文∣李悅

一、“離身”學(xué)習(xí)仍然存在

在一次課后練習(xí)中，學(xué)生遇到了這樣一道題：“有64支足球隊(duì)參加比賽，比賽以單場(chǎng)淘汰制進(jìn)行(即每比賽一場(chǎng)淘汰1支球隊(duì))，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍？”這道題目出自蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)第七單元練習(xí)題，學(xué)生可以利用圖形直觀表征，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；也可以轉(zhuǎn)化解決問題的視角，將“進(jìn)行多少場(chǎng)比賽產(chǎn)生冠軍”轉(zhuǎn)化成“去掉冠軍球隊(duì)，剩余幾支隊(duì)伍，就要比賽多少場(chǎng)”。借助于課堂學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生只需要運(yùn)用這樣的逆向思維就能解決這個(gè)問題，但是實(shí)際解答的正確率卻只有73.56%，問題出在哪里？

通過對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，筆者發(fā)現(xiàn)主要存在以下三個(gè)問題。

(一)關(guān)鍵詞理解不清

問題是要比賽多少場(chǎng)，這個(gè)“場(chǎng)”是指每?jī)芍蜿?duì)比一場(chǎng)；而圖1學(xué)生作品中的“場(chǎng)”，有點(diǎn)類似于我們生活中說的“輪”，64進(jìn)32是一輪，32進(jìn)16是一輪，它涵蓋的是所有球隊(duì)的比賽輪次，并不聚焦于具體某兩支球隊(duì)的比賽場(chǎng)次。學(xué)生將兩個(gè)概念混淆了。

圖1

(二)簡(jiǎn)便計(jì)算方法不對(duì)

圖2學(xué)生作品不僅漏掉了冠亞軍之爭(zhēng)的“1”，且整個(gè)計(jì)算應(yīng)用等比數(shù)列求和，學(xué)生用的卻是等差數(shù)列求和公式，因此答案相差甚遠(yuǎn)。公式應(yīng)用錯(cuò)誤的本源是學(xué)生對(duì)于各數(shù)所代表的實(shí)際含義不理解。

圖2

(三)解決問題思路不佳

查看兩幅學(xué)生作品，雖然錯(cuò)因不同，但思考路徑都是正向思考，從64支隊(duì)伍兩兩比賽中層層遞進(jìn)，爭(zhēng)奪冠軍?；乜幢绢}的知識(shí)點(diǎn)，從學(xué)生的答題中我們不難發(fā)現(xiàn)，他們并沒有將“進(jìn)行多少場(chǎng)比賽產(chǎn)生冠軍”轉(zhuǎn)化成“去掉冠軍球隊(duì)，剩余幾支隊(duì)伍，就要比賽多少場(chǎng)”，雖然兩種思路都可以解決問題，但轉(zhuǎn)化之后的逆向思維更簡(jiǎn)單、快速。

通過以上問題，窺探錯(cuò)題本質(zhì)，都是因?yàn)樵谡n堂教學(xué)時(shí)，缺乏讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，忽略了讓學(xué)生親身體驗(yàn)“單場(chǎng)淘汰制”的含義，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有“具身性”，陷入“離身”狀態(tài)。

二、“具身數(shù)學(xué)”課堂范式

(一)“具身數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵

“具身認(rèn)知”理論認(rèn)為，“在人的認(rèn)知活動(dòng)中，身體發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，而在影響人身體的眾多要素中，身體結(jié)構(gòu)、身體經(jīng)驗(yàn)、行為活動(dòng)形式對(duì)人的認(rèn)知發(fā)揮著重要作用”。基于此理論，結(jié)合學(xué)科教學(xué)實(shí)踐，我們嘗試建構(gòu)“具身數(shù)學(xué)”課堂。“具”是指給學(xué)生提供具體、明確、熟悉的學(xué)習(xí)情境，“身”是指學(xué)生本人親身經(jīng)歷、體驗(yàn)；“具身數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的、可參與的學(xué)習(xí)情境，以學(xué)生自身為參與主體，基于親身體驗(yàn)獲得直接感受或積累直接經(jīng)驗(yàn)，自主構(gòu)建知識(shí)體系，從而提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一系列活動(dòng)。

