陳 穎 趙朋程 賈紅霞 楊 麗 馬 健

石家莊學(xué)院機(jī)電學(xué)院 河北石家莊 050035

實(shí)際工業(yè)控制系統(tǒng)中，許多控制對(duì)象都是多變量系統(tǒng)，具有非線(xiàn)性、時(shí)滯性和不確定性。多數(shù)的控制算法對(duì)模型精度具有較大的依賴(lài)性，建模技術(shù)在現(xiàn)代的工業(yè)生產(chǎn)中起著極其重要的作用。另外，工業(yè)流程控制過(guò)程中存在許多不確定性干擾因素，導(dǎo)致控制算法的控制精度較低。

經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者的改進(jìn)研究，模型預(yù)測(cè)控制(Model Predictive Control，MPC)[1]技術(shù)對(duì)實(shí)際工業(yè)過(guò)程控制產(chǎn)生了巨大影響，并且已經(jīng)在工業(yè)過(guò)程多個(gè)領(lǐng)域中獲得了成功應(yīng)用，如網(wǎng)絡(luò)化多智能體[2]、永磁同步機(jī)[3]、硅單晶直徑生成控制[4]、直升機(jī)軌跡跟蹤控制[5]等。在模型預(yù)測(cè)控制算法研究中，建立控制系統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型精度決定了后續(xù)預(yù)測(cè)控制的效果。因此，相關(guān)學(xué)者采用組合模型建模的思想建立被控系統(tǒng)的模型，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)控制的研究。如Chen等[6]提出了一種自適應(yīng)多層非線(xiàn)性組合模型預(yù)測(cè)控制算法，并將其應(yīng)用于水泥熟料燒成過(guò)程篦冷機(jī)系統(tǒng)的控制仿真中；Yin等[7]將連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器作為被控對(duì)象，提出了一種基于映射數(shù)值組合模型的預(yù)測(cè)控制算法；Xiao等[8]結(jié)合多目標(biāo)蝙蝠優(yōu)化算法構(gòu)建了組合預(yù)測(cè)模型，并在風(fēng)電預(yù)測(cè)中實(shí)驗(yàn)應(yīng)用；楊劍鋒等[9]提出一種自適應(yīng)并聯(lián)組合模型預(yù)測(cè)控制算法，在化工酸堿中和反應(yīng)過(guò)程中進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)；郝曉辰等[10]提出了一種BP-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法，并成功應(yīng)用于水泥分解爐溫度多變量控制中。

Huang等提出了極限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine，ELM)建模方法[11-12]，ELM是一種單隱含層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，訓(xùn)練速度快，有優(yōu)良的泛化性能，避免了如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最小值、訓(xùn)練速度緩慢等問(wèn)題，在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。如數(shù)據(jù)函數(shù)辨識(shí)[13]、光伏發(fā)電量預(yù)測(cè)模型[14]、齒輪故障診斷[15]、太陽(yáng)輻射率模型[16]、自適應(yīng)控制模型[17]等。因此，將ELM應(yīng)用到預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)建模中是可行的。

因此，本文首先采用ELM算法建立控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)非線(xiàn)性模型，利用具有外界輸入的自回歸算法(Auto Regressive with eXogenous inputs，ARX)[18]建立控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)線(xiàn)性模型，構(gòu)建控制系統(tǒng)的ELM-ARX組合模型；其次，推導(dǎo)預(yù)測(cè)步數(shù)內(nèi)控制系統(tǒng)的被控變量預(yù)測(cè)輸出值，提出基于ELM-ARX組合模型的預(yù)測(cè)控制算法；最后，通過(guò)Matlab數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)以及水箱控制應(yīng)用實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證提出的預(yù)測(cè)控制算法有效性和可行性。

1 ELM-ARX組合模型建立

1.1 ELM穩(wěn)態(tài)非線(xiàn)性模型

極限學(xué)習(xí)機(jī)通過(guò)對(duì)輸入層到隱含層權(quán)重與隱含層的閾值的隨機(jī)賦值，將單隱含層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)訓(xùn)練轉(zhuǎn)化為求解線(xiàn)型方程組。根據(jù)Moore-Penrose廣義逆求解的到方程組的最小范數(shù)最小二乘解作為隱含層到輸出層的權(quán)重，即完成了極限學(xué)習(xí)機(jī)的訓(xùn)練。極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Network structure diagram of Extreme Learning Machine

