鄭明亮

(無錫太湖學(xué)院 機電學(xué)院，無錫 214064)

1 引 言

碟式離心機作為一種常見分離設(shè)備，由于其分離性能好、結(jié)構(gòu)簡單和操作方便等優(yōu)點，已經(jīng)在化工、冶金、石油和食品等諸多工業(yè)領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[1]。碟式離心機內(nèi)的薄層流動結(jié)構(gòu)不僅與顆粒分離軌跡和分離效率等密切相關(guān)，而且直接影響到該單元操作的能量耗損和結(jié)構(gòu)優(yōu)化[2]。這其中碟片間薄層流動邊界層的存在，會產(chǎn)生摩擦阻力，對流體分離與漩渦產(chǎn)生重要影響，因此，研究邊界層的流場分布特性，對碟式離心機的碟片結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計有重要意義。

長期以來，碟式離心機薄層流動邊界層流場的特性與控制是分離過程科學(xué)中的基礎(chǔ)問題，主要分為理論數(shù)理模型和實驗黑箱模型。一般實驗方法費用高，周期長；而理論數(shù)理模型能有效逼近真實現(xiàn)象，具有預(yù)測效果，故得到科研工作者廣泛采用。從數(shù)學(xué)上看，多相流流動模型都是通過非線性流體力學(xué)方程組來表達的，所以計算流體邊界層方程的顯式近似解或精確解析解是流體流動分析和分離控制的首要任務(wù)。同時，一般化的N-S方程組的精確解析解是世界級科學(xué)難題，若能夠首先對一些簡化的N-S方程組如層流邊界層方程給出有用的解析計算結(jié)果，將會大大促進流體動力學(xué)基本理論的發(fā)展。目前，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在碟式離心機薄層流動分布特征數(shù)值計算方面(計算流體動力學(xué)軟件Fluent仿真和差分格式算法模擬等)集中做了大量工作[3-10]。然而現(xiàn)有計算方法都忽略從方程本身特點出發(fā)，缺乏廣泛的解析理論推導(dǎo)，從而造成結(jié)果有一定誤差，也無法進行流場分布的連續(xù)性定量顯示和靈敏度分析。微分方程的李群分析方法[11,12]源于學(xué)者索菲思·李，主要是利用微分方程在群變換下的不變性特性，給出方程的分類、約化、守恒律、降階甚至積分型解等。該方法對于求解各類常微分方程組和偏微分方程組都是統(tǒng)一適用的，且無論方程是線性或非線性、常系數(shù)或變系數(shù)，其算法的主要步驟都是固定一樣的，因此其極易大規(guī)模編程化?？梢哉f，李群分析方法是現(xiàn)今研究微分方程解析解最有效方法之一。然而，國內(nèi)外還未有關(guān)于利用李群分析方法解析計算碟式離心機邊界層流場動力學(xué)的研究成果，本文針對碟式離心機碟片間隙層流邊界層，建立斜板式二維邊界層方程，通過李群變換和Lie對稱性分析，得到系統(tǒng)偏微分方程的多組生成元和不變解，并對解的有關(guān)性質(zhì)進行了探討，成功給出邊界層速度和厚度的解析表達式和影響因素分析，理論計算完全符合流場實際分布特征。

2 碟式離心機層流邊界層方程

碟式離心機的結(jié)構(gòu)[13]如圖1所示，混合液經(jīng)加速后由進液道流入轉(zhuǎn)鼓，由碟片中性孔流入碟片間隙，高速旋轉(zhuǎn)的分離腔帶動物料做高速離心旋轉(zhuǎn)運動。碟式離心機轉(zhuǎn)鼓內(nèi)是一個復(fù)雜流動，其流場主要包括速度場和壓力場，流體流速是反映轉(zhuǎn)鼓流場的主要特征。

圖1 碟式離心機結(jié)構(gòu)

當(dāng)流體的流動路程較短時，碟片空間的流體不一定能保持層流狀態(tài)，如圖2所示，邊界層由二層組成，緊靠壁面很薄的流體層幾乎以層流狀態(tài)流動，故稱為層流邊界層(層流薄膜)，在層流層上面的液流稱為湍流邊界層。層流邊界層對于已沉降在碟片下表面上的顆粒具有重要影響。

圖2 碟片空間邊界層

本文討論的碟片空間與平行板流動僅相差一斜置傾角θ，其中細(xì)小顆粒的重力場相對旋轉(zhuǎn)形成的離心場，量級較小，為了簡化平面流動的N-S方程，本文忽略重力和科氏力項。按照平板邊界層理論[14]，二維定常不可壓縮層流邊界層方程組的形式為

?P/?y=0 位勢流動勻速

?u/?x+?v/?y=0 連續(xù)性

(1)

式中f1=Rω2sinθ為流體的離心慣性力沿程分量，ω為離心主軸轉(zhuǎn)速，ρ為流體密度，(u,v)為速度場，P(x,y,t)為壓力場，γ為流體動力黏度。與定常的Prandt1邊界層微分方程組相比，方程(1)多了離心力位的作用。