(二)“具身數(shù)學(xué)”的基本特征

1.實(shí)踐性

“具身數(shù)學(xué)”基于學(xué)生的親身體驗(yàn)，可實(shí)踐性是它的第一屬性。這里的實(shí)踐性區(qū)別于一般的模仿操作，更多是指學(xué)生在理解數(shù)學(xué)問題的前提下，在合適的教學(xué)情境中親身參與所獲得的直接感受和積累的直接經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，強(qiáng)調(diào)實(shí)踐性并不意味著所有的學(xué)習(xí)素材都必須具有實(shí)踐性，而是在學(xué)習(xí)之初以可實(shí)踐性的素材展開學(xué)習(xí)活動(dòng)。隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生可以做到也應(yīng)該做到在頭腦中將學(xué)習(xí)任務(wù)實(shí)踐化，以提升思維品質(zhì)，逐漸提高學(xué)習(xí)能力。

2.主體性

“具身數(shù)學(xué)”的操作體驗(yàn)主體一定是學(xué)生本身，學(xué)生的學(xué)習(xí)以其主體參與為基準(zhǔn)，后續(xù)在此基礎(chǔ)上有所提升。這一切的前提都是學(xué)生自身參與的操作體驗(yàn)，因此主體性是“具身數(shù)學(xué)”所獨(dú)有的特征。主體性強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得的是直接經(jīng)驗(yàn)，它有別于傳統(tǒng)課堂的教師講授、學(xué)生代表回答等間接經(jīng)驗(yàn)獲得。在直接經(jīng)驗(yàn)的幫助下，學(xué)生易于構(gòu)建知識(shí)模型，完善知識(shí)體系，形成具有個(gè)性特征的知識(shí)脈絡(luò)。

3.開放性

開放性強(qiáng)調(diào)有三。一是學(xué)生具身體驗(yàn)環(huán)境的開放。如果環(huán)境不夠開放，學(xué)生沒有體驗(yàn)的空間。在活動(dòng)中，教師可以突破座位、小組等限制，讓學(xué)生在一定的空間內(nèi)自由、有序地開展活動(dòng)。二是學(xué)生具身體驗(yàn)問題的開放。如果問題不夠開放，學(xué)生沒有體驗(yàn)的必要。教師活動(dòng)的問題設(shè)計(jì)不能瑣碎，最好是一個(gè)主題式或板塊化的大問題，學(xué)生能夠在問題的引領(lǐng)下開展一系列的體驗(yàn)操作。三是教師具身體驗(yàn)課堂設(shè)計(jì)視角的開放。如果視角不夠開放，既沒有打破“離身”的桎梏，又達(dá)不到“具身”的要求，課堂將會(huì)陷入低效中，無法幫助學(xué)生完成知識(shí)的深度構(gòu)建。

(三)“具身數(shù)學(xué)”課堂建構(gòu)原則

1.趣味性原則

“具身數(shù)學(xué)”課堂以學(xué)生的親身體驗(yàn)為學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)獲取的重要來源，而學(xué)生愿意甚至主動(dòng)開展體驗(yàn)活動(dòng)的前提條件就是活動(dòng)充滿趣味性。教師提供的活動(dòng)情境要貼近學(xué)生生活，便于學(xué)生理解和開展。學(xué)生在親身體驗(yàn)活動(dòng)中能獲得樂趣，后續(xù)又能脫離情境展開數(shù)學(xué)思考；這樣，教師才能將課堂有趣、深入地推進(jìn)下去。

2.融合性原則

在開展教學(xué)時(shí)，教師要秉持融合性原則，跳出固有的學(xué)科視角，嘗試從學(xué)科融合的角度出發(fā)，以適合本課教學(xué)內(nèi)容開展的素材為學(xué)生具身體驗(yàn)的起始點(diǎn)。在學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們的目標(biāo)不僅是其數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得，更要關(guān)注其適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需的必備品格和關(guān)鍵能力。