(1)

控制系統(tǒng)非線(xiàn)性穩(wěn)態(tài)模型可表達(dá)為如式(2)所示的矩陣形式：

Y=Hβ

(2)

式中，隱層輸出矩陣H=[hkj]，hkj=g(ωkuj+bk)，輸出層權(quán)值矩陣β=[β1，β2，…βk，…，βm]T，輸出矩陣Y=[y1，y2，…yj，…，yN]T。

(3)

式中，H+為隱層輸出矩陣H的摩爾彭德羅斯廣義逆。

1.2 ARX動(dòng)態(tài)線(xiàn)性模型

ARX模型是一種黑箱模型，由操作變量、被控變量和系統(tǒng)噪聲干擾量組成的，能表示系統(tǒng)特性的線(xiàn)性數(shù)學(xué)模型，利用最小二乘法即可直接獲得控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)線(xiàn)性模型。

設(shè)被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)線(xiàn)性特性可用如下ARX模型來(lái)近似描述：

A(q)y(k)=B(q)u(k)+e(k)

(4)

式中，A(q)=1+a1q-1+…+anq-n，B(q)=b1q-1+b2q-2+…+bmq-m，q-1為后移算子，e(k)是白噪聲。

用獲得的nu個(gè)輸入的偽隨機(jī)二進(jìn)制(PRBS)信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)，測(cè)得對(duì)應(yīng)的ny個(gè)輸出變量的值，用最小二乘法辨識(shí)得到如下描述系統(tǒng)增量關(guān)系的2階ARX動(dòng)態(tài)線(xiàn)性模型：

Δy(k)=A1Δy(k-1)+A2Δy(k-2)+B1Δu(k-1)+B2Δu(k-2)

(5)

式中，A1、A2、B1、B2為動(dòng)態(tài)模型參數(shù)，A1，A2∈Rny×ny，B1，，B2∈Rny×nu；Δy(k)=y(k)-ys(k)，Δu(k)=u(k)-us(k)；ys(k)，us(k)分別是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出輸入。

1.3 組合模型建立

用線(xiàn)性ARX模型來(lái)描述非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，用偽隨機(jī)二進(jìn)制信號(hào)來(lái)測(cè)試控制對(duì)象。令:

A0=I-A1-A2

(6)

則控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)線(xiàn)性模型的穩(wěn)態(tài)增益矩陣K∈Rny×nu可表示為：

(7)

式(7)的穩(wěn)態(tài)增益就是ARX模型的動(dòng)態(tài)增益。保持A1、A2不變，令:

(8)

將式(8)代入式(5)，控制系統(tǒng)的非線(xiàn)性特性可描述為：

(9)

可求得輸入變量ui(k)對(duì)應(yīng)于輸出變量yj(k)的動(dòng)態(tài)增益為：

(10)

由此，可求得任意輸入u(k)所對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)增益矩陣Ks。對(duì)于非線(xiàn)性控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，用當(dāng)前時(shí)刻的實(shí)際輸出值所對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)增益Kc和下一個(gè)輸出設(shè)定值所對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)增益Kn的線(xiàn)性外推插值來(lái)表示未來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的實(shí)際動(dòng)態(tài)增益，將會(huì)具有較高的預(yù)測(cè)精度。所以在未來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的輸入u(k+p)所對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)增益，可用下式表示：

(11)

式中，Kn、Kc分別是穩(wěn)態(tài)輸入向量us(k)，us(k+1)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)增益矩陣。

(12)

綜上所述，建立的ELM-ARX組合模型結(jié)構(gòu)如圖2所示。通過(guò)系統(tǒng)實(shí)際的動(dòng)態(tài)增益將系統(tǒng)的ELM穩(wěn)態(tài)模型和ARX動(dòng)態(tài)模型有機(jī)地結(jié)合在一起，推導(dǎo)出了包含系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性的ELM-ARX組合模型，該組合模型可以完全反映出控制系統(tǒng)的特性。

圖2 ELM-ARX組合模型結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of ELM-ARX combined model