3 邊界層方程的李對稱性

令矢量式的自變量為x=(x,y)，矢量式的因變量為u=(u,v,P),偏微分導(dǎo)算子D為

(2)

引進單參數(shù)的李群變換群，

(3)

根據(jù)李群的延拓理論，變換式(3)的生成元以及一階和二階延拓向量場為

(i,j,i1,i2=1,2;r,q,h=1,2,3) (4)

式中ζ(i)為擴展的i階無限小生成元函數(shù)。

按照微分方程的Lie對稱理論，方程(1)在變換式(3)下的不變性為

(5)

求解這些二階偏微分確定方程組(5)，有如下兩組系數(shù)函數(shù)的表達式為

(6)

式(6)即為邊界層方程允許的Lie對稱性生成元，可構(gòu)成相應(yīng)李代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中ci為任意常數(shù)。

4 邊界層方程的不變解

第3節(jié)已經(jīng)得到碟片空間層流邊界層方程(1)的允許Lie點變換群(6)，現(xiàn)主要討論式(6)中一個特殊形式的Lie對稱群變換的不變解，即特征方程為

(7)

u=Φ1(λ),v=Φ2(λ)/y,P=Φ3(λ)

(8)

將方程(8)代入式(1)得

(9)

則方程(9)有不變解為

Φ1=6γλ+f1/(6γ),Φ2=0,Φ3=C

(10)

式(10)即為邊界層方程的不變解，有這個不變解，本文可從方程的舊解得到新解。

5 結(jié)果分析

設(shè)某碟式離心機碟片的主要尺寸為R0=107 mm，R1=79 mm，碟片高為70 mm，碟片間隙為1 mm，入口流速度為 0.32 m/s，碟片轉(zhuǎn)速為ωrad/s，液相選擇清水，其密度和粘性系數(shù)可查表，現(xiàn)定義無量綱速度Ψ和速度比例參數(shù)ξ為

Ψ=u/R1ωsinθ,ξ=-0.32/R1ωsinθ

(11)

將Lie對稱求解結(jié)果(10)和式(8)代入式(11)，得到無量綱速度分布為

(12)

式中τ=y/x為無量綱坐標(biāo)比，(x,y)為無量綱的碟片平面位置坐標(biāo)。

邊界層厚度在實際問題中具有重要的應(yīng)用，其直接關(guān)系到碟式離心機的生產(chǎn)能力。張乾生[16]指出碟式離心機邊界層厚度的近似公式為

(13)

將Lie對稱求解結(jié)果式(8,10)代入式(13)，則進一步得到邊界層厚度為

(14)

本文分別對無量綱速度分布與其影響因素(無量綱坐標(biāo)比和速度比例參數(shù))的關(guān)系，以及邊界層厚度與其影響因素(坐標(biāo)冪律指數(shù)和速度比例參數(shù))的關(guān)系作擬合曲線。圖3反映了不同轉(zhuǎn)速下無量綱邊界層速度的分布?？梢钥闯?，對于同一種流體，無量綱速度Ψ是碟片速度比例參數(shù)ξ的減函數(shù)，即邊界層內(nèi)的速度隨碟片逆流方向運動速度的增大而減少。圖4為不同轉(zhuǎn)速比下邊界層厚度σ隨x1/2的變化曲線?？梢钥闯?，無論碟式離心機轉(zhuǎn)速升高或減少，邊界層厚度σ隨x1/2的變化是近似線性的。綜上所述，Lie對稱理論分析與實際現(xiàn)象基本吻合，都很好地驗證了Lie對稱性方法求解流體邊界層流場的有效性。

圖3 無量綱速度與y /x的關(guān)系

圖4 邊界層厚度與x1/2的關(guān)系

6 結(jié) 論

李群分析方法是一類從動力學(xué)方程本身出發(fā)的解析算法，充分利用了動力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)含代數(shù)學(xué)的群屬性以及幾何分析的可微屬性，是求解非線性微分方程(組)通解的高效算法。該算法的難點就是Lie對稱無限小生成元的快速獲取。本文運用經(jīng)典李群分析法求出了碟式離心機斜窄流層流二維邊界層方程組的不變性，得到了系統(tǒng)的2組Lie對稱生成元和1組不變解，并將這個不變解用到邊界層速度和厚度特性分析中?？梢钥闯?，斜窄流層流邊界層方程和李對性解法可以從流體動力學(xué)角度解釋離心機料液速度分布和邊界層厚度的變化規(guī)律。主要結(jié)論有,(1) 碟式離心機碟片間隙層流邊界層問題存在不變相似解，邊界層厚度σ與坐標(biāo)冪指數(shù)x1/2幾乎成正比關(guān)系；(2) 通過量級分析，無量綱的水平速度Ψ是轉(zhuǎn)鼓速度比例參數(shù)ξ的減函數(shù)，即邊界層內(nèi)的速度隨轉(zhuǎn)鼓逆來流運動速度的增大而減小。本文方法可進一步推廣到各類離心機含有固體顆粒的多相流場流動模擬中。