3.發(fā)展性原則

具身數(shù)學(xué)的課堂不是割裂的，在同類知識(shí)或并列知識(shí)的教學(xué)中，其體驗(yàn)內(nèi)容也應(yīng)該具有發(fā)展性。學(xué)生借助之前的具身體驗(yàn)所獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以作為后續(xù)體驗(yàn)的基礎(chǔ)。課堂初始的體驗(yàn)可以為教學(xué)重難點(diǎn)的突破埋下伏筆，課堂結(jié)尾的懸念設(shè)置可以幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)延續(xù)到課后?？傊园l(fā)展性為原則開展的“具身數(shù)學(xué)”課，能突破單一的課時(shí)結(jié)構(gòu)，整合知識(shí)內(nèi)容，便于學(xué)生形成知識(shí)脈絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)體系。

三、“轉(zhuǎn)化”策略實(shí)踐具身教學(xué)

(一)化虛為實(shí)，“辯”中厘清思維脈絡(luò)

為了讓學(xué)生親身感受前述例題中“一輪”“一場(chǎng)”的區(qū)別，在教學(xué)時(shí)我們要化虛為實(shí)。

課始，通過引入猜拳游戲，兩人一組，一局定輸贏，讓學(xué)生親身經(jīng)歷游戲過程，理解游戲規(guī)則。一輪游戲結(jié)束之后，讓學(xué)生簡(jiǎn)單表述一下全班同學(xué)的游戲情況，這時(shí)學(xué)生可以用列舉法，也可以用統(tǒng)計(jì)法，比如勝出的男生有幾人，女生有幾人……讓學(xué)生將目光從經(jīng)歷游戲過程轉(zhuǎn)向辨別游戲結(jié)果。接著可以繼續(xù)下一輪游戲，結(jié)合之前學(xué)生分享的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)新一輪的游戲情況。教師引導(dǎo)學(xué)生在第一輪關(guān)注獲勝人數(shù)的基礎(chǔ)上，嘗試從輸、贏兩個(gè)方面表述比賽結(jié)果，比如獲勝的有8人，淘汰的也有8人，這一輪比賽有8場(chǎng)。

接下來進(jìn)行至關(guān)重要的一步：讓學(xué)生不再繼續(xù)進(jìn)行游戲，但需要描述后續(xù)游戲進(jìn)程。將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)從進(jìn)行游戲轉(zhuǎn)向?yàn)樗伎紗栴}。有的學(xué)生提出，現(xiàn)在有8人，兩人一組可以分成4組，也就是還要比賽4場(chǎng)，然后勝出2人，淘汰2人；最后2人只要再比賽1場(chǎng)，就能夠決出冠亞軍，我們不繼續(xù)游戲也能利用數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出后續(xù)游戲進(jìn)程。當(dāng)然，還會(huì)有不一樣的聲音：我們只知道接下來的冠軍是按照這樣的方式產(chǎn)生的，但究竟誰(shuí)才是冠軍，我們是不知道的，只有把游戲進(jìn)行下去，才能揭曉最終答案。

“具身數(shù)學(xué)”視角下的教學(xué)活動(dòng)，借助親身參與的游戲活動(dòng)，讓學(xué)生給數(shù)賦予生活含義，比如8可以表示8人獲勝，8人被淘汰，進(jìn)行了8場(chǎng)比賽。學(xué)生借此活動(dòng)將數(shù)學(xué)問題與生活問題相關(guān)聯(lián)。最后又回到游戲情境，思考數(shù)學(xué)問題成立的條件，完善思維路徑。正是有了這樣的實(shí)際體驗(yàn)做基礎(chǔ)，學(xué)生學(xué)習(xí)才能“四兩撥千斤”。

(二)化數(shù)為形，“變”中轉(zhuǎn)化問題視角

實(shí)踐表明，學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展與提升。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要探尋學(xué)生的思維起點(diǎn)，深化學(xué)生的認(rèn)知視角，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生思維發(fā)展的一大利器。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生一開始無論是直接計(jì)算比賽場(chǎng)數(shù)，還是用總?cè)藬?shù)減1，視角都只停留在數(shù)的計(jì)算上，前者沒有和轉(zhuǎn)化策略結(jié)合起來，后者沒有深度感受數(shù)學(xué)思想。而“具身數(shù)學(xué)”視角下的課堂探索，可以幫我們突破這個(gè)桎梏。

