圖12 不同跨徑下懸浮架豎向動位移對比圖Fig.12 Comparison diagram of vertical dynamic displacement of suspension frame with different spans

(a) 時域

(b) 頻域圖13 不同跨徑下懸浮架豎向加速度對比圖Fig.13 Comparison diagram of vertical acceleration of suspension frame with different spans

從圖12可知，當簡支梁跨徑從25 m增加到35 m時，懸浮架豎向動位移的最大值依次為4.01 mm、4.50 mm、4.86 mm，懸浮架的豎向動位移逐漸增加。

從圖13(a)可知，懸浮車輛在不同跨徑簡支梁上運行時，懸浮架加速度的最大值依次為2.12 m/s2、1.94 m/s2、1.79 m/s2，懸浮架豎向加速度隨著橋梁跨徑增加而逐漸減小。從圖13(b)可知，頻譜圖的第一個峰值頻率為1.0 Hz，這與懸浮車體的二系懸掛豎向固有頻率和車體豎向加速度的第一個峰值頻率相對應，最大峰值頻率為11.2 Hz?？傮w來說，懸浮架豎向加速度明顯大于車體豎向加速度；車體豎向加速度頻譜分布比較集中，懸浮架豎向加速度的頻譜分布較廣泛，并含有顯著的高頻振動成分。這是由于二系懸掛的剛度較小，具有較好的隔振效果，根據(jù)隔振原理[19]，其將由懸浮架傳遞過來的高頻振動隔掉，從而使車體表現(xiàn)為低頻振動。不同跨徑簡支梁懸浮架加速度頻譜圖的分布規(guī)律基本一致，僅幅值大小有所差異，這表明懸浮架加速度頻譜分布受簡支梁跨徑的影響較小。

3.4 懸浮控制系統(tǒng)動力響應時頻域分析

為更清晰地探討磁浮列車-橋梁系統(tǒng)動力相互作用的機理，懸浮間隙及電磁懸浮力在不同簡支梁跨徑下的曲線圖,如圖14和圖15所示。

(a) 時域

(b) 頻域圖14 不同跨徑懸浮間隙對比圖Fig.14 Comparison diagram of suspension gap of different spans

(a) 時域

(b) 頻域圖15 不同跨徑懸浮力對比圖Fig.15 Comparison diagram of suspension force of different spans

從圖14可知，懸浮系統(tǒng)通過調(diào)節(jié)電磁懸浮力，使懸浮電磁鐵持續(xù)穩(wěn)定在額定懸浮間隙附近(8 mm)波動，且波動范圍都是較小的。這說明了磁浮列車平穩(wěn)運行時，電磁懸浮系統(tǒng)能夠很好地實施主動控制調(diào)節(jié)，因此磁浮車體的動位移與橋梁的動撓度數(shù)值基本相等。在穩(wěn)定懸浮的基礎上，隨著簡支梁跨徑的增加，懸浮間隙和電磁懸浮力的波動范圍逐漸減小。

從圖15可知，懸浮間隙和懸浮力波動值頻段分布集中在0～40 Hz，在11.2 Hz處出現(xiàn)共同的峰值，這與懸浮架加速度頻譜圖的峰值頻率相對應。不同跨徑簡支梁的懸浮間隙和懸浮力波動值的頻譜分布規(guī)律幾乎相同，僅幅值大小有所差異，這表明簡支梁的不同跨徑對懸浮間隙和懸浮力波動的頻率分布規(guī)律影響甚微。

4 跨徑對耦合系統(tǒng)動力響應影響機理探討

4.1 跨徑變化對橋梁動力響應影響機理

橋梁的豎向剛度可以根據(jù)橋梁撓跨比來確定，撓跨比越小，橋梁豎向剛度越大[20]，25 m,30 m和35 m簡支梁撓跨比分別為L/7 530、L/7 576、L/7 609，其豎向剛度逐漸增大。文獻[21]指出增加橋梁的質(zhì)量和剛度，均能降低橋梁的豎向加速度。當簡支梁跨徑增大，其梁高越高，橋梁的質(zhì)量增大，同時橋梁的豎向剛度增加，因此橋梁豎向加速度逐漸減小。

磁浮列車在簡支梁上運行時，簡支梁會產(chǎn)生周期性振動。周期不平順荷載激勵，其激勵頻率計算公式為

(9)

式中:v為列車運行速度(m/s);λ為周期性不平順波長(m);f為由周期性不平順引起的激勵頻率(Hz)。根據(jù)式(9)可得，隨著簡支梁跨徑的增加，由橋梁變形產(chǎn)生的不平順波長也增長，其引起的激勵頻率將減小。簡支梁跨徑變化通過改變由橋梁變形引起的不平順波長，從而改變橋梁自身的頻譜分布特性。

4.2 跨徑變化對車輛動力響應影響機理

文獻[22]指出懸浮控制系統(tǒng)對長波激勵有更好的調(diào)節(jié)作用。當簡支梁跨徑增大，由橋梁撓度所形成的不平順波長越長，懸浮控制系統(tǒng)能更好地調(diào)節(jié)懸浮間隙性能,車輛對不同跨徑簡支梁作用如圖16所示。因此，懸浮間隙和懸浮力波動值隨著簡支梁的跨徑增加而減小。

圖16 車輛對不同跨徑簡支梁作用示意圖Fig.16 Schematic diagram of vehicle action on simply supported beams with different spans

由上面分析可知，懸浮力波動值隨著簡支梁跨徑的增大而減小，而懸浮架質(zhì)量不變，懸浮架加速度越小。隨著簡支梁跨徑增大，懸浮架振動能量越小，經(jīng)過二系懸掛隔振后傳遞給車體的振動能量越小。所以隨著簡支梁跨徑的增大，懸浮架和車體的振動加速度均減小。

5 結(jié) 論

本文的主要結(jié)論如下：

(1) 簡支梁豎向動撓度隨著橋梁跨徑的增加而增大，豎向加速度隨著跨徑的增加而減小。25 m、30 m、35 m跨徑簡支梁的峰值頻率分別為4.83 Hz、4.19 Hz、3.52 Hz，這與簡支梁的一階豎彎頻率相對應。簡支梁跨徑變化會改變因橋梁變形引起的不平順波長，從而改變橋梁自身的頻譜分布特性。

(2) 針對不同跨徑的橋梁，懸浮控制系統(tǒng)均能實現(xiàn)良好的控制，隨著簡支梁跨徑的增加，懸浮間隙和電磁懸浮力的波動范圍逐漸減小，車體和懸浮架的豎向動位移和加速度逐漸減小。懸浮架豎向加速度的優(yōu)勢頻段集中在0～30 Hz，同時還包括顯著的高頻振動(50～80 Hz)，車體豎向加速度的優(yōu)勢頻段集中在0～15 Hz，整體表現(xiàn)為低頻振動，且幅值較小。

(3) 不同跨徑的橋梁通過其模態(tài)波長來影響懸浮控制系統(tǒng)和車輛的動力響應，跨徑越大，模態(tài)波長越大，長波激勵的效應就越明顯，從而影響作用于橋梁上的懸浮力，進而影響橋梁結(jié)構(gòu)的動力響應。

(4) 磁浮列車在25 m、30 m、35 m簡支梁上運行時，橋梁最大動撓度均小于豎向撓度比限制L/4 600，橋梁豎向加速度幅值均較??；車體和懸浮架豎向加速度幅值均較小，磁浮列車運行平穩(wěn)性均滿足要求。因此，磁浮線路可根據(jù)當?shù)丨h(huán)境，靈活地選擇簡支梁的跨徑，最大程度節(jié)約工程造價。