2 基于ELM-ARX組合模型的預(yù)測(cè)控制算法研究

2.1 輸出預(yù)測(cè)

取預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镻，控制時(shí)域?yàn)镸(且P≥M)，推導(dǎo)ELM-ARX組合模型的輸出預(yù)測(cè)值計(jì)算表達(dá)式。為使模型輸出與實(shí)際輸出數(shù)據(jù)的誤差最小，即按式(13)求取一組適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛥?shù)使得取得最小值。

(13)

對(duì)式(13)求導(dǎo)，即可求得模型的最優(yōu)辨識(shí)參數(shù)A1、A2、B1、B2。令:

(14)

式中，n=2，3，…，P+1，S∈Rny×ny，T∈Rny×nu，Tg∈Rny×nu。

寫(xiě)成矢量形式，多步輸出預(yù)測(cè)增量值的表示式為：

G22Δu2(k-1)+F1Δy(k)+F2Δy(k-1)

(15)

根據(jù)式(19)求得的未來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)輸出增量值，預(yù)測(cè)輸出經(jīng)位移矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而可得到預(yù)測(cè)輸出：

(16)

2.2 滾動(dòng)修正

為了消除諸多因素引起的預(yù)測(cè)值的誤差，采用滾動(dòng)誤差修正法對(duì)其修正，利用k時(shí)刻的預(yù)測(cè)誤差：

(17)

(18)

取參考軌跡為：

(19)

則控制系統(tǒng)帶約束的最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及其約束條件可表示如下式所示：

(20)

式中，Q=qI、R=rI分別是輸出誤差和控制增量的加權(quán)矩陣，I是單位矩陣。

得到最優(yōu)控制增量后，取第一組最優(yōu)控制增量Δu(k)，通過(guò)插值法即可得當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)控制輸入：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(21)

當(dāng)求得的當(dāng)前時(shí)刻的控制輸入u(k)作用到控制系統(tǒng)中去，再進(jìn)行下一步的優(yōu)化求解，如此循環(huán)執(zhí)行下去即完成了預(yù)測(cè)控制的滾動(dòng)修正問(wèn)題。將每一步所求得的最優(yōu)輸入量值作用到系統(tǒng)中，得到當(dāng)前時(shí)刻的實(shí)際系統(tǒng)輸出，循環(huán)遞推即可完成對(duì)整個(gè)控制系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及應(yīng)用研究

為了驗(yàn)證提出的基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法的性能，從數(shù)據(jù)仿真驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)和水箱實(shí)際控制實(shí)驗(yàn)應(yīng)用兩個(gè)方面進(jìn)行驗(yàn)證。數(shù)據(jù)仿真驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)方面主要是針對(duì)兩輸入兩輸出模型數(shù)據(jù)，進(jìn)行Matlab軟件仿真控制驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證提出的基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法的有效性；水箱實(shí)際控制實(shí)驗(yàn)應(yīng)用方面，本文基于Visual Studio編程軟件開(kāi)發(fā)了基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法的控制軟件系統(tǒng)，并將其應(yīng)用于雙容水箱過(guò)程控制系統(tǒng)上，完成預(yù)測(cè)控制算法測(cè)試實(shí)驗(yàn)應(yīng)用研究，測(cè)試算法對(duì)工業(yè)過(guò)程進(jìn)行控制的可行性。

3.1 仿真驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證提出的ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法的性能，選取BP-ARX組合模型[10]作為對(duì)比。針對(duì)如式(22)兩輸入兩輸出模型非線(xiàn)性系統(tǒng)[19]進(jìn)行數(shù)據(jù)模型辨識(shí)與Matlab仿真控制實(shí)驗(yàn)。

(22)

建立上述兩入兩出系統(tǒng)的ELM-ARX模型與BP-ARX模型，分別采用兩個(gè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)控制仿真實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行400步預(yù)測(cè)控制，ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法與BP-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法對(duì)比控制效果如圖3到圖6所示。