圖3

回顧反思是“具身數(shù)學(xué)”課堂的重要組成部分。讓學(xué)生重新回顧解決問題的路徑。在解決這道題時(shí)，我們不僅可以像題目要求的那樣正向思考，一步一步計(jì)算；還可以逆向思維，比如，32人去掉最終獲勝的1人，剩下的就是淘汰的人數(shù)；而單場(chǎng)淘汰制表明要淘汰31人，也就是比賽31場(chǎng)。

在“具身數(shù)學(xué)”視角下，當(dāng)學(xué)生將注意力聚焦到“觀察這些數(shù)，你還想到了什么”這一問題時(shí)，學(xué)生之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)被喚醒，而將數(shù)學(xué)問題用幾何直觀地表征出來，轉(zhuǎn)化問題視角，使“數(shù)”和“形”聯(lián)動(dòng)，讓學(xué)生思維可視化，促進(jìn)了學(xué)生超越“低階認(rèn)知”，形成高階思維，發(fā)展深度學(xué)習(xí)。

(三)化隱為顯，“辨”中明晰錯(cuò)誤本質(zhì)

在以往的教學(xué)中，我們只看到題目本身的知識(shí)點(diǎn)，容易忽視練習(xí)題與例題的聯(lián)系，忽視練習(xí)題自身所“蘊(yùn)藏”的數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致教學(xué)“只見樹木不見森林”，學(xué)生“知其然而不知其所以然”。

在“轉(zhuǎn)化”策略學(xué)習(xí)的最后，我們還需要和學(xué)生一起，從宏觀視角出發(fā)，重新審視游戲條件。我們可以這樣設(shè)問：“如果其他班級(jí)也像這樣玩游戲，請(qǐng)問這個(gè)游戲?qū)Π嗉?jí)的人數(shù)有要求嗎？他們又要比多少場(chǎng)呢？”這一問題將數(shù)學(xué)游戲延伸進(jìn)真實(shí)生活，學(xué)生在前面游戲、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，會(huì)產(chǎn)生只要是雙數(shù)就可以進(jìn)行比賽的一種數(shù)學(xué)直覺。這時(shí)我們可以隨機(jī)舉例，驗(yàn)證游戲條件。比如，游戲人數(shù)為32和34，通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)人數(shù)為34時(shí)，游戲無法進(jìn)行下去。

學(xué)生的認(rèn)知沖突已經(jīng)產(chǎn)生，錯(cuò)誤也明晰，但錯(cuò)誤背后的原因還未找到。這時(shí)我們需要幫助學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)模型，啟發(fā)他們進(jìn)行逆向思維：最終勝出1人，那么倒數(shù)第二輪就要有2人，倒數(shù)第三輪就要有4人……每一個(gè)數(shù)都要是前一個(gè)數(shù)的兩倍。也就是說，參加比賽的總?cè)藬?shù)要符合這樣的規(guī)律“1、2、4、8、16、32、64…”。

從生活中來，到生活中去，讓學(xué)生帶著抽象出來的數(shù)學(xué)模型，順利遷移并應(yīng)用到更大范圍、更多情境的場(chǎng)景中去，這是學(xué)生完善自我構(gòu)建的最后一步，也是“具身數(shù)學(xué)”順利進(jìn)行的最重要一環(huán)。讓學(xué)生對(duì)“總?cè)藬?shù)要符合什么要求”這一問題分析，就是幫助學(xué)生自我構(gòu)建的一個(gè)腳手架，在學(xué)生互相交流、質(zhì)疑、補(bǔ)充時(shí)，其學(xué)習(xí)能力自然而然地獲得了生長(zhǎng)。

綜上所述，“轉(zhuǎn)化”策略能將“具身數(shù)學(xué)”落到實(shí)處，將數(shù)學(xué)問題與生活問題相融合，將數(shù)學(xué)計(jì)算與圖形表征相結(jié)合，將隱性知識(shí)與顯性知識(shí)相配合，給予學(xué)生思維空間；為學(xué)生提供思維支點(diǎn)，啟發(fā)他們深入思考，觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)核。該方法切實(shí)有利于深化學(xué)生的策略意識(shí)。