鄭攀攀， 趙珧冰，吳先強(qiáng)

(華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院,廈門 361021)

1 引 言

索結(jié)構(gòu)因其輕質(zhì)、高強(qiáng)和造型優(yōu)美等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)在大跨度空間結(jié)構(gòu)、航空航天領(lǐng)域和海洋工程中應(yīng)用極其普遍[1]。但由于索結(jié)構(gòu)所處的自然環(huán)境較為復(fù)雜，在風(fēng)、雨、溫度和外荷載等多因素作用下，不可避免地會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)受損，屬于典型的易損結(jié)構(gòu)[2]。然而早期損傷具有較大隱蔽性，常規(guī)損傷檢測(cè)難以準(zhǔn)確識(shí)別，加上溫度變化等外界因素影響，導(dǎo)致?lián)p傷識(shí)別難度更大[3]。事實(shí)上，部分索結(jié)構(gòu)在其施工、運(yùn)營(yíng)和維護(hù)階段處于一定程度的損傷狀態(tài)，從而導(dǎo)致其振動(dòng)特性發(fā)生改變。因此，全面描述索結(jié)構(gòu)在損傷后的動(dòng)力學(xué)行為雖難度較大，但無(wú)論是對(duì)于理論分析還是工程實(shí)踐，均有重大意義。

近年來(lái)，研究人員從理論研究和工程實(shí)踐等方面對(duì)損傷后的索結(jié)構(gòu)開(kāi)展了相關(guān)研究。Lepidi等[4]通過(guò)引入損傷程度、范圍和位置三個(gè)基本參數(shù)來(lái)系統(tǒng)描述懸索損傷效應(yīng)，建立了損傷懸索靜力學(xué)模型。Bouaanani[5]則采用有限差分法探究了損傷位置和損傷范圍對(duì)懸索模態(tài)的影響。Zhu等[6]基于數(shù)值方法，分析了損傷對(duì)索梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響，發(fā)現(xiàn)斜拉索損傷會(huì)引起索梁系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性顯著變化。Sun等[7]對(duì)鋼絲腐蝕分布模型、腐蝕速率和腐蝕拉索力學(xué)模型進(jìn)行了研究。研究表明，隨著腐蝕時(shí)間的增加，拉索的張力垂度和固有頻率將出現(xiàn)明顯變化。王立彬等[8]通過(guò)推導(dǎo)拉索損傷后的索力和線形公式來(lái)分析損傷拉索的等效彈性模量。蘭成明等[9]對(duì)已經(jīng)服役18年的拉索平行鋼絲進(jìn)行承載力評(píng)定，發(fā)現(xiàn)拉索腐蝕鋼絲屈服強(qiáng)度和極限應(yīng)變都有所降低，但對(duì)于彈性模量而言，腐蝕鋼絲與未腐蝕鋼絲基本相同。Xu等[10]建立了受損鋼絲索力學(xué)模型和平面內(nèi)自由振動(dòng)的控制方程。研究表明，拉索斷絲對(duì)短索的靜態(tài)特性有顯著影響，同時(shí)拉索斷絲數(shù)量增加，其固有頻率隨之降低。Liu等[11]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了橋梁鋼絲索在腐蝕、微動(dòng)和疲勞耦合作用下的行為，發(fā)現(xiàn)微動(dòng)疲勞會(huì)促進(jìn)腐蝕介質(zhì)和鋼絲之間的接觸，使得鋼絲表面的裂紋擴(kuò)展，鋼絲失效，導(dǎo)致鋼絲索壽命降低。

上述研究大多集中于損傷后索的靜力學(xué)特性、材料特性、頻率和模態(tài)等方面。此外，對(duì)于裂紋梁[12]、索網(wǎng)[13]、粘彈性薄板和開(kāi)孔淺球殼[14]等結(jié)構(gòu)，眾多學(xué)者對(duì)其損傷后的振動(dòng)特性亦開(kāi)展了系統(tǒng)研究。然而對(duì)于索這類典型的非線性系統(tǒng)而言，已有研究表明，溫度變化等因素導(dǎo)致其參數(shù)的微小變化可能引發(fā)系統(tǒng)共振響應(yīng)特性的顯著改變[15,16]，而從非線性動(dòng)力學(xué)的角度分析損傷對(duì)索共振響應(yīng)特性的影響則鮮有報(bào)道。因此，本文引入損傷程度、范圍和位置三個(gè)參數(shù)，利用Hamilton變分原理，推導(dǎo)了損傷懸索的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，基于Galerkin法[17]，建立損傷懸索離散后無(wú)窮維動(dòng)力學(xué)方程。以主共振為例，采用高階多尺度法求解其共振響應(yīng)近似解及幅頻響應(yīng)方程。最后通過(guò)數(shù)值算例探究損傷效應(yīng)對(duì)不同垂跨比懸索非線性主共振響應(yīng)的影響。

2 損傷懸索的動(dòng)力學(xué)建模

假定懸索由均勻連續(xù)的彈性材料構(gòu)成，且只考慮索橫截面上均勻分布的拉應(yīng)力和拉應(yīng)變，忽略剪切剛度和抗彎剛度。損傷懸索無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下的構(gòu)形如圖1所示，采用弧坐標(biāo)s貫穿懸索全長(zhǎng)，EA表示軸向剛度，EAd(s)為懸索的殘余軸向剛度。其中Ad(s)為懸索銹蝕后的殘余截面面積，通過(guò)借鑒銹蝕鋼筋測(cè)量截面面積的方法可以得到[18]。本文為了研究方便，假設(shè)銹蝕部分的懸索殘余截面面積相等。懸索損傷區(qū)域?yàn)閇a1,a2]，L0為懸索無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下的索長(zhǎng)。