(a)被控變量輸出值y1 (b)被控變量輸出值y2

(c)操作變量輸出值u1 (d)操作變量輸出值u2

由圖3數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)控制效果可知，采用本文提出的ELM-ARX模型與BP-ARX模型均可以使被控變量y1、y2較為平穩(wěn)控制在設(shè)定值附近，但是基于本為提出的ELM-ARX模型進(jìn)行的預(yù)測(cè)控制，非線(xiàn)性系統(tǒng)y1、y2超調(diào)量較小，表明本文提出的基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法的控制精度較高，可以獲得更優(yōu)的控制效果。

在第100步數(shù)時(shí)，圖3(a)中被控變量y1設(shè)定值由1.0調(diào)整為0.5，圖3(b)中被控變量實(shí)際值y2有一定波動(dòng)，通過(guò)操作變量輸入值和的調(diào)整，使得被控變量y1、y2快速穩(wěn)定在設(shè)定值附件，并且基于ELM-ARX模型相比較BP-ARX模型使得被控變量實(shí)際值y2波動(dòng)較小，體現(xiàn)出本文提出的基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法具有較強(qiáng)的干擾能力。

另外，在仿真控制程序運(yùn)算時(shí)間方面，ELM-ARX模型運(yùn)行時(shí)間為16.2541s，BP-ARX模型運(yùn)行時(shí)間為65.5285s?？芍捎肊LM-ARX模型的預(yù)測(cè)控制程序運(yùn)算時(shí)間大大縮短，表明基于ELM-ARX的組合模型占用計(jì)算機(jī)資源小，這對(duì)于控制程序的長(zhǎng)期在線(xiàn)運(yùn)行是非常有利的。

3.2 水箱平臺(tái)應(yīng)用實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步測(cè)試提出的基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法對(duì)工業(yè)過(guò)程進(jìn)行控制的可行性，基于本文提出的理論算法，研發(fā)了模型辨識(shí)及預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)。該軟件系統(tǒng)與雙容水箱控制平臺(tái)通過(guò)OPC通信協(xié)議進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，可以完成對(duì)水箱平臺(tái)數(shù)據(jù)的讀取、存儲(chǔ)、模型辨識(shí)以及控制變量操作值寫(xiě)入。

在水箱系統(tǒng)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)中，為了驗(yàn)證本文提出的基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法多入多出控制系統(tǒng)的可行性，選取上水箱和下水箱電動(dòng)調(diào)節(jié)閥閥門(mén)開(kāi)度作為操作變量，上水箱和下水箱液位高度作為被控變量，上水箱和下水箱連接處的進(jìn)水閥門(mén)開(kāi)度作為干擾變量。同時(shí)，由于水箱控制平臺(tái)上水箱和下水箱通過(guò)連接處的閥門(mén)進(jìn)行連接，此處閥門(mén)開(kāi)度的大小對(duì)上水箱液位和下水箱液位均有影響，因此，連接處的閥門(mén)開(kāi)度也是水箱控制平臺(tái)實(shí)驗(yàn)兩入兩出模型的耦合變量。

基于水箱平臺(tái)上水箱和下水箱電動(dòng)調(diào)節(jié)閥不同的閥門(mén)開(kāi)度階躍響應(yīng)，采集上水箱和下水箱液位高度多組數(shù)據(jù)。采用ELM-ARX組合模型辨識(shí)軟件系統(tǒng)辨識(shí)水箱平臺(tái)兩入兩出組合模型。將建立好的水箱控制兩入兩出平臺(tái)組合模型參數(shù)載入預(yù)測(cè)控制軟件中，設(shè)定預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)，將水箱控制平臺(tái)中被控變量水箱液位當(dāng)前值和設(shè)定值通過(guò)OPC數(shù)據(jù)通信模塊傳入預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)中，經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算處理，給出當(dāng)前操作變量水箱電動(dòng)調(diào)節(jié)閥閥門(mén)開(kāi)度的調(diào)整量，再通過(guò)OPC數(shù)據(jù)通信模塊將電動(dòng)調(diào)節(jié)閥閥門(mén)開(kāi)度的調(diào)整量寫(xiě)入水箱控制平臺(tái)，之后循環(huán)將水箱液位當(dāng)前值傳入預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)中，直到水箱液位當(dāng)前值趨近水箱液位設(shè)定值附近，即可完成水箱控制平臺(tái)預(yù)測(cè)控制應(yīng)用實(shí)驗(yàn)。水箱平臺(tái)應(yīng)用實(shí)驗(yàn)控制效果如圖4所示。

(a)上水箱被控變量液位高度 (b)下水箱被控變量液位高度

(c)上水箱操作變量閥門(mén)開(kāi)度 (d)下水箱操作變量閥門(mén)開(kāi)度

由圖4水箱平臺(tái)控制效果總體可知，基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法預(yù)測(cè)出的上下液位高度預(yù)測(cè)值與實(shí)際值偏差不大，當(dāng)上下水箱液位高度在達(dá)到設(shè)定值之前，通過(guò)上下水箱閥門(mén)開(kāi)度的預(yù)測(cè)調(diào)節(jié)，上下水箱液位高度穩(wěn)定在設(shè)定值附近，達(dá)到預(yù)期控制預(yù)期效果。

在第1分鐘左右，圖4(b)中水箱平臺(tái)控制效果下水箱液位設(shè)定值由37cm提高為43cm，圖4(d)中下水箱閥門(mén)開(kāi)度設(shè)定值小幅度提高。另外，由于有上下水箱連接處閥門(mén)開(kāi)度耦合變量的存在，上水箱中的水通過(guò)連接處閥門(mén)流到下水箱中，使得上水箱液位高度實(shí)際值下降，通過(guò)預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)算法計(jì)算，小幅度提高圖4(c)中上水箱閥門(mén)開(kāi)度。通過(guò)上述調(diào)整，使得上下水箱液位實(shí)際值均穩(wěn)步貼近于液位高度設(shè)定值，未出現(xiàn)過(guò)大的超調(diào)。

第2.5分鐘左右，圖4(a)中上水箱液位高度設(shè)定值由48cm設(shè)定為36cm時(shí)，為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法的多變量耦合控制的先進(jìn)性，本水箱平臺(tái)應(yīng)用實(shí)驗(yàn)分別增大上下水箱連接處耦合閥門(mén)開(kāi)度以及下水箱出水閥門(mén)開(kāi)度，使得第2.5分鐘左右圖4(b)中下水箱液位高度實(shí)際值變大。為了穩(wěn)定上下水箱液位高度，圖4(c)中上水箱閥門(mén)開(kāi)度大幅度降低，圖4(d)中下水箱閥門(mén)開(kāi)度小幅度提高。經(jīng)計(jì)算，上下水箱液位高度最大超調(diào)量基本上均在9%左右浮動(dòng)，甚至更小，控制效果明顯。這充分體現(xiàn)出ELM-ARX組合模型進(jìn)行過(guò)程控制的先進(jìn)性和穩(wěn)定性。

綜上所述，基于ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法，將設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)應(yīng)用于水箱控制平臺(tái)，可穩(wěn)定控制水箱液位，驗(yàn)證了本文提出的算法應(yīng)用于工業(yè)過(guò)程控制的可行性。

結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)調(diào)節(jié)增益的方法實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型的有機(jī)結(jié)合，構(gòu)建了控制系統(tǒng)的ELM-ARX組合模型；推導(dǎo)了預(yù)測(cè)步數(shù)內(nèi)控制系統(tǒng)的被控變量預(yù)測(cè)輸出值，提出了基于ELM-ARX組合模型的預(yù)測(cè)控制算法。Matlab數(shù)據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用ELM-ARX組合模型可以建立多入多出非線(xiàn)性系統(tǒng)控制模型，并取得較優(yōu)的預(yù)測(cè)控制效果；基于本文提出的算法，研發(fā)了基于ELM-ARX組合模型的預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)，進(jìn)行了雙容水箱平臺(tái)應(yīng)用實(shí)驗(yàn)，應(yīng)用實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了雙容水箱的精準(zhǔn)控制以及多變量耦合控制，表明本文提出的基于ELM-ARX組合模型的預(yù)測(cè)控制算法具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性。提出的ELM-ARX組合模型預(yù)測(cè)控制算法以及研發(fā)的預(yù)測(cè)控制軟件系統(tǒng)，不僅奠定了預(yù)測(cè)控制算法理論基礎(chǔ)，也對(duì)實(shí)現(xiàn)工業(yè)流程精細(xì)化控制具有重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。