圖1 損傷懸索無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下的構(gòu)形

引入以下三個(gè)無(wú)量綱參數(shù)來(lái)定義懸索的損傷程度、范圍和位置[4],

(1)

懸索損傷程度在整個(gè)索長(zhǎng)上的變化用分段函數(shù)(2)表示,

(2)

(3)

式中Hd(H)和bd(b)分別為損傷(無(wú)損傷)懸索的初始水平張力和垂度，通過(guò)求解其靜力學(xué)平衡方程可以得到。

2.1 運(yùn)動(dòng)微分方程

(4)

(5)

圖2 懸索構(gòu)形及其特性

該非線性系統(tǒng)的邊界條件和連續(xù)條件為

(6)

由索軸向張力平衡可得

(7)

式中ε1和ε2為懸索的拉格朗日應(yīng)變。

基于擬靜態(tài)拉伸假設(shè)，并結(jié)合方程(7)得到損傷懸索軸向應(yīng)變的擬靜態(tài)解，即

ε(x,t)=e(t)/[1-ζ(x)]

(8)

式中e(t)是一個(gè)只與時(shí)間t相關(guān)的量。

對(duì)式(8)從0～L積分并引入邊界條件(6)可得

(9)

因此，損傷懸索面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程可以簡(jiǎn)化為

(10)

引入以下無(wú)量綱參數(shù)

(11)

因此，式(10)可變換為

(12)

2.2 Galerkin離散

采用Galerkin法對(duì)式(12)進(jìn)行無(wú)窮維離散，面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)可表示為

(13)

(14)

式中

3 攝動(dòng)分析

攝動(dòng)分析是采用攝動(dòng)方法求得方程的近似解，通過(guò)引入一個(gè)小參數(shù)作為攝動(dòng)量，然后假設(shè)解可以按照小參數(shù)的冪級(jí)展開(kāi)。本文采用攝動(dòng)法的高階多尺度法(小參數(shù)的冪級(jí)為4)來(lái)求解懸索單模態(tài)非線性主共振響應(yīng)的近似解，引入新的獨(dú)立時(shí)間變量Tn=εmt(m=0,1,2,3,4)，可知

(15)

式中ε為無(wú)量綱小參數(shù)。

外激勵(lì)頻率和固有頻率通過(guò)引入調(diào)諧參數(shù)表示

Ω=ωn+ε2σn 1+ε4σn 2

(16)

式中ωn為固有頻率，σn 1和σn 2為兩個(gè)調(diào)諧參數(shù)，總的調(diào)諧參數(shù)可表示為

σn=σn 1+σn 2

(17)

采用高階多尺度法[15]求解方程(14)，可得

(18)

(19)

此時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為

(20)

式中an為響應(yīng)幅值，t為時(shí)間，γn為相位，

(21)

4 算例分析

圖3 損傷對(duì)模態(tài)頻率的影響

如圖4(c,d)所示，當(dāng)懸索垂跨比為0.015和0.02時(shí)，懸索均展現(xiàn)出先軟后硬的彈簧特性。且隨著損傷程度和范圍增大，幅頻響應(yīng)曲線向右偏轉(zhuǎn)程度降低?？梢悦黠@看出，垂跨比為0.02時(shí)損傷對(duì)懸索振動(dòng)特性的影響大于垂跨比為0.015時(shí)。懸索垂跨比繼續(xù)增大至0.025，如圖4(e)所示，此時(shí)除未損傷外，懸索均展現(xiàn)出先軟后硬的彈簧特性，且隨著損傷強(qiáng)度增加以及損傷范圍增大，系統(tǒng)多解區(qū)域明顯增大。尤其是大幅振動(dòng)區(qū)間，系統(tǒng)振幅在損傷影響下呈明顯增大的趨勢(shì)。圖4(f)中，懸索垂跨比繼續(xù)增加至0.03，系統(tǒng)均展現(xiàn)出明顯的硬彈簧特性，隨著損傷強(qiáng)度和范圍增加，幅頻響應(yīng)曲線向右偏轉(zhuǎn)程度降低。倘若垂跨比繼續(xù)增加，損傷效應(yīng)對(duì)振動(dòng)特性影響將逐漸下降，且均展現(xiàn)出明顯的硬彈簧特性，不再贅述。

圖4 損傷對(duì)懸索幅頻響應(yīng)曲線的影響

圖5 考慮損傷影響的時(shí)程曲線、相位圖、龐加萊截面以及頻率譜

5 結(jié) 論

懸索一旦發(fā)生損傷，其張力減小，垂跨比增加，將形成新的靜力構(gòu)形。受損懸索的固有頻率將隨著損傷程度的增加而減小，且不同垂跨比懸索，其正/反對(duì)稱模態(tài)頻率受損傷影響程度區(qū)別明顯。損傷使得正/反對(duì)稱模態(tài)頻率交點(diǎn)發(fā)生偏移，影響系統(tǒng)內(nèi)的共振響應(yīng)特性。當(dāng)懸索垂跨比較小(如0.006)或者大于某值(如0.03)時(shí)，懸索硬彈簧特性將隨著損傷程度和范圍的增大而減弱。當(dāng)懸索垂跨比介于兩者之間時(shí)，系統(tǒng)先軟后硬的彈簧特性也與損傷程度和范圍密切相關(guān)，展現(xiàn)出定量和定性改變。損傷效應(yīng)甚至?xí)苯痈淖兿到y(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值以及其解的數(shù)量，可能引發(fā)系統(tǒng)發(fā)生大幅振動(dòng)，危害結(jié)構(gòu)安全。